tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6)

Tiê´p theo cho... Ðê` thi olympic to´an NgaÐiê`u phai ch´u, ,ng minh.

OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , O ´ , C

1999 – 2000

, AI (T âp 6)

NH ` A XU ´ ÂT B

,

AN GI ´ AO D UC

2

L `o i n ´ oi ¯ dâ`u

Ðê,thu,,g´oi l ênh phông ch˜u,tôi biên so an m ôt sô´ ¯dê` to´an thi Olympic, m`a c´ac h octr`o cua tôi ¯, d˜a l`am b`ai t âp khi h oc t.âp LATEX Ðê,ph u v u c´ac b.an ham h oc to´an tôithu th âp v`a gom l.ai th`anh c´ac s´ach ¯di.ên tu,,, c´ac b an c´o thê,tham khao M˜ôi t âp tôi s˜e,gom khoang 50 b`ai v´o, ,i l`o,i giai.,

Râ´t nhiê`u b`ai to´an d.ich không ¯du,.o,c chuâ,n, nhiê`u ¯diê,m không ho`an to`an ch´ınhx´ac v ây mong b.an ¯d oc t u,ng˜âm ngh˜ı v`a t`ım hiê,u lâ´y Nhu,ng ¯dây l`a nguô`n t`ai li êutiê´ng Vi êt vê` chu ¯, dê` n`ay, tôi ¯d˜a c´o xem qua v`a ngu,`o,i d.ich l`a chuyên vê` ng`anh To´anphô,thông B an c´o thê,tham khao l ai trong [1],[2].,

Râ´t nhiê`u ¯do an v`ı m´o,i h oc TeX nên câ´u tr´uc v`a bô´ tr´ı c`on xâ´u, tôi không c´o th`o,igian su,,a l ai, mong c´ac b.an thông cam Cuô´n s´ach n`ay c´o c´ach không cho sao ch´ep,ch˜u,Vi êt, c´ac b.an thu,,xem nh´e

H`a N ôi, ng`ay 20 th´ang 9 n˘am 2013

Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n

51

M uc l uc

L`o,i n´oi ¯dâ`u 3

M uc l uc 4

Chu,o,ng 47.Ðê` thi olympic to´an Rumania 5

47.1.Ðê` b`ai 5

47.2.L`o,i giai, 6

Chu,o,ng 48.Ðê` thi olympic to´an Nga 14

48.1.Ðê` b`ai 14

48.2.L`o,i giai, 16

Chu,o,ng 49.Ðê` thi olympic to´an Slovenia 22

49.1.Ðê` b`ai 22

49.2.L`o,i giai, 23

Chu,o,ng 50.Ðê` olympic to´an Thô,Nh˜ı K`y 25

50.1.Ðê` b`ai 25

50.2.L`o,i giai, 26

Chu,o,ng 51.Ðê` thi olympin to´an Ukraina 29

51.1.Ðê` b`ai 29

51.2.L`o,i giai, 30

Chu,o,ng 52.Ðê` thi olympin to´an Ukraina 31

52.1.Ðê` b`ai 31

52.2.L`o,i giai, 33

T`ai li êu tham khao, 36

4

B `ai 47.3 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o,i m ˜ôi sô´ nguyên du,o,ng n bâ´t k`ı

Sn = C0

2n+1.22n+ C2

2n+1.22n−2.3 + · · · + C2n

2n+1.3n

l`a tô,ng cua hai b`ınh phu, ,o,ng liên tiê´p

B `ai 47.4 Cho x1, x2, · · · , xn l`a c´ac sô´ th u,c du,o,ng thoa m˜an x, 1x2· · · xn = 1 Ch´u,ngminh r `˘ang

B `ai 47.6 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o,i bâ´t k`y sô´ nguyên n, n > 3, tô`n t ai n sô´ nguyên

du,o,ng a1, a2, · · · , anl âp th`anh câ´p sô´ c ông v`a n sô´ nguyên du,o,ng b1, b2, · · · , bnl âpth`anh câ´p sô´ c ông sao cho

b1 < a1 < b2 < a2 < · · · < bn < an

Ðu,a ra v´ı d u a1, a2, · · · , anv`a b1, b2, · · · , bnc´o ´ıt nhâ´t n˘am phâ`n tu,,

