Đáp án 1 số bài trg sbt chương 2

BÀI TẬP CHƢƠNG II Dạng Tính tham số đặc trƣng biết bảng phân phối xác suất Cho X có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Chú ý: 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = I Vọng tốn Cơng thức tính: 𝐸 𝑋 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑝𝑛 Ý nghĩa: Vọng tốn đặc trưng cho giá trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên Tính chất:     Tính chất 1: E C = C, với C số Tính chất 2: E CX = CE X , với C số Tính chất 3: E X ± Y = E X ± E(Y) Tính chất 4: Nếu X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: E XY = E X E(Y) II Phƣơng sai Công thức tính: 𝐷 𝑋 = 𝑥12 𝑝1 + 𝑥22 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑝𝑛 − 𝐸 𝑋 2 Ý nghĩa:   Phương sai tỉ lệ thuận với độ phân tán, độ rủi ro, độ biến động, … Phương sai tỉ lệ nghịch với độ đồng đều, độ xác, … Tính chất:    Tính chất 1: D C = với C số Tính chất 2: D CX = C2 D(X) với C số Tính chất 3: Nếu X, Y đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: D X ± Y = D X + D(Y) HQ: D X ± C = D X với C số Chú ý:   Đơn vị phương sai bình phương đơn vị đại lượng ngẫu nhiên Cơng thức tính phương sai tổng, hiệu: D aX  bY   a 2D X   b 2D Y   2ab cov X,Y  Nếu X, Y độc lập D aX  bY   a 2D X   b 2D Y  III Độ lệch tiêu chuẩn Cơng thức tính: 𝜎 𝑋 = 𝐷 𝑋 IV Hệ số biến thiên Cơng thức tính: 𝐶𝑉 𝑋 = 𝜎 𝑋 𝐸 𝑋 100% = 𝐷 𝑋 𝐸 𝑋 100% Ý nghĩa:   Khi so sánh độ phân tán (độ đồng đều, độ rủi ro, …) ta so sánh hệ số biến thiên Khi đại lượng ngẫu nhiên có quy mơ, đơn vị đo để so sánh độ phân tán (độ đồng đều, độ rủi ro, …) ta so sánh phương sai độ lệch tiêu chuẩn V Mốt   Mốt đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu 𝑀𝑜𝑑 𝑋 giá trị có khả xảy nhiều Mốt đại lượng ngẫu nhiên rời rạc giá trị mà xác suất lớn Bài 2.46 Một đại lý rượu vang Pháp nhập 12 thùng rượu vang để bán dịp Tết Trong đó, có thùng rượu loại hảo hạng thùng rượu loại bình dân Khi bán thùng rượu loại hảo hạng đại lý lãi triệu đồng, bán thùng rượu loại bình dân lãi triệu đồng Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng thùng rượu để đem bán a) Tìm bảng phân phối xác suất số tiền lãi mà đại lý thu bán thùng rượu b) Tính vọng tốn, phương sai giá trị có khả số tiền lãi thu bán thùng rượu Giải a) Gọi X số thùng rượu loại hảo hạng thùng rượu đem bán 𝑋: 0, 1, 2, Gọi Y số tiền lãi mà đại lý thu bán thùng rượu (đơn vị: triệu đồng) Ta có: 𝑌 = 3𝑋 + − 𝑋 = 𝑋 + ⟹ 𝑌: 6, 7, 8, C 43 C 81.C 42 12 P Y  6  P X  0   ; P Y    P X  1   55 55 C 12 C 12 C C C 28 14 P Y  8  P X  2   ; P Y  9  P X  3  83  55 55 C 12 C 12 Vậy Y có bảng phân phố i xác suất: Y 12 28 14 P 55 55 55 55 12 28 14 b) 𝐸 𝑌 = 55 + 55 + 55 + 55 = 12 28 14 𝐷 𝑌 = 62 55 + 72 55 + 82 55 + 92 55 − 82 ≈ 0,5455 𝑀𝑜𝑑 𝑌 = Bài 2.49 Theo thống kê tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) tuỳ theo mức độ nhẹ, nặng tương ứng 0,005 0,001 Một công ty bảo hiểm đề nghị tất chủ xe phải mua bảo hiểm với mức phí 60000 đồng/1 xe số tiền chi trả bảo hiểm cho vụ tai nạn triệu đồng trường hợp nhẹ triệu đồng trường hợp nặng Hỏi lợi nhuận trung bình hàng năm cơng ty thu với hợp đồng bảo hiểm bao nhiêu, biết chi phí cho quản lý phụ phí khác chiếm 30% số tiền thu Giải Gọi 𝑋 lợi nhuận hợp đồng bảo hiểm (đơn vị: nghìn đồng) Nếu người mua bảo hiểm gặp tai nạn mức độ nặng thì: 𝑋 = 60 − 0,3.60 − 9000 = −8958 Nếu người mua bảo hiểm gặp tai nạn mức độ nhẹ thì: 𝑋 = 60 − 0,3.60 − 1000 = −958 Nếu người mua bảo hiểm khơng gặp tai nạn thì: 𝑋 = 60 − 0,3.60 = 42 Ta có bảng phân phớ i xác suất 𝑋 là: X - 8958 - 958 P 0,001 42 0,005 0,994 Suy ra: 𝐸 𝑋 = −8958.0,001 − 958.0,005 + 42.0,994 = 28 Vậy trung bình tiền lãi hợp đồng bảo hiểm 28 nghìn đồng Bài 2.60 Tỷ suất lợi nhuận vốn đầu tư (%) năm đầu tư vào công ty A B đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập có bảng phân phối xác suất: X 10 12 P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15 Y 4 10 12 16 P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 a) Hỏi đầu tư vào cơng ty rủi ro hơn? b) Nếu muốn hạn chế rủi ro đến mức thấp (đo phương sai) nên đầu tư vào hai cơng ty theo tỷ lệ nào? Giải a) 𝐸 𝑋 = 4.0,05 + 6.0,15 + 8.0,3 + 10.0,35 + 12.0,15 = 8,8 𝐷 𝑋 = 42 0,05 + 62 0,15 + 82 0,3 + 102 0,35 + 122 0,15 − 8,82 = 4,56 𝐶𝑉 𝑋 = 𝐷 𝑋 𝐸 𝑋 4,56 100% = 8,8 100% ≈ 24,27% Tương tự (Nhớ trình bày ra): 𝐶𝑌 𝑌 ≈ 70,07% Nhận thấy CV X   CV Y   đầu tư vào công ty B rủi ro b) Giả sử, ta đầu tư vào hai công ty A B theo tỉ lệ 𝛼 − 𝛼 𝛼 ∈ 0; Tỉ suất sinh lời thu là: 𝑍 = 𝛼𝑋 + − 𝛼 𝑌 đ𝑙 Ta có: 𝐷 𝑍 = 𝐷 𝛼𝑋 + − 𝛼 𝑌 = 𝛼 𝐷 𝑋 + − 𝛼 𝐷 𝑌 = 4,56𝛼 + 29,11 − 𝛼 = 33,67𝛼 − 58,22𝛼 + 29,11 Ta có: 𝐷 𝑍 hàm số bậc hai ẩn 𝛼 có hệ số 𝑎 = 33,67 > nên 𝐷 𝑍 đạt 𝛼=− 𝑏 58,22 = ≈ 0,8646 ∈ 0; 2𝑎 2.33,67 Vậy để rủi ro thấp ta đầu tư vào cơng ty A B theo tỉ lệ 86,46% 13,54% Bài 2.61 Tỷ suất lợi nhuận vốn đầu tư hai loại cổ phiếu A, B thị trường chứng khoán Việt Nam (đơn vị tính: %) tương ứng là đại lượng ngẫu nhiên X ,Y có bảng phân phối xác suất đồng thời sau: Y X 2 10 0 0,05 0,05 0,1 0,05 0,1 0,25 0,15 0,1 0,05 0,1 Nếu muốn hạn chế rủi ro (đo phương sai) đến mức thấp nên đầu tư đồng thời vào hai loại cổ phiếu theo tỷ lệ nào? Giải  X có bảng phân phối xác suất: X P 0,2 0,55 0,25 𝐸 𝑋 = 0.0,2 + 4.0,55 + 6.0,25 = 3,7 𝐷 𝑋 = 02 0,2 + 42 0,55 + 62 0,25 − 3,72 = 4,11  Y có bảng phân phối xác suất: Y -2 10 P 0,15 0,2 0,4 0,25 𝐸 𝑌 = ⋯ = 4,2, 𝐷 𝑌 = ⋯ = 17,96 Lại có: 𝐸 𝑋𝑌 = −2 0,05 + 4.5.0,25 + 4.10.0,15 + −2 0,1 + 6.5.0,1 = 12,4 Suy ra: cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 = 12,4 − 3,7.4,2 = −3,14 Giả sử, ta đầu tư vào hai cổ phiếu A B theo tỉ lệ 𝛼 − 𝛼 𝛼 ∈ 0; Tỉ suất lợi nhuận thu là: 𝑍 = 𝛼𝑋 + − 𝛼 𝑌 Ta có: 𝐷 𝑍 = 𝐷 𝛼𝑋 + − 𝛼 𝑌 = 𝛼 𝐷 𝑋 + − 𝛼 𝐷 𝑌 + 2𝛼 − 𝛼 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 4,11𝛼 + 17,96 − 𝛼 − 2.3,14𝛼 − 𝛼 = 28,35𝛼 − 42,2𝛼 + 17,96 Ta có: 𝐷 𝑍 hàm số bậc hai ẩn 𝛼 có hệ số 𝑎 = 28,35 > nên 𝐷 𝑍 đạt 𝛼=− 𝑏 42,2 = ≈ 0,7443 ∈ 0; 2𝑎 2.28,35 Vậy để rủi ro thấp ta đầu tư vào cổ phiếu A B theo tỉ lệ 74,43% 25,57% Dạng 2: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng I Quy luật phân phối – 1 Nhận xét:    Nếu đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị X có phân phối – Tham số p quy luật phân phối – xác suất để X nhận giá trị Kí hiệu: 𝑋~𝐴(𝑝) Tham số đặc trưng: Cho 𝑋~𝐴(𝑝) Ta có 𝐸 𝑋 = 𝑝; 𝐷 𝑋 = 𝑝𝑞; 𝜎 𝑋 = 𝑝𝑞 Bài 2.29 Một người bắn phát đạn vào mục tiêu, xác suất trúng đích phát đạn tương ứng 0,4; 0,5; 0,6; 0,7 Gọi X số viên đạn trúng đích Tính E X  , D X  Giải Gọi 𝑋𝑖 số viên đạn trúng đích lần bắn thứ i, 𝑖 = 1; Ta có: 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 Nhận thấy: 𝑋1 ~𝐴 0,4 , 𝑋2 ~𝐴 0,5 , 𝑋3 ~𝐴 0,6 , 𝑋4 ~𝐴 0,7 Ta có: 𝐸 𝑋1 = 0,4; 𝐷 𝑋1 = 0,4.0,6 = 0,24 𝐸 𝑋2 = 0,5; 𝐷 𝑋2 = 0,5.0,5 = 0,25 𝐸 𝑋3 = 0,6; 𝐷 𝑋3 = 0,6.0,4 = 0,24 𝐸 𝑋4 = 0,7; 𝐷 𝑋4 = 0,7.0,3 = 0,21 Do đó: 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 = 𝐸 𝑋1 + 𝐸 𝑋2 + 𝐸 𝑋3 + 𝐸 𝑋4 = 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 = 2,2 Ta có 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 độc lập nên: đ𝑙 𝐷 𝑋 = 𝐷 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 = 𝐷 𝑋1 + 𝐷 𝑋2 + 𝐷 𝑋3 + 𝐷 𝑋4 = 0,24 + 0,25 + 0,24 + 0,21 = 0,94 II Quy luật phân phố i nhị thức Dãy phép thử