16 DE THI HSG TOAN 6

Chứng minh rằng trong các tổng nhận đợc, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox.[r]

ĐỀ SỐ Câu Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 131313 b) B = 70.( 565656 2a 3b c) C = b + c 131313 131313 + 727272 4c + 5d + 909090 ) 5d 2a Câu Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) x +1 b) x : ( = x +1 3b + a biết b = c - )= 4c = 5d 5d = 2a 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 Câu a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 A= b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh Câu Cho A = n− n+ −9 − 19 −9 −19 + 2011 ; B= 2011 + 2010 2010 10 10 10 10 a) Tìm n nguyên để A là phân số b) Tìm n nguyên để A là số nguyên Câu Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D ktrùng với A và C) a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo DBC, biết ABD = 300 c) Từ B dựng tia Bx cho DBx = 900 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B) Chứng minh đoạn thẳng BD và CE cắt ĐỀ SỐ 3 −2 ¿ ¿ Bµi 1: a) Rút gọn phân số: ¿ ¿ −7 −15 −15 −7 b) So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10 10 10 10 Bµi 2: Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) A= −1 + − + −1 + − + −1 + − b) B= + + + + 13 20 30 42 56 72 90 1 11 11 2 15 15 Bµi 3: Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bµi 4: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? Bµi 5: Cho p vµ p + lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hîp sè ĐỀ SỐ Bài : Thực các phép tính sau cách hợp lý :  10 a)  112  122  :  132  142  b) 1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.8 16  3.4.2  13 11 c) 11.2  16 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : Tìm x, biết: 19x  2.52  :14  13    42  a) b) x   x  1   x      x  30  1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài : Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b Bài : Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) ĐỀ THI SỐ Câu : Thực các phép tính  136 28 62  21     a)  15 10  24 b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 5 1   11   : c) 6  20  Câu 2: Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? b) Tìm tất các ước A Câu 3a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501 Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM    b) Cho biết BAM = 800, BAC =600 Tính CAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK ĐỀ SỐ Câu 1: Tính giá trị các biểu thức sau:  28.43 28.5 28.21    b 5.56 5.24 5.63 a  [131  (13  4) ] Câu Tìm các số nguyên x biết  24    5   x 35   a b (7 x  11) ( 3) 15  208 c x  20  5.( 3) Câu 3( a, Một số t/n chia cho dư 5,chia cho 13 dư Hái số đó chia cho 91 thì dư b/n? b, H/s khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư hs Nhưng xếp hàng 11 thì vùa đủ Biết số h/s khối chưa đến 400 hsTính số học sinh khối 6? Câu 4(Cho góc bẹt xOy Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot cho  xOz 700 ; yOt 550 a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox và Ot ? b Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câu 5Cho n là số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số ĐỀ SỐ Bµi 1(1,5®): T×m x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bµi (1,5®) Cho a lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng: a     a  Bµi (1,5®) Cho a lµ mét sè nguyªn Chøng minh r»ng: a) NÕu a d¬ng th× sè liÒn sau a còng d¬ng b) NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m c) Cã thÓ kÕt luËn g× vÒ sè liÒn tríc cña mét sè d¬ng vµ sè liÒn sau cña mét sè ©m? Bài (2đ) Cho 31 số nguyên đó tổng số là số dơng Chứng minh tổng 31 số đó là số dơng Bài (2đ) Cho các số tự nhiên từ đến 11 đợc viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng số với số thứ tự nó ta đợc tổng Chứng minh các tổng nhận đợc, tìm hai tổng mà hiệu chúng là số chia hết cho 10 Bài (1,5đ): Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox Vẽ hai tia Oy vµ Oz cho gãc xOy vµ xOz b¾ng 1200 Chøng minh r»ng:    a) xOy xOz  yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz là phân giác góc hợp hai tia còn lại ĐỀ SỐ 10 Bµi 1 T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: a) 571999 b) 931999 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Cho p/số a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì p/số lớn hay bé b a ? b Cho sè 155 ∗710 ∗ ∗16 cã 12 ch÷ sè chøng minh r»ng nÕu thay c¸c dÊu * bëi c¸c chc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396 chøng minh r»ng: a) − + − + − < b) 16 32 64 3 99 100 − + − + .+ 99 − 100 < 3 3 16 3 Bµi Trên tia Ox xác định các điểm A và B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox cho OM = (a+b) ĐỀ SỐ 11 Câu 1: Thay (*) các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hÕt cho b) 261* chia hÕt cho vµ chia d C©u 2: TÝnh tæng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: Trên đờng qua địa điểm A; B; C (B nằm A và C) có hai ngời xe máy Hùng và Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ cùng khởi hành lúc để cùng đến C vào lúc 11 cùng ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc và gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đờng AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đờng BC Câu 4: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A 1; A2; A3; ; A2004 Tõ ®iÓm M kh«ng n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ta nèi M víi c¸c ®iÓm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B TÝnh sè tam gi¸c t¹o thµnh C©u 5:TÝch cña hai psè lµ Thêm đơn vị vào psố thứ thì tích là 15 56 T×m 15 hai phân số đó ĐỀ SỐ 12 C©u : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= 3a + 22a −1 a + 2a +2 a+ a Rót gän biÓu thøc b Chứng minh a là số nguyên thì giá trị biểu thức tìm đợc câu a) là ph©n sè tèi gi¶n C©u 2: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc cho abc=n2 −1 vµ n −2 ¿2 cba=¿ Câu 3:a (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là số chính phơng b (1 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn tè lín h¬n Hái n + 2006 lµ sè nguyªn tè hay lµ hîp sè C©u 4: (2 ®iÓm) a Cho a, b, n  N* H·y so s¸nh a+n vµ a b+n 11 b 10 b Cho A = 1012 −1 ; B = 1011 + 10 −1 So s¸nh A vµ B 10 +1 C©u 5: (2 ®iÓm) Cho 10 sè tù nhiªn bÊt kú : a 1, a2, ., a10 Chøng minh r»ng thÕ nµo còng cã mét sè hoÆc tæng mét sè c¸c sè liªn tiÕp d·y trªn chia hÕt cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đờng thẳng đó bất kì đờngthẳng nào cắt Không có đờng thẳng nào đồng qui Tính số giao điểm chúng §£ Sè 13 C©u 1: TÝnh tæng sau: 10 10 10 10 A     56 140 260 1400 1.2  2.3  3.4   99.100 116 50 2 131 a) T×m