TUYEN TAP DE THI OLYMPIC TOAN

Bài 1: Gọi I là tâm vòng tròn nội tiếp tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) ( ) ( )AI DI BI CI AB CD++ + = + Bài 2: Nếu a,b,c > 0 và abc = 1 thì (a+b)(b+c)(c+a) 6 ) 2 ( a b c+ + ≤ Bài 3: Cho n > 3 và các số thực 1 2 , , n x xx thỏa mãn 1 1 n i i x = = ∏ . Chúng minh rằng: 1 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n n x x x x x x x x x + + > + + + + + + Bài 4: Cho X={1,2,….200}. Gọi s là số các tập con của X thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) A ≠ ∅ và a chia hết cho 5 với mọi a thuộc A ii) Tồn tại a 1 thuộc A sao cho a chia hết cho a 1 với mọi a thuộc A. Hãy tìm số dư của s khi chia s cho 5 Bài 5 : Cho dãy số } được xác định như sau: : với mọi CMR: Bài 6 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các dường phân giác trong của các góc cắt lại đường tròn tại tương ứng .Gọi theo thứ tự là giao điểm của với BC và là trung điểm của . Định nghĩa tương tự với các điểm .Cmr: đồng quy ABC đều Bài 7: Cho các số thực x,y,z 0 thỏa mãn x+y+z =2 CMR: 2 với t [2,3]. Bài 8 : Cho CMR .( hằng số max với vp= ) Bài 9 : CMR tồn tại vô hạn hợp số sao cho Bài 10: Tìm hàm i. / ii./ Bài 11 : Cho . điểm ngoài . xét các đtròn trực giao với mà qua . cắt tại . a./ Biết , tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn b./ lần lượt cắt tại tìm quỹ tích tâm ngoại tam giác . Bài 12 :a) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện với mọi thuộc b) Với là một đa thức bậc bất kỳ cho trước, hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện ? Bài 13 : Cho dãy được xác định bởi: a,Chứng minh rằng nếu thì dãy không hội tụ. b,Chứng minh rằng tồn tại vô số số thuộc sao cho dãy hội tụ. Bài 14 : Trong một giải cờ vua có kỳ thủ thi đấu vòng tròn lượt. Mỗi một cặp kỳ thủ thi đấu với nhau lần ở lượt đi và một lần ở lượt về (thắng được điểm, thua điểm và hoà được nửa điểm). Cuối giải đấu người ta thấy rằng, đối với mỗi kỳ thủ tổng số điểm ở lượt đi và tổng số điểm ở lượt về của kỳ thủ đó chênh lệch nhau không ít hơn . Chứng minh rằng tất cả các chênh lệch này bằng Bài 15 : Cho tam giác . Xét nửa đường tròn tâm đường kính (với thuộc ) tiếp xúc với lần lượt tại và . Nối và cắt nhau tại nối cắt tại a,Chứng minh rằng là phân giác góc b, Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm. Bài 16 : Giải hệ phương trình: Bài 17 : a) Cho đa thức với hệ số thực. Chứng minh rằng nếu thì b.Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó vuông góc với nhau. Bài 18 : a. Cho thỏa . Chứng minh rằng: b.Cho tứ diện . Chứng minh rằng trong số bằng tổng của số còn lại .Trong đó , Bài 19 : Cho dãy số thực: . Tính Bài 20 :Cho tam giác và điểm thuộc cạnh lần lượt thuộc các cạnh sao cho là hình vuông. Nhận dạng tam giác biết: Bài 21 : Giả sử rằng là các số thực dương ,chứng minh rằng : Bài 22 : Giả sử tập hợp tất cả các số tự nhiên khác 0 là hợp của 2 tập không giao nhau : F={f(1), f(n)} , f(1) < < f(n) G={g(1), g(n)} , g(1) < <g(n) và g(n) = f(f(n)) +1 với mọi n 1 Tính f(240) Bài 23 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại E và các đường thẳng AD,BC cắt nhau tại F . Hai đường chéo AC.BD cắt nhau tại M .Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC,BD,EF.CMR: . < ( + ) Bài 24 : a. Giải phương trình: b. Chứng minh phương trình: có đúng nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương. Bài 25 : a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: b. Cho các số thực thỏa mãn: Chứng minh: Bài 26 : Giải hệ phương trình: Bài 27 : a. Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho tam giác nội tiếp đường tròn . Biết có phương trình: và diện tích tam giác bằng . Tìm tọa độ các đỉnh . b. Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho điểm . Điểm di động trong mặt phẳng sao cho tam giác thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh tới bằng lần bán kính đường tròn tâm nội tiếp tam giác . Chứng minh khi thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm thuộc một đường thẳng cố định. Bài 28 : Cho tam giác nhọn. và là đường cao ( và . Đường tròn cắt tại . Đường tròn cắt tại . Chứng minh Bài 29 : Chứng minh rằng với số nguyên lẻ bất kỳ bao giờ cũng tồn tại một số nguyên lẻ thứ tư sao cho tổng là một số chính phương. Bài 30 : Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả thì Bài 31 : Cho thỏa mãn: Chứng minh rằng: Bài 32 : Cho với . Chứng minh: Bài 33: Tìm các giá trị có thể của với mọi số thực . Bài 34: Với mọi số nguyên dương , đặt . Chứng minh: Bài 35 : Giải hệ phương trình: Bài 36 : Cho thực thỏa mãn : =0 Chứng minh phương trình có nghiệm thuộc Bài 37 : Cho , thuộc miền trong góc sao cho các góc và là bằng nhau. Vẽ các đường tròn . cắt tại . cắt tại và cắt tại . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .Chứng minh tam giác vuông. Bài 38 : Cho dãy thỏa mãn và Tính Bài 39 : Cho hàm số thỏa mãn điều kiện: Cmr: Bài 40: X ét dãy CMR có lim Bài 41 :CMR Bài 42 : Giải pt nghiem nguyen Bài 43 : CMR ko tồn tại liên tục trên R mà Bài 44 : Tìm sao cho Bài 45 : nôi tiếp. và fân giác trong của 2 góc đồng quy trên đoạn . CMR Bài 46 : Giải hệ phương trình: Bài 47 : Cho . Chứng minh nếu tập hợp với là hữu hạn thì và là các số hữu tỷ. Bài 48: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: Bài 49 : Cho tam giác và là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác . CMR: Bài 50 : Cho dãy số thực thỏa mãn: i. ii. iii. CMR: số nguyên dương sao cho Bài 51 : Ghpt: + = Bài 52 : Cho hàm f: N* ->N*: thoả , m,n N* Tìm f(2007) Bài 53 : Cho dãy xác định bởi: ,n N* C/m dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 54 : Cho x,y,z (0;1) thỏa xy+yz+zx=1 tìm GTNN của : A= Bài 55 : Cho ABC và 4 đường tròn (O1)(O2)(O3)(O4) thỏa mãn:(O1) tiếp xúc các tia AB,AC;(O2) tiếp xúc các tia BC,BA;(O3) tiếp xúc các tia CA,CB;(O4) tiếp xúc ngoài với (O1)(O2)(O3) lần lượt tại X,Y,Z. C/m: AX,BY,CZ đồng quy Bài 56 : Gsử có đồng nhất thức: các hệ số vế phải và a,b là các sô nguyên Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài 57 : Từ miếng bìa hình vuông có cạnh bằng có thể cắt thành hình tròn có bán kính bẳng thì tỉ số min bẳng bao nhiêu? Bài 58 : Cho a,b,c khác o và các số này có tổng đôi một khác 0 CMR: Bài 59 :Cho . Chứng minh rằng: Bài 60 : Giải pt: Bài 61 : Giải hệ: Bài 62 : Cho tam giác nhọn nội tiếp với . Chứng minh rằng : Bài 63 : Tam giác nội tiếp . Đường cao = . là hình chiếu của lên và . a) CMR : b) CMR : thẳng hàng. Bài 64 : Cho hàm số . Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho với mỗi số nguyên . Bài 65 : Giả sử là các số nguyên dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Bài 66 : Cho đường tròn . Trên lấy điểm phân biệt. Gọi và lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng giá trị biểu thức không phụ thuộc vào vị trí các điểm trên . Bài 67 : Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn: Bài 68 : Tìm mọi hàm liên tục thỏa mãn: Bài 69 : Cho đường tròn và tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Qua lần lượt kẻ vuông góc với cắt tại , cắt tại , cắt tại , cắt tại . CMR: và cùng đi qua . Bài 70 : Hãy tìm số lớn nhất là tích của các số nguyên dương sao cho tổng các số nguyên dương đó bằng Bài 71 : Xét hai đa thức và có các hệ số thực.Biết rằng,tồn tại khoảng với sao cho với mọi và với mọi .Chứng minh rằng bất phương trình có ít nhất 1 nghiệm thực. Bài 72 : Cho là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.