Bernoulli: Dãy phép thử Bernoulli dãy phép thử thỏa mãn điều kiện:   Các phép thử độc lập Xác suất xuất biến cố A phép thử Nhận xét: Nếu X số lần xuất biến cố A dãy phép thử Bernoulli 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 với:   n số lượng phép thử p xác suất xuất biến cố A phép thử Cơng thức tính xác suất: Nếu 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 thì:   Cơng thức Bernoulli: 𝑃 𝑋 = 𝑚 = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛−𝑚 với 𝑞 = − 𝑝 P m1  X  m2   m2  P X  m  m m1 Tham số đặc trưng: Nếu 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 thì:   𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝, 𝐷 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞, 𝜎 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 Để tìm 𝑀𝑜𝑑(𝑋) ta tính 𝑥0 = 𝑛 + 𝑝:  Nếu 𝑥0 ∉ 𝑍 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝑥0  Nếu 𝑥0 ∈ 𝑍 𝑀𝑜𝑑1 𝑋 = 𝑥0 , 𝑀𝑜𝑑2 𝑋 = 𝑥0 − Định lý Poisson Định lý Moivre – Laplace:  Định lý Poisson: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 Khi n lớn, p gần (0 < 𝑝 < 0,005) ta có: 𝑒 −𝜆 𝜆𝑚 𝑃 𝑋=𝑚 ≈ 𝑚! với 𝜆 = 𝑛𝑝  Định lý Moivre – Laplace: Cho 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 Khi n lớn, p không gần không gần 0,005 ≤ 𝑝 ≤ 0,995 ta có: 𝑚−𝑎 𝜑 𝜎 𝜎 𝑚2 − 𝑎 𝑚1 − 𝑎 ≈Φ −Φ 𝜎 𝜎 𝑃(𝑋 = 𝑚) ≈ 𝑃 𝑚1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑚2 với 𝑎 = 𝑛𝑝, 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 Bài 2.30 Trong hộp có 20 cầu trắng cầu đen Tiến hành chọn n lần, lần (có hồn lại) Tính số lần chọn tối thiểu để xác suất chọn lần cầu đen khơng bé 0,6 Giải Gọi X số lần chọn cầu màu đen n lần chọn + Chọn có hồn lại n lần n phép thử độc lập + Xác suất chọn cầu màu đen lần chọn 22 = 11 Ta có: 𝑋~𝐵 𝑛; 11 1 P X  1   P X  0   C   11 n n n n 10  10         11   11  n 10  10  Do đó: P X  1  0,      0,     0,  n  log 10 0,  n  9,  11   11  11 Vậy chọn 𝑛 = 10 Bài 2.31 Một nghiên cứu cho thấy có 90% cơng chức cho việc nghỉ làm hai ngày tuần nâng cao hiệu suất làm việc Chọn 10 người phịng để vấn Tính xác suất để có người cho việc nghỉ làm hai ngày tuần nâng cao hiệu suất làm việc Giải Gọi X số người cho việc nghỉ làm hai ngày tuần nâng cao hiệu suất làm việc + Phỏng vấn 10 người 10 phép thử độc lập + Xác suất để người cho việc nghỉ làm hai ngày tuần nâng cao hiệu suất làm việc 0,9 Ta có 𝑋 ∼ 𝐵 10; 0,9 Suy ra: 𝑃 𝑋 ≥ = 𝑃 𝑋 = + 𝑃 𝑋 = + 𝑃 