x Z , biÕt: x  ( x  1)  ( x  2)   ( x  99) Câu 2: Tìm số tự nhiên nhỏ khác biết số đó có 15 ớc dơng 9x Sè   x  0;1; 2; ;9   viÕt hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ? a) víi Câu 3: Hai ngời khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B Ngời thứ từ A đến B quay lại Ngời thứ hai từ B đến A quay lại Hai ngời gặp lần thứ hai địa điểm C cách A là 6km Tính quãng đờng AB, biết vận tốc ngời thứ hai vËn tèc cña ngêi thø nhÊt Câu 4: a) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia BA lấy O (O khác B) So sánh độ dài đoạn thẳng OM và trung bình cộng hai đoạn thẳng OA và OB b) Cho 10 đờng thẳng đồng quy O Hỏi có bao nhiêu góc đỉnh O đợc tạo thành (không kÓ gãc bÑt) ? §Ò Sè 14 ( x − 13 ) − 14 =0 Bài a)Tìm x biết: b) Tìm x, y N biết 2x + 624 = 5y − 22 Bài a) So sánh: 45 − 51 và 103 2009 b) So sánh: A= 2009 +1 2010 2009 +1 2010 và B= 2009 − 2011 2009 −2 Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì các số dư là ; ; 15 Bài Ba máy bơm cùng bơm vào bể lớn , dùng máy và máy hai thì sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 30 phút bể đầy còn dùng máy và máy ba thì bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng mình thì bể đầy sau bao lâu? Bài Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 và vẽ tia On cho góc yOn 900 a) Chứng minh góc xOn góc yOm b) Gọi Ot là tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot là tia phân giác góc mOn §Ò sè 15 Câu 1: Thực phép tính 5.(22.32 )9 (22 )6  2.(22.3)14 34 5.228.318  7.229.318 a) A =   12    4 b) B = 81  12 12 12 5    5    289 85 : 13 169 91 158158158 4 6 6   6    711711711 289 85 13 169 91  2010 2011 2012 2010  2011  2012   P = 2011 2012 2013 và Q = 2011  2012  2013 Câu 2: a) So sánh b) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 và a +21 = b Câu 3: a)Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y  37 thì 13x +18y  37 3 3 3   ( )  ( )  ( )   ( ) 2012 ( ) 2013 : 2 2 b) Cho A = 2 và B = Tính B – A  Câu Cho xAy , trên tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm a) Tính BD    b) Lấy C là điểm trên tia Ay Biết BCD = 800, BCA = 450 Tính ACD c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Câu 5: Tìm hai số nguyên tố x và y cho: x2 – 2x + = 6y2 -2x + §Ò Sè 16 5.(2 ) (2 )  2.(22.3)14 36 5.228.319  7.229.318 Câu a/ Tính N = 2 2011.2012  2012.2013  b/ So sánh 2011.2012 và 2012.2013 2n  3n  4n  A   n n n  Tìm giá trị n để: Câu Cho biểu thức : a/ A là phân số b/ A là số nguyên Câu Chứng tỏ rằng: Tổng A = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 + 212 chia hết cho  1 1        9.10 10.11 11.12 x(x  1)   Câu a) Tìm số tự nhiên x biết : b) Viết thêm chữ số y vào bên phải số có chữ số thì số lớn gấp lần số có viết thêm chữ số y vào bên trái số đó Tìm chữ số y và số có chữ số đó ? Câu Cho góc AOB = 1440 Tia OC là phân giác góc AOB, vẽ tia OM góc AOB cho góc BOM = 350 a/ Tính góc MOC b/ Gọi OB’ là tia đối tia OB, ON là tia phân giác góc AOC Chứng minh OA là phân giác góc NOB’ §Ò sè 17 C©u a) C¸c ph©n sè sau cã b»ng kh«ng? V× sao? 23 ; 23232323 ; 2323 ; 232323 99 99999999 9999 999999 b, Chøng minh , x + y chia hÕt cho 17, ⇔ x + y chia hÕt cho 17 C©u TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 1 A=( + ):( + + ) + 1:(30 23 1009 23 1009 23 1009 1009 – 160) C©u a, T×m sè tù nhiªn x , biÕt : 1 ( + + + ) x = 23 10 45 b,T×m c¸c sè a, b, c , d N , biÕt : 30 43 = a+ b+ c+ d C©u : Mét sè tù nhiªn chia cho 120 d 58, chia cho 135 d 88 T×m a, biÕt a bÐ nhÊt ? C©u5 : Gãc t¹o bëi tia ph©n gi¸c cña gãc kÒ bï, b»ng bao nhiªu? V× sao? Câu Cho 20 điểm, đó có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đờng thẳng Tìm a , biết vẽ đợc tất 170 đờng thẳng §Ò Sè 18 Bµi 1: T×m sè nguyªn x biÕt: a) x   0   b)  Bµi 2: T×m sè tù nhiªn a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn: a + 2b = 48 vµ và tổng UCLN vói lần BCNN là 114 x 5  x  34 51 85 68 39 65 52 26    B    7.13 13.22 22.37 37.49 vµ 7.16 16.31 31.43 43.49 Bµi 3: Cho A TÝnh tû sè B A Bài 4: Dũng và Lâm có tổng số bi là 150 viên Dũng có 20% bi đỏ Lâm có 15% bi đỏ Tổng số bi đỏ cña hai b¹n lµ 27 viªn TÝnh sè bi cña mçi b¹n   Bµi 5: Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oa vÏ c¸c tia Ob, Oc cho aOb 100 ; aOc 50  a) Chøng tá Oc lµ tia ph©n gi¸c cña aOb 0     b) VÏ tia Od cho cOd 25 TÝnh bOd ?VÏ tia Od cho cOd 25 TÝnh bOd ? Bµi 6: Chøng minh 21995 < 5863 ĐỀ sè 19 Câu I: Tìm x biết:  x a) 3 b)   22 13   c) x = 13 11 3x   17  12  2       462   2,04 :  x  1,05   : 0,12 19 11 13 13 15 19 21  d)  Câu II: Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100 a) Chứng minh S  15 b) Tìm chữ số tận cùng S c) Tính tổng S Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là số chính phương không? Tại sao? Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1          199 200 101 102 200 51 52 100 1 99 b) 2 Câu III Một ô tô từ A lúc 8h Đến 9h ô tô khác cùng từ A Xe thứ đến B lúc 2h chiều Xe thứ hai đến xớm xe thứ nửa Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ cách A bao nhiêu km vận tốc nó lớn vận tốc xe thứ là 20km/h 9999 10000 Câu IV Cho A = So sánh A với 0,01       n    10 Chứng minh rằng:  , với  n  N ĐỀ SỐ Câu Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 Gi¶i A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 131313 131313 b) B = 70.( 565656 13 Gi¶i B = 70.( 56 + 727272 13 + 72 131313 + 909090 ) 13 + 90 ) = 70.13.( ) = 39 10 + + 1 ) = 70.13.( 10 - 2a 3b c) C = b + c Gi¶i 2a 3b Đặt b = c 4c 5d + 5d 4c = 5d 2a 3b + a biết b = c 4c = 5d 5d = 2a 5d = 2a = k 2a 3b 4c 5d Ta có b c d a = k4 => k4 = ⇒ k = 1 ⇒ 2a 3b C = 3b + 4c 4c + 5d 5d + 2a =  Câu Tìm x là các số tự nhiên, biết: x +1 = x +1 x +1 =  (x + 1)2 = 16 = ( ± 4)2 x +1 a) Gi¶i +) x + = => x = +) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x = 2 0,4+ − 11 b) x : ( - ) = 8 1,6+ − 11 2 0,4+ − 11 19 − Gi¶i x : ( - ) =  x :( )= 8 2 1,6+ − 11 2 0,4+ − 11 2 0,4+ − 11 ( )  Câu a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 Gi¶i Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho và 34x5y chia hết cho + + x + + y ⋮ => 12 + x + y ⋮ (1) 34x5y chia hết cho 5y ⋮ => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x ⋮ => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x ⋮ => x = x = Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh −9 − 19 −9 −19 + 2011 ; B= 2011 + 2010 2010 10 10 10 10 9  19 9  10 9 A  2010  2011  2010  2011  2011 10 10 10 10 10 Ta có A= Gi¶i 9  19 9  10 9 B  2011  2010  2011  2010  2010 10 10 10 10 10  10  10  2010 2011 10 Ta thấy 10 => Vậy A > B n− Câu Cho A = n+ a) Tìm n nguyên để A là phân số x = => x = A= Gi¶i n− n+ là phân số n + => n -4 b) Tìm n nguyên để A là số nguyên Gi¶i A = n− n+ = n+4 − 5 =1− n+4 n+4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  ⋮ n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Câu Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D không trùng với A và C) a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo DBC, biết ABD = 300 c) Từ B dựng tia Bx cho DBx = 900 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B) Chứng minh đoạn thẳng BD và CE cắt Gi¶i A E D C B a) (1,5 đ) D nằm A và C => AC = AD + CD = + = cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 c) (1,5 đ) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 – ABD Mặt khác tia BD nằm hai tia BA và BC nên 00 <ABD<550 => 900- 550 < ABx < 900 – 00  350 < ABx < 900 - Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 + ABD Lập luận tương trường hợp 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450, ABx 900 d) (1,5 đ) - Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC và BD cắt ĐỀ SỐ Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm ) a) Rút gọn phân số: b) 3 −2 ¿ ¿ ¿ ¿ −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10 10 10 10 Gi¶i ¿ −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 b= 2005 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ 2006 > 2005 ⇒ A > B ¿ 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm ) Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) A= −1 + − + −1 + − + −1 + − 20 30 42 56 72 90 Gi¶i ¿ − −1 − −1 1 1 1 1 1 1 1 a= + + + + =−( + + + + )¿=−( − + − + + + + − )=−( − ) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 10 5 6 10 10 13 b) B= + + + + 1 11 11 2 15 15 Gi¶i ¿ 13 13 1 1 1 b= + + + + =7 ( + + + + )¿=7 ( − + − + − + 1 11 11 2 15 15 7 11 11 14 14 15 15 28 7 11 11 14 14 Bµi 3: ( 2.0 ®iÓm ) Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Gi¶i Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán là giỏ 71 kg Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg Bµi 4: ( 3.0 ®iÓm ) Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? Gi¶i Vẽ hình đúng B A D C O a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 b)Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 Do đó AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 Vì góc AOD c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, góc tính hai lần 2010 2009 .Vậy có tất =2 019 045 góc Bµi 5: ( 1.0 ®iÓm ) Cho p vµ p + lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hîp sè Gi¶i P cã d¹ng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + thì p + là hợp số trái với đề bài ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + ⋮ ⇒ p + lµ hîp sè ĐỀ SỐ Bài : (5 điểm) Thực các phép tính sau cách hợp lý : 102  112  122  :  132  142   a) 2 2 a)  10  11  12  :  13  14   100  121  144  :  169  196  365 : 365 1 Gi¶i b) 1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.8 b) 1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.8 1.2.3 7.8.    1.2.3 7.8 0 Gi¶i 16  3.4.2  13 11 c) 11.2  16 Gi¶i 16 c)  3.4.2  11.213.411  169 16  3.2   11.2      13 11 32. 218   11.213.222  236 32.236 32.236 32.236 32.2     2 11.213.222  236 11.235  236 235  11   d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) Gi¶i 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + – Gi¶i 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài : (4 điểm) Tìm x, biết: 19x  2.52  :14  13    42  a) 19x  2.52  :14  13    42  Gi¶i  x  14   13    42   2.52 :19    x 4 b) x   x  1   x      x  30  1240   x   x  1   x      x  30  1240 Gi¶i     x x   x         30  1240  31 So hang   30.  30   31x  1240  31x 1240  31.15 775  x 25 31 c) 11 - (-53 + x) = 97  x 11  97  ( 53)  33 Gi¶i 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Gi¶i -(x + 84) + 213 = -16   (x  84)  16  213   (x  84)  229  x  84 229  x 229  84 145 Bài : Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b Gi¶i Từ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn các số tự nhiên m và n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :  BCNN  15m; 15n   300 15.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : (4)  15m  15 15n  15. m  1 15n  m  n Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì có trường hợp : m = 4, n = là thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta các số phải tìm là : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA, OB d) Chứng tỏ OA < OB e) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm hai điểm còn lại ? f) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Gi¶i o a b c m a b n Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O và B, suy :  OA < OB Ta có M và N thứ tự là trung điểm OA, OB, nên : OA OB  OM  ; ON  2 Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O và N Vì điểm M nằm hai điểm O và N, nên ta có :  OM  MN ON  MN ON  OM OB  OA AB  MN   2 hay : Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) ĐỀ THI SỐ Câu (6 điểm): Thực các phép tính  136 28 62  21     a)  15 10  24 11  272 168 186  21 29 21 203   8     24 Gi¶i =  30 30 30  24 24 24 b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 Gi¶i = (528 : 4) + 42 171 – 7314 = 132 + 7182 - 7314 = 5 1   11   : c) 6  20  41  1  25 41   11   :   Gi¶i = 6  4  6 25 41 125 246 371 71     2 = 25 150 150 150 150 Câu (4 điểm): Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? Gi¶i A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (có 10 nhóm) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (có 10 số hạng = 10 (-1) = -10 Vậy A2, A 3, A  b) Tìm tất các ước A Gi¶i Các ước A là: 1, 2, 5, 10 Câu (4 điểm): a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng Gi¶i Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + và 2n + (n  N Gọi d là ước số chung chúng Ta có: 2n + d và 3n + d nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay d d không thể vì d là ước chung số lẻ Vậy d = tức là hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501 Gi¶i Ta có: = + 3; = + 5; 13 = + 7; 16 =7 + Do x = a + (a+1) (a  N) Nên + + + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501 Hay (a+1)(a+1+1): = 501501 (a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002 Suy ra: a = 1000 Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001 Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM    b) Cho biết BAM = 800, BAC =600 Tính CAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK Gi¶i a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối CM và CB nên điểm C nằm hai điểm B và M (1đ) Do đó: BM= BC + CM = + = (cm) (1đ) A b) (2 điểm): Do C nằm hai điểm B và M nên tia AC nằm hai tia AB và AM (1đ)    Do đó CAM BAM  BAC = 800 - 600 = 200 (1đ) B K2 C c) (2 điểm): + Nếu K thuộc tia CM thì C nằm B và K (ứng với điểm K1 hình vẽ) Khi đó BK = BC + CK = + = (cm) + Nếu K thuộc tia CB thì K nằm B và C (ứng với điểm K2 hình vẽ) Khi đó BK = BC - CK = - = (cm) K1 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) M ĐỀ SỐ Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau: a  [131  (13  4) ] Gi¶i 16.5  (131  92 ) 80  50 30  28.43 28.5 28.21    b 5.56 5.24 5.63 Gi¶i  28 43  (   ) 5 56 24  28 129 35 56   (   ) 5 168 168 168  28 108   5 168  18   5 3 Câu 2(4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết  24    5   x 35 a   Gi¶i b (7 x  11) ( 3) 15  208 Gi¶i (7 x  11)3 (  3)2 15  208 (7 x  11)3 9.15  208 (7 x  11)3 73 18  x  11 7  x  (không thỏa mãn) x  20  5.