tong hop li thuyet lop 12 2019

Phần I : Lý thuyết hàm số 1.Xét tính đồng biến, nghịch biến ≥ Hàm f đồng biến (hay tăng) K ⇔ f’(x) 0, x ∈ K Hàm f nghịch biến (hay giảm) K ⇔ f’(x) ≤ 0, x ∈ K Bất phương trình bậc hai : a > a < ax + bx + c ≥ ∀x ∈ R ⇔  ax + bx + c ≤ ∀ x ∈ R ⇔  2  ∆ = b − 4ac ≤  ∆ = b − 4ac ≤ , Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm: a/ Nếu  f '( x0 ) =   f '( x0 ) ≠  f '( x0 ) =  b./Nếuthì x0 điểm cực đại  f ''( x0 ) < x0 điểm cực trị c/ Nếu x0 điểm cực  f '( x0 ) =  tiểu  f ''( x0 ) > Ax + Bx + C = d/ Phương trình bậc hai : −B C x1 + x2 = ; x1 x2 = A A có hai nghiệm phân biệt : A ≠  ∆ = B − AC > Định lí vi-ét : Max , Min y = f(x) liên tục đoạn [a ; b], ta tiến hành bước: - Tìm giá trị x cho f'(x) = hay f'(x) không xác định đoạn [a ; b], giả sử giá trị x1, x2, x3 - Tính giá trị hàm số điểm có giá trị x nói f(x1), f(x2), f(x3), - Tính giá trị hàm số hai đầu mút f(a), f(b) - So sánh giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), suy giá trị nhỏ lớn f(x) đoạn [a ; b] Tiệm Cận lim y = y0 hay lim y = y0 x →−∞ x →+∞ Nếu (Δ) : y = y0 tiệm cận ngang đồ thị (C) : y = f(x) - Để tìm đường tiệm cận đứng hàm số phải vô cực x tiến đến giá trị x0 : lim− y = −∞ hay lim+ y = +∞ hoac lim− y = +∞ hay lim+ y = −∞ Nếu x → x0 x→x0 x → x0 x→ x0 y= Đường tiệm cận đồ thị hàm số Ghi : y/ = ax + b cx + d (Δ) : x = x0 đường tiệm cận đứng ad − cb ( cx + d ) Đạo hàm ad − bc > ad − bc < hàm số đồng biến x=− d c ; TC ngang : có hai đường tiệm cận : TC đứng : hàm số nghịch biến a y= c I( −d a ; ) c c Tâm đối xứng đồ thị Hàm bậc f ( x) = ax3 + bx + cx + d Đạo hàm f / ( x) = 3ax + 2bx + c f ( x) = / Có hai cực trị có nghiệm : f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) A ≠  ∆ = B − AC > Hàm Trùng Phương f / ( x) = 4ax3 + 2bx Đạo hàm a.b < a.b ≥ Có cực trị : , có cực trị Tương giao đường thẳng đồ thị, suy nghiệm phương trình: m = ax + bx + cx + d cho phương trình có nghiệm số giao điểm đồ thị với đường thẳng nằm y=m ngang yct < m < ycd + Nếu có giao điểm nên có nghiệm m = yct m = ycd + Nếu có giao điểm nên có nghiệm m < yct m > ycd + Nếu có giao điểm nên có nghiệm f ( x) = ax + bx + c f ( x) = m a Hàm trùng phương cho phương trình có nghiệm số giao y=m a.b < điểm đồ thị với đường thẳng nằm ngang Với trường hợp hàm số có cực trị yct < m < ycd + Nếu có giao điểm nên có nghiệm m = f (0) + Nếu có giao điểm nên có nghiệm ax + b y= y = Kx + B cx + d b Đồ thị hàm số giao với đường thẳng , có phương trình hồnh độ giao điểm Kx + B = ax + b Dk : cx + d ≠ cx + d , quy đồng chuyển phương trình bậc + Giao trục ox , trục hồnh ox có phương trình y=0 Trục tung oy có phương trình x=0 Phần 2.Lý Thuyết thể tích khối đa diện I.cơng thức tính diện tích: 1.Diện tích hình chữ nhật có cạnh a, b: S= ab đường chéo Diện tích hình vng : S = (cạnh )2 Đường chéo (cạnh) 3.Diện tích hình thang có đáy a,b chiều cao h S= a2 + b2 h(a+b) 4.Diện tích tam giác thường : s= h.a a)khi biết cạnh bên góc giữa: 1 2 S= bcsinA= acSinB s = p ( p − a )( p − b)( p − c) b)khi biết cạnh: với chu vi p= (a+b+c)/2 ( hê-rong) Diện tích tam giác vng : s= ab, với a b hai cạnh góc vuông 6.Tam giác : (canh) (canh) 3 Đường cao , bán kính đường trịn ngoại tiếp (canh)2 S= diện tích α Diện tích hình thoi cạnh a, góc đỉnh 1 α 2 S= a2.sin s= ab với a,b đường chéo 8.Tỉ số diện tích tam giác đỉnh: s AB 'C ' AB ' AC ' = S ABC AB AC vs A ' B 'C ' A ' B ' AC ' BC ' = vs ABC AB AC CB Tỉ số thể tích chóp tam giác: II Một số cơng thức tính : 1.Tỉ số sin –cos tam giác vuông doi ke doi sin α = cos α = tan α = huyen huyen ke Định lý pitago tam giác vuông: Đinh lý cosin: c2 = a2 + b2 c = a + b − 2ab cos C Cách xác định góc đương thẳng mp: B1: xác định hình chiếu B2:xác định góc dt hình chiếu Cách xác định góc mp mp góc hai đường thẳng vng góc với giao tuyến V = h.Bday III.thể tích khối chóp: V = h.Bday IV.Thể tích lăng trụ : V Nón Tròn Xoay : S = π r ; C = 2π r Đường tròn 1 S xq = π rl V = Bh = π r h Nón trịn xoay : , r bánh kính đường trịn đáy, l đường sinh VI Hình Trụ (Trịn Xoay) : Diện tích xung quanh diện tích tồn phần S xq = 2π rl ; Stp = S xq + S day = 2π rl + 2π r Thể Tích khối trụ : V = Bh = π r h VII Khối Cầu : Diện tích mặt cầu : Thể tích khối cầu : S = 4π r V = π r3 Phần 3: Hàm số mũ logarit : I Một số tính chất lũy thừa aα = aα − β ; β aα ×a β = aα + β ; ( a α ) β = aα β ; a aα = a − n = −α α (ab)α = aα ×bα ; Định nghĩa: Hàm số aα a = ;  ÷ bα b y = xα , với α ∈¡ , an n a =a n ( a > 0) a b ữ = ữ ì b a gọi hàm số lũy thừa y = xα Tập xác định: Tập xác định hàm số là: α gD=¡ số nguyên dương g D = ¡ \ { 0} α với nguyên âm g D = (0; +∞) α với không nguyên α α −1 ( x )′ = α x (uα )′ = α u α −1.u / Đạo hàm: D Đồ thị: y = xα I (1;1) Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: y = x , y = x −2 , y = xπ II HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT y = a x , ( a > 0, a ≠ 1) Hàm số mũ:  Tập xác định: D = ¡ T = ( 0, +∞ ) y = a x > ∀x ∈ R  Tập giá trị: a > hàm số đồng biến ¡  Tính đơn điệu : Khi Khi < a < hàm số nghịch biến ¡  Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang y =a O a >1 0 hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Khi < a < hàm số nghịch biến  Dạng đồ thị: Nhận trục tung làm tiệm cận đứng a >1 y y y = loga x O x O 0 0, a ≠ , ta có: log a a = 1, log a = a log a b = b, log a (aα ) = α a≠1 , ta có b1 log a = log a b1 − log a b2 log a = − log a b b2 b Lơgarit tích, thương : Cho số dương • log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2 Công thức biến đổi số : Cho • log am b n = log a x =  n log a b m a, b1 , b2 a, b, c, x > 0, a ≠ log a n b = log a b n với , với α , ta có log a c = log c a log c x ⇔ log c a.log a x = log c x log c a Lôgarit thập phân Lôgarit tự nhiên  Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Viết : e Lôgarit tự nhiên lôgarit số IV Phương trình mũ Viết : log10 b = log b = lg b log e b = ln b Dạng 1: (a>0, a #1) Với b>0, ta có ax = b  x= logab Với b0)=> bx = - Dạng : m (a - )x + n (a + )x = c - Đặt (a + )x = t - Dạng : ma2x + naxbx + b2x = Chia vế cho b2x đặt Dạng 1: Phương trình logarit log a x = b ⇔ x = a b - Sử dụng định nghĩa ĐK: x>0 log a u = log a v ⇔ u = v - Dạng : với ĐK: u>0; v>0 phương pháp giải: Đưa số, gôm lại thành dạng hay đặt ẩn phụ V.Bất Phương trình mũ, lơgarit bản: tương tự “ Đồng cùng, nghịch trái” CHỦ ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM A- LÝ THUYẾT K Kí hiệu khoảng, hay đoạn hay nửa khoảng 1) Định nghĩa f ( x) F ( x) f ( x) K K Cho hàm số xác định Hàm số gọi nguyên hàm hàm số F′( x) = f ( x) K với x thuộc 2) Định lý F ( x) f ( x) F ( x) + C ∀C ∈ R K nguyên hàm hàm số nguyên a Nếu f ( x) K hàm F ( x) ,G ( x) f ( x) C K b Đảo lại hai nguyên hàm tồn số cho F ( x) = G ( x) + C Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) ký hiệu ∫ f ( x) = F ( x) + C K Chú ý: Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục có ngun hàm 3) Tính chất nguyên hàm f ,g ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx K a Nếu hai hàm số liên tục ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx k b với số thực khác ∫ [ k f ( x) + l.g ( x) ]dx = k ∫ f ( x)dx + l ∫ g ( x)dx Suy ′ ∫ f ( x)dx = f ( x) + C c 4) Công thức nguyên hàm phần ∫ udv = uv − ∫ vdu 5) Công thức đổi biến số ( ) K ” ∫ f [u ( x ) ]u′ ( x ) dx = F [u ( x ) ] + C 6) Bảng nguyên hàm vi phân u = u ( x) Hàm sơ cấp Hàm số hợp 1) ∫ du = u + C 1) ∫ dx = x + C 2) ∫ xα dx = 3) α +1 d ( ax + b ) = 1) Vi phân α +1 x u + C ( α ≠ −1) 2) ∫ uα du = + C ( α ≠ −1) α +1 α +1 dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ ) 3) Thường gặp du ∫ u = ln u + C ( u ( x ) ≠ ) dx a 1 α 2) ∫ ( a x + b ) dx = × (ax + b)α +1 + C a α +1 3) dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( a ≠ ) 4) ∫ cos xdx = sin x + C 4) ∫ cos udu = sin u + C 4) ∫ cos( ax + b)dx = 5) ∫ sin xdx = − cos x + C 5) ∫ sin udu = − cos u + C 5) ∫ sin(ax + b)dx = − cos( ax + b) + C a 6) ∫ dx = tan x + C cos x x≠ Với 7) ∫ Với 6) ∫ π + kπ u ( x) ≠ Với dx = − cot x + C sin x x ≠ kπ 7) ∫ Với 8) ∫ e x dx = e x + C 9) ∫ a x dx = du = tan u + C cos2 u sin( ax + b) + C a 6) ∫ dx = tan ( ax + b ) + C cos ( ax + b ) a 7) ∫ dx −1 = cot ( ax + b ) + C ( ) sin ax + b a π + kπ du = − cot u + C sin u u ( x ) ≠ kπ 8) ∫ eu du = eu + C 8) ∫ e ax +b dx = ax +b e +C a ax au px + q a px + q + C ( < a ≠ 1) + C ( < a ≠ 1) 9) ∫ a u du = + C ( < a ≠ 1) 9) ∫ a dx = p.ln a ln a ln a DẠNG 3: Phương pháp đổi biến số Kiến thức thường cần nhớ: Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: a) Nếu: ∫ f ( x ) = F ( x) + C với u = ( x) hàm số có đạo hàm thì: ∫ f (u )du = F (u ) + C b) Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x =ϕ ( t) hàm số liên tục ) ta được: Trong ϕ ( t) với đạo hàm ( ∫ f ( x)dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt = ∫ g (t )dt = G (t ) + C ϕ '( t ) Từ ta trình bày hai dạng toán phương pháp đổi biến số sau: Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng để tính nguyên hàm: I = ∫ f ( x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Chọn t = ϕ ( x) Trong  Bước 2: Tính vi phân hai vế: hàm số mà ta chọn thích hợp dt = ϕ ' ( x ) dx f ( x) dx = g ϕ ( x )  ϕ ' ( x ) dx = g (t )dt  Bước 3: Biểu thị:  Bước 4: Khi đó: ϕ ( x) I = ∫ f ( x)dx = ∫ g (t ) dt = G (t ) + C * Chú ý: Ta có số dấu hiệu để đổi biến thường gặp: STT Dạng nguyên hàm f ′( x) Cách đặt Đặc điểm nhận dạng t = f ( x) Biểu thức mẫu ∫ f ( x ) dx ∫ f e  t ′ ( x ) dx  t = t ( x) Biểu thức phần số mũ ∫ f t ( x )  t ′ ( x ) dx t = t ( x) Biểu thức dấu ngoặc ∫ f  t ( x )  t ′ ( x ) dx t = n t ( x) Căn thức ∫ f ( ln x ) dx x t = ln x t ( x) n 10 dx x kèm biểu thức theo ln x rr r r a.b cos( a , b ) = r r = a b • a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với r r r a, b ≠ ) Tọa độ điểm