Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC tại M.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 2009 4 502 2009 4 502
Câu 2 : (1,5đ) Cho α là góc nhọn Rút gọn biểu thức M = sin6 α + cos6 α + 3sin2 αcos2 α
Câu 3 : (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = –3x 6x 272
Câu 4 : (1,5đ) Giải hệ phương trình
4x + 9y = 72
xy = 6
Câu 5 : (1,5đ) Giải phương trình (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
Câu 6 : (1,5đ) Tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC, BO cắt AC tại M Chứng minh: BM = ( 3+1).OM
Câu 7 : (1đ) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương a và b thỏa mãn hệ thức
a b 2 a b 5ab – 2 thì một trong hai số sẽ gấp đôi số còn lại
Câu 8 : (1,5đ) Gọi S, p và r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC Chứng minh : S = pr
Câu 9 : (1,5đ) Cho ba số không âm a, b và c Chứng minh : a + b + c ab+ bc+ ca
Câu 10 : (1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A (A<90o), các đường cao AD và BE cắt nhau tại
H, biết DH = 2cm, BC = 8cm Tính diện tích tam giác ABC
cạnh a thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC Chứng minh :
AH BC a
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.
Câu 13 : (1,5đ) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 3f(1
x) = 5x với mọi số thực x khác 0 Gọi
M là điểm thuộc trục hoành với hoành độ bằng 3 Chứng minh M thuộc đồ thị hàm số f(x)
Câu 14 : (1,5đ) Gọi AB là một dây cố định của đường tròn (O; R) và M là một điểm thuộc
đường tròn Chứng minh khi M di động trên đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABM cũng di động trên một đường tròn cố định
- HẾT
-HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2
Trang 21 : (1,5đ) P = 2009 2 2008 2009 2 2008 0,25đ = 2008 1 2 2008 1 2 = 2008 1 2008 1 0,75đ = 2008 1 2008 1 = 2008 1 2008 1 = 2 0,5đ
Câu 2 : (1,5đ)
M = sin6 α + cos6 α + 3sin2 αcos2 α
= (sin2 α)3 + (cos2 α)3 + 3sin2 αcos2 α 0,25đ = (sin2 α + cos2 α)(sin4 α – sin2 αcos2 α + cos4 α) + 3sin2 αcos2 α 0,25đ = sin4 α + 2sin2 αcos2 α + cos4 α (vì sin2 α + cos2 α = 1) 0,5đ = (sin2 α + cos2 α)2 = 12 = 1 0,5đ
= –3(x2 – 2x + 1 – 10) = –3[(x – 1)2 – 10] 0,75đ = –3(x – 1)2 + 30 30 Vậy max Q = 30 khi x = 1 0,5đ
Câu 4 : (1,5đ)
4x + 9y = 72 (1)
xy = 6 (2)
Từ (1) 4x2 – 12 xy + 9y2 = 72 – 12xy kết hợp với (2)
(2x – 3y)2 = 72 – 12.6 = 0 2x – 3y =0 2x = 3y 0,75đ 2x2 = 3xy = 3.6 = 18 x2 = 9
x = 3 y = 2
x = 3 y = 2
Vậy hệ có hai nghiệm (3; 2) và (–3; –2) 0,75đ
Câu 5 : (1,5đ) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
Đặt x2 + x + 1 = t t(t+1) = 12 t2 + t –12 = 0 0,5đ
2 2
4
t = 3 x + x + 1 = 3 x= 1 ; x = 2
t = x + x + 1 = 4 (voâ nghieäm)
Câu 6 : (1,5đ)
Kẻ OHAB BM BA
OM HA (định lý Talet) =BH HA
HA
=BH 1
Chứng minh HBO 30 o BH o
cotg30
Vậy BM 3 1
Câu 7 : (1,0đ)
(a + b)2 + (a – b)2 = 5ab a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 5ab 0,25đ
2a2 + 2b2 – 5ab = 0 2a2 – 4ab + 2b2 – ab = 0 0,25đ
2a(a – 2b) + b(2b – a) = 0 2a(a – 2b) – b(a – 2b) = 0 0,25đ
(a – 2b)(2a – b) = 0 a = 2b hoặc b = 2a (đpcm) 0,25đ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
45
30
H
O M
C B
A
Trang 3Câu 8 : (1,5đ)
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
SABC= SOAB + SOBC+ SOCA = 1r.AB+ r.BC+ r.CA1 1
= 1 r(AB+BC+CA)
Câu 9 : (1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
a b
ab
2
; bc b c
2
; ca c a
2
Công vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:
ab+ bc+ ca a b b c c a
ab bc ca a b c (đpcm) 1,0đ
Câu 10 : (1,5đ)
DE2 = DA DH mà DE = 4
(trung tuyến ứng cạnh huyền trong BEC) 0,5đ
DA = 8 SABC = 1
2AD.BC =1
Câu 11 : (1,0đ )
Gọi K là giao điểm AH và MN
Chứng minh được AK MN=
AH BC
AH KH MN=
0,5đ
AH a= a
BC AH
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.
Vì a + 16 và a – 73 là các số chính phương
Đặt a + 16 = m 2, a – 73 = n 2 với m, n N 0,25đ
m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1
m n 89
n 44
Câu 13 : (1,5đ)
Lấy x = 3 f( 3) + 3f( 1
Lấy x = 1
3 f( 1
3) + 3f( 3) = 5 1
3 3f( 1
3) + 9f( 3) = 15 1
3 = 5 3 (2) 0,5đ Trừ vế với vế (2) cho (1) 8f( 3) = 0 f( 3) = 0
đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm M( 3; 0) (đpcm) 0,5đ
Câu 14 : (1,5đ)
AB cố định trung điểm D của AB cố định 0,25đ Lấy I thuộc đoạn OD sao cho DI = DO/3
Chú ý: Nếu HS giải bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
- HẾT
-4 4
A
D
4 2
N A
H B
M
C K
O
A
r r r
G I
M
O
D