( 3) c Gi¶i x  20  5.( 3) x  5  [2 x 75  [2 x12  [ x6 x 7 x2 x1 Vậy x   1; 6 Câu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư b/n? Gi¶i Gọi số đó là a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư a  97.13  a  97; a  913 mà (7,13)=1 nên  a+9=91k  a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k  N) Vậy a chia cho 91 dư 82 b, H/s khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư hs Nhưng xếp hàng 11 thì vùa đủ Biết số h/skhối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Gi¶i Gọi số Hs khối là a (3<a<400) Vì xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 dư  a  310;12;15  a   BC (10,12,15) ta có BCNN(10,12,15)=60  a    60;120;180; 240;300;360; 420;   a   63;123;183; 243;303;363; 423;  mà a 11; a  400  a=363 Vậy số HS khối là 363 học sinh Câu 4(6,0 điểm): Cho góc bẹt xOy Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot cho  xOz 700 ; yOt 550 a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox và Ot ? b Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Gi¶i z t n x O y Vì góc xOy là góc bẹt nên suy trên cùng   nưả mặt phẳng có bờ xy có xOt và tOy là hai góc kề bù  0     xOt + tOy =180  xOt 180  55  xOt 125 0   Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz  xOt (70  125 )  Tia Oz nằm hai tia Ox và Ot  Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có xOz    và zOy là hai góc kề bù  xOz  zOy 180 hay   700  zOy 1800  zOy 1800  700 1100 0   Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt  yOz (55  110 )  Tia Ot nằm    hai tia Oy và Oz (1) nên ta có: yOt  tOz  yOz hay  1100  tOz  1100  550 550 550  tOz  ( 550 )  yOt tOz (2).Từ (1) và (2) suy Ot là tia phân giác góc yOz  Vì xOy là góc bẹt nên suy tia Ox và tia Oy là hai tia đối  Hai tia Ox và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz (1)  nOz  xOz  70 350 2 Vì On là tia phân giác góc xOz nên và hai tia On và Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác góc yOz (theo b,)  Hai tia Ot và Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) Từ (1),(2), (3) suy tia On và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz  tia Oz nằm hai tia On và Ot nên ta có: 0 0   nOt    nOz  zOt hay nOt 35  55 90 Vậy nOt 90 Câu 5(2,0 điểm): Cho n là số n/tố lớn Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số Gi¶i n là số nguyên tố, n > nên n không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư đó n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007 = 3( m+669) chia hết cho Vậy n + 2006 là hợp số ĐỀ SỐ Bµi 1(1,5®): T×m x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Gi¶i a).5x = 125  5x = 53 => x= b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x = 52.5.53 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5  52x = 56 => 2x = => x=3 a 5  5a 5 Bµi (1,5®) Cho a lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng: Gi¶i V× a lµ mét sè tù nhiªn víi mäi a  Z nªn tõ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trên trục số cácc số này lớn -5 và nhỏ đó -5<a<5 Bµi (1,5®) Cho a lµ mét sè nguyªn Chøng minh r»ng: a) NÕu a d¬ng th× sè liÒn sau a còng d¬ng Gi¶i Ta cã: NÕu a d¬ng th× a>0 sè liÒn sau a lín h¬n a nªn còng lín h¬n nªn lµ sè d¬ng b) NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m Gi¶i Ta cã: NÕu a ©m th× a<0 sè liÒn tríc a nhá h¬n a nªn còng nhá h¬n nªn lµ sè ©m c) Cã thÓ kÕt luËn g× vÒ sè liÒn tríc cña mét sè d¬ng vµ sè liÒn sau cña mét sè ©m? Bài (2đ) Cho 31 số nguyên đó tổng số là số dơng Chứng minh tổng 31 số đó là số dơng Giải Trong các số đã cho ít có số dơng vì trái lại tất là số âm thì tổng cña sè bÊt kú chóng sÏ lµ sè ©m tr¸i víi gi¶ thiÕt Tách riêng số dơng đó còn 30 số chi làm nhóm Theo đề bài tổng các số nhóm là số dơng nên tổng nhóm là số dơng và đó tổng 31 số đã cho là số dơng Bài (2đ) Cho các số tự nhiên từ đến 11 đợc viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng số với số thứ tự nó ta đợc tổng Chứng minh các tổng nhận đợc, tìm hai tổng mà hiệu chúng là số chia hết cho 10 Giải Vì có 11 tổng mà có thể có 10 chữ số tận cùng là các số từ , ,2, …., nên luôn tìm đợc hai tổng có chữ số tận cùng giống nên hiệu chúng là số nguyªn cã tËn cïng lµ vµ lµ sè chia hÕt cho 10 Bài (1,5đ): Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox Vẽ hai tia Oy vµ Oz cho gãc xOy vµ xOz b¾ng 1200 Chøng minh r»ng:    a) xOy xOz  yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz là phân giác góc hợp hai tia còn lại ' ' Gi¶i Ta cã: x Oy 60 , x Oz 60 vµ tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz nªn yOz  yOx '  x 'Oz 1200 vËy   xOy  yOz  zOx ' ' Do tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz vµ x Oy x Oz nªn Ox’ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc hîp bëi hai tia Oy, Oz Tơng tự tia Oy’ (tia đối Oy) và tia Oz’ (tia đối tia Oz) là phân giác góc xOz vµ xOy ĐỀ SỐ 10 Bµi1 T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: a) 571999 b) 931999 Gi¶i a)Ta cã: 571999 = ( 74)499.73 = 2041499 343 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng ( 0,25 ®iÓm ) VËy sè 571999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ : b) Ta cã: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng Bµi2 Cho A= 9999931999 - 5555571 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Gi¶i §Ó chøng minh A chia hÕt cho , ta xÐt ch÷ sè tËn cïng cña A b»ng viÖc xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè h¹ng Theo c©u 1b ta cã: 9999931999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ T¬ng tù c©u 1a ta cã: (74)499.7 =2041499.7 cã ch÷ sè tËn cïng lµ Vậy A có chữ số tận cùng là 0, đó A chia hết cho Bài3 Cho p/s a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì p/s lớn hay bé b a ? b Gi¶i