6 Chu,o,ng 47 Ðê` thi olympic to´an Rumania

B `ai 47.7 Cho a l`a sô´ th u,c du,o,ng v`a xn(n> 1) l`a d˜ay c´ac sô´ th u,c sao cho x1 = a v`a

v ´o,i m oi a > 1 Ch ´u,ng minh r `˘ang tô`n t ai m ôt sô´ nguyên du,o,ng n sao cho xn > 1999!

B `ai 47.8 Cho O, A, B, C l`a ba ¯diê,m thay ¯dô,i trên m ˘at ph˘ang sao cho OA, = 4, OB =

2√3 v`a OC = √22 T`ım di ên t´ıch l ´o,n nhâ´t cua 4ABC.,

B `ai 47.9 Cho a, n l`a sô´ nguyên v`a cho p l`a sô´ nguyên tô´ sao cho p > |a|+1 Ch´u,ngminh r `˘ang ¯da th ´u,c f(x) = xn+ ax + p không thê,biê,u di ˜ên nhu,l`a t´ıch cua hai ¯, da

th ´u,c kh´ac h `˘ang v ´o,i h ê sô´ nguyên

B `ai 47.10 Hai ¯du,`o,ng tr`on giao nhau tai A v`a B Ðu,`o,ng th˘ang l qua A v`a c ´˘, at hai

¯

du,`o,ng tr`on t.ai C v`a D Ð.˘at M v`a N l`a hai trung ¯diê,m cua cung BC v`a BD, không,

ch ´u,a A v`a ¯d ˘at K l`a trung ¯diê,m cua CD Ch ´, u,ng minh r `˘ang∠MKN = 900

L `o , i gi ai 47.1 , G oi m ôt sô´ nguyên l`a "deadly" nê´u tô,ng c´ac ch˜u,sô´ cua n´o chia hê´t,cho 11 v`a ¯d ˘at d(n) b`˘ang tô,ng ch˜u, sô´ nguyên du,o,ng n Nê´u n t ân c`ung b`˘ang 0 th`ı

tô,ng n, n+ 1, , n + 9 ch,ı kh´ac nhau ch˜u,sô´ ¯do,n v.i t`u,1 ¯dê´n 9

Do ¯d´o d(n), d(n + 1), , d(n + 9) l`a câ´p sô´ c.ông v´o,i công sai 1 Do ¯d´o nê´u

d(n) ≡ 1(mod11) th`ı m ôt trong nh˜u,ng sô´ n`ay l`a "deadly"

Gia s, u,,r`˘ang nê´u n t ân c`ung l`a k , 0 th`ı d(n + 1) = d(n) + 1 − 9k, ch˜u,sô´ k t ânc`ung cua n, + 1 l`a 0 thay v`ı 9 v`a ch˜u, sô´ tiê´p theoo,,bên tr´ai l`a l´o,n ho,n 1 v`a tu,o,ng ´u,ngv´o,i ch˜u,sô´ trong n

Cuô´i c`ung, gia s, u,,nt ân c`ung l`a 0 v`a d(n) ≡ d(n + 10) ≡ 1(mod11) T`u,d(n) ≡1(mod11) ta s˜e c´o d(n+ 9) ≡ 10(mod11) Nê´u n + 9 t.ân c`ung l`a 9 th`ı ta c´o 2 ≡d(n+ 10) − d(n + 9) ≡ 1 − 9k suy ra k ≡ 6(mod11)

a Gia s, u,,ta c´o 39 sô´ nguyên liên tiê´p, không c´o sô´ n`ao l`a "deadly" M ôt trong 10sô´ ¯dâ`u tiên phai c´o t ân c`ung l`a 0, g oi l`a n Không sô´ n`ao c, ua n, n, + 1, , n + 9l`a "deadly" nên phai c´o d(n) ≡ 1(mod11).,

Tu,o,ng t u,, d(n+ 10) ≡ 1(mod11) v`a d(n + 20) ≡ 1(mod11).

