Về phần tử cấu xạ trái trong vành corner

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm sở 1.2 Phần tử quy khả nghịch vành Corner Phần tử cấu xạ trái vành Corner 14 2.1 Phần tử cấu xạ - Vành cấu xạ 14 2.2 Phần tử cấu xạ trái vành Corner 16 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1976, Erlich chứng minh rằng: α ∈ End(M ) phần tử quy khả nghịch phần tử quy M/Im(α) ∼ = Ker(α) (1) Năm 2004, Nicholson Sánchez Campos đặc biệt hóa điều kiện (1) cho trường hợp M = R R: Với phần tử a ∈ R ánh xạ αa : R R → R R, x → xa, kết trở thành R/Ra ∼ = l(a), l(a) linh hóa tử trái a Phần tử a thỏa mãn điều kiện nêu gọi phần tử cấu xạ trái Nếu R vành cho phần tử phần tử cấu xạ trái R gọi vành cấu xạ trái Một số tính chất vành cấu xạ hai tác giả nêu giới thiệu [4] Đối với vành R có phần tử lũy đẳng e, ln có vành Corner tương ứng eRe Mục đích luận văn sử dụng báo [3] [4] làm sáng tỏ số kết phần tử cấu xạ trái, thiết lập mối liên hệ phần tử cấu xạ trái phần tử quy khả nghịch Từ thu mối liên hệ tính chất cấu xạ vành R vành Corner eRe Nội dung luận văn trình bày chương Chương Các kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức có liên quan đến đề tài như: Phần tử quy, phần tử quy khả nghịch, vành Corner Chương Phần tử cấu xạ trái vành Corner Nội dung chương trình bày hai tiết 2.1 Phần tử cấu xạ - Vành cấu xạ Chúng giới thiệu định nghĩa số tính chất phần tử cấu xạ trái vành cấu xạ trái 3 2.2 Phần tử cấu xạ trái vành Corner Chúng tơi trình bày số kết mối liên hệ phần tử cấu xạ trái phần tử quy khả nghịch, phần tử cấu xạ trái vành Corner Tường minh kết giới thiệu [3], đồng thời giới thiệu kết thu mối liên hệ vành cấu xạ trái R vành Corner eRe Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2009, hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người đặt tốn, định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi tới thầy giáo, giáo tổ Đại số, khoa Tốn, khoa Đào tạo Sau đại học - trường Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Cao Thắng-Hương Sơn-Hà Tĩnh, nơi trực tiếp tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên Cuối cùng, tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ tinh thần lẫn vật chất gia đình hai bên (nội, ngoại), anh em bạn bè đồng nghiệp dành cho tác giả suốt thời gian vừa qua Vinh, tháng 11 năm 2009 Trần Đình Chiến CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị Các mơđun vành ln hiểu unita phải (nếu khơng nói thêm ) Ở chương chúng tơi trình bày khái niệm kết biết sử dụng trực tiếp nội dung chương sau Các khái niệm, tính chất ký hiệu, chủ yếu tham khảo tài liệu [2] [8] 1.1 Khái niệm sở 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a ∈ R gọi là: ∗ ước không trái (phải) tồn = b ∈ R cho ba = (ab = 0) ∗ ước không ước khơng trái phải ∗ lũy đẳng a2 = a ∗ lũy linh ak = 0, với k ∈ N∗ ∗ quy tồn b ∈ R cho aba = a ∗ khả nghịch trái (phải) tồn b ∈ R cho ba = (ab = 1) ∗ khả nghịch khả nghịch trái phải Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R ký hiệu U (R) ∗ tâm ab − ba = 0; ∀b ∈ R Tập hợp