Theo bµi to¸n cho a <b nªn am < bm ( nh©n c¶ hai vÕ víi m)  ab +am < ab+bm ( céng hai vÕ víi ab)  a(b+m) < b( a+m)  a < a+ m b b+ m Bµi4 Cho sè 155 ∗710 ∗ ∗16 cã 12 ch÷ sè chøng minh r»ng nÕu thay c¸c dÊu * bëi c¸c chc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396 Giải Ta nhận thấy , vị trí các chữ số thay ba dấu số trên hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi khác nhau, lấy từ tập hợp { 1; ; } nên tổng chúng luôn 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 đó 4;9;11 đôi nguyên tố cùng nên ta cần chứng minh A = 155 ∗710 ∗ ∗16 chia hÕt cho ; vµ 11 ThËt vËy : +A ⋮ v× sè t¹o bëi hai ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 16 chia hÕt cho + A ⋮ v× tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hÕt cho + A ⋮ 11 v× hiÖu sè gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 0, chia hÕt cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 VËy A ⋮ 396 Bµi5 chøng minh r»ng: a) − + − + − < 16 32 64 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − 2+ − 4+ − Gi¶i §Æt A= 16 32 64 2 2 2 1 1  2A= 1− + − + − 2 2  2A+A =3A = 1- 16 = −1 <1 26  3A <  A < 3 99 100 − + − + .+ 99 − 100 < b) 3 3 16 3 99 100 3 99 100 − + − + .+ 99 − 100 3A= 1− + − + + 98 − 99 Gi¶i §Æt A= 3 3 3 3 3 3 1 1 100 1 1 + − + .+ 98 − 99 − 100  4A< 1- + − + .+ 98 − 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 − + .+ 97 − 98 §Æt B= 1- + − + .+ 98 − 99  3B= 2+ 3 3 32 3 3 4B = B+3B= 3- 99 <  B < (2) Tõ (1)vµ (2)  4A < B <  A < 16  4A = 1- (1) Bµi 6( Trên tia Ox xác định các điểm A và B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox cho OM = (a+b) Gi¶i a) (1 ®iÓm )V× OB <OA ( b<a) nªn trªn tia Ox th× ®iÓm B n»m gi÷a ®iÓm O vµ ®iÓm A Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b O B x A b)(1 ®iÓm )V× M n»m trªn tia Ox vµ OM = (a+ b)= a+b = b+ a− b =b + a− b =¿ 2 = OB + OA − OB =OB+ AB 2  M chÝnh lµ ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AM = BM 2 ĐỀ SỐ 11 C©u 1: (2®) Thay (*) các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hÕt cho Gi¶i §Ó 510* ; 61*16 chia hÕt cho th×: + + + * chia hết cho 3; từ đó tìm đợc * = 0; 3; 6; b) 261* chia hÕt cho vµ chia d Gi¶i §Ó 261* chia hÕt cho vµ chia d th×: * chẵn và + + + * chia d 1; từ đó tìm đợc * = C©u 2: TÝnh tæng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Gi¶i S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 Câu 3: Trên đờng qua địa điểm A; B; C (B nằm A và C) có hai ngời xe máy Hùng và Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ cùng khởi hành lúc để cùng đến C vào lúc 11 cùng ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc và gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đờng AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đờng BC Giải Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ) Quãng đờng AB là 30 km đó khoảng cách Hùng và Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh c¸ch Hïng 20 km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng đó tổng vận tốc Ninh và Hùng là: 20 : 24 =20 60 =50( km/h) 60 24 Do vËn tèc cña Ninh b»ng 1/4 vËn tèc cña Hïng nªn vËn tèc cña Hïng lµ: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h) Từ đó suy quãng đờng BC là: 40 - 30 = 90 (km) Câu 4: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A 1; A2; A3; ; A2004 Tõ ®iÓm M kh«ng n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ta nèi M víi c¸c ®iÓm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B TÝnh sè tam gi¸c t¹o thµnh Giải Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó Mçi ®o¹n th¼ng (vÝ dô MA) cã thÓ kÕt hîp víi 2005 ®o¹n th¼ng cßn l¹i vµ c¸c ®o¹n thẳng tơng ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác Do đó 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhng lu ý là MA kết hợp với MA1 để đợc tam giác thì MA1 kết hợp với MA đợc tam giác và hai tam gi¸c nµy chØ lµ 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 C©u 5: TÝch cña hai ph©n sè lµ Thêm đơn vị vào phân số thứ thì tích là 15 56 Tìm hai phân số đó 15 Thêm đơn vị vào phân số thứ thì tích là 56 15 15 56 48 suy tÝch míi h¬n tÝch cò lµ = ®©y chÝnh lµ lÇn ph©n sè thø hai Suy 15 15 15 phân số thứ hai là 48 : = 12 = Từ đó suy phân số thứ là: 15 15 : = 15 Gi¶i TÝch cña hai ph©n sè lµ ĐỀ SỐ 12 C©u : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= 3a + 22a −1 c a + 2a +2 a+ Rót gän biÓu thøc Gi¶i Ta cã: A= 3a + 22a −1 = a + 2a +2 a+ (a+1)(a 2+ a −1) a 2+ a− = ( a+1)(a2 +a+1) a2 +a+1 b) Chứng minh a là số nguyên thì giá trị biểu thức tìm đợc câu a) là ph©n sè tèi gi¶n Gi¶i Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cña a2 + a – vµ a2+a +1 V× a2 + a – = a(a+1) – lµ sè lÎ nªn d lµ sè lÎ MÆt kh¸c, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nªn d = tøc lµ a2 + a + vµ a2 + a – nguyªn tè cïng VËy biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n C©u 2: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶c¸csètù nhiªn cã ch÷ sè abc cho abc=n2 −1 vµ n −2 ¿2 cba=¿ Gi¶i abc = 100a + 10 b + c = n2-1 cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (1) Tõ (1) vµ (2)  99(a-c) = n –  4n – ⋮ 99 (3) MÆt kh¸c: 100  n2-1  999  101  n2  1000  11 n31  39 4n –  119 (4) ( 0, 25 ®iÎm) Tõ (3) vµ (4)  4n – = 99  n = 26 VËy: abc = 675 Câu 3:a (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là số chính phơng Giải Giả sử n2 + 2006 là số chính phơng đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) + ThÊy : NÕu a,n kh¸c tÝnh chÊt ch½n lÎ th× vÕ tr¸i cña (*) lµ sè lÎ nªn kh«ng tháa m·n (*) + NÕu a,n cïng tÝnh ch½n hoÆc lÎ th× (a-n) ⋮ vµ (a+n) ⋮ nªn vÕ tr¸i chia hÕt cho vµ vÕ ph¶i kh«ng chia hÕt cho nªn kh«ng tháa m·n (*) Vậy không tồn n để n2 + 2006 là số chính phơng b Cho n lµ sè nguyªn tè lín h¬n Hái n2 + 2006 lµ sè n/tè hay lµ hîp sè Giải n là số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n chia hết cho d đó n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho VËy n2 + 2006 lµ hîp sè C©u 4: (2 ®iÓm) a Cho a, b, n  N* H·y so s¸nh a+n vµ a b+n Gi¶i Ta xÐt trêng hîp a =1 b a+n th× b+n a >1 b = a =1 b a a+n =1  a=b th× b b+n TH1: a >1  a>b  a+m > b+n b a+n Mµ cã phÇn thõa so víi lµ a− b b+n b+ n a a− b cã phÇn thõa so víi lµ , v× b b TH3: a <1  a<b  a+n < b+n b Khi đó a+n có phần bù tới là a− b , vì b+n b TH1: 11 b Cho A = 1012 −1 ; Gi¶i 10 −1 11 Cho A = 1012 −1 ; 10 −1 10 B = 1011 + 10 +1 b a− b b+ n a− b b a <1 b < < a− b b b−a bb+n So s¸nh A vµ B nªn a+n b+n < a b nªn a+n > a b+n b (1011 −1)+11 10 11 +10 râ rµng A< nªn theo a, nÕu a <1 th× a+n > a  A< = 12 12 11 Do đó A< 1012+10 10 +10 b b+n 10 10 10(10 +1) =¿ 10(1011 +1) = b (10 − 1)+11 10 +10 10 + 1011 +1 V©y A<B C©u 5: (2 ®iÓm) Cho 10 sè tù nhiªn bÊt kú : a 1, a2, ., a10 Chøng minh r»ng thÕ nµo còng cã mét sè hoÆc tæng mét sè c¸c sè liªn tiÕp d·y trªn chia hÕt cho 10 Gi¶i LËp d·y sè §Æt B1 = a1 B2 = a1 + a2 B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10 Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) nào đó chia hết cho 10 thì bài toán đợc chứng minh ( 0,25 ®iÓm) NÕu kh«ng tån t¹i Bi nµo chia hÕt cho 10 ta lµm nh sau: Ta đen Bi chia cho 10 đợc 10 số d ( các số d  { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Di-ric- lê, ph¶i cã Ýt nhÊt sè d b»ng C¸c sè Bm -Bn, chia hÕt cho 10 ( m>n)  §PCM Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đờng thẳng đó bất kì đờngthẳng nào cắt Không có đờng thẳng nào đồng qui Tính số giao điểm chúng Giải Mỗi đờng thẳng cắt 2005 đờng thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đờng thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm Nhng giao điểm đợc tính lần  số giao ®iÓm thùc tÕ lµ: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao ®iÓm §£ Sè 13 10 10 10 10 A     56 140 260 1400 C©u 1: a) TÝnh tæng sau: Gi¶i A 10 10 10 10 5 5 3 3         (     ) 56 140 260 1400 = 28 70 130 700 = 28 70 130 700 3 3 1 1 1 1 (     ) (         ) 25.28 = 7 10 10 13 25 28 = 4.7 7.10 10.13 1 (  )  = 28 28 14 1.2  2.3  3.4   99.100 116 50 2 131 b) T×m x Z , biÕt: x  ( x  1)  ( x  2)   ( x  99) Gi¶i §Æt A 1.2  2.3  3.4   99.100 3.A= 1.2.3+2.3.3+3.4.3+….+99.100.3 3A = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+ 3.4.(5-2)+….+99.100.(101- 98) 3A= 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4+… + 99.100.101 – 98.99.100 3A= 99.100.101 A= 333300 2 2 2 §Æt B x  ( x  1)  ( x  2)   ( x  99) = 100 x  (1     99) = 100 x  4950 333300 116 6666 Do đó ta có: 100 x  4950 =50 131 = 131 50  100 x  4950 131  100 x  4950 50.131  100 x 1600  x 16  x 4 Câu 2: Tìm số tự nhiên nhỏ khác biết số đó có 15 ớc dơng Gi¶i 14 V× 15 =1.15 = 3.5 nªn sè cÇn t×m cã d¹ng a hoÆc b c ( a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tè vµ b c ) 14 14 TH1: Số cần tìm có dạng a mà số đó là nhỏ nên a 2  16384 4 TH2: Số cần tìm có dạng b c mà số đó là nhỏ nên c 2; a 3  144 Do 144< 16384 nªn sè cÇn t×m lµ 144 b) Gi¶i 9x Sè   víi 9x Ta cã   x   0;1; 2; ;9 viÕt hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ? 8 16 15 <100 10 (1) Ta cÇn chøng minh: 90  10 hay  10 (2) 4 4 4 4 ThËt vËy, ta cã: 81  80 10 10 (2 ) 10 16  10 10 10 15 9x   16 x   0;1; 2; ;9 9x nªn sè   Tõ (1) vµ (2) suy ra: 10 <10 , víi mäi viÕt hÖ thËp ph©n cã 16 ch÷ sè Câu 3: Hai ngời khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B Ngời thứ từ A đến B quay lại Ngời thứ hai từ B đến A quay lại Hai ngời gặp lần thứ hai địa điểm C cách A là 6km Tính quãng đờng AB, biết vận tốc ngời thứ hai vËn tèc cña ngêi thø nhÊt Giải Từ lúc khởi hành đến lúc gặp lần thứ hai C, ngời thứ hai đợc quãng đờng là BA+6km (1) , hai ngời đợc 3AB Vận tốc ngời thứ hai vận tốc ngời thứ nên quãng đờng ngời thứ hai đợc 2 tổng quãng đờng hai ngời đợc tức là bằng: 3AB = AB (2) 1 Từ (1) và (2) suy AB dài km Quãng đờng AB dài là: 6: = 30 km Câu 4: a) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia BA lấy O (O khác B) So sánh độ dài đthẳng OM và trbình cộng hai đoạn thẳng OA và OB b) Cho 10 đờng thẳng đồng quy O Hỏi có bao nhiêu góc đỉnh O đợc tạo thành (không kÓ gãc bÑt) ? Gi¶i A O B M a) M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB nªn M n»m gi÷a A vµ B ; MA=MB (1) Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối đó B nằm O và M suy OM=OB+BM (2) Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng suy ta hai tia MA, MO đối đó M n»m gi÷a A vµ O VËy OM+MA=OA  OM=OA-MA (3) OA  OB Tõ (1), (2) vµ (3) suy 2OM=OA+OB hay OM= b) 10 đờng thẳng đồng quy O  có 20 tia gốc O Chọn tia, tia đó tạo với tia (20-1) tia còn lại thành góc Làm nh với 20 tia ta có 20.(20-1) =380 góc, đó góc đã đợc tính hai lần Do đó số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc Sè gãc t¹o thµnh kh¸c gãc bÑt lµ: 190-10 = 180 gãc §Ò Sè 14 ( x − 13 ) − 14 =0 1 Từ giả thiết ta có: ( x − ) = Bài a)Tìm x biết: Gi¶i 1 x− = (1) 1 x − =− Từ đó tìm kết x = ; x=− b) Tìm x, y N biết 2x + 624 = 5y Gi¶i Nếu x = thì 5y = 20 + 624 = + 624 = 625 = 54 ⇒ y = ( y N) Nếu x thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với x, y N : vô lý Vậy: x = 0, y = − 22 − 51 Bài a) So sánh: 45 và 103 Gi¶i 22 < 22 = =51 < 51 ⇒ 22 < 51 ⇒ − 22 > −51 45 44 102 101 45 101 20092009 +1 A= b) So sánh: và 20092010 +1 Gi¶i 45 101 20092010 − B= 20092011 −2 2010 2009 −2 <1 2011 2009 − 20092010 − 20092010 −2+2011 20092010 +2009 ⇒ B= < = 20092011 −2 20092011 − 2+2011 20092011 +2009 2009 (20092009 +1) 20092009 + ¿ = =A 2009 (20092010 +1) 20092010 + B= Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì các số dư là ; ; 15 Gi¶i Gọi số tự nhiên phải tìm là x - Từ giả thiết suy (x  20) 25 và (x  20) 28 và (x  20) 35  x+ 20 là bội chung 25; 28 và 35 kN  - Tìm BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700  - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy x 999  x  20 1019 ⇒ k = ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680 Bài Ba máy bơm cùng bơm vào bể lớn , dùng máy và máy hai thì sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 30 phút bể đầy còn dùng máy và máy ba thì bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng mình thì bể đầy sau bao lâu? Gi¶i Máy và máy hai bơm 20 phút hay đầy bể nên máy và hai bơm bể Máy hai và máy ba bơm 30 phút hay đầy bể nên máy hai và ba bơm bể 12 Máy và máy ba bơm 24 phút hay đầy bể nên máy và ba bơm 5 11 12 bể  Một ba máy bơm + + 12 :2=12 bể ( 11 ) Một giờ:máy ba bơm 12 − = bể ⇒ Máy ba bơm mình đầy bể 11 11 máy bơm 12 − = bể ⇒ Máy bơm mình đầy bể máy hai bơm 12 − 12 = bể ⇒ Máy hai bơm mình đầy bể Bài Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 và vẽ tia On cho góc yOn 900 c) Chứng minh góc xOn góc yOm d) Gọi Ot là tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot là tia phân giác góc mOn Gi¶i m t y n a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy O x yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy b) Lập luận : xÔt = tÔy MΜ xÔt = xÔn + nÔt tÔy = yÔm + mÔt ⇒ ⇒ ⇒ xÔn = yÔm nÔt = mÔt Ot là tia phân giác góc mOn §Ò sè 15 Câu 1: Thực phép tính 5.(22.32 )9 (22 )6  2.(22.3)14 34 5.228.318  7.229.318 a) A = A 5.(22.32 )9 (22 )  2.(22.3)14 34 5.228.318  7.229.318  5.230.318  229.318 228.318 (5  7.2) Gi¶i Ta có:   12    4 b) B = 81   5.218.318.212  2.228.314.34 5.2 28.318  7.2 29.318 229.318 (5.2  1)  28 18 (5  14)  2.9 9   12 12 12 5    5    289 85 : 13 169 91 158158158 4 6 6   6    711711711 289 85 13 169 91  Gi¶i   12  B 81   4  Ta có: 12 12 12 5    5    289 85 : 13 169 91 158158158 4 6    6    711711711 289 85 13 169 91    1   1   12    289  85    13  169  91   158.1001001 :   81               711.1001001     289 85   13 169 91    12  158 18 324 81  :  81  64,8   711 2010 2011 2012 2010  2011  2012   Câu 2: a) So sánh P = 2011 2012 2013 và Q = 2011  2012  2013 2010  2011  2012 2010 2011 Gi¶i Ta có: Q = 2011  2012  2013 = 2011  2012  2013 + 2011  2012  2013 + 2012 + 2011  2012  2013 Lần lượt so sánh phân số P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy các phân thức P lớn các phân thức Q Kết luận: P > Q b) Tìm hai số t/nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 và a +21 = b Gi¶i Từ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn các số tự nhiên m và n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy :  BCNN  21m; 21n   420 21.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy : (4)  21m  21 21n  21. m  1 21n  m  n Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì có Trường hợp : m = 4, n = m = 2, n = là thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta các số phải tìm là : a = 21 = 84; b = 21 = 105 Câu 3: a)Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y  37 thì 13x +18y  37 Gi¶i Ta có: 5(13x 18 y)  4(7 x  y) 65 x  90 y  28 x  16 y 37 x  74 y 37( x  y ) 37 Hay 5(13x  18 y )  4(7 x  y )37 (*) x  y 37 , mà (4;37) = Vì Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x  18 y )37 , mà (5; 37) = nên 13x  18 y 37 nên 4(7 x  y ) 37 3 3 3   ( )  ( )  ( )   ( ) 2012 ( ) 2013 : 2 2 b) Cho A = 2 và B = Tính B – A Gi¶i Ta có: 3 3 A    ( )  ( )3  ( )   ( ) 2012 2 2 2 3 3 3  A   ( )2  ( )3  ( )   ( ) 2013 2 2 (1) (2) Lấy (2) – (1), ta được: 3 3 A  A ( )2013    2 2 32013 A ( ) 2013   A  2012  2 2 2013 2013 3 B  A  2014  2012  2 Vậy  xAy Câu Cho , trên tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm b) Tính BD    b) Lấy C là điểm trên tia Ay Biết BCD = 800, BCA = 450 Tính ACD c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK y Gi¶i C ình vẽ: a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax  A nằm D và B  BD = BA + AD = + = 10 (cm) KL:… b) Vì A nằm D và B => Tia CA nằm tia CB và CD   ACD  ACB BCD   ACD BCD  ACB 800  450 350 KL:… c) * Trường hợp : K thuộc tia Ax - Lập luận K nằm A và B - Suy ra: AK + KB = AB  KB = AB – AK = – = (cm) D A K B * Trường hợp : K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K và B - Suy ra: KB = KA + AB  KB = + = (cm) x D K A B x * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm Câu 5: Tìm hai số nguyên tố x và y cho: x2 – 2x + = 6y2 -2x + Gi¶i Ta có: x2 – 2x + = 6y2 -2x + => x2 – = 6y2  6y2 = (x-1).(x+1)  , 6y2  Mặt khác x-1 + x +1 = 2x   (x-1) và (x+1) cùng chẵn cùng lẻ Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn  (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp  (x-1).(x+1)   6y2   3y2   y2   y   y = ( y là số nguyên tố) , tìm x = Kết luận:…… §Ò Sè 16 5.(2 ) (2 )  2.(22.3)14 36 5.228.319  7.229.318 Câu a/ Tính N = 2 Gi¶i 5.218.318.212  2.228.314.36 5.228.319  7.229.318 N= 5.230.318  229.320 229.318 (5.2  32 )   28 18 228.318 (5.3  7.2) (15  14)   2011.2012  2012.2013  b/ So sánh 2011.2012 và 2012.2013 Gi¶i 2011.2012  1 2012.2013  1 1  1  2011.2012 vµ 2012.2013 2012.2013 Viết đợc: 2011.2012 1  V×: 2011.2012 2012.2013 1 2011.2012  2012.2013  1 1 2012.2013 hay 2011.2012 < 2012.2013 nªn 2011.2012 Câu Cho biểu thức : a/ A là phân số A 2n  3n  4n    n n n  Tìm giá trị n để: 2n  3n  4n  (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2n   3n   4n  n       n n n n n n Gi¶i A là phân số khi: n +  Z , n - 3 Z  n Z và n - 0  n  Vậy A là phân số  n Z và n  A b/ A là số nguyên n  ( n  3)  4 b/ A  1  n n n Gi¶i 1; 2; 4;  1;  2;  4;5;7; 2;1;   => n    A là số nguyên n – Ư(4) =  Câu Chứng tỏ rằng: Tổng A = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 + 212 chia hết cho Gi¶i A = (2 + 22 + 23) +(24 + 25 + 26) + (27+ 28+ 29) + (210 + 211+212) A = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + 27.(1+2+22) + 210.(1+2+22) A = 2.7 + 24.7 + 27.7 + 210.7 A = 7.( + 24 + 27 + 210) Suy A chia hết cho  1 1        9.10 10.11 11.12 x(x  1)   Câu a) Tìm số tự nhiên x biết : Gi¶i  1 1        x(x  1)   9.10 10.11 11.12 1      x 1  2   x 1   x  18  x 17 x 1 b) Viết thêm chữ số y vào bên phải số có chữ số thì số lớn gấp lần số có viết thêm chữ số y vào bên trái số đó Tìm chữ số y và số có chữ số đó ? Gi¶i Gọi số có chữ số phải tìm là abcde ( a 0; a; b; c; d ; e  N ; a; b; c; d ; e 9 ) Ta có abcdey 3 yabcde Đặt abcde  x ta có 10x + y = ( 100 000 y + x ) 7x + y = 300 000y ⇒ 7x = 299 999y ⇒ Vì x là số có chữ số nên y nhận giá trị : y = và y = Nếu y = thì x = 42 857 Nếu y = thì x = 85 714 x = 42 857y Câu Cho góc AOB = 1440 Tia OC là phân giác góc AOB, vẽ tia OM góc AOB cho góc BOM = 350 a/ Tính góc MOC b/ Gọi OB’ là tia đối tia OB, ON là tia phân giác góc AOC Chứng minh OA là phân giác góc NOB’ Gi¶i N C A M a, Vì OC là tia phân giác góc AOB nên  AOB 144   AOC BOC   72 2 B’ B O Lập luận để có tia OM nằm hai tia OB, OC  Từ đó MOC = 720 -350 = 370   b, Ta có AOB ' = 1800 - AOB = 1800 – 1440 = 360 AOC 720  360  AON = Tia OA nằm hai tia ON và OB’ Vậy tia OA là tia phân giác góc NOB’ §Ò sè 17 C©u a) C¸c ph©n sè sau cã b»ng kh«ng? V× sao? 23 ; 23232323 ; 2323 232323 9999 999999 23 23 10101 232323 = = 99 99 10101 999999 99 99999999 23 23 101 2323 Giải Ta thÊy; 99 =99 101 =9999 23 23 1010101 23232323 = = 99 99 1010101 99999999 VËy; 23 =2323 =232323 = 23232323 99 9999 999999 99999999 ; b, Chøng minh , x + y chia hÕt cho 17, ⇔ x + y chia hÕt cho 17 Giải Ta ph¶i chøng minh , x + y chia hÕt cho 17, th× x + y chia hÕt cho 17 Ta cã (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hÕt cho 17 Do vËy ; 2x + 3y chia hÕt cho 17 ( 2x +3y ) chia hÕt cho 17 ⇒ 9x + 5y chia hÕt cho 17 ⇒ C©u TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 1 A=( + ):( + + ) + 1:(30 23 1009 23 1009 23 1009 1009 – 160) Giải Ta viÕt l¹i A nh sau : 1 + − ) 23 1009 23 1009 + 1 1 1 (23+7).1009 −161+1 ( + − + ) 23 1009 23 1009 23 1009 1009+23 1009 −23 + =1 1009+23 1009 −23 7+1 23 1009+7 1009− 23 7+1 ( A= = 1 C©u a, T×m sè tù nhiªn x , biÕt :( Giải 1 1 + 23 ( − + − + + 10 ) x = 45 ⇒ x=2 b,T×m c¸c sè a, b, c , d ) x = 23 10 45 1 23 ( + ) x = ⇒ 2 90 45 + + N , biÕt : 30 43 = a+ b+ c+ Giải 30 43 = d 1 1 = = = 43 13 1 1+ 1+ 1+ 30 30 2+ 2+ 13 3+ => a =1 ; b = ; c = ; d = C©u : Mét