Trờng hợp 2: Nếu hai tia Oy; Oz Thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Ox ta cã kÕt qu¶:... ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN Môn toán lớp 6.[r]
(1)ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN – LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: a) Rút gọn b) Tính c) So sánh Câu 2: 7.9 14.27 21.36 A = 21.27 42.81 63.108 10 10 10 10 1400 B = 56 140 260 2009 2010 2009 2009 với 2010 2010 10n Cho phân số A = 5n ( n Z ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó? Câu3: 10 131313 131313 131313 131313 x 70 : 11 151515 353535 636363 999999 a) Tìm x Z biết b) Chứng minh a, b N và a + 5b thì 10a + b chia hết cho c) Chứng tỏ 6n + và 2n + nguyên tố cùng Câu 4: Cho góc AMC = 60 Tia Mx là tia đối tia MA, My là tia phân giác CMx, MT là tia phân giác góc xMy a) Tính AMy b) Chứng minh góc CMT = 90 Câu 5: 15 24 2499 2500 a) Cho S = 16 25 Chứng tỏ S không phải là số tự nhiên b) Có 64 người tham quan hai loại xe, loại 12 chỗ và loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ số ghế ngồi Hỏi loại có xe? ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN Môn toán lớp Thời gian: 120 phút Bài 1: 1) So sánh hai lũy thừa: 6315 và 3418 2010 10 2) Tìm số dư phép chia cho 12 n 20102011 n 2011 Bài 2: 1) Chứng tỏ chia hết cho với n N 5x 1 18 36 2) Tìm x biết Bài 3: Hai vòi nước chảy vào cái bể Vòi thứ chảy đầy bể hết Vòi thứ hai chảy đầy bể hết Hỏi giờ, vòi nào chảy nhiều nước và nhiều bao nhiêu ? Bài 4: Vẽ hai tia Oy, Oz trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox cho xOy 150 , xOz 30 Vẽ các tia phân giác Oa, Ob các góc xOy , xOz Tính số đo aOb (2) x Bài 5: Chứng minh tồn số tự nhiên x < 17 cho: 25 chia hết cho 17 ĐỀ THI OLIMPIC HUYỆN MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: a) Tìm các số tự nhiên a, b biết: a+b = 96 và ƯCLN(a;b) = 2012 2011 2013 2012 2011 ; B = 2011 2011 b) So sánh A và B biết: A = 2011 Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ biết số đó chia cho dư 5, chia cho dư 4, chia cho dư 1 1 1 1 1 10 15 190 b) Tính giá trị biểu thức P = Bài 3: Giáo viên chủ nhiệm lớp 6A điều học sinh lao động, theo kế hoạch ban đầu số học sinh nữ 25 % số học sinh nam, sau đó có học sinh nữ có lý xin vắng nên giáo viên thay bạn nam để số lượng không thay đổi, vì số học sinh nữ 20 % số học sinh nam Tìm số học sinh nam, nữ buổi lao động? Bài 4: Cho xOy 100 , vẽ tia Oz cho: xOz 60 a) Tính yOz yOz b) Tính xOm biết Om là tia phân giác Bài 5: Tìm số nguyên tố abcd cho ab ; ac là các số nguyên tố và b2 cd b c ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài 120 phút A 612.33.5 7.97.213 2.47.5 214.32 Bài 1: a) Rút gọn biểu thức x x 2 2x b) Tìm x biết: Bài 2: Đàn gà nhà bạn An chưa đến 50 và là số chia cho 4, cho 5, cho có số dư theo thứ tự là 1; 4; Tính số gà nhà bạn An ? 