tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 5)

Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 5) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach ¯ di . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không ¯ du , . o , c chuâ , n, nhiê ` u ¯ diê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an ¯ d . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng ¯ dây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u ¯ dê ` n ` ay, tôi ¯ d ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u ¯ do . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 n ˘ am 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 40. Ðê ` thi olympic Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 40.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 40.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chu , o , ng 41. Ðê ` thi olympic to ´ an Ireland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 41.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 41.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chu , o , ng 42. Ðê ` thi olympic to ´ an Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 42.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 42.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chu , o , ng 43. Ðê ` thi Olimpic To ´ an Nh . ât B , an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 43.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 43.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chu , o , ng 44. Ðê ` thi Olimpic To ´ an Korea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 44.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 44.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chu , o , ng 45. Ðê ` thi olympic to ´ an Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 45.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 45.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chu , o , ng 46. Ðê ` thi olympic to ´ an Ð ` ai loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 46.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 M . UC L . UC 5 46.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 CHU , O , NG 40 Ð ` Ê THI OLYMPIC HUNGARY 40.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 40.1. Ta c ´ o n ≥ 5 l ` a c ´ ac sô ´ th . u , c th , oa m ˜ an c ´ ac ¯ diê ` u ki . ên sau: 1, C ´ ac sô ´ kh ´ ac 0, nhu , ng ´ ıt nhâ ´ t c ´ o 1 sô ´ l ` a 1999. 