𝑋 = 10 10 = 𝐶10 0,98 0,12 + 𝐶10 0,99 0,11 + 𝐶10 0,910 0,10 ≈ 0,9298 Bài 2.34 Bắn liên tiếp phát đạn vào mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu phát 0,3 Nếu trúng phát mục tiêu bị diệt Nếu trúng phát xác suất mục tiêu bị diệt 0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị diệt Giải Gọi X số phát đạn trúng mục tiêu phát đạn + Bắn phát đạn phép thử độc lập + Xác suất bắn trúng mục tiêu phát đạn 0,3 Ta có: 𝑋~𝐵 3; 0,3 Gọi 𝐴𝑖 biến cố "Có i phát đạn trúng mục tiêu", 𝑖 = 0; Ta có 𝐴0 , 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 hệ đầy đủ biến cố 𝑃 𝐴0 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶30 0,30 0,73 = 0,343 𝑃 𝐴1 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶31 0,31 0,72 = 0,441 𝑃 𝐴2 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶32 0,32 0,71 = 0,189 𝑃 𝐴3 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶33 0,33 0,70 = 0,027 Gọi B biến cố "Mục tiêu bị tiêu diệt" P B / A0   0, P B / A1   0,6, P B / A2   P B / A3   Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P B   P A0 .P B / A0   P A1 .P B / A1   P A2 .P B / A2   P A3 .P B / A3   0, 343.0  0, 441.0,  0,189.1  0, 027.1  0, 4806 Bài 2.35 Hai cầu thủ bóng rổ, người ném bóng lần Xác suất ném bóng trúng rổ lần ném người thứ thứ hai tương ứng 0,6 0,7 Tính xác suất: a) Hai cầu thủ có số lần ném trúng rổ b) Hai cầu thủ có số lần ném trúng rổ khác c) Cầu thủ thứ có số lần ném trúng rổ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ hai Giải Gọi 𝑋 số lần ném trúng rổ cầu thủ + Cầu thủ thứ ném bóng lần phép thử độc lập + Xác suất ném trúng rổ cầu thủ thứ 0,6 Suy 𝑋~𝐵 3; 0,6 Gọi 𝑌 số lần ném trúng rổ cầu thủ Tương tự, ta có 𝑌~𝐵 3; 0,7 Gọi 𝐴𝑖 biến cố "Cầu thủ thứ ném bóng trúng rổ i lần", 𝑖 = 0; Gọi 𝐵𝑗 biến cố "Cầu thủ thứ ném bóng trúng rổ j lần", 𝑗 = 0; 𝑃 𝐴0 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶30 0,60 0,43 = ⋯ 𝑃 𝐴1 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶31 0,61 0,42 = ⋯ 𝑃 𝐴2 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶32 0,62 0,41 = ⋯ 𝑃 𝐴3 = 𝑃 𝑋 = = 𝐶33 0,63 0,40 = ⋯ 𝑃 𝐵0 = 𝑃 𝑌 = = 𝐶30 0,70 0,33 = ⋯ 𝑃 𝐵1 = 𝑃 𝑌 = = 𝐶31 0,71 0,32 = ⋯ 𝑃 𝐵2 = 𝑃 𝑌 = = 𝐶32 0,72 0,31 = ⋯ 𝑃 𝐵3 = 𝑃 𝑌 = = 𝐶33 0,73 0,30 = ⋯ a) Gọi C biến cố "Hai cầu thủ có số lần ném bóng trúng rổ nhau" 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐴0 𝐵0 + 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3 