T`u,l´y lu ân th´u,3o,,trên, phai c´o c, a n, + 9 v`a n + 19 c´o t.ân c`ung ´ıt nhâ´t l`a s´auch˜u,sô´ 9 (vô l´y) v`ı n+ 10 v`a n + 20 không thê,l`a b ôi cua m ôt tri.êu.,

b Gia s, u,,ta c´o 38 sô´ liên tiê´p N, N+ 1, , N + 37 không c´o sô´ n`ao l`a "deadly"

Tu,o,ng t u, nhu, phâ`n a, trong ch´ın sô´ ¯dâ`u tiên không t ân c`ung b`˘ang 0 Do

(⇒) Gia s, u,,r`˘ang∠A = 600, ¯d ˘at K l`a giao cua BC v`a ¯, du,`o,ng phân gi´ac trong c,ua

∠BIC; ch´ung ta giai th´ıch r`˘ang 4KLM l`a ¯, dê`u T`u, ∠BIC = 1200 ta biê´t ∠MIB =

∠KIB = 600 T`u, ¯d´o ∠IBM = ∠IBK v`a IB = IB suy ra 4IBM = 4IBG(g.c.g) suy ra

I M= IK

Tu,o,ng t u,: IL= IK

T`u,∠KIL = ∠LIM = ∠MIK = 1200th`ı 4KLM ¯dê`u

(⇐) Gia s, u,,K ∈ BCv`a 4KLM ¯dê`u X´et 4BLK v`a 4BLM :

BL= BL

∠MBL = ∠KBCsuy ra 4BLK = 4BLM(c.g.c)

suy ra∠LKB + ∠BML = 1800

ho ˘ac ∠LKB = ∠BML

T`u,∠KBM < 900v`a∠MLK = 600nên∠LKB + ∠BML > 2100

Do ¯d´o∠LKB = ∠BML nên 4BLK  4BLM suy ra BK = BM suy ra IK = IM

Tu,o,ng t u,IL= IK v`a I l`a tr.ong tâm cua 4KLM.,

8 Chu,o,ng 47 Ðê` thi olympic to´an Rumania

Do ¯d´o∠LIM = 2∠LK M = 1200nên∠BIC = ∠LIM = 1200v`a∠A = 600

ta ¯du,.o,c ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh.

L `o , i gi ai 47.6 , Chiê´n lu,.o,c cua ch´ung ta l`a t`ım câ´p sô´ m`a b, n = an−1+ 1 v`a bn−1 =

an−2 + 1 Viê´t d = an−1− an−2 Do ¯d´o v´o,i m oi 2 6 i, j 6 n − 1 ta c´o bi +1− bi 6

10 Chu,o,ng 47 Ðê` thi olympic to´an Rumania

V`ı thê´ chu˜ôi biê,u th´u,c ¯du,.o,c thoa m˜an.,

Ð ˘at b1, b2, · · · , bnb`˘ang kn−1, kn−2(k+ 1), · · · , k0(k+ 1)n−1, v´o,i k l`a gi´a tr.i nhâ´t ¯d.inh

Ð ˘at an−1= bn− 1 v`a an−2 = bn−1− 1

Do d= an− an−1 = bn− bn−1 = (k + 1)n−2 v`a a1 = (k + 1)n−2(k+ 3 − n) − 1

Do ¯d´o ta ch,ı câ`n ch on k sao cho

(k+ 1)n−2(k+ 3 − n) − 1 − kn−1 > 0

Vê´ tr´ai l`a ¯da th´u,c cua k c´o h ê sô´ c, ua k, n−1 b`˘ang 0 nhu,ng h ê sô´ cua k, n−1 b`˘ang 1 V`ı

v ây n´o du,o,ng v´o,i k ¯du l´o, ,n v`a ta câ`n t`ım d˜ay a1, a2, · · · , anv`a b1, b2, · · · , bn

Bây gi`o,gia s, u,,r`˘ang ¯d´ung v´o,i n th`ı

Ho,n n˜u,a x1 > 0 ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh v`a x2, x3, · · · , xndu,o,ng theo gia thiê´t quy n ap, do ¯d´o,

xn +2 > (n + 1)xn +1 > (n + 1).a.n! = a.(n + 1)! C´ac bu,´o,c quy n.ap ¯du,.o,c ho`an th`anh.V`ı v ây v´o,i n ¯du l´o, ,n ta c´o xn +1> n!.a > 1999!

L `o , i gi ai 47.8 , Ðâ`u tiên ta t`ım m ôt t´u,di ên MNPQ v´o,i t´ınh châ´t thoa m˜an:,

(i) Nê´u H l`a chân ¯du,`o,ng vuông g´oc t`u, M ¯dê´n m.˘at ph,˘ang (NPQ) do ¯d´o HN =

v`a v`ı v ây S l´o,n nhâ´t cua 4ABC l`a [NPQ].,

Phai t`ım t´u, ,di ên MNPQ Ð.˘at x = MH, do ¯d´o MN =

√

x2+ 16, MP = √x2+ 12 v`a

MQ = √x2+ 22 D`ung ¯d.inh l´y Pytago v´o,i 4MHN ta ¯du,.o,c NH = 4 Tiê´p theo cho

12 Chu,o,ng 47 Ðê` thi olympic to´an Rumania

Gia s, u,,|g(0)|= 1, nê´u z1, z2, · · · , zk l`a nghi êm cua g th`ı n´o c˜ung l`a nghi êm c, ua f Do,

¯

d´o,

1= |g(0)| = |z1z2· · · zk|= |z1|.|z2| · · · |zk|> 1, mâu thu˜ân

L `o , i gi ai 47.10 , Coi tâ´t ca c´ac g´oc ¯, d.inh hu,´o,ng ¯dô`ng du, 1800 Ð.˘at M0

l`a ¯diê,m ¯dô´ix´u,ng cua M qua K Do ¯, d´o 4MKC v`a 4M0KDl`a ¯dô`ng d ang v`a M0D = MC V`ı Ml`a trung ¯diê,m cua cung BC nên M, 0D= MC = MB

Tu,o,ng t u,, v`ı N l`a trung ¯diê,m cua cung BD ta c´o BN, = DN

B `ai 48.2 Trong m ˘at ph˘ang cho m ôt ¯du, ,`o,ng tr`on ω, m.ôt ¯diê,m A n `˘am ngo`ai ω, v`a

m ôt ¯diê,m B không tr`ung v ´o,i A X´et c´ac tam gi´ac BXY m`a X v`a Y n `˘am trênω v`a A,

X, Y th˘ang h`ang Ch ´, u,ng minh tâm ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p tam gi´ac BXY n`˘am trên

m ôt ¯du,`o,ng th˘ang cô´ ¯, d.inh

B `ai 48.3 Cho ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac ABC G.oi K, L, M, tu,o,ng ´u,ng l`a c´actiê´p ¯diê,m cua ¯, du,`o,ng tr`on trên c´ac c.anh AB, BC, CA V´o,i hai ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p

cua hai trong ba tam gi´ac AMK, BKL, CLM v˜e tiê´p tuyê´n chung ngo`ai không tr`ung,lên c´ac canh cua tam gi´ac ABC Ch ´, u,ng minh r `˘ang c´ac tiê´p tuyê´n chung ¯d´o ¯dô`ng quy

B `ai 48.4 Tô,ng cua c´ac ch˜u, ,sô´ trong sô´ t u,nhiên n l`a 100 v`a trong sô´ t u,nhiên 4nl`a 800 T`ım tô,ng cua c´ac ch˜u, ,sô´ trong sô´ t u,nhiên 3n?

B `ai 48.5 C´o tô`n t ai hay không 10 sô´ nguyên kh´ac nhau m`a tô,ng cua 9 sô´ trong sô´,ch´ung l`a m ôt sô´ ch´ınh phu,o,ng?