2, Bâ ´ t c ´ u , 4 sô ´ trong c ´ ac sô ´ ¯ d ´ o c ´ o thê , ¯ du , . o , c s ´ ˘ ap xê ´ p du , ´ o , i d . ang h ` ınh h . oc tô , h . o , p. T ` ım c ´ ac sô ´ ¯ d ´ o. B ` ai 40.2. Cho tam gi ´ ac ABC v ´ o , i  C = 90 0 . Hai h ` ınh vuông S 1 , S 2 ¯ du , . o , c d . u , ng trong tam gi ´ ac ABC sao cho S 1 v ` a tam gi ´ ac ABC c ´ o chung ¯ d , ınh C, S 2 c ´ o m . ôt c . anh trên AB. Cho [S 1 ] = 441, [S 2 ] = 440. T ´ ınh AC + BC. B ` ai 40.3. Cho O v ` a K lâ ` n lu , . o , t l ` a tâm c , ua m . ˘ at câ ` u tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i c ´ ac m . ˘ at v ` a c ´ ac c . anh c , ua 1 h ` ınh ch ´ op c ´ o ¯ d ´ ay l ` a h ` ınh vuông c . anh 2. X ´ ac ¯ d . inh thê , t ´ ıch c , ua h ` ınh ch ´ op nê ´ u O v ` a K c ´ ach ¯ dê ` u ¯ d ´ ay. B ` ai 40.4. V ´ o , i bâ ´ t k ` y sô ´ n nguyên du , o , ng, x ´ ac ¯ d . inh (b ` ˘ ang m . ôt biê , u th ´ u , c c , ua n), sô ´ c . ˘ ap sô ´ x, y nguyên du , o , ng sao cho x 2 − y 2 = 10 2 .30 2n . Sau ¯ d ´ o ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang sô ´ c ´ ac c . ˘ ap sô ´ n ` ay không bao gi ` o , t . ao th ` anh m . ôt h ` ınh vuông. B ` ai 40.5. Cho 0 < x, y, z ≤ 1. T ` ım tâ ´ t c , a c ´ ac sô ´ x, y, z th , oa m ˜ an phu , o , ng tr ` ınh: x 1+y+xz + y 1+z+xy + z 1+x+yz = 3 x+y+z B ` ai 40.6. Cho m . ôt t ´ u , di . ên, m . ôt m . ˘ at câ ` u ¯ di qua tâ ´ t c , a c ´ ac trung ¯ diê , m c , ua c ´ ac c . anh t ´ u , di . ên. T ´ ınh thê , t ´ ıch l ´ o , n nhâ ´ t c , ua t ´ u , di . ên. B ` ai 40.7. M ˜ ôi m . ôt sô ´ nguyên du , o , ng ¯ du , . o , c viê ´ t trong 1 ô c , ua m . ôt b ` an c ` o , h ` ınh vuông c . anh n 2 . S . u , kh ´ ac nhau c , ua m ˜ ôi sô ´ l ` a bâ ´ t k ` y, hai ô vuông kê ` nhau (chung 1 c . anh) th ` ı c ´ o ´ ıt ho , n ho . ˘ ac b ` ˘ ang n. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang: C ´ o ´ ıt nhâ ´ t  n 2  + 1 ô vuông ch ´ u , a c ´ ac sô ´ giô ´ ng nhau. Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 B ` ai 40.8. M . ôt n ˘ am , o , thê ´ k , y 20, Alex nh . ân thâ ´ y v ` ao ng ` ay sinh nh . ât c , ua anh â ´ y c . ông 4 ch ˜ u , sô ´ c , ua n ˘ am sinh c , ua anh â ´ y v ` ao th ` ı ¯ du , . o , c tuô , i th . u , c s . u , c , ua m ` ınh. C ˜ ung m . ôt ng ` ay sinh nh . ât nhu , v . ây, Bernath ngu , ` o , i c ` ung ng ` ay sinh nhu , ng không giô ´ ng nhu , tuô , i c , ua Alex c ˜ ung nh . ân thâ ´ y ¯ diê ` u n ` ay vê ` n ˘ am sinh v ` a tuô , i c , ua m ` ınh. Ng ` ay ¯ d ´ o c , a hai ngu , ` o , i ¯ dê ` u du , ´ o , i 99 tuô , i. H , oi bao nhiêu n ˘ am th ` ı tuô , i c , ua h . o c ´ o s . u , kh ´ ac nhau. B ` ai 40.9. Cho tam gi ´ ac ABC v ` a D l ` a m . ôt ¯ diê , m thu . ôc AB. C ´ ac ¯ du , ` o , ng tr ` on n . ôi tiê ´ p c , ua tam gi ´ ac ACD, CDB tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i nhau t . ai m . ôt ¯ diê , m trên c . anh CD. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang ¯ du , ` o , ng tr ` on n . ôi tiê ´ p tam gi ´ ac ABC tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i c . anh AB t . ai D. B ` ai 40.10. Cho R l ` a b ´ an k ´ ınh m . ˘ at câ ` u ngo . ai tiê ´ p c , ua 1 h ` ınh ch ´ op c ´ o ¯ d ´ ay l ` a h ` ınh vuông. G . oi r l ` a b ´ an k ´ ınh m . ˘ at câ ` u tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i 4 m . ˘ at bên v ` a m . ˘ at ¯ d ´ ay. Gi , a s , u , r ` ˘ ang 2R = (1 + √ 2)r. X ´ ac ¯ d . inh g ´ oc gi ˜ u , a nh ˜ u , ng m . ˘ at liê ` n kê ` c , ua h ` ınh ch ´ op. 8 Chu , o , ng 40. Ðê ` thi olympic Hungary 40.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 40.1. Tru , ´ o , c hê ´ t ta gi , a s , u , r ` ˘ ang tâ ´ t c , a c ´ ac sô ´ n ` ay ¯ dê ` u không âm. Nê ´ u x ≤ y ≤ z ≤ w ≤ v l ` a 5 sô ´ , do ¯ d ´ o x, y, z, w; x, y, z, v; x, y, w, v; x, z, w, v; y, z, w, v. tâ ´ t c , a ¯ dê ` u l ` a h ` ınh h . oc tô , h . o , p. So s ´ anh m ˜ ôi c . ˘ ap 2 tô , h . o , p sô ´ th ` ı nh . ân thâ ´ y: x = y = z = w = v. Do ¯ d ´ o tâ ´ t c , a nh ˜ u , ng sô ´ n ` ay c ´ o vai tr ` o nhu , nhau. Gi , ai s , u , r ` ˘ ang c ´ o m . ôt sô ´ n ` ao ¯ d ´ o l ` a không âm trrong c ´ ac sô ´ trên th ` ı thay m ˜ ôi sô ´ x = |x|. Gi ´ a tr . i c , ua tô , h . o , p h ` ınh h . oc n ` ay ¯ du , . o , c b , ao to ` an. T ` u , tâ ´ t c , a c ´ ac ¯ diê ` u ki . ên trên c ´ ac gi ´ a tr . i |x| l ` a nhu , nhau. Do ¯ d ´ o, m ˜ ôi sô ´ nguyên l ` a 1999 ho . ˘ ac -1999 v ` ı n ≥ 5. V ` ai b . ô 3 sô ´ l ` a nhu , nhau. Nhu , ng không tô , h . o , p h ` ınh h . oc n ` ao c ´ o thê , ¯ du , . o , c h ` ınh th ` anh t ` u , 3 sô ´ -1999, 1 v ` a 1999 ho . ˘ ac t ` u , 3 sô ´ 1999, 1 v ` a -1999. V ` ı v . ây, tâ ´ t c , a nh ˜ u , ng sô ´ n ` ay l ` a nhu , nhau v ` a b ` ˘ ang 1999. L ` o , i gi , ai 40.2. Ð . ˘ at S 1 = CDEF v ` a S 2 = KLMN v ´ o , i D, K thu . ôc c . anh AC v ` a N thu . ôc BC. Khi ¯ d ´ o c . anh c , ua h ` ınh vuông S 1 = 21, c . anh c , ua h ` ınh vuông S 2 = √ 440 v ` a a = BC, b = CA, c = AB. S , u , d . ung t , y l . ê gi ˜ u , a c ´ ac tam gi ´ ac ¯ dô ` ng d . ang AED, ABC v ` a EBF ta c ´ o: c = AB = AE + EB = c.