Đang tải... (xem toàn văn)
-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục [r]
(1)UBND HUYỆN TƢ NGHĨA PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11/12/2014 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nào x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: (6 điểm) a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn c b, c a+b và c2 = 2(ac +bc - ab) a (a c) a c Chứng minh: b (b c)2 b c b) Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + là số chính phƣơng c) Tìm số tự nhiên k = ab có hai chữ số cho k + ab = (a+b)2 Bài 3: (4 điểm) a) Gi i phƣơng trình: (x-1)(x+2) + 4(x-1) x2 12 x 1 b) Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình: 3x +4y = 29 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC>AB), đƣờng cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đƣờng vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân b) Gọi M là trung điểm BE Chứng minh ΔBHM ∽ΔBEC Bài 5: (3 điểm) Cho đƣờng tròn tâm O đƣờng kính AB Đƣờng thẳng d tiếp xúc với đƣờng tròn điểm M Đƣờng thẳng MN vuông góc với AB N (N AB) Gọi H, K lần lƣợt là chân đƣờng vuông góc hạ từ A và B đến đƣờng thẳng d Chứng minh rằng: MK2 = AH.BK HẾT (2) UBND HUYỆN TƢ NGHĨA PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp huyện Năm học: 2014 - 2015 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11/12/2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Nội dung Bài 1a (1đ) Điểm a) ĐKXĐ: x 0; x 4; x 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x A = 1b (2đ) x 9 x 3 x 9 = = = x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 2 x 2 2,0đ x x 2x x x x 3 x 2 x 3 x x x 2 Ta có A x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 1 1 x 3 x 3 Để A nhận giá trị nguyên thì x là ƣớc 1c (1đ) x 1 x 1 x 16; x 4(loai ) Hay x 2 x 2 x 25; x x 49 x 4 x 4 Chứng minh: 1,0đ a (a c) a c b (b c)2 b c Ta có: c2 = 2(ac +bc - ab) 2a c2 +2ab -2ac - 2bc = (2đ) a2 = a2+( c2 +2ab -2ac - 2bc) =(a2 - 2ac + c2)+2b(a-c) =(a – c)2 +2b(a-c) =(a – c)(a - c +2b) 1,0đ (3) Tƣơng tự: b2 =(b – c)(b - c +2a) Do đó: a (a c) a – c a c 2b (a c) b (b c) b – c b c 2a (b c) a – c 2a 2c 2b a c (c a b) b – c 2b 2c 2a b c 2b (2đ) Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + là số chính phương Theo đề ta có: n4 + 2n3+ 2n2 + n + = m2 (m Z) 2 4(n + 2n + 2n + n + 7)= 4m 2 4n + 8n + 8n + 4n + 28 = 4m 2 (2n + 2n + 1) + 27 = 4m (2n2 + 2n + 1)2 – (2m)2 = - 27 ( 2n2 + 2n + 1-2m)(2n2 + 2n + 1+2m) = -27 2 2n 2n 1- 2m 1 2n 2n 1- 2m 27 *Trƣờng hợp và 2n 2n + + 2m 27 2n 2n + 1+2m 1 Ta tìm đƣợc n=2 n = -3 *Trƣờng hợp khác không tìm đƣợc n Z để A là số chính phƣơng Vậy: n4 + 2n3+ 2n2 + n + là số chính phƣơng n=2 n = -3 Tìm số tự nhiên k = ab có hai chữ số cho k + ab = (a+b)2 Ta có k = ab = 10a +b nên k + ab = (a+b)2 2 10a +b + ab = a +b +2ab 2 b + ab-b = 10a – a b + (a-1)b = a(10-a) Mà a(10-a) 25 đó b2 + (a-1)b b 5(vì (a-1)b ) b= 0; 2; 3; 4; 2c (2đ) Với b = thì a(10-a) =0 a = (loại) a = 10 (loại) Với b = thì a2 – 9a = a = (loại) a = Với b = thì a2 – 8a +2 =0 a = 14 (loại) Với b = thì a2 – 7a +6 =0 a = a = Với b = thì a2 – 6a +12 =0 ( vô nghiệm) Với b = thì a2 – 5a +20 =0 ( vô nghiệm) Vậy số k cần tìm là: 91; 13; 63 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ (4) i i phương t ình: Điều kiện: -1)(x+2) + 4(x-1) x2 12 x 1 x 2 x2 0 x 1 x 1,0đ x2 2 x2 =(x-1)(x+2) t = (x-1) x 1 x 1 t x2 Do đó (x-1)(x+2) + 4(x-1) 12 trở thành : t +4t -12 =0 x 1 t Đặt t= (x-1) x 3 x Với t = ta có (x-1)(x+2) =4 x x 3a (2đ) (Thỏa mãn) 1 153 x Với t = - ta có (x-1)(x+2)=36 x x 38 1 153 x Vậy nghiệm phƣơng trình là: x= - 3; x=2; x (Thỏa mãn) 1,0đ 1 153 1 153 ;x 2 Tìm nghiệm nguyên dương phương t ình: 3x +4y = 29 29 y 2 y 9 y 3 2 y Muốn x, y nguyên thì ph i nguyên Ta có 3x +4y = 29 x 3b (2đ) 1,0đ Hay là ƣớc - y Do đó 2- y =3t (t Z) y= 2-3t và x = 4t+7 