106 107 Bài 3: Không quy đồng tử mẫu, hãy so sánh 204 và 206 Bài 4: Trên tia At lấy các điểm B và C cho AB = 6cm, AC = 4cm O là điểm không nằm 0 trên đường thẳng AB cho AOC 40 và COB 60 a) Tính AOB b) Trên đường thẳng AB xác định D cho AD = 3cm Tính DB ? (3) 2 abc 3ab 3 Bài 5: Các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2014-2015 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tìm x biết a) x 24 73 2.74 2727 101 3x b) 7575 303 5 Bài 2: a) Cho biểu thức M 1 35 36 Tìm các số nguyên x, y cho 5x 2xy M b) Cho dãy số tự nhiên lẻ từ đến x Tìm x cho số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy 18n Bài 3: a) Tìm các số tự nhiên n để phân số 21n có thể rút gọn 44 30 ; ; b) Tìm các phân số theo thứ tự các phân số 10 77 55 cho mẫu phân số thứ tử phân số thứ hai, mẫu phân số thứ hai tử phân số thứ ba Bài 4: Cho hai tia đối OA, OB Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ là đường thẳng AB 0 vẽ các tia OC, OD cho BOC 40 và BOD 140 a) Hai tia OC, OD có phải là hai tia đối không ? Vì ? b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có chứa điểm C vẽ các tia OE, OF cho BOC BOE BOF Chứng tỏ COE COF (4) ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN – LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) -Câu 1: a) Rút gọn b) Tính c) So sánh Câu 2: 7.9 14.27 21.36 A = 21.27 42.81 63.108 10 10 10 10 1400 B = 56 140 260 2009 2010 2009 2009 với 2010 2010 10n Cho phân số A = 5n ( n Z ) c) Tìm n để A có giá trị nguyên d) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó? Câu3: 10 131313 131313 131313 131313 x 70 : 11 151515 353535 636363 999999 a) Tìm x Z biết b) Chứng minh a, b N và a + 5b thì 10a + b chia hết cho c) Chứng tỏ 6n + và 2n + nguyên tố cùng Câu 4: Cho góc AMC = 60 Tia Mx là tia đối tia MA, My là tia phân giác CMx, MT là tia phân giác góc xMy c) Tính AMy d) Chứng minh góc CMT = 90 Câu 5: 15 24 2499 2500 c) Cho S = 16 25 Chứng tỏ S không phải là số tự nhiên d) Có 64 người tham quan hai loại xe, loại 12 chỗ và loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ số ghế ngồi Hỏi loại có xe? Híng dÉn chÊm thi Olympic M«n: to¸n – líp (5) C©u 1: ( ®iÓm) a) (2®iÓm) A = (1+2 3+3 4) 9+14 27+21 36 7.9 = = = 21 27+ 42 81+63 108 21 27(1+2 3+3 ) 21 27 b) (1,5®iÓm) 10 10 10 10 B = + + + + =¿ 56 140 260 1400 5 5 + + + + 28 70 130 700 ¿ 5 5 = = ¿ + + + + 7 10 10 13 25 28 3 3 + + + + ¿ 7 10 10 13 25 28 ¿ 1 1 1 1 1 5 − + − + − + + − ¿= ( − )= = ¿ 7 10 10 13 25 28 28 28 14 c)(1,5®iÓm) Ta cã 20092010 +20092009 = 20092009 (2009+ 1)=20092009 2010 20102010 =20102009 2010 V× 20092009 <20102009 => 20092010 + 20092009 <20102010 C©u (3®iÓm) 2(5 n −3)+6 a) (2®iÓm) A= =2+ n −3 n −3 ¿ ∈ Z ⇔ n− ∈ ¦(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6 A Z n −3 ¿ 5n - -1 -2 -3 -6 5n -3 n 2(5 n −3)+6 b)(1®iÓm) A= =2+ n −3 n −3 A cã gi¸ trÞ lín nhÊt ⇔ cã GTLN ⇔ 5n – lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt ⇔ n −3 5n – = ⇔ 5n = ⇔ n = Khi đó GTLN A là C©u 3: (6 ®iÓm) a) (2 ®iÓm) 780 13 13 13 13 780 13 2 