( S 1 a + S 2 b ) ho . ˘ ac ( 1 a + 1 b )S 1 = 1. T ` u , c ´ ac tam gi ´ ac ¯ dô ` ng d . ang ABC, AKL, NBM ta c ´ o: c = AB = AL + LM + MB = S 2 ( b a + 1 + a b ) v ` a S 2 = abcd(ab + c 2 ). Do ¯ d ´ o: 1 S 2 1 − 1 S 2 2 = ( 1 c + c ab ) 2 − ( 1 a + 1 b ) 2 = ( 1 c 2 + c 2 a 2 b 2 + 2 ab ) − ( 1 a 2 + 1 b 2 + 2 ab ) = 1 c 2 Suy ra c = 1  1 S 2 2 − 1 S 1 2 = 21 √ 440 Gi , a s , u , : S 2 = abc ab+c 2 khi ¯ d ´ o c ´ o gi ´ a tr . i ab = S 2 c 2 c−S 2 = 21 2 .22. Suy ra: AC + BC = a + b = ab S 1 = 21.22 = 462. Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9 L ` o , i gi , ai 40.3. G . oi r, R lâ ` n lu , . o , t l ` a b ´ an k ´ ınh c , ua c ´ ac m . ˘ at câ ` u tu , o , ng ´ u , ng. G . oi h ` ınh ch ´ op c ´ o ¯ d ´ ay ABCD, ¯ d , ınh P, chiê ` u cao h. Theo t ´ ınh châ ´ t ¯ dô ´ i x ´ u , ng th ` ı O v ` a K n ` ˘ am trên ¯ du , ` o , ng cao qua P. C ´ ˘ at h ` ınh ch ´ op b , o , i m . ôt m . ˘ at ph , ˘ ang vuông g ´ oc v ´ o , i ¯ d ´ ay, m . ˘ at ph , ˘ ang ¯ d ´ o c ´ ˘ at ¯ d ´ ay b ` ˘ ang ¯ du , ` o , ng th , ˘ ang qua tâm ¯ d ´ ay v ` a song song v ´ o , i AB. M . ˘ at ph , ˘ ang ¯ d ´ o c ´ ˘ at h ` ınh ch ´ op theo thiê ´ t di . ên l ` a m . ôt tam gi ´ ac cân ¯ d ´ ay b ` ˘ ang 2, chiê ` u cao l ` a √ h 2 + 1. Ðu , ` o , ng tr ` on n . ôi tiê ´ p tam gi ´ ac c ´ ˘ at m . ˘ at câ ` u tâm O v ` a do ¯ d ´ o c ´ o b ´ an k ´ ınh r. M . ˘ at kh ´ ac: Di . ên t ´ ıch tam gi ´ ac n ` ay b ` ˘ ang 1 2 r.  p(p − a)(p − b)(p − c) ho . ˘ ac b ` ˘ ang 1 2 r.(2 + 2 √ h 2 + 1). M . ˘ at kh ´ ac, n ´ o c ` on 1 2 x chiê ` u cao x di . ên t ´ ıch ¯ d ´ ay = 1 2 2.h. V . ây ta c ´ o: 1 2 r(2 + 2 √ h 2 + 1) = 1 2 .2.h ⇔ r = √ h 2 +1 h . Theo t ´ ınh châ ´ t ¯ dô ´ i x ´ u , ng m . ˘ at câ ` u th ´ u , 2 tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i c . anh AB t . ai trung ¯ diê , m M thu . ôc AB. Do ¯ d ´ o: d(K,(ABCD)) = r. Ta c ´ o: R 2 = KM 2 = r 2 + 1. Ho , n n ˜ u , a, nê ´ u m . ˘ at câ ` u th ´ u , 2 tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i c . anh AP t . ai N. Theo t ´ ınh châ ´ t tiê ´ p tuyê ´ n ta c ´ o: AN = AM = 1. Do ¯ d ´ o: PN = PA − 1 = √ h 2 + 2 − 1. C ˜ ung nhu , thê ´ : PK = h + r khi K n ` ˘ am ¯ dô ´ i di . ên v ´ o , i O qua m . ˘ at ph , ˘ ang (ABCD). Nê ´ u ngu , . o , c l . ai th ` ı: PK = h - r. Do ¯ d ´ o: PK 2 = PN 2 + NK 2 ⇔ (h ± r) 2 = ( √ h 2 + 2 − 1) 2 + (h 2 + 1) ⇔ ±2hr = 4 − 2 √ h 2 + 2. L . ai c ´ o: r = √ h 2 +1 h ⇒ ±( √ h 2 + 1 − 1) = 2 − √ h 2 + 2. Phu , o , ng tr ` ınh