Đặt CMR: Bài 73 : Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc nhau tại .Các điểm tương ứng chạy trên sao cho .Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn và tiếp xúc với tại . CMR: chạy trên 1 đường tròn cố định. Bài 74 : Cho dãy số nguyên dương xác định bởi a) Xác định công thức tường minh cho phép tính theo b) Giả sử là số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương,ta có c) Xét nguyên dương tùy ý.Giả sử là ước nguyên tố của ,nhưng không là ước của . CMR: Bài 75 : Với mỗi nguyên dương ta kí hiệu { }.Xét các tập . Gọi tương ứng là số phần tử của a)Tính theo và b)Tính Bài 76 : Cho tam giác ABC có . Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và .Các đường thẳng lần lượt cắt đường thẳng tại và . CMR: Bài 77 : Giải hệ phương trình sau Bài 78 : Cho hình thang vuông ABCD(A=B= ).Dựng điểm M nằm trong hình vuông thỏa mãn DM=DA và CM=CB.Đường trung trực AM và đường trung trực BM cắt nhau tại P. Đường thẳng PM cắt đường tròn ngoại tiếp tại Q.Chứng minh rằng MP=MQ Bài 79 : Cho là các số thực. Tìm tất cả các hàm số sao cho Bài 80 : Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau Bài 81 : a. Chứng minh tồn tại dãy số thực dương mà mọi tổng của một số hữu hạn các phần tử đều nhỏ hơn . b .Cho dãy số dương giảm ,thỏa mãn tổng của một số hữu hạn các số hạng là nhỏ . Chứng minh rằng và tính Bài 82 : Cho hàm số thỏa mãn: Với mọi cặp số nguyên dương đều tồn tại một số nguyên dương sao cho : Chứng minh là hàm hằng Bài 83 : Trong mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng trong đó nằm giữa . Hai đường tròn : đi qua , đi qua cắt nhau tại . là điểm chính giữa cung của (không chứa ), là điểm chính giữa cung của (không chứa ) là trung điểm của Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và trung điểm nằm trên một đường thẳng cố định khi thay đổi Bài 84 : Xung quanh sân vận động có cái hộp đựng bóng .Giả sử bạn có trong tay một số lượng đủ lớn các quả bóng.Đầu tiên người ta bỏ vào một số hộp nào đó một số quả bòng tùy ý.Sau đó mỗi lần cho phép bạn chọn cái hộp liên tiếp và bỏ thêm vao mỗi hộp một quả bóng. i. Chứng minh rằng : Dù ban đầu số bóng bỏ vào trong các hộp thế nào thì bạn cũng có thể làm cho hộp đó có số bóng như nhau sau hữu hạn lần thực hiện quy tắc trên. ii .Khẳng định không còn đúng nếu số hộp đựng là Bài 85 : Giải hệ phương trình Bài 86 : Cho tùy ý nội tiếp đường tròn . là trọng tâm của tam giác đó. tùy ý thuộc hình tròn đường kính . Các đường thẳng cắt đường tròn ở . Xác định vị trí của để tỷ số diện tích hai tam giác và đạt giá trị lớn nhất. Bài 87 : Trên mặt phẳng tọa độ ta quy ước một đa giác nguyên là một đa giác mà tọa độ các đỉnh của nó là các số nguyên. Hỏi trên mặt phẳng tọa độ có tồn tại 2007-giác nguyên mà độ dài các cạnh của nó bằng nhau. Bài 88 : Cho là số nguyên dương. Xét hàm số : xác định bởi: , CMR: a) b) chia hết cho với mọi nguyên dương. c) Với mỗi số nguyên tố , có dạng ,trong đó bằng hoặc là số nguyên tố. Bài 89 : Cho tam giác . Trên các cạnh và lấy các điểm và tương ứng (khác với các đỉnh của tam giác này). Gọi là giao điểm của và ,và là giao điểm của với . a)CMR:ba đường tròn đường kính và có cùng trục đẳng phương. b)Gọi tương ứng là các giao điểm (khác ) của các cặp đường tròn và và . Gọi là giao điểm của các đường tròn đường kính và . Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn hoặc thẳng hàng. Bài 90 : Xét tập khác rỗng mà mỗi phần tử của nó là tập con gồm phần tử của tập . Biết rằng mỗi tập con gồm phần tử của đều chứa đúng phần tử của ( nguyên dương). a)Tính số phần tử của theo . b) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra chứa mọi tập con gồm phần tử của . Bài 91 : Giải phương trình: Bài 92 : Cho số tự nhiên n và dãy số chỉ nhận một trong hai giá trị là thỏa mãn CMR: Bài 93 : Cho CMR: Bài 94 :Cho dãy xác định: Tìm Bài 95 : Dãy số vô hạn được xác định bởi các đẳng thức Chứng minh rằng Bài 96 : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho Bài 97 : Cho đường tròn tâm đường kính cố định. Điểm chuyển động trên đường tròn đó. là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . cắt ở . Vẽ đường tròn tâm , bán kính cắt tại . cắt ở và cắt tiếp tuyến qua đối với đường tròn tại . i. Đường thẳng có tính chất đặc biệt gì không phụ thuộc vị trí của ii . Đường thẳng đi qua điểm nào trên ? Bài 98 : Cho Giải phương trình : Bài 99 : Cho dãy thỏa mãn: CMR: là số chính phương Bài 100 : Cho tam giác nhọn là trung điểm của , là hình chiếu của trên CMR: đồng qui tại điểm và đường thẳng đi qua điểm đó và đi qua trung điểm đoạn . Bài 101 : Trên mặt phẳng cho điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng . điểm bất kì được nối với nhau bởi đoạn thẳng được tô đỏ hoặc xanh. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng được tô đỏ sao cho bất kì tam giác nào tạo bởi trong số điểm trên đều có ít nhất cạnh màu đỏ. Bài 102 : Cho thỏa mãn ( )| ( ) CMR: [...]... rằng: đồng quy Bài 140 : Có thí sinh tham dự cuộc thi "Hoa hậu thân thi n" BTC sắp xếp cho các thí sinh ở phòng hình tam giác đều, mỗi phòng một người (có dạng một tam giác đều lớn chia thành tam giác đều nhỏ bằng nhau) Hai phòng gọi là cạnh nhau nếu chúng có cạnh chung Biết từ mỗi phòng, người ta chỉ có thể đi sang phòng cạnh nó Thí sinh được giải "Thân Thi n" nếu người đó đi thăm được nhiều phòng nhất... nguyên dương thì 2) Biết rằng Hỏi khẳng định sau có đúng không? Tại sao? Bài 136 : Cho hình vuông ABCD và điểm E chuyển động trong khoảng AB Các đường thẳng DE và BC cắt nhau tại M Gọi I là trung điểm của đoạn BE Đường thẳng CI cắt đường thẳng DE tại N 1) Chứng minh rằng 2) Chứng minh rằng DN>AC Câu 3 Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức bc=1+a(b+c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... mà chưa bị kiểm soát bởi một quân tượng nào khác đã đặt trước đó Ai đến lượt mình không đặt được tiếp thì thua Giả sử ban đầu bàn cờ không có 1 quân nào và số lượng các quân tượng không hạn chế Với giả thi t rằng hai người chơi đều rất thông minh và A là người đi trước , hỏi ai là người thắng cuộc? Bài 129 : Cho 3 số thực khác nhau đôi một xác định như sau: tươnng tự với chứng minh rằng: Bài 130 : Cho... sinh được giải "Thân Thi n" nếu người đó đi thăm được nhiều phòng nhất Biết mỗi thí sinh xuất phát từ một phòng bất kì và được phép đi qua phòng chính mình Hỏi số phòng tối đa thí sinh được giải "Thân Thi n" đi qua là bao nhiêu nếu mỗi phòng chỉ được đi qua đúng một lần? Bài 141 : Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh bất đẳng thức: Bài 142 : Cho tập hợp Một tập con của được gọi là có tính