2 x− :( + + + )=−5 ⇔ x − : ( + + + ) = −5 11 15 35 63 99 11 5 7 9 11 780 13 1 780 13 2 ⇔ x− : ( − ) =−5 ⇔ x − :( )=− ⇔ x − 45=− ⇔ x=40 ⇔ x=60 11 11 11 33 3 b) (2 ®iÓm) XÐt hiÖu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a ⋮ mµ a + 5b ⋮ => 5(10a + b) ⋮ (5;7) = => 10a + b ⋮ (®pcm) c) (2 ®iÓm) Gäi ¦CLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 ⋮ d vµ 2n + ⋮ d => 6n + – 3(2n + 1) ⋮ d => ⋮ d Do d lµ íc cña sè lÎ => d = => (2n + 1; 6n +5) = C©u 4: (3 ®iÓm) y C a) (2 ®iÓm)V× gãc xMC vµ gãc CMA kÒ bï => gãcxMC = 180 ° − 60°= 120 ° V× My lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xMC => gãc xMy = 60 ° mµ gãc gãc xMy kÒ bï víi T gãc AMy => gãc AMy = 180 ° − 60=120 ° = [ [ ] ] 60 ° x b)( ®iÓm) M A (6) Do MC lµ ti ph©n gi¸c cña gãc AMy MT lµ tia ph©n gi¸c cña yMx mµ gãc AMy vµ gãc yMx lµ hai gãc kÒ bï => My n¨m gi÷a tia MC vµ MT 1 gãcCMT = gãc CMY + gãc yMT = gãc yMx = 120 gãc AMy + 2 + 60 = 90 ° Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm) 1 1 a) Ta cã S=1 − +1 − +1− +1 − + +1 − 16 25 2500 1 1 ¿ 1+1+ 1+ .+ 1−( + + + + .+ ) 50 49 s/h B = 49 – B 1 1 1 1 + + + < + + + .+ =1− <1 B= 2 3 49 50 50 50 Ta l¹i cã B= 1 1 1 1 1 49 49 + + + > + + + + = − = > = 2 3 4 50 51 51 102 147 3 50 => < B<1 ⇒ 48 < S < 49 => (®pcm) b) Gäi x lµ lo¹i sè xe 12 chç y lµ lo¹i sè xe lo¹i chç ( §K x , y N❑ ) Ta cã 12x + 7y = 64 (1) Ta thÊy 12x ⋮ , 64 ⋮ => 7y ⋮ mµ (4;7) =1 => y ⋮ 4.(2) Tõ (1) => 7y < 64 => y < 10 KÕt hîp víi (2) = > y = 4; Víi y = => 12x +28 = 64 => x = (TM) Víi y = => 12x + 56 = 64 => 12x = Kh«ng tho¶ m·n VËy cã xe lo¹i 12 chç vµ xe lo¹i chç - ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tìm x biết 3 x a) 2.7 2727 101 3x b) 7575 303 5 Bài 2: a) Cho biểu thức M 1 35 36 Tìm các số nguyên x, y cho 5x 2xy M b) Cho dãy số tự nhiên lẻ từ đến x Tìm x cho số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy 18n Bài 3: a) Tìm các số tự nhiên n để phân số 21n có thể rút gọn 44 30 ; ; b) Tìm các phân số theo thứ tự các phân số 10 77 55 cho mẫu phân số thứ tử phân số thứ hai, mẫu phân số thứ hai tử phân số thứ ba (7) Bài 4: Cho hai tia đối OA, OB Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ là đường thẳng AB 0 vẽ các tia OC, OD cho BOC 40 và BOD 140 a) Hai tia OC, OD có phải là hai tia đối không ? Vì ? b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có chứa điểm C vẽ các tia OE, OF cho BOC BOE BOF Chứng tỏ COE COF BÀI GIẢI Bài 1: a) x 24 14 x 30 x 10 x 10 b) 101 27 1 3x 26 3x 3x x x 2 101 75 3 5 78 5 5 5 Bài 2: a) Ta có 5x 2xy 18 x 2y 18 M 1 1 1 18 1 18 Do đó (*) Vì (2y – 5) là số nguyên lẻ nên x chẵn Từ đó ta có x {-18, -6, -2, 2, 6, 18} thay vào (*) ta x, y cần tìm là (x, y) {(-18, 2); (-6, 1); (-2, -2); (2, 7); (6, 4); (18, 3)} b) Số chữ số gấp lần số số hạng thì x ít phải có trên chữ số Số hạng tử có chữ số là Số hạng tử có chữ số là 45 từ 11 đến 99 Số hạng tử có chữ số là 450 từ 101 đến 999 Số hạng tử có chữ số