trên c ´ o nghi . êm duy nhâ ´ t l ` a h = √ 7 3 . Suy ra thê , t ´ ıch c , ua h ` ınh ch ´ op V = 1 3 .4. √ 7 3 = 4 √ 7 9 . L ` o , i gi , ai 40.4. T ` u , gi , a thiê ´ t: x 2 − y 2 = 10 2 .30 2n suy ra x, y ph , ai c ´ o c ` ung t ´ ınh ch ˜ ˘ an, l , e. T ` u , ¯ d ´ o c . ˘ ap sô ´ (x, y) l ` a ¯ d ´ ap sô ´ ¯ d ´ ung khi v ` a ch , ı khi (u,v) = ( x+y 2 , x−y 2 ) l ` a m . ôt c . ˘ ap sô ´ nguyên du , o , ng th , oa m ˜ an u > v v ` a u.v = 5 2 .30 2n . C ´ o: 5 2 .30 2n = 2 2n .3 2n .5 2n+2 c ´ o c ´ ac yê ´ u tô ´ ch ´ ınh x ´ ac l ` a: (2n + 1) 2 .(2n + 3). Do ¯ d ´ o: nê ´ u không c ´ o ¯ diê ` u ki . ên u > v th ` ı (2n + 1) 2 .(2n + 3) ch ´ ınh l ` a c . ˘ ap sô ´ (u,v) câ ` n 10 Chu , o , ng 40. Ðê ` thi olympic Hungary t ` ım. M . ôt c ´ ach ch ´ ınh x ´ ac, m . ôt c . ˘ ap sô ´ (u,v) m ` a u = v khi ¯ d ´ o do t ´ ınh ¯ dô ´ i x ´ u , ng, m . ôt n , u , a c ´ ac c . ˘ ap sô ´ c ` on l . ai c ´ o u > v. D ˜ ân ¯ dê ´ n ta c ´ o: 1 2 [(2n + 1) 2 (2n + 3) − 1] = (n + 1)(4n 2 + 6n + 1) l ` a c . ˘ ap th , oa m ˜ an. Gi , a s , u , r ` ˘ ang: (n + 1)(4n 2 + 6n + 1) l ` a m . ôt h ` ınh vuông. T ` u , n + 1 v ` a 4n 2 + 6n + 1 = (4n+2)(n+1) - 1 l ` a nh ˜ u , ng sô ´ nguyên tô ´ , 4n 2 + 6n + 1 c ˜ ung l ` a m . ôt h ` ınh vuông. Nhu , ng: (2n + 1) 2 < 4n 2 + 6n + 1 < (2n + 2) 2 (Ðiê ` u n ` ay mâu thu ˜ ân) suy ra ¯ diê ` u câ ` n ch ´ u , ng minh. L ` o , i gi , ai 40.5. T ` u , gi , a thiê ´ t ta c ´ o: x + y + z > 0 v ` ı ngu , . o , c l . ai th ` ı phu , o , ng tr ` ınh vô nghi . êm. Do 0 < x, y, z  1 nên ta c ´ o: (1 − z)(1 − x) ≥ 0 ⇒ 1 + zx ≥ x + z v ` a do ¯ d ´ o ta c ´ o: x 1+y+zx ≤ x x+y+z . Tu , o , ng t . u , cho 2 sô ´ c ` on l . ai m ` a vê ´ tr ´ ai nhiê ` u nhâ ´ t l ` a: (x + y + z)(x + y + z) ≤ 3 x+y+z . Nê ´ u gi , a s , u , c ´ ac gi ´ a tr . i x, y, z l ` a b ` ınh ¯ d , ˘ ang, ch ´ ung ta ph , ai c ´ o ¯ diê ` u ki . ên ¯ d . ˘ ac bi . êt l ` a: x + y + z = 3 suy ra x = y = z = 1. Sau ¯ d ´ o ch ´ ung ta th , u , l . ai ¯ dê , kê ´ t lu . ân r ` ˘ ang n ´ o th . u , c s . u , l ` a nghi . êm. V . ây phu , o , ng tr ` ınh c ´ o nghi . êm l ` a (x, y, z) = (1, 1, 1). L ` o , i gi , ai 40.6. G . oi m . ˘ at câ ` u c ´ o tâm O v ` a A, B, C l ` a c ´ ac ¯ diê , m bâ ´ t k ` y n ` ˘ am trên m . ˘ at câ ` u. Ta c ´ o: S OAB = 1 2 OA.OB. sin  AOB ≤ 1 2 r 2 . M . ˘ at kh ´ ac: Kho , ang c ´ ach t ` u , C ¯ dê ´ n (OAB) l ´ o , n nhâ ´ t l ` a CO = r. Khi ¯ d ´ o: T ´ u , di . ên OABC c ´ o thê , t ´ ıch l ´ o , n nhâ ´ t