phần tử tâm vành R lập thành vành con, ký hiệu Z(R) 5 1.1.2 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a ∈ R gọi là: ∗ quy khả nghịch phải (right unit regular) tồn phần tử khả nghịch phải x ∈ R cho axa = a ∗ quy khả nghịch trái (left unit regular) tồn phần tử khả nghịch trái x ∈ R cho axa = a ∗ quy khả nghịch phía (one - side unit regular) phần tử quy khả nghịch trái phải ∗ quy khả nghịch (unit regular) a = aua, u phần tử khả nghịch R, hay u ∈ U (R) Ta ký hiệu ur(R) tập hợp tất phần tử quy khả nghịch R Nếu ur(R) = R ta nói vành R vành quy khả nghịch 1.1.3 Định nghĩa Cho vành R A tập khác rỗng R (1) Linh hóa tử trái (phải) A R tập hợp annR l (A) = {b ∈ R : ba = 0; ∀a ∈ A} (t.ư., annR r (A) = {b ∈ R : ab = 0; ∀a ∈ A}) (2) Linh hóa tử A R tập hợp annR (A) = {annR l (A) ∩ annR r (A)} Các tính chất linh hóa tử 1.1.4 Bổ đề Cho A tập khác rỗng R Khi đó: R (1) annR l (A) iđêan trái annr (A) iđêan phải R R (2) Nếu A ⊂ Z(R) annR l (A) = annr (A) iđêan R R (3) Nếu A iđêan trái (phải) R annR l (A) (annr (A)) iđêan R 1.1.5 Định lý Cho R vành a ∈ R Các điều kiện sau tương đương: (1) a phần tử quy khả nghịch R, nghĩa a = aua với u thuộc U (R) (2) Với f R thỏa mãn f = f ∈ R u ∈ U (R), a = uf (3) a = eu, với e phần tử lũy đẳng R u ∈ U (R) (4) Với s R, a = asa R/aR ∼ = annR (a) r R-môđun phải (5) aR hạng tử trực tiếp RR R/aR ∼ = annR r (a) R-môđun phải 1.1.6 Nhận xét Với vành R, phần tử lũy đẳng Với vành R, e ∈ R lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng Thật vây Từ e lũy đẳng ta có: e2 = e ⇔ e2 − e = ⇔ e2 − 2e + = − e ⇔ (1 − e)2 = − e Do (1 − e) phần tử lũy đẳng 1.1.7 Định nghĩa Cho vành R Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R gọi trực giao ef = f e = Phần tử lũy đẳng R gọi lũy đẳng nguyên thủy biểu diễn thành tổng hai phần tử lũy đẳng trực giao khác không 1.1.8 Bổ đề Cho vành R Khi đó: (1) Phần tử lũy đẳng e ∈ R không khả nghịch phải ước (2) Mọi phần tử lũy linh ước không (3) Mọi phần tử khả nghịch phải (trái) a ∈ R phần tử quy (4) Mọi phần tử lũy đẳng quy (5) Nếu a ∈ R phần tử quy với b ∈ R thỏa mãn aba = a, ab ba phần tử lũy đẳng (6) Nếu không phần tử lũy linh R phần tử lũy đẳng e ∈ R lũy đẳng tâm (7) Tập hợp phần tử tâm vành R lập thành vành Kí hiệu Z(R) Nếu R có đơn vị ∈ Z(R) 7 Từ phần tử lũy đẳng, ta có định lý phân tích vành sau 1.1.9 Định lý Cho R vành Khi đó: (1) Nếu A iđêan trái R sinh phần tử lũy đẳng e ∈ R, nghĩa A = Re, R = A ⊕ l(e) phân tích thành iđêan trái (2) Nếu B iđêan R sinh lũy đẳng tâm f ∈ R, R = B ⊕ annR (f ) phân tích thành iđêan Với e phần tử lũy đẳng vành R, định lý phân tích Peirce phát biểu sau: 1.1.10 Định lý (Định lý phân tích Peirce) Cho e phần tử lũy đẳng vành R Khi đó: R = eRe + el(e) + r(e)e + l(e) ∩ r(e) phân tích vành R thành tổng vành Nếu e ∈ Z(R) phân tích phân tích thành iđêan: R = Re ⊕ annR (e) Tiếp theo giới thiệu số lớp iđêan đặc biệt vành tính chất chúng 1.1.11 Định nghĩa Một iđêan trái I vành R gọi là: iđêan trái tối tiểu I = khơng chứa thực iđêan trái khác không R iđêan trái tối đại I = R khơng