là 4500 từ 1001 đến 9999 Nếu xét đến hạng tử cuối dãy các hạng tử chữ số thì số số hạng là 5000 Số các chữ số là 4.4500 3.450 2.45 1.5 19445 số lớn lần 5000 số số hạng Nên x < 9999 Khi đó số số x 1 hạng tử là x 999 x 1 3x 1.5 2.45 3.450 3 1445 x 999 2 Số các chữ số là 2x 553 3x 4x 1106 3x x 1109 Bài 3: a) Gọi 18n 3 d 7 18n 3 d 126n 42 126n 21 21d 18n 3; 21n d 21n d 6 21n d d {1, 3, 7, 21} Để phân có thể rút gọn thì d mà (21n + 7) không chia hết 18n 3 7 21n 3n 7 n 1 7 , vì (3, 7) = nên cho và cho 21 nên d = Khi đó n 1 7 n 7k (Với k là số tự nhiên) 3a 44 4b 30 6c b) Ta có 10 5a ; 77 7b ; 55 11 11c (a, b, c là các số nguyên dương) 5a 4b 4b 5 b 5 6c 7b 7b b Theo bài b BC(5, 6) hay b = 30k (k nguyên dương) 5a = 30k a = 24k và 6c = 30k c = 35k 3a 3.24k 72k Vậy các phân số cần tìm là 5a 5.24k 120k ; 6c 6.35k 210k 11c 11.35k 385k 4b 4.30k 120k 7b 7.30k 210k ; F E C (8) A Bài 4: a) Vì tia OC, OD nửa mặt phẳng đối có bờ AB nên tia OB nằm tia OC và tia OD 0 Do đó COD BOC BOD 40 140 180 Suy tia OC và OD tạo thành đường thẳng CD nên đối b) - Vì tia OC, OE nằm cùng nửa mặt phẳng bờ tia OB và BOC BOE nên tia OC nằm tia OE và OB (1) - Vì tia OE, OF nằm cùng nửa mặt phẳng bờ tia OB BOE BOF và nên tia OE nằm tia OF và OB (2) Từ (1) và (2) suy tia OE nằm tia OC và OF đó COE EOF COF COE COF ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Đề thi chính thức 40 O 1400 B D Thời gian làm bài 120 phút 612.33.5 7.97.213 A 2.47.5 214.32 Bài 1: a) Rút gọn biểu thức x x 2 2x b) Tìm x biết: Bài 2: Đàn gà nhà bạn An chưa đến 50 và là số chia cho 4, cho 5, cho có số dư theo thứ tự là 1; 4; Tính số gà nhà bạn An ? 106 107 Bài 3: Không quy đồng tử mẫu, hãy so sánh 204 và 206 Bài 4: Trên tia At lấy các điểm B và C cho AB = 6cm, AC = 4cm O là điểm không nằm 0 trên đường thẳng AB cho AOC 40 và COB 60 a) Tính AOB b) Trên đường thẳng AB xác định D cho AD = 3cm Tính DB ? 2 abc 3ab 3 Bài 5: Các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh BÀI GIẢI Bài 1: a) b) 12 14 212.315.5 7.314.213 15 14 212.314 314 A 14 14 215.5 214.32 10 x 3 x 4 x x 2 2x x x 1 x x 3 x x Bài 2: Gọi đàn gà nhà bạn An là x (con) với x N; < x < 50 Theo bài ta có x = 4m + (m N) 2x + = 8m + chia hết cho (9) x = 5n + (n N) 2x + = 10n + 10 chia hết cho x = 6p + (p N) 2x + = 12p + 12 chia hết cho Do đó 2x + B(4, 5, 6) mà BCNN(4, 5, 6) = 60 B(4, 5, 6) = {0, 60, 120, } Vì 2x + < 102 nên 2x + = 60 2x = 58 x = 29 Vậy đàn gà nhà bạn An có 29 106 102 1 107 103 2 204 51 ; 206 206 103 mà 103 102 51 Do đó Bài 3: Ta có 204 107 106 206 204 Bài 4: a) Vì AB > AC nên tia OC nằm hai tia OA và OB 0 Do đó AOB AOC COB 40 60 100 b) TH1: Điểm D thuộc tia At Vì AD < AB nên điểm D nằm A và B Do đó DB = AB – AD = – = (cm) A O 400 600 D TH2: Điểm D thuộc tia đối tia At Khi đó điểm A nằm D và B nên DB = AD + AB = + = (cm) B C t O 400 600 A D B C Bài 5: Giả sử ba số a, b, c không chia hết cho Khi đó a2, b2, c2 chia cho có cùng số