tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 4)

Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 4) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach ¯ di . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không ¯ du , . o , c chuâ , n, nhiê ` u ¯ diê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an ¯ d . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng ¯ dây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u ¯ dê ` n ` ay, tôi ¯ d ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u ¯ do . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 n ˘ am 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 31. Ðê ` thi olympic to ´ an Belarus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 31.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 31.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chu , o , ng 32. Ðê ` thi olympic to ´ an Brazil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 32.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 32.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chu , o , ng 33. Ðê ` thi olympic to ´ an Bulgaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 33.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 33.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chu , o , ng 34. Ðê ` thi olympic to ´ an Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 34.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 34.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chu , o , ng 35. Ðê ` thi olympic to ´ an Trung Quô ´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 35.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 35.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chu , o , ng 36. Ðê ` thi olympic to ´ an S ´ ec v ` a C . ông ho ` a Slovak. . . . . . . . . . . . . . . . 32 36.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 36.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chu , o , ng 37. Ðê ` thi olympic to ´ an Ph ´ ap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 37.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 M . UC L . UC 5 37.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chu , o , ng 38. Ðê ` thi olympic to ´ an Hong Kong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 38.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 38.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Chu , o , ng 39. Ðê ` thi olympic to ´ an Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 39.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 39.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 CHU , O , NG 31 Ð ` Ê THI OLYMPIC TO ´ AN BELARUS 31.