chứa iđêan trái khác R nil iđêan trái phần tử I phần tử lũy linh iđêan lũy linh tồn k ∈ N∗ cho I k = iđêan lũy đẳng I = I Hoàn toàn tương tự, định nghĩa cho phía phải Một iđêan thực I R gọi iđêan nguyên tố với iđêan A, B R, A.B ⊂ I , ta có A ⊂ I B ⊂ I Iđêan I gọi iđêan nửa nguyên tố giao iđêan nguyên tố Bổ đề sau cho thấy tồn iđêan tối đại 1.1.12 Bổ đề Trong vành R, iđêan (trái, phải) thực chứa iđêan (trái, phải) tối đại Chúng ta có mối liên hệ iđêan tối đại iđêan nguyên tố 1.1.13 Bổ đề Trong vành R, iđêan tối đại iđêan ngun tố Đối với iđêan tối tiểu có tính chất sau 1.1.14 Bổ đề Giả sử A iđêan trái tối tiểu vành R Khi đó: A2 = A = Re, với e phần tử lũy đẳng A Nghĩa là, A lũy linh A sinh phần tử lũy đẳng Khi iđêan sinh phần tử quy ta có: 1.1.15 Bổ đề Trong vành R, iđêan (trái) sinh phần tử quy lũy đẳng Như biết, iđêan (trái) lũy linh nil iđêan (trái) Tuy nhiên điều ngược lại khơng hồn tồn Đối với lớp iđêan có kết sau: 1.1.16 Định lý Giả sử R vành Thế thì: (1) Tổng hữu hạn iđêan (trái) lũy linh iđêan lũy linh (2) Tổng tùy ý nil iđêan nil iđêan Chú ý rằng, phát biểu (2) iđêan hai phía Tiếp theo xin nhắc lại khái niệm Nil radical vành R 1.1.17 Định nghĩa Tổng tất nil iđêan vành R gọi nil (nil radical) R ký hiệu N (R) Theo Định lý 1.1.16, N (R) nil iđêan R tất nil iđêan R chứa N (R) Tất nhiên, trường hợp tổng quát, N (R) không chứa tất phần tử lũy linh R Điều trường hợp R vành giao hoán Nhận xét rằng, nil vành thương R/N (R) = Giả sử I iđêan R cho I = (I + N (R))/N (R) nil iđêan R/N (R) Khi đó, với a ∈ I ta có ak ∈ N (R), với k ∈ N∗ Chúng ta có tồn r ∈ N∗ cho (ak )r = akr = Do đó, I nil iđêan I ⊂ N (R) Với iđêan trái I ⊂ R k ∈ N∗ ta có (I + IR)k ⊂ I k + I k R Nếu I iđêan trái lũy linh, điều có nghĩa iđêan hai phía I +IR iđêan lũy linh Từ đó, iđêan trái lũy linh chứa iđêan lũy linh Do có kết sau 1.1.18 Định lý Với vành R, ta có: Np (R) := Tổng tất iđêan trái lũy linh = Tổng tất iđêan phải lũy linh = Tổng tất iđêan lũy linh 1.1.19 Định nghĩa Cho vành R Căn nguyên tố vành R, ký hiệu P (R), giao tất iđêan nguyên tố vành R 1.2 Phần tử quy khả nghịch vành Corner 1.2.1 Định nghĩa Cho vành R Với phần tử lũy đẳng e ∈ R, eRe vành với đơn vị e gọi vành Corner vành R Chú ý rằng, với phần tử lũy đẳng e ∈ R khác không chúng xác định vành thứ hai eRe = {exe|x ∈ R}, phép tốn cộng nhân eRe phép toán cộng nhân xác định R, phần tử = e0e, phần tử đơn vị e = e1e Nếu e = eRe khơng vành R e khơng tâm eRe khơng ảnh đồng cấu R Tuy nhiên, e lũy đẳng tâm ánh xạ τe : x → exe (x ∈ R) toàn cấu vành từ R vào eRe, với Ker(τe ) = (1 − e)R(1 − e) 10 1.2.2 Định nghĩa Cho P tập hợp thự tự toàn phần với quan hệ bao hàm ≤ A ⊂ P Phần tử p ∈ P gọi giới hạn (giới hạn dưới) A với a ∈ A, a ≤ p (p ≤ a) Nếu tập hợp giới hạn (dưới) A tồn phần tử bé (lớn nhất) gọi cận bé (cận lớn nhất) Tập hợp P gọi dàn (lattice) tập thứ tự toàn phần với tập P có cận bé cận lớn Nếu X, Y môđun A-môđun M, X ⊂Y ký hiệu cho X đẳng cấu với mơđun Y Hai môđun X Y gọi so sánh ta có: X ⊂Y , Y ⊂X 1.2.3 Nhận xét (1) Nếu M A-mơđun, R = EndA (M ) vành quy với a ∈ R, Im(a) Ker(a) hạng tử trực tiếp M (2) Nếu M A-môđun cho R = EndA (M ) vành quy x ∈ R, thì: (2a) x ∈ U (R) tự đẳng cấu M (2b) x khả nghịch phải R tồn cấu M (2c) x khả nghịch trái R đơn cấu M Ta nhắc lại kết sau G Ehrlich ([5]) 1.2.4 Định lý ([5], Theorem 1) Cho vành A M A-môđun cho R = EndA (M ) vành quy, a ∈ R (I) Các phát biểu sau tương đương: (1) a ∈ ur(R); (2) Tồn tự đồng cấu u : M → M cho Im(a) ⊕ Ker(a) = M (II) Các phát biểu sau tương đương: (1) a quy khả nghịch trái; (2) Tồn tự toàn cấu u : M → M cho Im(a) + uKer(a) = M ; (2) Tồn tự toàn cấu u : M → M cho Im(a) ⊕ uKer(a) = M 11 Tiếp theo câu trả lời cho câu hỏi: Khi vành quy vành quy khả nghịch? 1.2.5 Định lý Cho vành A M A-môđun cho EndA (M ) vành quy (1) R vành quy khả nghịch với môđun P1 , P2 , Q1 , Q2 cho M = P1 ⊕ Q1 = P2 ⊕ Q2 , P1 ∼ = P2 Q1 ∼ = Q2 (2) R quy khả nghịch phía với môđun P1 , P2 , Q1 , Q2 cho M = P1 ⊕ Q1 = P2 ⊕ Q2 , P1 ∼ = P2 Q1 ⊂Q2 Q2 ⊂Q1 1.2.6 Nhận xét Từ kết định lý trên, hai khái niệm quy quy khả nghịch trùng vành tự đồng cấu môđun thỏa mãn luật giản ước Kết sau cho mối liên hệ phần tử quy khả nghịch phần tử khả nghịch 1.2.7 Định lý ( [5], Theorem 3) (I) Cho vành quy R a ∈ R Khi đó: (1) a quy khả nghịch tồn phần tử khả nghịch u ∈ R cho aR ⊕ u.r(Ra) = R (2) a phần tử quy khả nghịch phải tồn phần tử khả nghịch trái u ∈ R cho aR ∩ u.r(Ra) = (3) a phần tử quy khả nghịch trái tồn phần tử khả nghịch phải u ∈ R cho aR + u.r(Ra) = R (II) Vành R quy khả nghịch với a ∈ R, tồn u ∈ U (R) cho aR ⊕ u.r(Ra) = R (III) Vành R quy khả nghịch phía với a ∈ R, tồn phần tử khả nghịch trái u ∈ R cho aR ∩ u.r(Ra) = 0, tồn phần tử khả nghịch phải u ∈ R cho aR + u.r(Ra) = R 12 Phần tử quy khả nghịch quy khả nghịch phía, điều ngược lại khơng hoàn toàn Kết sau cho câu trả lời ngược lại 1.2.8 Định lý Cho A vành M A-môđun cho EndA (M ) vành quy Giả sử M phân tích thành mơđun khơng phân tích Khi đó: (1) R vành quy khả nghịch phía (2) R quy khả nghịch M tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Tiếp theo, tập trung giới thiệu kết phần tử quy khả nghịch vành Corner, đồng thời xem xét tính chất tính quy khả nghịch lớp vành Corner tương ứng lớp vành cảm sinh Kết sau phần tử quy khả nghịch vành Corner nêu lên [10] 1.2.9 Định lý (1) Mọi phần tử quy khả nghịch vành Corner eRe phần tử quy khả nghịch vành R, hay a ∈ ur(eRe) ⇒ a ∈ ur(R)(∗) (2) Tồn phần tử quy khả nghịch vành R khơng phần tử quy khả nghịch vành Corner eRe 1.2.10 Nhận xét Trên thực tế, lược đồ (∗) cho chiều thuận Do câu hỏi tự nhiên đặt là: Khi phần tử quy khả nghịch vành R phần tử quy khả nghịch của vành Corner tương ứng? Kết sau câu trả lời [10] 1.2.11 Định lý Cho e ∈ R phần tử lũy đẳng, đặt f = − e Với a ∈ eRe, phát biểu sau tương đương: 13 (1) a phần tử quy khả nghịch vành Corner eRe; (2) a + f phần tử quy khả nghịch vành R; (3) a + b phần tử quy khả nghịch vành R, với b ∈ U (f Rf ); (3’) a+b phần tử quy khả nghịch vành R, với b ∈ U (f Rf ) đó; (4) a + b phần tử quy khả nghịch vành R, với b ∈ ur(f Rf ); (4’) a + b