CASIO NHỊ THỨC NEWTON – PHẦN Đặt vấn đề: Hai phần trước sử dụng Casio hỗ trợ hiệu để giải tốn tìm hệ số xm nhị thức tốn liên quan tổng hay tích nhị thức, sau ta xem xét tốn tìm hệ số xm "tam thức bậc p - q ": Bài toán Tìm hệ số x m khai triển Trong khuôn khổ thi THPTQG ta thường xét ( c + bx p + ax q ) , ( p, q ∈ ¥ * , p < q ) n abc ≠ 0, p, q ∈ { 1;2;3} Trước hết ta nhắc lại ví dụ phần cách giải - vận dụng nhiều: Ví dụ 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) Cho số nguyên dương chứa n 2Cn1 + 3Cn2 + + ( n + 1) Cnn = 2621439 thỏa mãn Số hạng không n x khai triển biểu thức A 43758 B 1 x + ÷ x 31824 C 18564 D Lời giải M ∑ ( ( X + 1) × MCX ) − 2621439 + Tìm n: x =1 Calc với M = 18 kết nên n = 18 l= + Chỉ số tổ hợp: 18 + =6 bấm 18C ta 18564 Ví dụ 2: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần năm 2017-2018) Với n số tự nhiên thỏa mãn Cnn−−46 + nAn2 = 454 , hệ số số hạng chứa x4 khai n triển nhị thức Niu-tơn A 1972 2 3 −x ÷ x B x≠0 ( với 786 ) C 1692 D −1792 Lời giải + Tìm n: ( M − ) C ( M − ) + M × MP − 454 l= + Chỉ số tổ hợp: 8+ =3 Calc với M = kết nên n = 8C × ( −1) × 25 bấm ta −1792 Trở toán ta đưa định hướng giải kỹ thuật bấm máy tính nhanh mà không đưa công thức tổng quát, ta tìm cơng thức loại tùy thuộc cặp (p; q) Sau ta xét ví dụ nêu tóm lược bước làm Các ví dụ: x Ví dụ 3: Hệ số khai triển Cn + Cn + Cn2 = 29 nhiên thỏa mãn A Ta có: −53173 B C + C + C = 29 n n n ⇔ 1+ n + Lời giải k =0 k C bao nhiêu, biết −53172 n D số tự −38052 n = −8 n ( n − 1) ⇔ ⇒n=7 = 29 n = ⇔ n + n − 56 = Khi đó: n −38053 ( − x + 3x ) = ∑ C7k ( − x ) ( − x + 3x ) k ( 3x ) 7−k = ∑ C7k ( x ) k =0 −k k ∑ C ( −1) i =0 i k k −i i xi = ∑∑ C7k Cki 2k −i37−k ( −1) xi+14−2 k i k =0 i = Hệ số x7 có k thỏa mãn: i + 14 − 2k = ⇔ 2k = + i i k Vậy hệ số x7 là: −C74C41 2333 − C75C53 2232 − C76C65 2.3 − C77C77 = −30240 − 7560 − 252 − = −38053 Như thế: thi trắc nghiệm mà giải tự luận chưa đáp ứng nhu cầu chưa tận dụng máy tính Casio Bây khai triển ví dụ theo tự luận hình thức khác ( − x + 3x ) 7 k 2 2 7−k = x −1 + x + ÷ = x ∑ ( −1) C7k x + ÷ x x k =0 k 2 3x + ÷ x x0 l Ta cần tìm hệ số khai triển quen thuộc , gọi số tổ hợp k +0 l= = X ⇒ k = 2X ≤ 2X ≤ ⇒ ≤ X ≤ Ta có điều kiện: Lời giải sau: + Nhập: + MC1 + MC − 29 2 = x −1 + x + ÷ x ( − x + 3x ) 7 + Làm nháp: l = ( k + 0) / = X ⇒ k = X ∑ ( −1) + Nhập: 7−2 X x=0 dùng Calc ta tìm M = n = Ta có điều kiện: cần tìm hệ số x0 ngoặc ≤ 2X ≤ ⇒ ≤ X ≤ × 7C X × X C X × X × 2 X − X −38053 bấm = ta Ví dụ 4: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) ( − 2x + x ) Cho khai triển 218700 A = a0 x18 + a1 x17 + a2 x16 + + a18 B 489888 Giá trị −804816 C a15 −174960 D Lời giải ( − 2x + x ) a15 l= x3 hệ số , ta có k −6 = X ⇒ k = 2X + ∑ ( −2 ) + Nhập x =0 9− X − Ta có điều kiện: 256 ngoặc ≤ 2X + ≤ ⇒ ≤ X ≤ −804816 tìm hs x −6 × 9C ( X + ) × ( X + ) CX × 32 X +6− X Ví dụ 5: (Sưu tầm ) Hệ số A 3 = x −2 + x + ÷ x B x bấm = (1+ x − x ) 8 khai triển −128 C Lời giải 238 thành đa thức D −125 (1+ x − x ) + Biến đổi l= k +0 = X ⇒ k = 2X 1 = x 1 − x + ÷ x Ta có điều kiện: ∑ 8C X × XCX × ( −1) + Nhập tìm hệ số x =0 X x0 ngoặc ≤ 2X ≤ ⇒ ≤ X ≤ bấm = ta −125 Ví dụ 6: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2017-2018) Cho khai triển ( − 3x + x ) 2017 = a0 + a1x + a2 x + + a4034 x 4034 18302258 A 16269122 B C Tìm 8132544 a2 8136578 D Lời giải ( − 3x + x ) 2017 a2 hệ số tìm hệ số ∑ ( −3) x x l= ngoặc, x =0 =x : −2015 2− X 2017 2017 1 −3 + x + ÷ x k − 2015 = X ⇒ k = X + 2015 ≤ X ≤1 , × 2017C ( X + 2015 ) × ( X + 2015 ) CX × X bấm = 18302258 Ví dụ 7: (Tạp chí THTT ) Hệ số thành đa thức A 8088 B 8085 x ( + 2x + 3x ) 10 khai triển C 8076 D 8028 Lời giải ( + x + 3x ) 10 + Biến đổi l= 10 1 = x + 3x + ÷ x k −6 = X ⇒ k = 2X + 10 Ta có điều kiện: tìm hệ số x −6 ngoặc ≤ X + ≤ 10 ⇒ ≤ X ≤ ∑ 2 × 10C ( X + ) × ( X + ) CX × X 10 − X −6 x=0 8085 bấm = ta Ví dụ 8: (THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) (1+ x + x ) n Cho khai triển hệ số Biết A S = 310 = a0 + a1 x + a2 x + K + a2 n x n a3 a4 = 14 41 , tổng B S = 311 , với n≥2 S = a0 + a1 + a2 + K + a2n C S = 312 a0 a1 a2 , , , , a2n D S = 313 Lời giải Nhận xét cho x = khai triển ta có S Các hệ số a = b = c = nên không nhập vào công thức cho phức tạp Quan sát đáp án ta dùng CALC để thử: ∑ MC ( X + M − 3) × ( X + M − 3) CX x=0 ∑ MC ( X + M − ) × ( X + M − ) CX − 14 41 x =0 CALC nhập M = 10, nên chọn A Ví dụ 9: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) Hệ số số hạng chứa −6432 A x khai triển −4032 B (x − 3x + ) −1632 C D −5418 Hướng dẫn (Đã giải theo cách phân tích) ( −3 x + x + 2x) Ta có l= k +1 = X ⇒ k = 2X −1 ∑ ( −3) x =1 −( X −1) 2 = x −3 + x + ÷ x Ta có điều kiện: ngoặc ≤ X ≤ 2X −1 ≤ ⇒1 ≤ X ≤ × 6C ( X − 1) × ( X − 1) CX × 22 X −1− X bấm = ta Ví dụ 10: (Sưu tầm ) Cho khai triển tìm hs x1 Cn1 + Cn2 + + Cnn = 255, n ∈ ¥ * f ( x ) = ( + x + 3x2 ) n Tìm hệ số −5418 x14 A 20484 B 48184 C 37908 