l ` a: r 3 6 . Nê ´ u A;A’, B; B’, C; C’ l ` a c ´ ac c . ˘ ap ¯ diê , m ¯ dô ´ i nhau trên m . ˘ at câ ` u th ` ı b ´ at gi ´ ac ABCA’B’C’ c ´ o thê , ¯ du , . o , c chia th ` anh 8 t ´ u , di . ên v ´ o , i ¯ d , ınh O v ` a v ` ı thê ´ V max = 4r 3 3 . V ´ o , i ¯ diê ` u ki . ên b ` ai to ´ an, ta thu nh , o t ´ u , di . ên T v ´ o , i thê , t ´ ıch V theo h . ê sô ´ 1 2 vê ` m ˜ ôi ¯ d , ınh ¯ dê , c ´ o ¯ du , . o , c m . ôt t ´ u , di . ên, m ˜ ôi t ´ u , di . ên c ´ o V = T 8 . Sau ¯ d ´ o 6 trung ¯ diê , m t . ao th ` anh m . ôt b ´ at gi ´ ac v ´ o , i thê , t ´ ıch l ` a: V 2 . M . ˘ at kh ´ ac: C ´ ac ¯ do . an nô ´ i 2 ¯ diê , m ¯ dô ´ i di . ên C v ` a D c , ua b ´ at gi ´ ac n ` ay c ´ o tr . ong tâm P [...]... ˜ f (1) + (−1) = −2 v` 2 = f ( f (2)) = f (−2) = − f (2) = 2,mâu thuân a 24 ` Chu,o,ng 42 Ðê thi olympic to´ n Italy a , , , , ´ ` Loi giai 42.10 Goi A l` tâp con cua tâp X không ch´,a Ai v` c´ sô phân tu l´,n nhât a u a o ´ ` , o , , , , ´ o ` thoa m˜ n diêu kiên n` y Goi k l` sô phân tu cua A.Theo gia thi t v´,i x ∈ X\A tôn a ¯ ` a ´ ` , a ´ tai i(x) ∈ {1, m} sao cho Ai(x) ⊆ A ∪ {x} Goi L x... a1999 = 0 ,, Boi vây a4 = a5 = = a1999 = 0 Do d´ : ¯o ` Chu,o,ng 44 Ðê thi Olimpic To´ n Korea a 34 S = a2 + a2 + a2 = a2 + 1 1 2 3 1 2 , = (1 − a1 ) t` a1 = a1 + a3 = 1 u 2 = 2(a1 − a1 + 1) 1 = 2(a1 − 2 )2 + 3 2 Do d´ , S Max = 2 dat duoc khi a1 = 1, ¯o ¯ ¯ , , ,, 1 S Min = 3 dat duoc khi a1 = 2 2 ¯ ¯ , , CHUONG 45 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN BA LAN ` ` 45.1 Ðê bai , , ` Bai 45.1 Cho D l` môt diêm trên... a ´ , u ´ ¯ , , ¯ a ´ v` xn+2 = a 1+xn+1 xn T`m x1998 ı , ,, ` Bai 41.10 Môt tam gi´ c ABC c´ 3 canh duong, A = 2 B, C ≤ 90o T`m chu vi nho a o ı , ´ nhât cua tam gi´ c ABC a ` Chu,o,ng 41 Ðê thi olympic to´ n Ireland a 16 , , ` i giai 41.2 Lo , , ` Loi giai 41.1 Ta c´ o 3 x8 − x5 − 1 + x14 = x5 (x3 − 1) − x x−1 = 4 x , ,c luôn duong hoac bang 0 ,, ` ˘ ˘ biêu th´ u (x9 −1)(x3 −1) x4 ´ V` x4... xk lap lai chu k` v´ y o x0 +x1 +1 x0 x1 , , ´ ` ˘ Loi giai 41.10 Ðat AB = c, BC = a, CA = b Ta c´ A = 2B v` C = 180o – 3B Ap o a dung dinh l´ SIN y ¯ a sinA = b sinB = c sinC 18 ` Chu,o,ng 41 Ðê thi olympic to´ n Ireland a T`, sinA = sin2BcosB v` sinC = sin3B = 3sinB˘4sin3 B, ta c´ u a o a = 2bcosB, c = b(3-4sin2 B) = b(4cos2 B-1) v` a2 = b(b+c) T`, d´ ta t`m 1 tam gi´ c a u ¯o ı a , ,c tê, gcd(b,c)... 