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 31.1. T ` ım tâ ´ t c , a c ´ ac sô ´ th . u , c a sao cho h ` am sô ´ f (x) = {ax + sin x} tuâ ` n ho ` an. Trong ¯ d ´ o {y} l ` a phâ ` n th . âp phân c , ua y. B ` ai 31.2. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang v ´ o , i bâ ´ t k ` ı sô ´ nguyên n > 1 th ` ı tô , ng S c , ua tâ ´ t c , a c ´ ac u , ´ o , c c , ua n (bao gô ` m c , a 1 v ` a n) th , oa m ˜ an bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c k √ n < S < √ 2kn, trong ¯ d ´ o k l ` a sô ´ c ´ ac u , ´ o , c c , ua n. B ` ai 31.3. Cho m . ôt b , ang h ` ınh vuông 7 × 7 ¯ du , . o , c chia th ` anh 49 h ` ınh vuông ¯ do , n v . i, v ` a b . i g . ach th ` anh 3 lo . ai: c ´ ac h ` ınh ch ˜ u , nh . ât c ˜ o , 3 × 1, c ´ ac g ´ oc gô ` m 3 h ` ınh vuông ¯ do , n v . i v ` a c ´ ac h ` ınh vuông ¯ do , n v . i. Jerry c ´ o râ ´ t nhiê ` u h ` ınh ch ˜ u , nh . ât v ` a m . ôt g ´ oc trong khi Tom ch , ı c ´ o m . ôt h ` ınh ch ˜ u , nh . ât. (a) Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang Tom c ´ o thê , ¯ d . ˘ at h ` ınh vuông c , ua m ` ınh lên 1 ch ˜ ô n ` ao ¯ d ´ o trên tâ ´ m b , ang (ph , u duy nhâ ´ t m . ôt h ` ınh vuông ¯ do , n v . i) m ` a Jerry không thê , xê ´ p k ´ ın phâ ` n c ` on l . ai c , ua tâ ´ m b , ang v ´ o , i nh ˜ u , ng h ` ınh c , ua m ` ınh. (b) Bây gi ` o , Jerry ¯ du , . o , c cho thêm m . ôt g ´ oc kh ´ ac. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang d ` u cho Tom ¯ dê , h ` ınh vuông c , ua anh ta , o , ¯ dâu (ph , u duy nhâ ´ t m . ôt h ` ınh vuông ¯ do , n v . i), Jerry v ˜ ân c ´ o thê , xê ´ p k ´ ın phâ ` n c ` on l . ai c , ua tâ ´ m b , ang v ´ o , i c ´ ac h ` ınh c , ua m ` ınh. B ` ai 31.4. Cho m . ôt ¯ du , ` o , ng tr ` on n . ôi tiê ´ p h ` ınh thang cân ABCD. Gi , a s , u , ¯ du , ` o , ng tr ` on giao v ´ o , i ¯ du , ` o , ng ch ´ eo AC t . ai K v ` a L (K n ` ˘ am gi ˜ u , a A v ` a L). T ´ ınh t , ı sô ´ AL · KC AK · LC . B ` ai 31.5. Cho P v ` a Q l ` a c ´ ac ¯ diê , m trên c . anh AB c , ua tam gi ´ ac ABC (v ´ o , i P n ` ˘ am gi ˜ u , a A v ` a Q) sao cho ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCB, v ` a cho AD l ` a ¯ du , ` o , ng phân gi ´ ac Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 g ´ oc ∠BAC. Ðu , ` o , ng AD c ´ ˘ at CP v ` a CQ tu , o , ng ´ u , ng t . ai M v ` a N. Gi , a s , u , PN = CD v ` a 3∠BAC = 2∠BCA, ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang tam gi ´ ac CQD v ` a tam gi ´ ac QNB c ´ o c ` ung di . ên t ´ ıch. B ` ai 31.6. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang phu , o , ng tr ` ınh {x 3 } + {y 3 } = {z 3 } c ´ o vô sô ´ ngh . êm h ˜ u , u t , ı không nguyên. Trong ¯ d ´ o, {a} l ` a phâ ` n th . âp phân c , ua a. B ` ai 31.7. T ` ım tâ ´ t c , a c ´ ac sô ´ nguyên n v ` a sô ´ th . u , c m sao cho c ´ ac h ` ınh vuông c , ua m . ôt b , ang c ˜ o , n × n c ´ o thê , ¯ du , . o , c k ´ ı hi . êu l ` a 1, 2, . . . , n 2 v ´ o , i m ˜ ôi sô ´ xuâ ´ t hi . ên ¯ d ´ ung m . ôt lâ ` n theo c ´ ach biê , u sau (m − 1)a i j ≤ (i + j) 2 − (i + j) ≤ ma i j v ´ o , i 1 ≤ i, j ≤ n, trong ¯ d ´ o a i j l ` a sô ´ ¯ du , . o , c ¯ d . ˘ at v ` ao giao c , ua h ` ang th ´ u , i v ` a c . ôt th ´ u , j. B ` ai 31.8. T ´ ınh t ´ ıch 2 1999  k=0  4 sin 2 kπ 2 2000 − 3  . B ` ai 31.9. Cho hai sô ´ nguyên du , o , ng m v ` a n. B ´ ˘ at ¯ dâ ` u v ´ o , i m . ôt danh s ´ ach 1, 2, 3, . . . , ch ´ ung ta c ´ o thê , l . âp m . ôt danh s ´ ach c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng m ´ o , i theo 2 c ´ ach kh ´ ac nhau. (i) Ðâ ` u tiên ta x ´ oa tâ ´ t c , a sô ´ th ´ u , m trong danh s ´ ach (luôn b ´ ˘ at ¯ dâ ` u b ` ˘ ang sô ´ ¯ dâ ` u tiên); sau ¯ d ´ o, trong danh s ´ ach thu ¯ du , . o , c, ta x ´ oa tâ ´ t c , a sô ´ th ´ u , n. Ta g . oi danh s ´ ach n ` ay l ` a danh s ´ ach thu ¯ du , . o , c th ´ u , nhâ ´ t. (ii) Ðâ ` u tiên ta x ´ oa tâ ´ t c , a sô ´ th ´ u , n trong danh s ´ ach; sau ¯ d ´ o, trong danh s ´ ach thu ¯ du , . o , c, ta x ´ oa tâ ´ t c , a sô ´ th ´ u , m. Ta g . oi danh s ´ ach n ` ay l ` a danh s ´ ach thu ¯ du , . o , c th ´ u , 2. Bây gi ` o , , ta g . oi 1 c . ˘ ap (m, n) l ` a tô ´ t khi v ` a ch , ı khi ph ´ at biê , u sau ¯ d ´ ung: nê ´ u m . ôt sô ´ nguyên du , o , ng k xuâ ´ t hi . ên trong c , a 2 danh s ´ ach thu ¯ du , . o , c, th ` ı n ´ o xuâ ´ t hi . ên t . ai c ` ung v . i tr ´ ı trong m ˜ ôi danh s ´ ach. (a) Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang (2, n) l ` a tô ´ t v ´ o , i bâ ´ t k ` y sô ´ nguyên du , o , ng n. (b) Kiê , m xem c ´ o tô ` n t . ai hay không bâ ´ t k ` ı c . ˘ ap (m, n) tô ´ t th , oa m ˜ an 2 < m < n. 8 Chu , o , ng 31. Ðê ` thi olympic to ´ an Belarus B ` ai 31.10. Cho a 1 , a 2 , . . . , a 100 l ` a m . ôt t . âp c ´ ac sô ´ c ´ o th ´ u , t . u , . Trong m ˜ ôi lâ ` n di chuyê , n, ta ch . on 2 sô ´ bâ ´ t k ` ı a n , a m v ` a chuyê , n ch ´ ung t ´ o , i 2 sô ´ tu , o , ng ´ u , ng a 2 n a m − n m  a 2 m a n − a m  v ` a a 2 m a n − m n  a 2 n a m − a n  Kiê , m tra nê ´ u c ´ o thê , b ´ ˘ at ¯ dâ ` u v ´ o , i t . âp a i = 1 5 v ´ o , i i = 20, 40, 60, 80, 100 c ` on l . ai a i = 1 t ` ım ¯ du , . o , c m . ôt t . âp ch , ı ch ´ u , a c ´ ac sô ´ nguyên. 31.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 31.1. Nghi . êm c , ua b ` ai to ´ an l ` a a = r π , r ∈ Q. Ðâ ` u tiên, gi , a s , u , a = r π v ´ o , i r ∈ Q; viê ´ t l . ai r = p q v ´ o , i p, q ∈ Z, q > 0. Khi ¯ d ´ o f (x + 2qπ) =  p qπ (x + 2qπ) + sin(x + 2qπ)  =  p qπ x + 2p + sin x  =  p qπ x + sin x  = f (x) do ¯ d ´ o f tuâ ` n ho ` an v ´ o , i chu k ` ı 2qπ. Bây gi ` o , , gi , a s , u , f l ` a tuâ ` n ho ` an; khi ¯ d ´ o tô ` n t . ai p > 0 sao cho f (x) = f (x + p) v ´ o , i m . oi x ∈ R. Khi ¯ d ´ o {ax + sin x} = {ax + ap + sin(x + p)} v ´ o , i m . oi x ∈ R; n ´ oi c ´ ach kh ´ ac g(x) = ap + sin(x + p) − sin x l ` a m . ôt sô ´ nguyên v ´ o , i m . oi x. Tuy nhiên g liên t . uc, v ` ı v . ay tô ` n t . ai k ∈ Z sao cho g(x) = k v ´ o , i m . oi x ∈ R. Viê ´ t l . ai ¯ diê ` u trên ta ¯ du , . o , c sin(x + p) − sin x = k − ap v ´ o , i m . oi x ∈ R. Cho x = y, y + p, y + 2p, . . . , y + (n −1)p rô ` i c . ông l . ai ta ¯ du , . o , c sin(y + np) − sin y = n(k − ap) v ´ o , i m . oi y ∈ R v ` a n ∈ N. B , o , i v ` ı vê ´ tr ´ ai c , ua phu , o , ng tr ` ınh trên b . i ch . ˘ an b , o , i 2, ta kê ´ t lu . ân r ` ˘ ang k = ap v ` a sin(x + p) = sin x v ´ o , i m . oi x ∈ R. Ð . ˘ ac bi . êt, sin( π 2 + p) = sin( π 2 ) = 1 v ` a do ¯ d ´ o p = 2mπ v ´ o , i m ∈ N. Nhu , v . âya = k p = k 2mπ = r π v ´ o , i r = k 2m ∈ Q, ¯ dpcm. Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9 L ` o , i gi , ai 31.2. Gi , a s , u , c ´ ac u , ´ o , c c , ua n l ` a 1 = d 1 < d − 2 < ··· < d k = n; khi ¯ d ´ o d i d k+1−i = n v ´ o , i m ˜ ôi i. V ` ı v . ây S = k  i=1 d i = k  i=1 d i + d k+1−i 2 > k  i=1  d i d k+1−i = k √ n, th , oa m ˜ an vê ´ tr ´ ai c , ua bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c. (Bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c trên l ` a ch . ˘ at v ` ı dâ ´ u b ` ˘ ang không x , ay ra v ´ o , i d 1 + d k 2 ≥ √ d 1 d k .) Ðê , ch ´ u , ng minh vê ´ ph , ai, ¯ d . ˘ at S 2 =  k i=1 d 2 i v ` a d ` ung bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c trung b ` ınh ta ¯ du , . o , c S k =  k i=1 d i k ≤   k i=1 d 2 i k =  S 2 k nên S ≤  kS 2 . Bây gi ` o , S 2 n 2 = k  i=1 d − i 2 n 2 = k  i=1 1 d k+1−i 2 ≤ n  j=1 1 j 2 < π 6 b , o , i v ` ı d 1 , . . . , d k l ` a c ´ ac sô ´ nguyên phân bi . êt t ` u , 1 ¯ dên n. Do ¯ d ´ o S ≤  kS 2 <  kn 2 π 2 6 < √ 2kn. L ` o , i gi , ai 31.3. (a) Tom nên ¯ d . ˘ at h ` ınh vuông c , ua m ` ınh nên h ` ınh ¯ du , . o , c ¯ d ´ anh dâ ´ u X trên tâ ´ m b , ang nhu , du , ´ o , i ¯ dây. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 X 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 X 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 Lu , ´ o , i ô vuông , o , vên tr ´ ai ch ´ u , a 17 sô ´ 1, 15 sô ´ 2 v ` a 16 sô ´ 3; v ` ı m ˜ ôi h ` ınh ch ˜ u , nh . ât 3 × 1 ch ´ u , a 1 sô ´ 1, 1 sô ´ 2 v ` a 1 sô ´ 3, g ´ oc c , ua Jerry ph , ai ph , u 1 sô ´ 3 v ` a 2 sô ´ 1; v ` ı v . ây n ´ o ph , ai ¯ du , . o , c ¯ d . inh hu , ´ o , ng nhu , . Nhu , ng m ˜ ôi g ´ oc nhu , v . ây ph , u 1 sô ´ 1, 1 sô ´ 2 v ` a 1 sô ´ 3 trong