Theo đề thì x> 0; y >0 t y 2-3t >0 Do đó (t Z ) x 4t >0 t 7 Suy t = -1; t=0 Với t= -1 thì x=3; y=5 (thỏa mãn) Với t = thì x=7, y= 2(thỏa mãn) Vậy: Nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình là: (3;5) và (7;2) 1,0đ (5) Câu a : Tam giác AEB cân Ta có: EC BC DC AC A (ABC ∽DEC ) và C chung E BEC ∽ADC M BEC ADC B 1,5đ Mặt khác AH = HD (gt) nên ADH 45 ADC BEC 135 AEB 45 Mà AEB vuông A nên ABE 450 Vậy : Tam giác AEB cân Câu b : BHM ∽BEC Xét tam giác vuông cân ABE ta có : 2AB2= BE2 (Pitago) (3đ) C D H 0 Xét AHB và CAB ta có: AHB CAB 900 ; B chung AHB ∽CAB AB BH BC AB 1,5đ 2 AB =BH.BC 2AB = 2BH.BC BE =2BH.BC Xét BHM và BEC ta có: BE BH BM BH BC BE BC BE BM BH và MBH chung BC BE BHM ∽BEC (Đpcm) Chứng minh ằng: MK2 = AH.BK (3đ) Đƣờng thẳng d tiếp xúc với (O) M nên OM (d) Mà AH và BK cùng vuông góc với (d) => AH//OM //BK => HAM OMA (1) AOM cân O (OA = OM) => OMA OAM (2) Từ (1) và (2) => HAM OAM K M 1,0 đ H A N B (6) Nên MHA = MNA => HA = AN ; MN = MH Chứng minh tƣơng tự KBM = NBM => BN=BK 1,0 đ OA= OB mà OM // BK//AH=>MK=MH AMB vuông M (MO = OA = OB AB ) 2 Mà MN AB(gt) nên MN = AN.BN =AH.BK Hay MK2 = AH.BK ( đpcm) C : -Học sinh có thể gi i theo cách khác, đúng v n cho điểm tối đa -Không có điểm vẽ hình -Chứng minh mà không có hình vẽ hình vẽ sai thì không có điểm -Điểm toàn bài đƣợc làm tròn đến số thập phân thứ hai Kín c ào tạp c í toán tuổi t ! Tôi tên là :Trƣơng Quang An Vừa ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc giấy mời Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi B n thân tôi và gia đình vui và thấy đây là vinh dự nhƣng hoàn c nh gia đình quá khó khăn Tôi làm lƣơng quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi làm công nhân xa sáng 5h sáng ,chiều 8h nhà Vợ tôi làm thì tháng nào có s n phẩm thì có lƣơng ,không có s n phẩm làm thì tháng đó không có lƣơng ,một tháng đƣợc triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang tr i cho sống ngày Tôi học toán-tin và dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang tr i sống Cha tôi ngày xƣa làm phụ hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn Tôi đam mê toán học là học sinh cấp Tôi nghèo nhƣng niềm đam mê toán học tôi lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác Tôi xin chân thành c m ơn tạp chí đã có thƣ mời tôi Hà Nội nhé Tiền tàu xe và ,ăn b n thân tôi lo không nên không thể dự với tạp chí Năm ngoái tôi không Đà Nẵng dự hội th o đƣợc ,năm lại thất hứa Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời đam mê toán học nhé Tôi xin hứa là thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi buồn Xin chân thành ghi nhận lòng tạp chí 1,0 đ (7) Tên : Trƣơng Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán qu ng Ngãi năm 2009 Ra trƣờng xin việc khắp nơi vào cuối năm 2011 xin hợp đồng làm việc gi ng dạy toán cho trƣờng cấp Nhà Thành Phố Qu ng Ngãi Thành tích lúc học : Lớp : Học sinh đạt gi i nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi Lớp : Học sinh đạt gi i ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi Lên cấp học Trƣờng Cấp Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 24 điểm , tôi ph i xa gi ng đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học Sau đó tôi quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Qu ng Ngãi năm học đây tôi là sinh viên giỏi khoa Toán học Các Thành tích : - Gi i toán lý sơ cấp năm học 2006,2007,2008 -Ba năm gi i môn gi i tích kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Qu ng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì lần đạt gi i ba ,1 lần gi i khuyến khích (8) -Ba năm liền đạt gi i kỳ thi sinh viên gi i toán trên máy tính casio cấp trƣờng -Sinh viên đầu tiên trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề mục đề kỳ này tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài mục chuyên