3 < 2cosB = m < 2 o a , , , ˜ a ` ´ ´ ˘ Dê d` ng kiêm tra rang (m,n) = (4,7) l` cap sô nho nhât thoa m˜ n tam gi´ c a ˘ a a , (a,b,c)=(28,16,33) thoa m˜ n moi diêu kiên a ¯ ` , , CHUONG 42 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN ITALY ` ` 42.1 Ðê bai ´ ` Bai 42.1 Cho môt h`nh ch˜, nhât v´,i hai canh a, b(a > b) gâp lai theo duong u o ¯ ,`, ı , , ´ ch´ o.Chı ra diên t´ch cua tam gi´ c di qua m´ p giây e a ¯ e... ,, ,, , ´ ` ngôi nh` canh nhaucos thê duoc nôi boi hon môt cây câu) a ¯ , , ,, ´ ´ ` Bai 42.6 X´ c dinh tât ca c´ c bô 3 sô (x, k, n) nguyên duong thoa m˜ n a ¯ a a 3k − 1 = xn ` Chu,o,ng 42 Ðê thi olympic to´ n Italy a 20 ,, ` ´ ˘ ` Bai 42.7 Ch´,ng minh rang v´,i môi sô nguyên tô p th` phuong tr`nh 2 p + 3 p = an u o ˜ ´ ı ı không c´ nghiêm nguyên (a, n) v´,i a, n > 1 o o , , ` ˘ ` Bai 42.8 Ðiêm... (k − 1, n − 1) dên (k − 1, 1) v` sang tr´ i (k − 2, 1) v´,i a a a o ¯´ , ,oi dây chı ra viêc xây dung n` y v´,i m = 6, n = 4 , , ¯ k = m − 1, m − 3, 3 (h`nh v˜ E du ´ ı e a o ) 22 ` Chu,o,ng 42 Ðê thi olympic to´ n Italy a , ˜ ` ˜ ¯´ V` ch´ ng ta xây 2 câu dân dên môi nh` v` bât k` nh` n` o c˜ ng c´ thê dên ngôi nh` ı u a a ´ ı a a u o a ¯´ , , ` , ˜ ´ ı a ı a ` ` ´ ˘ bât k` kh´ c.V` c´ c cây câu... t`, gia thi t DE BC, ch´ ng ta c´ DE = ´ Nhu u u o BC , ,oc diêu phai ch´,ng minh , ¯ ` ta du u ¯ h−2r ;Thay h , v` o bât dang th´,c trên a ´ ˘ u , , , , ´ ` Loi giai 42.9 (a) Chı c´ c´ c h` m thoa m˜ n t´nh chât trên l` : f (x) = x v` f (x) = −x o a a a ı a a Cho x = y = 0 ta duoc f ( f (0)) = f (0), trong khi cho x = − f (0), y = 0 ta duoc ¯ , , ¯ , , , , ´ ˘ o a´ f (− f (0)) = f (0) Theo gia thi t... u o ` ˘ Loi giai 40.9 Gia su rang duong tr` n nôi tiêp tam gi´ c XYZ tiêp x´ c v´,i canh o a ¯ ,`, , ,, ´ ´ ´ ´ YZ, ZX, XY o U, V, W Ap dung t´nh chât cua tiêp tuyên ta c´ : ı o ` Chu,o,ng 40 Ðê thi olympic Hungary 12 1 XY + YZ + ZX = (YW + YU) + (XW + ZU) + (XZ) v` YU = 2 (XY + YZ − ZX) a , ´ u Do d´ nêu duong tr` n nôi tiêp cua tam gi´ c ABC v` CDB tiêp x´ c tai E th`: o ´ a a ı ¯o ´ ¯ ,`, AD... j, dê u a o ˜ ¯a u ¯ , ` 26 Chu,o,ng 43 Ðê thi Olimpic To´ n Nhât Ban a , , , ´ ¯ ´ ´ ¯o thoa m˜ n diêu kiên nhât dinh phai c´ ´t nhât 1999 − k d´ o h` ng ch´,a ô chông d´ a ¯ ` oı u ¯a , a , ´ , , ¯a ı ´ a V` vây, tông sô luong d´ ´t nhât l` : ı k2 + (1999 − k)2 = 2(k − 1999 2 19992 19992 ) +( )≥( ) = 1998001 2 2 2 ,, ´ ¯a ` ´ a Boi vây sô d´ cân thi t l` 1.998.001 h` n o , , ` ´ ` ˘ Loi giai . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 5) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO. n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp