[r]
(1)ĐÁP ÁN ĐÊ THI VÒNG 1, CHỌN HSG HUYỆN LỚP NĂM 2017-2018 MƠN TỐN
Câu Hướng dẫn giải Điểm
Câu 1 (3.0 điểm)
1.a Các số phương có hai chữ số: 16,25,36,49,64,81 Chỉ có (8+1)2=81
1.b
Phân tích n5 – n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5.(n-1)n(n+1)
Mỗi hạng tử chia hết cho Mà (2,5)=1
n5 – n chia hết cho 10
Câu 2 (6.0 điểm)
2.a
√x+3 + √x−1=2 (1) ĐKXĐ: x ≥1 (1) ↔ √x+3√x−1 =1 - x
√x+3.√x−1 ≥0v iớ m iọ x∈ ĐKXĐ → – x ≥0 ↔ ≥ x Kết hợp với ĐKXĐ → x =
2.b
√x+5
¿ - √x+2 )(1+ √x
+7x+10 ) = (2) ĐKXĐ: x ≥−2 Đặt √x+5=a ; √x+2=b ĐK: a ≥0; b ≥0
Ta có a2 – b2 = 3
(2) ↔ (a-b)(1+ab) = a2 – b2
↔ (a-b)(1+ab-a-b) = ↔ (a-b)(a-1)(b-1) = TH1: a = b nghiệm TH2: a = khơng có nghiệm
(2)2.c
x2+3x+1=(x+3)√x2+1 (3) Bình phương vế pt (3) ta có:
x2
=8→ x=±2√2
Câu 3 (8.0 điểm)
3.a
A N
G
M D
B C
Ta có AB=AC= a
√2→ AG= a 3√2
Áp dụng Pitago cho ∆ AGC vuông A →CG=√5a
3
3.b
C1(H1): Áp dụng Menaluyt cho ∆ ABC có M,G,D thẳng hàng ta có: MB
MC DC DA
GA GB=1→
DC
DA=2→ A trung điểm DC
Vậy DM BA trung tuyến ∆ BDC , hay G trọng tâm
Q A N
G
M D
(3)C2:(H2)
Lấy Q đối xứng với G qua M ta có BGCQ hình bình hành →GA=1
2GB=
2QC GA/¿QC → GA đường trung bình ∆ DQC
→ A trung điểm DC
Vậy DM BA trung tuyến ∆ BDC , hay G trọng tâm
E T
K
A N
G
M
D I
B C
+Xét ∆ BMI ∆ DNC
Ta có BI trung trực DC → ID=IC BD=BC → ND=MC
Góc BMI = Góc DNC (Cùng bù với góc BNC) Mà góc NDC = góc NCI = 450
→ ∆ BMI = ∆ DNC (g.c.g) → DC=BI=2BA → AB=AI → BCID hình vng
+ Chứng minh DE=BC
C1(H3): Tia CN cắt Tia ID T → BC=DT=D I Mà ∆ DNC Có DE=DT=DI
(4)E P
R
K
A N
G
M
D I
B C
+ Chứng minh DE=BC
C2(H4): + Do K trọng tâm ∆ BIC → AK AC=
AG AB=
1
2→ GK//MC Áp dụng định lý Ceva cho ∆ DMC ta có:
RMR C K CKD G MG D=1→RM
RC=1→ R trung điểm MC
→ góc RME = góc REM = góc DEI; Mà góc RME = góc EID
→ ∆ DEI cân D → DE=DI
3.c
+ Chứng ming ∆ PGE cân
+ Do R trung điểm MC → P trung điểm GK → EP=1
2GK=GP → ∆ PGE cân P
(Có thể dung hình để cm P trung điểm GK)
4.
(3.0 điểm) a Tìm giá trị lớn biểu thức P=2017−2x−24x +2 Do(x−2)
2
x2
+2 ≥0∀x P=201 8−(x−2)
2
x2+2 ≤2018¿
)
(5)b Cho x,y,z ba số dương x2
+y2+z2≤6
Tìm GTNN Q ¿ xy+
1 yz+
1 zx
Ta có : xy1 + yz+
1 zx≥
2 x2
+y2+ y2
+z2+ z2
+x2
(Áp dung BĐT : 1a+1 b+
1 c≥
9
a+b+c với a,b,c dương)
→
x2+y2+ y2+z2+
2 z2+x2≥
9 x2+y2+z2≥
9