đề đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên tỉnh Qu ng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện sáng dạy trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang tr i sống ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo quê Qu ng Ngãi -B n thân là ngƣời đam mê môn toán từ tôi còn là học sinh lớp , tôi thƣờng gi i các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện b n thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó tôi không thành thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn c nh -Những giáo viên yêu toán có nhu cầu gi i các bài toán khó và giao lƣu học hỏi -Xóm tôi bình thƣờng ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ tôi còn là học sinh lớp Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí nhƣ ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 tháng Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau cố gắng gi i các bài tập chuyên mục đề kỳ này Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài toán hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp đời tôi Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với t ng kiến thức vô cùng tốt Ngay tôi đƣợc tạp chí đăng bài trên chuyên mục đề kỳ này tôi vui sƣớng ,không t nỗi Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi là sinh viên nghèo trƣờng ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sƣ thật Nhƣng tôi không n n lòng và cuối cùng tôi đạt đƣợc ƣớc mơ tôi Những ngày đó thật khó khăn ,tôi ghi bài gi i trên giấy A4 đem thƣ bƣu điện gởi Cách đây năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui các bạn ,thế là từ có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau hoàn thiện tôi chạy quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET Có lẽ tôi gục ngã trƣớc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài minh tôi đã vui run luôn ,tôi bƣu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng sinh viên đạp nhanh nhanh nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua ngã tƣ ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền tháng đề ăn sáng học ,vui các (9) bạn ak Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn c nh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cƣới cho nhà hàng ,mình dạy kèm khắp nơi ,có ph i chạy xe ôm nhƣng r nh mình thƣờng lấy tạp chí toán học xem Tạp chí nhƣ phần thể mình ,rồi sau năm chạy việc khắp nơi tôi xin đƣợc hợp đồng cho trƣờng cấp để dạy toán Nhà tôi sách toán nhiều ,16 năm qua tôi đã có tay kho ng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô có Hồi xƣa tới ngày 15 tháng tôi thƣờng bƣu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ,tới nơi mệt nhƣng mua đƣợc báo là tôi vui Vào năm 2014 thì làm sống đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn Qua thời gian tôi cung mua đƣợc xe máy cũ đề làm Qua nhũng tâm này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí Tiền sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta thành công Tôi có ƣớc mơ ,thứ đƣợc thăm toán chí toán học tuổi trẻ lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời dự buổi hội th o toán học Đà Nẵng nhƣng công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không Thứ mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy Mặc dù quê tôi có dạy hệ chức ,nhƣng tôi thích học chính quy ,ƣớc mơ đó có thể với ngƣời đơn gi n nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc ph i mƣu sinh vì sống ngày Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 Không biết tạp chí toán học có tuyển cộng tác viên trình độ cao đẳng nhƣ tôi không Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống đƣợc nghề sƣ phạm , Một người đam mê Toán và tạp c í toán ọc và tuổi trẻ , tạp c í toán tuổi t Ng ĩa T ắng ,Tư Ng ĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An (10)