BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA

BÀI  TẬP  CHUỖI  LŨY  THỪA   Bài  tập    Tìm  bán  kính  hội  tụ  của  các  chuỗi  sau:   a) ∞ ∑ n =2 c) ∞ n + ( −1) n n n − n2 ∑ ( −1) n −1 n =1 ∞ x n ⎛ 1⎞ n ⎜1 − ⎟ x ⎝ n⎠ n n e) ∑ n+1 ( x + 1) + 3ln n n =2 b) ( n − 1) x − n+1 ( ) ∑ n =0 ( 2n )!! ∞ ∞ x 2n d) ∑ n n =1 n ⎛ n −1 ⎞ f ) ∑⎜ ⎟ n =2 ⎝ n + ⎠ ∞ n −3n +1 x n a) ∞ ∑ n =2 Hướng  dẫn   n n 2 n + ( −1) n x n− n R = lim = lim n →∞ n | a | n →∞ n = lim n →∞ n n ⎛ 1⎞ 1+ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ n n 2/3 − n1/ ⎡ ⎛ 1⎞ ⎢1 + ⎜ − ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ n 2/3 − n1/2 n 1/ n ⎤ ⎥ ⎥⎦ = n b) ( n − 1) x − n+1 ( ) ∑ n =0 ( 2n )!! ∞ an n − ( 2n + )!! R = lim = lim n →∞ a n →∞ ( 2n )!! n n +1 n −1 = lim ( 2n + ) = +∞ n →∞ n c) ∞ ∑ ( −1) n −1 n =1 ⎛ 2⎞ n ⎜1 − ⎟ x ⎝ n⎠ an n − n +1 R = lim = lim =1 n →∞ a n →∞ n n −1 n +1 ∞ x 2n d) ∑ n n =1 n R = lim n →∞ n ∞ = ∑ an x 2n n =1 an = lim n n = n →∞ ∞ n n e) ∑ n+1 ( x + 1) + 3ln n n =2 R = lim n →∞ n an = lim n n →∞ n +1 n + 3ln n n 1/ n ln n ⎞ ⎛ 8⎜ + n ⎟ ⎠ ⎝ = lim n n →∞ n 8.8 = =8 ⎛ n −1 ⎞ f ) ∑⎜ ⎟ n =2 ⎝ n + ⎠ ∞ R = lim n →∞ n n −3n +1 an x n ⎛n+2⎞ = lim ⎜ ⎟ n →∞ n − ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n −1 ⎠ n −3 n +1 n n −3n +1 n n −1 ⎡ ⎤ 3 ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ = lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎢ ⎝ n −1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ n −3n +1 n −1 n = e6  Tìm  miền  hội  tụ  của  các  chuỗi  sau:   a) ∑ n =0 c) ( −1) x n ∞ ( ∞ ) ∑ ( x + 5) n n ( x − 8) ∑ 2n n =1 ( n !) ∞ n n n ⎛ n+3 ⎞ b) ∑ ⎜ ⎟ ( x − 1) n =1 ⎝ 2n + ⎠ ∞ n + 3n n =0 e) n ⎛ 2n 3n ⎞ n+1 d ) ∑⎜ n + ⎟ x n ⎠ n =1 ⎝ ∞ a) ∑ n =1 ( −1) n ∞ (2 Hướng  dẫn   x n ) R =3 n + n ( −3,3) Khoảng  hội  tụ:   x = −3 ∞ ∑ n =1 ( −1) ( −3) n (2 n ) ∞ n + n =∑ n =1 (2 n +5 ) ∞ Chuỗi  phân  kỳ  vì  cùng  bản  chất  với   ∑ 1/2 n n =1 ∑ n =1 ( −1) n ∞ ( x =3 x n ) n + 3n ∑ n =1 ( −1) n ∞ ( n ) n + 3n Chuỗi  đan  dấu  với   =∑ n =1 an = Chuỗi  ht  theo  tc  Leibnitz   MHT : D = ( −3,3] ( −1) n ∞ (2 (2 n +5 n +5 ) ) ↓0 n n ⎛ n+3 ⎞ b) ∑ ⎜ ⎟ ( x − 1) n =1 ⎝ 2n + ⎠ ∞ R=2 Khoảng  hội  tụ:   (1 − 2,1 + ) = ( −1,3) x = −1 n n ∞ n + n + n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ ( −2 ) = ∑ ⎜ ⎟ ( −1) = ∑ an n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ∞ ∞ n n ∞ n + n + n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ ( −2 ) = ∑ ⎜ ⎟ ( −1) = ∑ an n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ∞ n ∞ ⎞ ⎛ 2n + ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ = ⎜1 + ⎟ ⎝ 2n + ⎠ ⎝ 2n + ⎠ n n +1 ⎡ ⎤ 5 ⎞ ⎥ ⎛ ⎢ = ⎜1 + ⎟ ⎢ ⎝ 2n + ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⇒ an → n n +1 n →∞ ⎯⎯⎯ → e5/2 Chuỗi  pk  theo  đk  cần   n n ⎛ n+3 ⎞ ∑ ⎜ ⎟ ( x − 1) n =1 ⎝ 2n + ⎠ ∞ x =3 n n ⎛ n+3 ⎞ n ⎛ 2n + ⎞ ∑ ⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎟ = ∑ an n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ⎝ 2n + ⎠ n =1 ∞ ⇒ an → ∞ Chuỗi  pk  theo  đk  cần   MHT : D = ( −1,3) ∞ c) ∞ ∑ ( x + 5) n2 n n =0 Chuỗi  chỉ  hội  tụ  tại:   R=0 x = −5 ∞ ⎛ 2n 3n ⎞ n+1 ⎛ 2n.n + 9n ⎞ n+1 d ) ∑⎜ n + ⎟ x = ∑⎜ x ⎟ n n ⎠ n n =1 ⎝ n =1 ⎝ ⎠ R= n n n ∞ n + ⎛ ⎞ x=− − ⎟ ∑ ⎜ n 3 n ⎝ 3⎠ n =1 ∞ ⎡⎛ ⎞n ( −1)n ⎤ = ∑ ⎢⎜ − ⎟ + ⎥ n n =1 ⎢⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ HT   HT   ∞ HT   x= n + ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ n n ⎝3⎠ n =1 ∞ n n n ⎡⎛ ⎞ n ⎤ = ∑ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ n =1 ⎢ ⎣⎝ ⎠ n ⎥⎦ HT   HT   ∞ ⎡ 1⎤ MHT : D = ⎢ − , ⎥ ⎣ 3⎦ HT