B `ai 48.6 Cho h`am sô´ f(x) x´ac ¯d.inh trên t âp sô´ th u,c, a>1, h`am sô´ f(x) + f(ax) liên

t uc Ch ´u,ng minh r `˘ang h`am sô´ f(x) liên t uc

B `ai 48.7 Cho hai sô´ th u,c du,o,ng x, y thoa m˜an:,

y k + 1

z k ≥ xk+ yk+ zk, v ´o,i m oi sô´ nguyên du,o,ng k

B `ai 48.9 C´o tô`n t ai hay không ba sô´ th u,c a, b, c sao cho v ´o,i m oi sô´ th u,c x, y th`ı:

16 Chu,o,ng 48 Ðê` thi olympic to´an Nga

L `o , i gi ai 48.1 , Không tô`n t ai c´ac sô´ nguyên nhu,v ây

Ta giai b`˘ang phu, ,o,ng ph´ap phan ch´u, ,ng Trung b`ınh cua c´ac sô´ l`a:, 199919 < 106

Do ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t m ôt sô´ nho ho, ,n 105 v`a tô,ng cua c´ac ch˜u, ,sô´ cua n´o l´o, ,n nhâ´t l`a 18.M`a m˜ôi sô´ th`ı luôn ¯dô`ng du,v´o,i tô,ng c´ac ch˜u,sô´ cua n´o theo modul 9, v`ı v ây tâ´t c, a,c´ac sô´ v`a hi êu cua hai sô´ bâ´t k`ı ¯, dô`ng du theo modul 9 – n´oi c´ach kh´ac l`a ¯dô`ng du,v´o,i k, t`u, d´o ta c´o 19k ¯¯ dô`ng du,v´o,i 1999 theo modul 9 V ây k ¯dô`ng du, v´o,i 1 theomodel 9 v ây tâ´t ca c´ac sô´ c´o tô, ,ng l`a 1 ho ˘ac 10

Nê´u tô,ng l`a 1 th`ı c´ac sô´ l`a: 1; 10; 100; 1000

V ây không thê,c´o tô,ng l`a 1999

Nhu, v ây tô,ng c´ac ch˜u,sô´ phai l`a 10 Ðê, ,´y 20 sô´ nho nhâ´t c´o tô, ,ng c´ac ch˜u,sô´ l`a 10l`a:

19; 28; 37; 91; 109; 118; 127; 136; 190; 208 M`a tô,ng cua 9 ch˜u, ,sô´ ¯dâ`u tiên l`a:(10+ 20+ +90) + (9 + 8+ +1) = 450 + 45 = 495,

Trong khi tô,ng sô´ ch´ın ch˜u,sô´ kê´ tiê´p l`a:

(900)+ (10 + 20+ +80) + (9 + 8 + 7+ +1) = 900 + 360 + 45 = 1305,

V ây tô,ng cua mu, ,`o,i t´am sô´ ¯dâ`u l`a 1800

L ai c´o 1800 + 190 < 1999 v`a 1800 + 208 = 2028 > 1999

Ðiê`u phai ch´u, ,ng minh

L `o , i gi ai 48.2 , Ch´ung ta su,,d ung hu,´o,ng gi,ai theo kho,ang c´ach

G oi O l`a tâm v`a R l`a b´an k´ınh ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p tam gi´ac BXY.

Ke OO’ vuông g´oc v´o, ,i AB

Phu,o,ng t´ıch cua A ¯, dô´i v´o,i ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p tam gi´ac BXY l`a AX.BY

V`a b`˘ang OA2 – R2do:

BO0− AO0 = BO02−AO 02

BO 0 +AO 0 = (BO 2 −OO 02 )−(AO 2 −OO 02 )

AB = AX.BY

AB

M`a AX.AY l`a phu,o,ng t´ıch cua A v´o, ,i ¯du,`o,ng tr`on ω nên AX.AY l`a h`˘ang sô´

Ðê,´y AO’+ BO’ = AB l`a h`˘ang sô´nên BO’ - AO’ l`a h´˘ang sô´nên O’ cô´ ¯d.inh v´o,i m.oi

X, Y

V ây O luôn ch.ay trên ¯du,`o,ng th˘ang qua O’ v`a vuông g´oc v´o, ,i AB ( ¯diê`u phai ch´u, ,ngminh)