𝑥𝑘 = 𝑃 𝐴0 𝐵0 + 𝑃 𝐴1 𝐵1 + 𝑃 𝐴2 𝐵2 + 𝑃 𝐴3 𝐵3 đ𝑙 = 𝑃 𝐴0 𝑃 𝐵0 + 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐵3 =⋯ b) Nhận thấy 𝐶 biến cố "Hai cầu thủ có số lần ném bóng trúng rổ khác nhau" Ta có: 𝑃 𝐶 = − 𝑃 𝐶 = − ⋯ = ⋯ c) Gọi D biến cố "Cầu thủ thứ có số lần ném trúng rổ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ hai" 𝑥𝑘 đ𝑙 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐴1 𝐵0 + 𝐴2 𝐵0 + 𝐴2 𝐵1 + 𝐴3 𝐵0 + 𝐴3 𝐵1 + 𝐴3 𝐵2 = … = … = ⋯ Bài 2.52 Sản phẩm sản xuất nhà máy chia làm loại: loại 1, loại loại Nếu sản xuất sản phẩm loại 1, loại bán tiền lãi thu tương ứng 95 nghìn đồng/sản phẩm 70 nghìn đồng/sản phẩm; cịn sản phẩm loại khơng bán lỗ 12 nghìn đồng/sản phẩm Khả nhà máy sản xuất sản phẩm loại 1, loại 2, loại 65%, 28% 7% Giả sử nhà máy sản xuất 300 nghìn sản phẩm a) Tính số sản phẩm trung bình bán b) Tính số tiền lãi bình quân thu bán hết hàng Giải Gọi 𝑋𝑖 số sản phẩm loại i 300 000 sản phẩm , 𝑖 = 1; + Sản xuất 300 000 sản phẩm 300 000 phép thử độc lập + Xác suất để sản xuất sản phẩm loại 1, 2, 0,65; 0,28; 0,07 Ta có: 𝑋1 ~𝐵 300000; 0,65 ; 𝑋2 ~𝐵 300000; 0,28 ; 𝑋3 ~𝐵 300000; 0,07 a) Gọi 𝑋 số sản phẩm bán 300000 sản phẩm Ta có: 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 ⇒ 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋1 + 𝑋2 = 𝐸 𝑋1 + 𝐸 𝑋2 Mà: 𝐸 𝑋1 = 300000.0,65 = 195000 , 𝐸 𝑋2 = 300000.0,28 = 84000, 𝐸 𝑋3 = 300000.0,07 = 21000 Suy ra: 𝐸 𝑋 = 195000 + 84000 = 279000 Vậy số sản phẩm trung bình bán 279000 sản phẩm b) Gọi 𝑌 số tiền lãi thu bán hết hàng (đơn vị: nghìn đồng) 10 Ta có: 𝑌 = 95𝑋1 + 70𝑋2 − 12𝑋3 Suy ra: 𝐸 𝑌 = 𝐸 95𝑋1 + 70𝑋2 − 12𝑋3 = 95𝐸 𝑋1 + 70𝐸 𝑋2 − 12𝐸 𝑋3 = 95.195000 + 70.84000 − 12.21000 = 24 153 000 Bài 2.53 Một trang trại nuôi 2700 gà đẻ trứng Xác suất để gà đẻ trứng ngày 0,75 Mỗi trứng bán với giá 3000 đồng chi phí cho gà ăn ngày 1500 đồng Giả thiết gà đẻ tối đa 01 trứng ngày a) Tính số tiền lãi trung bình mà trang trại thu ngày bán hết số trứng b) Tính số tiền lãi có khả mà trang trại thu ngày Giải Gọi X số gà đẻ trứng ngày + Quan sát 2700 gà 2700 phép thử độc lập + Xác suất để gà đẻ trứng 0,75 Ta có 𝑋~𝐵 2700; 0,75 Gọi Y số tiền lãi thu ngày (đơn vị: nghìn đồng) Ta có: 𝑌 = 3𝑋 − 2700.1,5 = 3𝑋 − 4050 a) 𝐸 𝑌 = 𝐸 3𝑋 − 4050 = 3𝐸 𝑋 − 4050 Mà 𝐸 𝑋 = 2700.0,75 = 2025 Suy 𝐸 𝑌 = 3.2025 − 4050 = 2025 Vậy tiền lãi trung bình mà trang trại thu ngày 2025000 đồng b) Ta có 