sè tù nhiªn chia cho 120 d 58, chia cho 135 d 88 T×m a, biÕt a bÐ nhÊt ? Giải ; Ta cã ¿ a=120 q 1+ 58 a=135 q 2+ 88 ¿{ ¿ N) ⇒ (q1, q2 ¿ a=1080 q1 +522 a=1080 q 2+704 ¿{ ¿ Tõ ( ) , ta cã a = 1080 q2 + 704 + a (3) Kết hợp ( ) với ( ) , ta đợc a = 1080 q – 180 V× a nhá nhÊt, cho nªn, q ph¶i nhá nhÊt => q = => C©u5 : Gãc t¹o bëi tia ph©n gi¸c cña gãc kÒ bï, b»ng bao nhiªu? V× sao? Giải y a = 898 C©u 5; Gäi Ot , Ot, lµ 2tia ph©n gi¸c cña t, kÒ bï gãc xOy vµ yOz Gi¶ sö , xOy = a ; => yOz = 180 – a Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) z 2 x Câu : Cho 20 điểm, đó có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đờng thẳng Tìm a , biết vẽ đợc tất 170 đờng thẳng Giải Giả sử 20 điểm, không có điểm nào thẳng hàng Khi đó, số đờng thẳng vẽ đợc lµ; 19 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có điểm nào thẳng hàng.Số đờng thẳng vẽ đợc là ; (a – ) a : Thực tế, a điểm này ta chi vẽ đợc đờng thẳng Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : + = 170 => a = §£ S¤ 18 Bµi 1: T×m sè nguyªn x biÕt: a) x    x   b)  x   0  x  6  x 3 x  6    x   0  x    x  HD gi¶i: a)  VËy gi¸ trÞ x cÇn t×m lµ x = 3; x = -9 x    x   x     x   7 x   b)        x  {-5; 1; 3; 9} Bµi 2: T×m sè tù nhiªn a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn: a + 2b = 48 vµ (a; b) + 3[a; b] = 114 x  ¦ (7) HD gi¶i: Ta cã 1143 ;       a3 V× a + 2b = 48  a2  a6  a  {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42} Lập bảng xét các giá trị trên a ta đợc a = 12; b = 18 và a = 36; b = a,b 3 a,b 3 34 51 85 68 39 65 52 26    B    7.13 13.22 22.37 37.49 vµ 7.16 16.31 31.43 43.49 Bµi 3: Cho A TÝnh tû sè B A 34  1  68  1  17  1  17  1  17  1                     13  12  37 49   13   37 49   49  (2 ®) HD gi¶i: 39  1  26  1  13  1  13  1  13  1  B                     16   43 49   16   43 49   49  (1,5 A ®) A 17 13 17 :  VËy B = 3 (0,5 ®) Bài 4: Dũng và Lâm có tổng số bi là 150 viên Dũng có 20% bi đỏ Lâm có 15% bi đỏ Tổng số bi đỏ cña hai b¹n lµ 27 viªn TÝnh sè bi cña mçi b¹n HD giải: Giả sử Lâm có 20% bi đỏ thì số bi đỏ hai ngời là: 20% 150 = 30 (viên) 5% sè bi cña L©m lµ 30 – 27 = (viªn) Sè bi cña L©m lµ: : 5% = 60 (viªn) Sè bi cña Dòng lµ: 150 – 60 = 90 (viªn)   Bµi 5: Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oa vÏ c¸c tia Ob, Oc cho aOb 100 ; aOc 50    c) Chøng tá Oc lµ tia ph©n gi¸c cña aOb VÏ tia Od cho cOd 25 TÝnh bOd ? HD giải: Vẽ hình đúng 0,5 đ c b O d d b c a O a    a) Oc n»m gi÷a Oa vµ Ob MÆt kh¸c aOc bOc 50 nªn Oc lµ tia ph©n gi¸c cña aOb  b) TH1: Od nằm tia Oa và tia Oc ta tính đợc bOd 75  TH2: Od nằm gia tia Ob và tia Oc ta tính đợc bOd 25 Bµi 6: Chøng minh 21995 < 5863 210 1024  10 1720 172 860      5 HD gi¶i: Ta cã 3025  24 24 24 37 2187  11 172 11 11     3   26 2270  11 2048  1720 270 1720 172 860 Do đó 2   Vậy 21990 < 5860 mà 25 < 53 nên 21995 < 5863   ĐỀ sè 19 Câu I: Tìm x biết:  x a) 3 2 1 1  x  x  x ⇒ ⇒ 4 3 12 Gi¶i  1 1 ⇒ ⇒ ⇒ : 12 x = 12 x= x= 3x   17  12 b) Gi¶i 3x 1  17  12 3x  = -12 + 17 3x  =5 ⇒ 3x + = ⇒ 3x =4 ⇒ x = Vậy x = ; x = -   22 13   c) x = 13 11 3x + = - ⇒ 3x =-6 ⇒ x =-2 Gi¶i   22 13 x   13 11 65  66  143 = 88  52  429 1     11 13   22 13   3   2.11.13   13 11 2  =  12   = 465 155      2       462   2,04 :  x  1,05   : 0,12 19 11 13 13 15 19 21   d) 2 1 1 1          11 13 13 15 19 21 19 21 Gi¶i Vì = 11 13 13 15 1 10   = 11 21 231 10 462   2,04 :  x 1,05   : 0,12 19 Nên ta có 231 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 2,04 : (x + 1,05) = 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 x = 15,95 Câu II: Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100 a) Chứng minh S  15 Gi¶i S = 21 + 22 + 23 + + 2100 Tổng trên gồm 100 số hạng chia thành nhóm, nhóm có số hạng ta có: S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (297 + 298 + 299 + 2100) = (1 + + 22 + 23) + 25 (1 + + 22 + 23) + + 297 (1 + + 22 + 23) = 15 + 25 15 + + 297 15 = 15 (2 + 25 + + 297)  15 (ĐPCM) b) Tìm chữ số tận cùng S Gi¶i Vì S  15  S  (1) Lại có tất các số hạng S chia hết cho nên S  (2) Từ (1) và (2)  S  10 hay S có chữ số tận cùng là c) Tính tổng S Gi¶i 2S - S = (21 + 22 + 23 + + 2100) - (21 + 22 + 23 + + 2100) S = (22 + 23 + 24 + + 2101) - (21 + 22 + 23 + + 2100) hay S = 2101 - 2 Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là số chính phương không? Tại sao? Gi¶i Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x Ta có:(x - 1) : + = n  (x - 1) : =n-1  x-1 = (n - 1)  x-1 = 2n -  x = 2n - +  x = 2n - Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là ; ; ; ; ; 2n - Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: + + + + (2n - 1) = (2n - + 1) n : = 2n n : = n2 là số chính phương Vậy tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là số chính phương Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1          199 200 101 102 200 1 1      199 200 Gi¶i Ta có - 1  1           199  200  = 1+ 1 1 1 1  1 1 1               199 200  200  = 1 1       199 200 =  1  1      100   1 1     200 (ĐPCM) = 101 102 103 51 52 100 1 99 b) 2  99   .100  Gi¶i Ta có: (2 100) 99 =  2.3.4.5.6 99.100  =  1.2   2.2   2.3  2.50  = = 99 100  2.3 .50  2.2.2     50 thõa sè 51 52 53 99 100 2.2.2     50 thõa sè 51 52 53 100 (ĐPCM = 2 Câu III Một ô tô từ A lúc 8h Đến 9h ô tô khác cùng từ A Xe thứ đến B lúc 2h chiều Xe thứ hai đến xớm xe thứ nửa Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ cách A bao nhiêu km vận tốc nó lớn vận tốc xe thứ là 20km/h Gi¶i Thời gian xe thứ hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h Thời gian xe thứ hai hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h = Một xe thứ : (quãng đường AB) h Một xe thứ hai : (quãng đường AB) 1 Phân số 20km là : - = 18 (quãng đường AB) Vậy quãng đường AB dài : 20 : 18 = 360 (km) Vận tốc xe thứ là : 360 = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu chúng cách 60km (vì xe thứ trước xe thứ hai giờ) Do đó, chúng gặp (kể từ xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = (h) Nơi gặp cách A là: 60 + 60 = 240 km 9999 10000 Câu IV Cho A = So sánh A với 0,01 Gi¶i 9999 A = 10000 10000 10001 Đặt B = 9999 10000  ;  ;  ; ;  10000 10001 Vì Nên A < B mà A > ; B >  9999   .10000      10001   A2 < A B =  10000   9999 10000   = 10000 10001  1        0,01 = 10001 10000  100   A2 < (0,01)2 Hay A < 0,01       n    10 Chứng minh rằng:  , với  n  N n  n  1 Gi¶i Ta có: + + + + n = Vì n  N  n (n + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có thể có các tận cùng là: 0; ; n  n  1  không có tận cùng là       n     không có tận cùng là       n      10, với  n  N (ĐPCM)