lu , ´ o , i ô vuông bên ph , ai, tu , o , ng t . u , ¯ dô ´ i v ´ o , i bâ ´ t k ` ı h ` ınh ch ˜ u , 10 Chu , o , ng 31. Ðê ` thi olympic to ´ an Belarus nh . ât 3 × 1. B , o , i v ` ı lu , ´ o , i ô vuông bên ph , ai c ˜ ung ch ´ u , a 17 sô ´ 1, 15 sô ´ 2 v ` a 16 sô ´ 3, Jerry không thê , xê ´ p 48 ô vuông c ` on l . ai v ´ o , i c ´ ac h ` ınh c , ua cô â ´ y. (b) C ´ ach s ´ ˘ ap xê ´ p sau ¯ dây th , oa m ˜ an. H ` ınh ¯ dâ ` u tiên c ´ o thê , xoay v ` a ¯ d . ˘ at trên tâ ´ m b , ang 7 × 7 sao cho h ` ınh vuông c , ua Tom ¯ d . ˘ at v ` ao ch ˜ ô trô ´ ng c , ua b , ang, miê ` n chu , a ¯ du , . o , c ph , u. Tu , o , ng t . u , , h ` ınh th ´ u , 2 c ´ o thê , xoay v ` a ¯ d . ˘ at v ` ao trong phâ ` n chu , a ¯ du , . o , c ph , u 4 × 4 c ` on l . ai sao cho h ` ınh vuông c , ua Tom v ˜ ân ¯ d . ˘ at ¯ du , . o , c, v ` a cuô ´ i c ` ung, ¯ do , n g ´ oc c ´ o thê , xoay v ` a ¯ d . ˘ at m ` a không chô ` ng lên h ` ınh vuông c , ua Tom. L ` o , i gi , ai 31.4. Bô , ¯ dê ` 31.1. Gi , a s , u , ch ´ ung ta c ´ o m . ôt h ` ınh thang (không nhâ ´ t thiê ´ t ph , ai cân) ngo . ai tiê ´ p 1 ¯ du , ` o , ng tr ` on b ´ an k ´ ınh r, trong ¯ d ´ o ¯ du , ` o , ng tr ` on tiê ´ p x ´ uc v ´ o , i c ´ ac c . anh AB, BC, CD, DA tu , o , ng ´ u , ng t . ai c ´ ac ¯ diê , m P, Q, R, S . Gi , a s , u , c . anh AC giao v ´ o , i ¯ du , ` o , ng tr ` on t . ai K v ` a L, v ´ o , i K n ` ˘am gi ˜ u , a A v ` a L. Ð . ˘at m = AP v ` a n = CR. Khi ¯ d ´ o AK · LC = mn + 2r 2 −  (mn + 2r 2 ) 2 − (mn 2 ) [...]... f (3k) 22000 −3 hay − 3 (31.1) kπ f (k) k=1 sin k=1 22000 M` a 22000 − 1 21999 − 2 21999 21999 3 3 f (3k) · f (3k) · f (3k) f (3k) = k=1 k=1 21999 + 1 22000 + 2 k= k= 3 3 ,, 2000 Boi v` sin θ = sin(π − θ) = − sin(π + θ), ta c´ f (x) = f (2 ı o − x) = − f (x − 22000 ) Do , , ´, ` ˘ d´, dat S i = {k|1 ≤ k ≤ 21999 , k ≡ i( mod 3)} v´,i i = 0, 1, 2, biêu th´,c truoc bang o u ¯ı ¯ ˘ 21999 − 2 3 22000 −... ´ a o ` Loi giai 32.4 Goi an l` gi´ tri nguyên duong nho nhât m` c´ thê tô ch´,c duoc gia a a u , , , ´ ´ vô dich gi˜,a n dôi b´ ng trong ai ng` y chu nhât Cho n > 1, nhât thi t an ≥ 2[ n − 1], u a ¯ o 2 ` Chu,o,ng 32 Ðê thi olympic to´ n Brazil a 18 2 , ,, ,, ˜ ¯´ nguoc lai, tông c´ c trân dâu không vuot qu´ (2[ n ] − 2).[ n ] ≤ (n−1) < (n ), dân dên a ¯´ a 2 2 2 2 ˜ mâu thuân , , ,, ` n ´... (7a−b)= (7a− 2 3 3 8 12 3 3 8 24 b) , ´ ´ ¯˘ Ap dung bât dang th´,c vê c´ c canh trong tam gi´ c, ta t`m duoc u ` a a ı ¯ , , 1 a < . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 4) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO. 3 2 1999  k=1 sin  3kπ 2 2000  sin  kπ 2 2000  hay −3 2 1999  k=1 f (3k) f (k) (31.1) M ` a 2 1999  k=1 f (3k) = 2 1999 − 2 3  k=1 f (3k) · 2 2000 − 1 3  k= 2 1999 +