a) Định nghĩa: Chú ý: • • uuuu r r r r M ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y j + z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = A( x A ; y A ; z A ), B ( xB ; y B ; z B ) b) Tính chất: Cho uuur AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) • • AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A )  x + x y + yB z A + z B  M A B; A ; ÷  2  M AB • Toạ độ trung điểm đoạn thẳng : • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :  x + x + x y + y B + yC z A + z B + z C  G A B C ; A ; ÷ 3   • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD :  x + x + x + xD y A + y B + yC + yD z A + z B + zC + zC  G A B C ; ; ÷  4  Tích có hướng hai vectơ Oxyz r r a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) cho hai vectơ , Tích có hướng a) Định nghĩa: Trong không gian r r r r   a b,  , b a hai vectơ kí hiệu , xác định 20 a r r  a , b  =   b2 a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2  ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b1 b2  Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: r r r r r r [a, b] ⊥ a; [ a, b] ⊥ b • r r r r  a, b  = − b, a      • r r r r r r r r r  j , k  = i ;  k , i  = j i , j  = k ; • r r r r r r [ a, b] = a b sin ( a, b ) • (Chương trình nâng cao) r r r r r a, b ⇔ [a, b] = • phương (chứng minh điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình nâng cao) r r r r r r a, b [a, b ].c = c • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: đồng phẳng ⇔ uuu r uuur SY ABCD =  AB, AD  ABCD • Diện tích hình bình hành : • Diện tích tam giác • Thể tích khối hộp • Thể tích tứ diện ABC S ∆ABC = : ABCDA′B ′C ′D′ ABCD r uuur  uuu AB  , AC  uuu r uuur uuur VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD] AA′ : VABCD = : r uuur uuur uuu [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương 21 r r rr a ⊥ br⇔ a.b = r r r r [ a vaø b cù n g phương ⇔ a , b] = r r r r r r a, b, c đồ ng phẳ ng ⇔ [ a, b] c = Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG B TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) Định nghĩa: Cho mặt phẳng Nếu vectơ r (α ) n vectơ pháp tuyến (VTPT) r r n≠0 có giá vng góc với mặt phẳng (α ) Chú ý:  Nếu r n VTPT mặt phẳng (α ) r k n ( k ≠ 0) VTPT mặt phẳng (α )  Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT r r r r r (α ) u, v n = [u, v]  Nếu có giá song song nằm mặt phẳng VTPT (α ) II Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa: Phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét:  Nếu mặt phẳng r n = ( A; B; C ) (α ) có phương trình có VTPT  Phương trình mặt phẳng qua điểm VTPT là: Ax + By + Cz + D = M ( x0 ; y0 ; z0 ) A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 22 nhận vectơ r n( A; B; C ) khác r (α) :  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn điểm ( a; 0; ) ( 0; b;0 ) ( 0;0;c ) , , với x y z + + =1 a b c abc ≠ ( α ) : Ax + By + Cz + D =    r ur n = kn' A B C D ⇔ = = = ( α ) ≡ ( α ') ⇔  A ' B' C' D' D = kD ' ( α) cắt ( α ') với với cắt trục tọa độ III Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho r ur n = (A; B; C); n' = (A '; B';C') có VTPT r ur  A B C D n = kn' ⇔ = = ≠ ( α ) / / ( α ') ⇔  A ' B' C' D' D ≠ kD '   Ở (α ) ( α ') : A ' x + B' y + C ' z + D ' = A ', B', C ', D ' ≠ A ', B ', C ', D ' ≠ ⇔ A : B : C ≠ A ': B': C' uu r uur Đặc biệt: ( α ) ⊥ ( α ') ⇔ n1.n = ⇔ A.A '+ B.B'+ C.C ' = IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Định lí: Trong không Oxyz gian , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng d ( M , (a )) = cách từ điểm đến mặt phẳng | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C V Góc hai mặt phẳng Trong không gian M0 Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 23 (α ) tính: ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Góc ( α) uur uu r nα , nβ ( β) bù với góc hai VTPT Tức là: uur uu r nα nβ uur uu r A1 A2 + B1B2 + C1C2 cos ( ( α ) , ( β ) ) = cos nα , nβ = uur uu r = nα nβ A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 ( ) B MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Vectơ pháp tuyến mặt phẳng a Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa VTPT r r n ≠ r r (α) n ⊥ ( α ) ⇔ n A = C = 0, B ≠ (α )  Vecto VTPT mp Nếu mặt phẳng song ( Oxz ) song trùng với r r (α ) k n ( k ≠ 0) n  Nếu VTPT mặt phẳng VTPT mặt (α ) phẳng (α ) Ax + By + Cz + D =  Nếu mặt phẳng có phương trình có VTPT r n( A; B; C ) r r (α ) u, v  Nếu có cặp khơng phương với có giá song song nằm mặt r r r (α ) (α ) n = [u, v] phẳng VTPT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I – LÝ THUYẾT CHUNG Vectơ phương đường thẳng r r d a a - Vectơ khác vectơ – không gọi vectơ phương đường thẳng giá vectơ d song song trùng với đường thẳng 24 Phương trình tham số – Phương trình tắc đường thẳng - Phương trình tham số đường thẳng r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) (với a12 + a22 + a32 ≠ d M ( x0 ; y0 ; z0 ) qua điểm ) phương trình có dạng  x = x0 + a1t  d :  y = y0 + a2t  z = z0 + a3t a1a2 a3 ≠ - Nếu ta viết phương trình đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a1 a2 a3 - Định lý: Điểm M nằm d ⇔ có số thực t cho có vectơ phương d t tham số dạng tắc sau: M ( x0 + a1t ; y0 + a2t ; z0 + a3t ) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong d : không  x = x0 + a1t   y = y0 + a t  z = z0 + a3t gian Gọi Oxyz cho r n = ( A; B; C ) phương đường thẳng d mặt ( α ) : Ax + By + Cz + D = phẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) và đường r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) thẳng vectơ A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) = t Cách 1: Xét phương trình ( ẩn) (1) - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm d - Nếu phương trình (1) có nghiệm - Nếu phương trình (1) có vơ số nghiệm (α) khơng có điểm chung, t = t0 d thuộc d (α) Vị trí tương đối hai đường thẳng 25 cắt (α) điểm d // (α) N ( x0 + a1t0 ; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 ) Oxyz Trong không gian r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) d cho đường thẳng  x = x0 + a1t  d :  y = y + a 2t  z = z0 + a3t ⇒ qua điểm đường thẳng d′ M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có vectơ phương M 0′ ( x0′ ; y0′ ; z0′ ) qua điểm , có vectơ phương  x = x0′ + a1′t ′  d ′ :  y = y0′ + a2′ t ′ ur  z = z ′ + a ′t ′ a′ = ( a1′; a2′ ; a3′ ) ⇒  Cách 1: Xét hệ phương trình  x0 + a1t = x0′ + a1′t′   y0 + a2t = y0′ + a2′ t′  z + a t = z′ + a′ t′ 0 t, t′ ) (2) r ur d d′ ⇔ a a′ - // hệ phương trình (2) vơ nghiệm hai vectơ , phương - d d d và d′ d′ d′ trùng cắt ⇔ ⇔ chéo (ẩn hệ phương trình (2) có vơ số nghiệm hệ phương trình (2) có nghiệm ⇔ r ur a a′ hệ phương trình (2) vô nghiệm hai vectơ , không phương PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ● Xét phương trình ( S ) : ( x − a) Khi mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 , bán kính 26 R ● Xét phương trình Khi mặt cầu có ( S) ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d =  tâm I ( a; b; c )  2 bán kính R = a + b + c − d phương trình mặt cầu ● Đặc biệt: ( S) : 2 ⇔ a + b2 + c − d > x +y +z =R 2 , suy ( S) có   tâm O ( 0; 0;0 )   bán kính R Vị trí tưong đối mặt cầu mặt phẳng • • • d (I, ( P)) > R : cầu mặt phẳng không cắt d (I, ( P)) = R d (I, ( P )) < R : cầu mặt phẳng tiếp xúc : cầu mặt phẳng cắt , thiết diện đường trịn BÀI TỐN : Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C) Phương pháp giải tổng quát: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) r Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính đường trịn R = d ( I , ( P )) + r giao tuyến Suy bán kính mặt cầu PHẦN : CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA 27 z = a + bi  + Một số phức biểu thức dạng  i a,b∈ ¡ i = −1 , gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức + Tập hợp số phức kí hiệu { với £ } z = a + bi £ = a + bi / a,b∈ ¡ ;i = −1  + Chú ý: - Khi phần ảo số thực - Khi phần thực - Số a = ⇔ z = bi ⇔ z = + 0i số ảo vừa số thực, vừa số ảo  + Hai số phức nhau: a= c a + bi = c + di ⇔  vớ i a,b,c,d ∈ ¡ b = d  + Hai số phức z1 = a + bi; z2 = − a − bi gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP z = a + bi Số phức liên hợp với a,b∈ ¡ a − bi kí hiệu z Rõ ràng z= z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức Số phức liên hợp số phức z = 1− 2i z = + 3i số phức số phức z = 1− 2i z = − 3i BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức a,b∈ ¡ biểu diễn điểm M ( a;b) Ví dụ: 28 z = a + bi với • A( 1; −2) • C ( −3;1) biểu diễn số phức biểu diễn số phức z1 = 1− 2i • B( 0;3) z3 = −3+ i • D ( 1;2) MƠĐUN CỦA SỐ PHỨC  Mơđun số phức biểu diễn số phức biểu diễn số phức z = a + bi ( a,b∈ ¡  Như vậy, môđun số phức z z ) z2 = 3i z4 = 1+ 2i khoảng cách từ ) đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: uuuu r OM = a2 + b2 = zz CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC z' = a'+ b'i a,b,a',b'∈ ¡ Cho hai số phức ; với  + Tổng hai số phức:  + Hiệu hai số phức: số k∈ ¡ z + z' = a + a'+ (b + b')i z + z' = a − a'+ (b − b')i z = a + bi − z = −a − bi  + Số đối số phức r ur u,u' z,z'  + Nếu theo thứ tự biểu diễn số phức z + z' r ur u + u' r ur biểu diễn số phức z − z' u − u' biểu diễn số phức  + Nhân hai số phức: z.z' = ( a + bi ) ( a'+ b'i ) = ( a.a'− bb ') + ( a.b'+ a'.b) i  + Chia số phức: 29 z = a2 + b2 điểm M biểu diễn số phức z = a + bi ( a,b∈ ¡ z−1 = z z - + Số phức nghịch đảo: z' z'.z = z z2 z≠ z' - Nếu , nghĩa muốn chia số phức z' z z≠ cho số phức ta nhân tử mẫu thương z cho  + Chú ý: i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = −1; i 4k+3 = −i (k ∈ ¢ ) Phần : HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP, XÁC SUẤT Giai thừa : n! = 1.2.3…n (Qui ước: 0! = 1) n! = (n–1)!n n! p! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) n! (n − p)! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) Hốn vị (khơng lặp) : Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị vòng quanh : (Đọc thêm) Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! 30 Chỉnh hợp (không lặp) : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank = n(n− 1)(n− 2) (n − k + 1) = n! (n − k)! • Cơng thức cho trường hợp k = k = n • Khi k = n Ann = Pn = n! Tổ hợp (không lặp) : Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk = Số tổ hợp chập k n phần tử: n! k!(n − k)! XÁC SUẤT Biến cố : • Khơng gian mẫu Ω: tập kết xảy phép thử • Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A ⊂ Ω • Biến cố khơng: ∅ • Biến cố chắn: Ω • Biến cố đối A: A= Ω \ A Xác suất : • Xác suất biến cố: P(A) = n(A) n(Ω ) 31 (Qui ước: Cn0 =1 • ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = • Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Nếu A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) A • Xác suất hai biến cố đối P( ) = – P(A) • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n ∑ Cnkan−kbk (a + b)n = k=0 = Cn0an + Cn1an−1b + + Cnkan−kbk + + Cnnbn Tính chất: • Số số hạng khai triển n + • Tổng số mũ a b số hạng n • Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnkan−kbk ( k =0, 1, 2, …, n) • Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk = Cnn−k • Cn0 = Cnn = , Cnk−1 + Cnk = Cnk+1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0xn + Cn1xn−1 + + Cnn  Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n 32 (x–1)n = Cn0xn − C1nxn−1 + + (−1)nCnn  Cn0 − Cn1 + + (−1)nCnn = PHẦN 8: CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH NGHĨA ⇔ U n = U n −1 + d ∀ ≥ Dãy số hữu hạn vô hạn (un) CSC , n + d số khơng đổi gọi cơng sai ÷ + Kí hiệu CSC: u1, u2, u3, …, un, … Ví dụ: Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, … ĐỊNH LÍ Tính chất (un) CSC ⇔ uk = u k −1 + u k +1 , (k ≥ 2) ĐỊNH LÍ Cho cấp số cộng (un) Ta có: U n = U1 + (n − 1)d , ∀ ≥ n ĐỊNH LÍ Tổng n số hạng đầu Sn = Cho CSC (un), gọi Sn=u1+u2+…+u n Sn = (u1 + u n )n , ∀ n ≥ [ 2u1 + (n − 1)d ] n CHÚ Ý CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa ⇔ ∀n ≥ 2, un = un −1.q (u n) cấp số nhân Số q gọi công bội CSN Ví dụ 33 , ∀ n ≥ a Dãy số (un) với un = 2n CSN với số hạng đầu u1=2 công bội q=2 b Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 CSN với số hạng đầu u1 = -2 cơng bội q = -3 Định lí Tính Chất Định lí Nếu (u n) CSN Nếu CSN (u n) có số hạng đầu u cơng bội q ≠ Sn = Định lí Tổng n số hạng đầu U k = U k −1.U k +1 ∀k ≥ , có số hạng tổng quát: u1 (1 − q n ) 1− q 34 với q ≠1 U n = U1.q n −1 ∀n ≥ , ... a − bi gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LI? ?N HỢP z = a + bi Số phức li? ?n hợp với a,b∈ ¡ a − bi kí hiệu z Rõ ràng z= z Ví dụ: Số phức li? ?n hợp số phức Số phức li? ?n hợp số phức z = 1− 2i z = + 3i... nβ uur uu r A1 A2 + B1B2 + C1C2 cos ( ( α ) , ( β ) ) = cos nα , nβ = uur uu r = nα nβ A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 ( ) B MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Vectơ pháp tuyến... đường thẳng , xác định: 12 S= li? ?n tục đoạn ∫ f (x) dx a a;b , b S= ∫ f (x) dx a b c3 13 y Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) , li? ?n tục b đoạn a;b