dư là 2 nên mâu thuẩn với giả thiết a b c Do đó ba số a, b, c có ít số chia hết cho abc 3ab 3 suy ĐỀ THI OLIMPIC HUYỆN MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: a) Tìm các số tự nhiên a, b biết: a+b = 96 và ƯCLN(a;b) = 2012 2011 2013 2012 2011 ; B = 2011 2011 b) So sánh A và B biết: A = 2011 Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ biết số đó chia cho dư 5, chia cho dư 4, chia cho dư 1 1 1 1 1 10 15 190 b) Tính giá trị biểu thức P = Bài 3: Giáo viên chủ nhiệm lớp 6A điều học sinh lao động, theo kế hoạch ban đầu số học sinh nữ 25 % số học sinh nam, sau đó có học sinh nữ có lý xin vắng nên giáo viên thay bạn nam để số lượng không thay đổi, vì số học sinh nữ 20 % số học sinh nam Tìm số học sinh nam, nữ buổi lao động? t (10) xOy 100 Bài 4: Cho , vẽ tia Oz cho: xOz 60 yOz a) Tính yOz b) Tính xOm biết Om là tia phân giác Bài 5: Tìm số nguyên tố abcd cho ab ; ac là các số nguyên tố và b2 cd b c HÕt ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Bµi 1: (5®) a) ( 3®) Từ ƯCLN(a;b) = 6, đặt a = 6m; b = 6n với (m;n) = ta có: a+b = 6(m+n) hay 6(m+n) = 96 suy m+n = 16 Ta cã c¸c trêng hîp sau: m 15 13 11 n 15 13 11 a 90 78 18 66 30 54 b 90 18 78 30 66 42 b) (2®) Ta cã: 42 54 20112012 20112011 20112011 2011 1 20112011.2010 A= B= 20112013 20112012 20112012 2011 1 20112012.2010 2012 Do 2011 Bµi 2: (5®) 2011 > 2011 nªn B > A a) (3®) Ta cã: A = 9k +5 (k N) 2A = 9k1+10 (2A -1) A = 7m +4 (m N) Suy ra: 2A = 7m1+8 Hay: (2A -1) A = 5n +3 (n N) 2A = 5n1+6 (2A -1) MÆt kh¸c: BCNN(9;7;5) = 315 nªn (2A -1) 315 mµ A nhá nhÊt nªn 2A -1 = 315 Hay A = 158 1 b) Ta cã: P = 10 15 190 14 189 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 ; ; ; P = 10 15 190 Quy luËt c¸c mÉu lµ: 2 2 2.2 2.5 2.9 2.14 2.189 1.4 2.5 3.6 4.7 18.21 P = 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 = 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 = 1.2.3.4 18.(4.5.6.7 21) 21 2.3.4.5 19(3.4.5.6 20) 19 19 (11) Bµi 3: (4®)Ta thÊy theo kÕ ho¹ch SHS n÷ b»ng 25% SHS nam tøc lµ SHS n÷ b»ng SHS nam 1 hay SHS n÷ b»ng tæng sè häc sinh Lý luËn t¬ng tù ta cã thùc tÕ SHS n÷ b»ng tæng sè häc 1 sinh, suy : học sinh chính là ( ) ( Tổng số học sinh lao động) Suy ra: học sinh là 30 ( Tổng số học sinh lao động) hay SHS lao động là: 30 (em) Vậy: 30 5 (em) SHS n÷ lµ: SHS nam lµ: 25(em) Bµi 4: (4®) Xét hai trờng hợp (Mỗi trờng hợp 2đ, đó hình vẽ: 0,5đ,câu a: 1đ,câu b:0,5đ)) Trêng hîp 1: NÕu hai tia Oy; Oz thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê chøa tia Ox th×: yOz xOy xOz 1000 600 400 zOy xOz xOy suy ra: a) b) Do Om lµ ph©n gi¸c cña gãc yOz nªn : yOm 200 Ta cã: Tia Om n»m gi÷a hai tia Ox; Oy nªn: mOy xOy xOm suy ra: xOy xOy 1000 200 800 xOm x z m 600 O y Trờng hợp 2: Nếu hai tia Oy; Oz Thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Ox ta cã kÕt qu¶: x a) yOz 1600 b) 200 xOm m 200 z 600 y Bµi 5: (2®) V× abcd ; ab ; ac lµ c¸c sè nguyªn tè nªn