D 20218 Lời giải M ∑ ( MCX ) − 255 + Tìm n: Ghi x =1 CALC nhập X = 1, M = ta có kết Vậy n = 8 1 8 ( + x + 3x ) = x 1 + 3x + x ÷ x6 + Tìm hệ số: tìm hệ số ngoặc k +6 l= = X ⇒ k = 2X − ≤ X ≤ 2X − ≤ ⇒ ≤ X ≤ Ta có điều kiện: ∑ 8C ( X − ) × ( X − ) CX × X x =6 bấm = ta có Phương pháp: Tìm hệ số xm khai triển ( c + bx p 37908 + ax ) q n , abc ≠ Bài toán "tam thức bậc p - q" ta gặp tương đối nhiều Chúng ta khai triển theo phương pháp tự luận, bước: n c p q n pn q− p ( c + bx + ax ) = x b + ax + x p ÷ x m− pn + Nháp: hệ số cần tìm ngoặc pk + m − pn = l ⇒ pk = ql + pn − m q + Chỉ số , đến ta chọn l theo biến X thích hợp cho vế phải chia hết cho p 0≤l ≤k ≤n Giới hạn biến X theo bất đẳng thức: + Nhập cơng thức tính vào máy tính Casio Ví dụ 11: (Sưu tầm ) Tìm hệ số A 21130 B 6160 x ( + 3x + x ) 10 khai triển: C 16758 D 17550 Hướng dẫn: ( + 3x + x ) 10 + Biến đổi + Chỉ số ∑( + Bấm x =0 10 1 = x + x2 + ÷ x 10 k −6 = X ⇒ k = 3X + 10−( X + ) , với , hệ số cần tìm x −6 ngoặc ≤ X + ≤ 10 ⇒ ≤ X ≤ × 10C ( X + ) × ( X + ) CX × X ) bấm = ta có 17550 Ví dụ 12: Hệ số A 1380 x f ( x ) = ( + x + 3x ) khai triển B 1332 C 3480 10 thành đa thức D 1836 Hướng dẫn: ( + x + 3x ) 10 + Biến đổi 10 1 = x 1 + 3x + ÷ x 10 k −5 = X ⇒ k = 3X + + Chỉ số , hệ số cần tìm x −5 ≤ X + ≤ 10 ⇒ ≤ X ≤ , với ∑ ( 10C ( X + 5) × ( X + 5) CX × ) x =0 Tìm hệ số A khai triển 204120 X + Bấm Ví dụ 13: (THTT số 5-488 tháng năm 2018) x7 ngoặc B bấm = ta có f ( x ) = ( − 3x + x ) −262440 1332 10 C thành đa thức −4320 D −62640 Lời giải ( − 3x + x ) 10 + Biến đổi k −3 = X ⇒ k = 3X + 3 + Chỉ số ∑ ( ( −3) + Nhập 10 1 = x −3 + x + ÷ x 10 −3 X x=0 , hệ số cần tìm x −3 ngoặc ≤ X + ≤ 10 ⇒ ≤ X ≤ , với × 10C ( X + 3) × ( X + 3) CX × X ) bấm = ta có Ví dụ 14: (Sưu tầm ) Tìm hệ số x3 −62640 sau khai triển rút gọn đơn thức 1 2 − x + 2x ÷ x x≠0 đồng dạng , A −2940 B 3210 C 2940 D −3210 Lời giải + Biến đổi 1 2 9 − x + x ÷ = x −1 + x + ÷ x x , hệ số cần tìm x −6 ngoặc + Chỉ số ∑ ( ( −1) 2k − = X ⇒ k = 3X + 3 −3 X x =0 , với ≤ X ≤ 3X + ≤ ⇒ ≤ X ≤ × 9C ( X + 3) × ( X + ) C X × 22 X ) bấm = ta có −2940 Luyện tập: Câu 1: (Sưu tầm) Tìm hệ số x ( 3x khai triển − 2x − 2) 10 Đs : 768000 P( x) = ( x + x + 1) x4 Câu 2: Hệ số số hạng chứa khai triển A 1695 B 1485 C 405 Câu 3: Hệ số x −53173 khai triển Cn0 + Cn1 + Cn2 = 29 B −38053 C −53172 D 10 f ( x) = (1 + x + x ) Câu 4: Xác định hệ số khai triển sau: A 37845 B 14131 C 324234 ( P ( x) = 1+ 3x + 2x2 ) 10 n bao nhiêu, biết x8 Câu 5: Xét đa thức là: D 360 n số tự nhiên thỏa mãn A ( − x + 3x ) 10 −38052 D 131239 = a0 + a1x + + a20x20 Tìm a15 Đs : 3549312 13 Câu 6: Tìm số hạng chứa A 135x13 x khai triển thành đa thức B 45 C 210x13 ( x+x D + x3 ) 45x13 10 là: 10 Câu 7: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (3x + x + 1) A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 Câu 8: Xác định số hạng không phụ thuộc vào với n số nguyên dương thoả mãn A −98 Câu 9: Số hạng chứa B x C + 2n = A n n +1 98 khai triển x (x khai triển biểu thức C −96 − x − 1) D 1 x − ( x + x ) 96 n A 168x8 B 168 C 238x8 D 238 n Câu 10:Tìm số hạng khơng chứa A −C n dương thỏa mãn A 73789 n −2 n +1 x khai triển 1 1 + x + ÷ x biết n≥2 số nguyên = 14 − 14n B 73788 C 72864 D 56232 ĐỂ KẾT THÚC MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO THÊM BÀI SAU x Bài 1: Tìm hệ số sau khai triển ( 3x − 2x − 2) 10 HƯỚNG DẪN ( 3x − 2x − 2) 10 Viết lại: Ta tìm hệ số ∑( Bấm x 6− X x=0 10 k 10 2 2 = x − 3x + ÷ = x10 ∑ 210−k C10k −3x + ÷ x x k =0 10 l= −4 ngoặc Chi số k −4 = X ⇒ k = 2X + × 10C ( X + ) × ( X + ) CX × ( −3) × X + X ) = Đáp số 768000 10 x Bài 2: Tìm hệ số sau khai triển (x − 4x3 − 2) 20 HƯỚNG DẪN (x Viết lại: l= Chi số Điều kiện − x − 2) 20 20 2 = x − x2 + ÷ x 60 3k − 50 = X − 10 ⇒ k = X ngoặc ≤ X − 10 ≤ X ≤ 20 ⇒ X = 40 × 20C 20 × 20C × ( −1) × 218 Ta tìm hệ số x −50 Nên có cặp (k; l) = (20; 2) Nhập Bấm = ta có đáp số: 49807360 100 Bài 3: Tìm hệ số x193 sau khai triển 2 x − − ÷ x x HƯỚNG DẪN 100 Viết lại 100 2 2 x − − ÷ = 100 −1 + x − ÷ x x x x l= Chi số k + 293 = X ⇒ k = X − 293 ≤ X ≤ X − 293 ≤ 100 ⇒ Điều kiện Nhập máy: ( −1) Ta tìm hệ số x 293 ngoặc 293 393 ≤X≤ ⇒ X = 98 ⇒ k = 99, l = 98 × 100C 99 × 99C 98 × ( −2 ) Bấm = ta có 19800 CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ! THÀNH CÔNG TRONG CUỘC SỐNG! ... Xét đa thức là: D 36 0 n số tự nhiên thỏa mãn A ( − x + 3x ) 10 ? ?38 052 D 131 239 = a0 + a1x + + a20x20 Tìm a15 Đs : 35 4 931 2 13 Câu 6: Tìm số hạng chứa A 135 x 13 x khai triển thành đa thức B... 405 Câu 3: Hệ số x − 531 73 khai triển Cn0 + Cn1 + Cn2 = 29 B ? ?38 0 53 C − 531 72 D 10 f ( x) = (1 + x + x ) Câu 4: Xác định hệ số khai triển sau: A 37 845 B 14 131 C 32 4 234 ( P ( x) = 1+ 3x + 2x2... 2k −i37−k ( −1) xi+14−2 k i k =0 i = Hệ số x7 có k thỏa mãn: i + 14 − 2k = ⇔ 2k = + i i k Vậy hệ số x7 là: −C74C41 233 3 − C75C 53 2 232 − C76C65 2 .3 − C77C77 = ? ?30 240 − 7560 − 252 − = ? ?38 0 53 Như