phần tử quy khả nghịch vành R, với b thỏa mãn b ∈ f Rf khơng ước không trái phải f Rf 1.2.12 Nhận xét Nếu a + b phần tử quy khả nghịch phải R, với b ∈ f Rf khơng ước khơng phải f Rf , a phần tử quy khả nghịch phải vành Corner eRe Từ kết có hệ trực tiếp Đây mối liên hệ vành quy khả nghich vành Corner tương ứng 1.2.13 Hệ Cho e ∈ R phần tử lũy đẳng Nếu R vành quy khả nghịch vành Corner eRe vành quy khả nghịch 14 CHƯƠNG PHẦN TỬ CẤU XẠ TRÁI TRONG VÀNH CORNER Như giới thiệu phần mở đầu, phần tử cấu xạ trái vành cấu xạ trái Nicholson Sánchez Campos giới thiệu năm 2004 [4] Trong chương này, chúng tơi tập trung giới thiệu cách có chọn lọc kết lớp vành cấu xạ trái, mối liên hệ vành cấu xạ trái vành Corner Đồng thời chúng tơi trình bày số điều kiện liên quan đến phần tử cấu xạ trái vành Corner Các kết giới thiệu tài liệu tham khảo [3] [4] Tuy nhiên, số kết quả, tác giả trình bày chứng minh cách tóm tắt Một số kết khác, tác giả phát biểu dạng nhận xét không chứng minh Chúng phát biểu lại chứng minh tường minh 2.1 Phần tử cấu xạ - Vành cấu xạ Trước hết ta định nghĩa phần tử cấu xạ 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a R gọi phần tử cấu xạ trái R/Ra ∼ = annR (a) Vành R gọi vành cấu xạ l trái phần tử phần tử cấu xạ trái 2.1.2 Ví dụ Vành Zn vành cấu xạ hai phía với n ≥ 2 Mọi vành quy khả nghịch vành cấu xạ hai phía Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Chẳng hạn vành Z4 vành cấu xạ hai 15 phía khơng vành quy khả nghịch Giả sử F trường f đẳng cấu từ F đến trường F = F : x → x Định nghĩa R F - không gian trái có sở {1, c}, c2 = cx = xc với x ∈ F Khi đó, R vành cấu xạ trái không vành cấu xạ phải Chúng ta có số tính chất lớp phần tử qua kết sau: 2.1.3 Bổ đề Với a phần tử vành R, điều kiện sau tương đương: (1) a phần tử cấu xạ trái, nghĩa R/Ra ∼ = annR (a) l (2) Tồn phần tử b ∈ R cho Ra = (3) Tồn phần tử b ∈ R cho Ra = annR l (b) annR l (b) Rb = annR l (a) annR (a) ∼ = Rb l Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử a phần tử cấu xạ trái vành R Xét đẳng cấu: σ : R/Ra → annR l (a) đặt σ(1 + Ra) = b Do σ toàn ánh + Ra đơn vị R/Ra nên ta có Rb = Im(σ) = annR l (a) Mặt khác, σ song ánh nên annR l (b) = Ra Vậy (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (3): Hiển nhiên (3) ⇒ (1): Giả sử tồn phần tử b ∈ R cho Ra = annR l (b) Rb ∼ = Rb ∼ = annR (a) = annR (a) Khi đó: R/Ra = R/annR (b) ∼ l l l 2.1.4 Bổ đề Nếu a phần tử cấu xạ trái vành R au ua phần tử cấu xạ trái với phần tử khả nghịch u R Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.3, chọn b ∈ R cho Ra = annR l (b) Rb = annR l (a) Khi đó, u phần tử khả nghịch nên R(ua) = Ra = R −1 −1 R −1 = annR (ua) annR l (b) = annl (bu ) Mặt khác, R(bu ) = annl (a)u l −1 −1 R Như vậy, tồn bu−1 để R(ua) = annR l (bu ) R(bu ) = annl (ua) Sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta có ua phần tử cấu xạ trái R −1 Chứng minh tương tự cho au: Xét R(au) = annR l (b)u = annl (u b) R R(u−1 b) = Rb = annR l (a) = annl (au) 16 Trong Ví dụ 2.1.2, vành Z4 vành cấu xạ hai phía khơng vành quy