L `o , i gi ai 48.3 , G oi D, E, F lâ`n lu,.o,t l`a trung ¯diê,m cua c´ac cung nh, o MK, KL, LM,

cua ¯, du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac ABC

G oi S1, S2, S3tu,o,ng ´u,ng l`a ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p cua tam gi´ac AMK, BKL, v`a CLM.,

Do AK l`a tiê´p tuyê´n v´o,i ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac ABC nên:

[AKD= [KLD= [K MD= [DK M;

tu,o,ng t u,ta c˜ung c´o: [AMD= [DMK

V ây, D l`a tâm ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac AMK v`a l`a tâm cua S, 1

18 Chu,o,ng 48 Ðê` thi olympic to´an Nga

Tu,o,ng t u,nhu,v ây, E l`a trung tâm cua S, 2v`a F l`a trung tâm cua S, 3

Theo kê´t qua ¯, d˜a ch´u,ng minh ta c´o tâm O cua ¯, du,`o,ng tr`on nôi tiê´p c,ua tam gi´ac KLMn`˘am trên m ôt ¯du,`o,ng th˘ang tiê´p x´uc v´o, ,i S1v`a S2

Nhu,ng n´o không n`˘am trên AB, v`ı v ây n´o phai n`˘am trên tiê´p tuyê´n bên ngo`ai kh´ac.,

Tu,o,ng t u,nhu,v ây ta c´o: O n`˘am trên tiê´p tuyê´n bên ngo`ai tiê´p x´uc v´o,i S2v`a S3(khôngn`˘am trên BC)

V`a O n`˘am trên tiê´p tuyê´n bên ngo`ai tiê´p x´uc v´o,i S3 v`a S1(không n`˘am trên CA);

V ây ba tiê´p tuyê´n chung ¯di qua O(tâm ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac KML)

Ðiê`u phai ch´u, ,ng minh

L `o , i gi ai 48.4 , Tô,ng cua c´ac ch˜u, ,sô´ trong sô´ t u,nhiên 3n l`a 300

Ð ˘at S (x) l`a tô,ng cua c´ac ch˜u, ,sô´ trong sô´ t u,nhiên x

Ta c´o S (a+ b) b`˘ang S (a) + S (b) tr`u, ¯di 9 lâ`n cua a, + b

Nhu,ng sô´ t u,nhiên 3n chı ¯,do,n gian l`a ba lâ`n sô´ t u, ,nhiên n

V ây S (3n) = 3S (n) = 300 nhu,d˜a kh¯ ˘ang ¯, d.inh

L `o , i gi ai 48.5 , C´o, c´o tô`n t ai 10 sô´ nguyên kh´ac nhau l`a a1; a2; a10 nhu,v ây

Ð ˘at: S = a1+ a2+ +a10

X´et c´ac phu,o,ng tr`ınh:

Suy ra: ai = S ˘9i2 = 12+ 22+ 3+ 102− 9i2

V ây c´o 10 sô´ nguyên d.ang ai = 12+ 22+ 3+ 102− 9i2,i= 1, 2, 10 m`a tô,ng cua,

9 sô´ trong sô´ ch´ung l`a m ôt sô´ ch´ınh phu,o,ng

L `o , i gi ai 48.6 , Ta c´o: a > 1 nh˜u,ng h`am sô´:

P(x)= f (x) + f (ax);

Q(x)= f (x) + f (a2x);

P(ax)= f (ax) + f (a2x)

¯

dê`u l`a nh˜u,ng h`am liên t uc

Suy ra h`am sô´: 1

2P(x)+ Q(x) − P(ax) = f (x) c˜ung l`a h`am liên t.uc

L `o , i gi ai 48.7 , Ta ch´u,ng minh m ênh ¯dê` tu,o,ng ¯du,o,ng:

20 Chu,o,ng 48 Ðê` thi olympic to´an Nga

Ðiê`u phai ch´u, ,ng minh

L `o , i gi ai 48.8 , V`ı xyz = 1 Nên ta c´o thê,viê´t: x = a

V ây: x1k + 1

y k + 1

z k ≥ xk + yk+ zk.Ðiê`u câ`n ch´u,ng minh

L `o , i gi ai 48.9 , Không tô`n t ai c´ac sô´ th u,c nhu,v ây;

Th ât v.ây

Ð ˘at y = - b – x

Khi ¯d´o v´o,i m oi x ta c´o:

| x+ a | + | – b – x + c |>| x | + | b | + |– b – x | (1)Nê´u ch on x ¯du nh, o ta c´o thê, ,viê´t l ai biê,u th´u,c (1):

(- x – a)+ (- b – x + c) > ( - x) + | b | + (- x – b) ⇒– a + c >| b |≥ 0

V ây: a < c

Trong khi x ¯du l´o, ,n ta c´o thê,viê´t l ai biê,u th´u,c (1):

(x+ a) + ( b + x - c) > x + | b |+ ( x + b) ⇒ a - c >| b |≥ 0

V ây: a > c mâu thu˜ân v´o,i a< c

L `o , i gi ai 48.10 , Theo nguyên t´˘ac chia ô c´o ´ıt nhâ´t m ôt phâ`n tu,sô´ ô c´o c`ung m`au,

gia s, u,,l`a m`au ¯do Trong c´ac ô vuông m`au ¯, do, t´ınh theo c ôt c´o tô´i ¯da 50 ô vuông m`au,

¯

do ph´ıa trên v`a tô´i ¯, da 50 ô vuông m`au ¯do ph´ıa du, ,´o,i T´ınh theo h`ang c´o tô´i ¯da 50

ô vuông bên tr´ai, 50 ô vuông bên phai V ây c´o ´ıt nhâ´t 625 – 200 = 425 ô vuông, o,,gi˜u,a Do ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t m ôt ô vuông m`au ¯do c´o c`ung m`au v´o, ,i c´ac ô vuông m`au ¯do, o,,trên,o,,du,´o,i, bên tr´ai, bên ph,ai c,ua n´o

CHU , O , NG 49

49.1 Ðê` b `ai

B `ai 49.1 Cho d˜ay c´ac sô´ th u,c a1, a2, a3, thoa m˜an ¯, diê`u ki ên a1= 2,

a2= 500, a3 = 2000 v`a h.ê th´u,c

an +2+ an +1

an +1+ an−1

trong ¯d´o n = 2, 3, 4, Ch´u,ng minh r `˘ang tâ´t ca c´ac phâ`n t, u,,cua d˜ay ¯, dê`u l`a c´ac sô´nguyên du,o,ng v`a22000chia hê´t cho a2000

B `ai 49.2 T`ım tâ´t ca c´ac h`am f: R → R th, oa m˜an ¯, diê`u ki ên

f(x − f (y))= 1 − x − y v´o,i m.oi x,y thu.ôc R

B `ai 49.3 Cho E l`a giao ¯diê,m hai ¯du,`o,ng ch´eo c ,ua t´u, gi´ac n.ôi tiê´p ABCD v`a E, F

tu,o,ng ´u,ng l`a trung ¯diê,m cua c anh AB v`a CD Ch ´u, ,ng minh r `˘ang ba ¯du,`o,ng th˘ang,lâ`n lu,.o,t ¯di qua G, F, E v`a vuông g´oc v ´o,i AC, BD, AD ¯dô`ng quy t ai m ôt ¯diê,m

B `ai 49.4 C´o ba chiê´c h ôp v ´o,i ´ıt h ôp v ´o,i ´ıt nhâ´t m ôt viên ¯d´a trong m ˜ôi h ôp Trong

m ôt bu,´o,c ta ch.on hai trong sô´c´ac h.ôp, t˘ang gâ´p ¯dôi sô´bi trong m˜ôi h.ôp b`˘ang c´achlâ´y bi t`u,h ôp kh´ac C´o phai luôn luôn c´o m ôt trong sô´ c´ac h ôp trô´ng sau khi kê´t,th´uc h˜u,u h an bu,´o,c?