Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2021 - 2022 Ngày thi thứ nhất: thứ ba 28/9/2021 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề -Bài (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho 7n 1 chia hết cho n 2 n  1 Bài (5,0 điểm) Cho n số nguyên dương Tính số có thứ tự  a0 , a1 , , an  với  0, 1, 2, 3, 4, 5 với i  0, 1, 2, , n thỏa mãn điều kiện n  a0  3a1  32 a2   3n an Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường trịn O đường kính AK Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D trung điểm cung nhỏ BC O Lấy P thuộc trung trực AI cho PI  OI H hình chiếu P lên IK Lấy L IK cho AH  DL Q AD cho QL  IK Chứng minh IA  IQ Bài (5,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a4 b4 c4 3 2 3 2  b2 a  ab  b2  c b  bc  c  a c  ca  a  HẾT ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2021 - 2022 Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021 Thời gian làm bài: 210 phút, không kể thời gian phát đề -Bài (7,0 điểm) a) Tìm tất hàm số f : *  * , thỏa mãn: n3  mf m chia hết cho f n  f m với số nguyên dương m, n b) Tìm số nguyên dương k cho tồn số nguyên dương m, n thỏa mãn n3  kmf m chia hết cho f n  f m Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn  K  qua B, C cắt CA, AB E , F Gọi L giao điểm AK BC , H giao điểm BE CF Đường thẳng AH cắt đường thẳng EF G; gọi M , N giao điểm GL với BE , CF Chứng minh FM cắt EN điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Bài (7,0 điểm)  a1  1, a2  Cho dãy số an  thỏa mãn     an1  6an  an1 , n  a) Chứng minh số hạng dãy an  biểu diễn dạng tổng hai số phương b) Tìm số dư chia a337 cho 337 c) Đặt un  a1  2a2   nan Tìm số dư chia u337 cho 2022 HẾT ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2021 - 2022 Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021 Thời gian làm bài:... Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021 Thời gian làm bài: 210 phút, không kể thời gian phát đề -Bài (7,0 điểm) a) Tìm tất hàm số f : *  * , thỏa mãn: n3  mf m chia hết... Một đường tròn  K  qua B, C cắt CA, AB E , F Gọi L giao điểm AK BC , H giao điểm BE CF Đường thẳng AH cắt đường thẳng EF G; gọi M , N giao điểm GL với BE , CF Chứng minh FM cắt EN điểm đường