khả nghịch Một câu trả lời cho câu hỏi chiều ngược lại: Khi phần tử cấu xạ phần tử quy khả nghịch G Erlich giới thiệu [5] Ở đây, giới thiệu cách chứng minh khác đơn giản 2.1.5 Mệnh đề Nếu a ∈ R phần tử quy cấu xạ trái a phần tử quy khả nghịch Chứng minh Từ giả thiết a phần tử quy ta có axa = a, mặt R khác a phần tử cấu xạ trái nên Ra = annR l (b) annl (a) = Rb, với b R Đặt u = xax + b, đó, từ giả thiết ta có aua = a(xax + b)a = axaxa + aba = a Để chứng minh a phần tử quy khả nghịch ta cần chứng minh u phần tử khả nghịch Nghĩa là, tồn v ∈ R cho vu = uv = Thật vậy, từ (1 − ax)a = a − axa = a − a = ta có − ax ∈ annR l (a) = Rb, nên giả sử − ax = yb, với b R Chọn v = a + y(1 − xa), vu = (∗) Để chứng minh uv = ta chứng minh annR l (u) = Thật vậy, giả sử ru = 0, nghĩa r(xax + b) = ⇔ rxax + rb = Nhân a vào vế phải ta có rxaxa + rb = Do rxa = nên rxaxa = 0, điều chứng tỏ rb = ⇒ r ∈ annR l (b) = Ra Do giả sử r = ta Mặt khác, từ = rxa = taxa = ta = r Vậy annR l (u) = 0, suy uv = (∗∗) Từ (∗) (∗∗) ta có uv = vu = 1, điều chứng tỏ u phần tử khả nghịch a phần tử quy khả nghịch 2.2 Phần tử cấu xạ trái vành Corner Với vành R e2 = e ∈ R, có vành Corner tương ứng eRe Trong [10], Lam - Murray xây dựng vành quy R phần tử a ∈ vành eRe (e phần tử lũy đẳng vành R), cho a quy khả nghịch vành R khơng quy 17 khả nghịch vành eRe Do phần tử a cấu xạ trái vành R khơng cấu xạ trái vành eRe Thật vậy, a ∈ vành eRe nên ea = ae = a (a ∈ eRe ⇒ a = exe ⇒ ea = eexe = e2 xe = exe = a, tương tự ae = a) Hơn a ∈ R R vành quy nên ∃b ∈ R cho a = aba = aebea = a(ebe)a, a phần tử quy vành eRe Mặt khác, a khơng quy khả nghịch vành eRe nên áp dụng Mệnh đề 2.1.5 ta suy a không phần tử cấu xạ trái vành eRe Do R vành quy a phần tử quy khả nghịch R nên suy a phần tử cấu xạ trái vành R Khẳng định gợi cho câu hỏi: Nếu R vành cấu xạ trái vành Corner eRe có vành cấu xạ trái hay khơng? Mục đích tiết giới thiệu số đặc trưng phần tử cấu xạ trái vành Corner từ đưa kết mối liên hệ lớp vành cấu xạ trái lớp vành Corner tương ứng Đối với vành R, e2 = e ∈ R Kí hiệu f = − e, với a ∈ eRe xét điều kiện sau: (1) a phần tử cấu xạ trái vành Corner eRe (2) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử cấu xạ trái b ∈ f Rf (3) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử khả nghịch b ∈ f Rf (4) a + f phần tử cấu xạ trái vành R (5) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với b phần tử khả nghịch f Rf Về mối liên hệ điều kiện trên, trước hết có mệnh đề sau: 2.2.1 Mệnh đề Cho e2 = e ∈ R, kí hiệu f = − e Các điều kiện sau tương đương với a ∈ eRe: (3) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử khả 18 nghịch b ∈ f Rf ; (4) a + f phần tử cấu xạ trái vành R; (5) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với b phần tử khả nghịch f Rf Chứng minh Trước hết, (3) ⇒ (4) (4) ⇒ (5) hiển nhiên Chúng ta áp dụng trực tiếp Bổ đề 2.1.4 để chứng minh (5) ⇒ (3) Giả sử b phần tử khả nghịch với phần tử nghịch đảo c f Rf a + b phần tử cấu xạ trái vành R Nếu u phần tử khả nghịch khác f Rf a + u viết a + u = (a + b)(e + cu) tích phần tử cấu xạ trái R phần tử khả nghịch R Do đó, a + u phần tử cấu xạ trái Tiếp theo chứng minh (5) ⇒ (1) 2.2.2 Mệnh đề Cho e2 = e ∈ R, kí hiệu f = − e a phần tử vành Corner eRe Nếu a + b phần tử cấu xạ trái vành R với b phần tử khả nghịch f Rf a phần tử cấu xạ trái vành Corner eRe Chứng minh Giả sử b phần tử khả nghịch f Rf Theo giả thiết (a + b) phần tử cấu xạ trái vành R, theo Bổ đề 2.1.3, chọn c ∈ R R cho annR l (a+b) = Rc annl (c) = R(a+b) Chúng ta chứng minh c phần tử thuộc vành Corner eRe thỏa mãn anneRe l (a) = (eRe)c, anneRe l (c) = (eRe)a Trước hết thấy c ∈ eRe vì: = (a + b)c = ac + bc ∈ eR ⊕ f R, bc = Mặt khác, b phần tử khả nghịch vành f Rf nên f c = 0, suy ec = c Tương tự ce = c c ∈ eRe Tiếp theo chứng minh anneRe l (a) = (eRe)c Đặt xa = 0, với x ∈ eRe Khi đó, x ∈ annR l (a + b) = Rc, theo giả thiết c ∈ eRe nên ta có x ∈ eRe ∩ Rc = (eRe)c Ngược lại, giả sử c ∈ (eRe)c Khi x ∈ Rc = annR l (a + b), = x(a + b) = xa, có 19 eRe x ∈ anneRe l (a) Vậy annl (a) = (eRe)c (∗) Cuối cùng, (eRe)a = (eRe)(a + b) ⊆ R(a + b) = annR l (c), suy eRe R (eRe)a ⊆ anneRe l (c) Ngược lại, x ∈ annl (c) x ∈ annl (c) = R(a + b), xexe ∈ (eRe)a Vậy anneRe l (c) = (eRe)a (∗∗) Từ (∗) (∗∗) kết hợp Bổ đề 2.1.3, a phần tử cấu xạ trái vành Corner eRe 2.2.3 Nhận xét Từ kết Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 có mối liên hệ điều kiện sau: (2) ⇒ (3) ⇔ (4) ⇔ (5) ⇒ (1) Từ mối liên hệ suy định lý sau kết mối liên hệ vành cấu xạ trái R vành Corner eRe 2.2.4 Định lý Nếu R vành cấu xạ trái vành Corner eRe vành cấu xạ trái với phần tử lũy đẳng e ∈ R Chứng minh Giả sử a ∈ eRe, đặt f = − e ∈ R Vì R vành cấu xạ trái nên a + f phần tử cấu xạ trái vành R, ta có điều kiện (4) Sử dụng kết chứng minh ta có a phần tử cấu xạ trái vành Corner eRe Như chứng minh phần tử a ∈ eRe phần tử cấu xạ trái, eRe vành cấu xạ trái 2.2.5 Bổ đề Cho vành R e2 = e ∈ R, đặt f = − e Giả sử thêm b phần tử vành Corner f Rf Các phát biểu sau tương đương: (1) a + f phần tử cấu xạ trái R; (2) Tồn phần tử x ∈ eRe thỏa mãn điều kiện sau: (a) (eRe)a = anneRe l (x) (b) (eRe)x = anneRe l (a) (c) (f Re)a = annfl Re (x) 20 (d) (f Re)x = annfl Re (a) Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử a+f phần tử cấu xạ trái giả sử tồn phần tử x Bổ đề 2.1.3, nghĩa annR l (a + f ) = Rx annR l (x) = R(a+f ) Khi Rx(a+f ) = = R(a+f )x ⇒ x(a+f ) = = (a + f )x, từ af = f a = (vì a ∈ eRe nên af = a(1 − e) = ere(1 − e) = eRe − eRe2 = eRe − eRe = 0) thấy xf = = f x x = exe Chúng ta chứng minh x thỏa mãn điều kiện từ (a) đến (d) (2) Để tính tốn đơn giản biểu diễn phân eRe eRf tích Peirce ma trận dạng R = f Re f Rf tính tốn hai vế annR l (a + f ) = ta có: a 0 eRe eRf f Re f Rf annR l ( annel Re(a) , )= annfl Re(a) x (eRe)x 0 = (f Re)x Do x thỏa mãn điều kiện (b) (c) Hoàn toàn tương tự, để chứng minh điều kiện (a) (c) tính tốn annR l (x) = R(a + f ) (2) ⇒ (1) hiển nhiên suy từ Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 Chú ý Bổ đề 2.2.5 chứng minh (1) ⇒ (4) f Re = Điều thú vị so sánh kết với Hệ 19 [4]: Trong vành cấu xạ trái R, f Re = eRf = Để tìm phản ví dụ cho chiều (1) ⇒ (4) chúng tơi đặc biệt hóa Bổ đề 2.2.5 cho vành ma trận tam giác Một S MR (S, R)- mơđun kép S -môđun trái R-môđun phải 2.2.6 Hệ Cho R S vành đặt S MR (S, R)R môđun kép Định nghĩa vành A = M S với phép toán 21 a 0 phần tử cấu xạ trái A tồn phần tử x ∈ R thỏa mãn điều kiện sau: ma trận Nếu a ∈ R (a) Ra = annR l (x); (b) Rx = annR l (a); (c) M a = annM (x); (d) M x = annR (a) Hơn nữa, MR iđêan phải R a ∈ R a 0 phần tử cấu xạ trái A tồn phần tử x ∈ R thỏa mãn điều kiện sau: (a) Ra = annR l (x); (b) Rx = annR l (a); (c) M a = M ∩ Ra; (d) M ax = M ∩ Rx Trong trường hợp khác a phần tử cấu xạ trái R 0 Trong trường hợp MR iđêan phải R, ý annM (x) = Chứng minh Chúng ta áp dụng trực tiếp Bổ đề 2.2.5, chọn e = M R M ∩ annR l (x) = M ∩ Ra ann (a) = M ∩ annl (a) = M ∩ Rx Trong trường hợp khác, (a) (b) đủ để chứng minh a phần tử cấu xạ trái R 22 KẾT LUẬN Trên sở kết báo [3] [4] Luận văn đạt kết sau đây: Phát biểu lại chứng minh tường minh số tính chất phần tử cấu xạ trái (Bổ đề 2.1.3, Bổ đề 2.1.4), mối liên hệ phần tử cấu xạ trái phần tử quy khả nghịch (Mệnh đề 2.1.5) Trình bày lại cách hệ thống mối liên hệ phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử cấu xạ trái vành Corner eRe (Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.4) 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Khánh (2009), Phần tử quy khả nghịch vành Corner, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh B Tiếng Anh [2] F.W Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [3] Alexander J Diesl and W K Nicholson (2007), Some examples concerning left morphic elements in corner rings, J Algebra 315, 745-750 [4] W K Nicholson and E Sánchez Campos (2004), Rings with the dual of the isomorphism theorem, J Algebra 271, 391-406 [5] G Erlich (1976), Units and one-sided units in regular rings, Transactions of the American Mathematical Society, Vol.216, pp.8190 [6] K.R Goodearl(1991), von Neumann Regular Rings, Second Edition, Kriger Publ Co., Malabar Florida [7] J.Kado (1981), Unit-regular and simple self-injective rings, Osaka J.Math 18, 55-61 [8] F.Kasch and D.A.R Wallace (1982), Modules and Rings, Academic press 24 [9] T Y Lam(1999), Lectures on Modules and Rings, GMT, Vol 189, Springer Verlag [10] T.Y.Lam and Will Murray (1996), Unit regular elements in Corner rings, BHKMS, Vol.1, pp.61-65  ... 2.1 Phần tử cấu xạ - Vành cấu xạ Trước hết ta định nghĩa phần tử cấu xạ 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a R gọi phần tử cấu xạ trái R/Ra ∼ = annR (a) Vành R gọi vành cấu xạ l trái phần tử phần. .. tử cấu xạ trái vành Corner eRe (2) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử cấu xạ trái b ∈ f Rf (3) a + b phần tử cấu xạ trái vành R với phần tử khả nghịch b ∈ f Rf (4) a + f phần tử cấu. .. l(a), l(a) linh hóa tử trái a Phần tử a thỏa mãn điều kiện nêu gọi phần tử cấu xạ trái Nếu R vành cho phần tử phần tử cấu xạ trái R gọi vành cấu xạ trái Một số tính chất vành cấu xạ hai tác giả nêu