b, c, d lµ c¸c sè lÎ vµ kh¸c Ta cã: b cd b c b(b-1) = 9c+d Do: 9c+d 10 nªn b 4 suy b = hoÆc b = a) Víi b = ta cã: 9c+d = 42 suy d nªn d = hoÆc d = 39 + NÕu d = th× c = (Lo¹i) (12) 33 + NÕu d = th× c = (Lo¹i) b) Víi b = ta cã 9c+d = 72 suy ra d nªn d = 9; c = a9; a7 lµ c¸c sè nguyªn tè nªn a = VËy sè cÇn t×m lµ abcd = 1979 (Tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n) ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN Môn toán lớp Thời gian: 120 phút Bài 1: 1) So sánh hai lũy thừa: 6315 và 3418 2010 10 2) Tìm số dư phép chia cho 12 n 20102011 n 2011 Bài 2: 1) Chứng tỏ chia hết cho với n N 5x 1 18 36 2) Tìm x biết Bài 3: Hai vòi nước chảy vào cái bể Vòi thứ chảy đầy bể hết Vòi thứ hai chảy đầy bể hết Hỏi giờ, vòi nào chảy nhiều nước và nhiều bao nhiêu ? Bài 4: Vẽ hai tia Oy, Oz trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox cho xOy 150 , xOz 30 Vẽ các tia phân giác Oa, Ob các góc xOy , xOz Tính số đo aOb x Bài 5: Chứng minh tồn số tự nhiên x < 17 cho: 25 chia hết cho 17 Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào - HÕt Lêi gi¶i tãm t¾t Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm) 6315 6415 26 Ta cã 18 18 34 32 15 18 290 2 (1 ®) 90 (1 ®) (1 ®) VËy 6315 < 3418 2) (1 ®iÓm) 1005 1 (mod 12) hay (mod 12) Ta cã (mod 12) 1 (mod 12) hay (mod 12) (mod 12) 1005 2010 5 10 2010 10 2010 10 VËy 2 (mod 12), hay chia cho 12 d 52010 710 52010 710 HoÆc gi¶i nh sau: 25 = 1005 11005 495 15 25 1005 Ta cã a – b chia hÕt cho a – b nªn n n 11005 495 15 chia cho 12 d (13) Bµi 2: (6 ®iÓm) n 2010 2 2011 1) (3 ®iÓm) XÐt n = 2k (n lµ sè ch½n) víi k N n 2010 2011 n 2011 2 (1,5 ®) n 2011 2 XÐt n = 2k + (n lµ sè lÎ) víi k N n 2010 2011 n 2011 2 n 2010 2011 n 2011 2 VËy mäi sè tù nhiªn n th× tÝch (1 ®) (0,5 ®) 5x 1 5x 1 5x 18 36 18 36 36 (1,5 ®) 2) (3 ®iÓm) Ta cã 7.9 3 5x 5x 5x x 36 4 20 (1 ®) x 20 VËy (0,5 ®) Bµi 3: (3 ®iÓm) Mỗi vòi thứ chảy đợc (bể) (0,5 ®) Mỗi vòi thứ hai chảy đợc (bể) (0,5 ®) 1 DÔ thÊy (1 ®) Do đó, vòi thứ chảy đợc lợng nớc nhiều vòi thứ hai bằng: 1 15 15 15 (bÓ) (1 ®) Bµi 4: (5 ®iÓm) VÏ h×nh kh«ng chÝnh x¸c kh«ng cho ®iÓm c¶ bµi a z y b O x V× Oa lµ tia ph©n gi¸c cña xOy nªn: aOy xOy 750 aOx V× Ob lµ tia ph©n gi¸c cña xOz nªn: bOz xOz 15 bOx 0 0 Từ đó, ta có aOb xOy aOy bOx 150 75 15 60 VËy aOb 60 (1,5 ®) (1,5 ®) (1,5 ®) (0,5 ®) (14) Bµi 5: (2 ®iÓm) Ta xÐt d·y sè gåm 17 sè h¹ng sau: 25; 252; 253; …; 2517 XÐt x = tháa m·n bµi to¸n XÐt x 16 25n ,17 1 25,17 1 V× nªn víi mäi n N* Hay 17 sè h¹ng trªn kh«ng cã sè nµo chia hÕt cho 17 XÐt phÐp chia 17 sè h¹ng trªn cho 17 th× cã 17 sè d nhng chØ cã 16 gi¸ trÞ d lµ: 1, 2, …, 16 Theo nguyên lí Đi-rích-lê có số chia cho 17 có cùng số d Gọi số đó là 25m và 25n với 25m 25n m 17 n m 25 25 17 m, n N vµ m < n 17 n n m 25 ,17 1 25 17 V× nªn , chän x = n – m ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Lu ý: Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa -HÕt - (15)