𝑥0 = 𝑛 + 𝑝 = 2700 + 0,75 = 2025,75 Suy 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 2025,75 = 2025 Do đó: 𝑀𝑜𝑑 𝑌 = 3.2025 − 4050 = 2025 Vậy số tiền lãi có khả mà trang trại thu ngày 2025000 đồng III Quy luật phân phố i chuẩn Kí hiệu ý nghĩa tham số: 𝑋 ∼ 𝑁 𝑎; 𝜎 với 𝑎 vọng tốn (a đặc trưng cho giá trị trung bình X), 𝜎 độ lệch tiêu chuẩn X 11 Cơng thức tính xác suất: Nếu 𝑋 ∼ 𝑁 𝑎; 𝜎 thì:    β  a   α  a       P α  X  β     σ   σ   P X  a    2        Chú ý 1: Nếu dấu bất đẳng thức có thêm dấu " = " kết khơng thay đổi Chú ý 2: Cần nắm tính chất hàm Φ 𝑥 cách tra bảng (tra xuôi, tra ngược) giá trị hàm Φ 𝑥 Bài 2.39 Thời gian hoạt động loại sản phẩm công ty A cung cấp xem có quy luật phân phối chuẩn với thời gian trung bình 10000 độ lệch tiêu chuẩn 500 Sản phẩm bảo hành hỏng trước 9000 a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành công ty A b) Muốn giảm tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành xuống 1% cơng ty A phải quy định thời gian bảo hành giờ? Giải Gọi X thời gian hoạt động loại sản phẩm (đơn vị: giờ) Ta có 𝑋~𝑁 10000; 5002 a) 𝑃 𝑋 < 9000 = 𝑃 < 𝑋 < 9000 = Φ 9000−10000 500 −Φ 0−10000 500 = Φ −2 − Φ −20 = Φ 20 − Φ = 0,5 − 0,47725 = 0,02275 Vậy tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành 2,275% Chú ý: Ta làm sau: 𝑃 𝑋 < 9000 = 𝑃 −∞ < 𝑋 < 9000 = Φ 9000 − 10000 − Φ −∞ 500 = Φ −2 − Φ −∞ = Φ +∞ − Φ = 0,5 − 0,47725 = 0,02275 b) Giả sử công ty quy định thời gian bảo hành t (giờ) Khi đó, tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là: 𝑝=𝑃 𝑋 20 = Φ +∞ − Φ 𝑃 𝑋 > 25 = Φ +∞ − Φ 20−𝑎 𝜎 25−𝑎 𝜎 = 0,5 − Φ = 0,5 − Φ 13 20−𝑎 𝜎 25−𝑎 𝜎 0,5 − Φ Suy ra: 0,5 − Φ 20−𝑎 𝜎 25−𝑎 𝜎 = 0,15866 ⟹ = 0,02275 Do đó: 𝑃 𝑋 > = Φ +∞ − Φ 0−15 20−𝑎 Φ = 0,34134 𝜎 25−𝑎 Φ = 0,47725 𝜎 20−𝑎 ⟹ 𝜎 25−𝑎 𝜎 =1 =2 ⟹ 𝑎 = 15 𝜎=5 = 0,5 + Φ = 0,5 + 0,49865 = 0,99865 Vậy xác suất để đầu tư vào dự án có lãi 0,99865 Bài 2.55 Tuổi thọ loại sản phẩm công ty Hưng Phát sản xuất đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình 8000 độ lệch tiêu chuẩn 200 Nếu thời gian sử dụng thực tế đạt 7600 cơng ty phải bảo hành sản phẩm a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành b) Với sản phẩm khơng phải bảo hành cơng ty lãi 200 nghìn đồng, phải bảo hành cơng ty lỗ 50 nghìn đồng Tính lợi nhuận trung bình cho sản phẩm mà công ty bán Giải Gọi X tuổi thọ loại sản phẩm (đơn vị: giờ) 𝑋~𝑁(8000; 2002 ) a) 𝑃 𝑋 < 7600 = 𝑃 < 𝑋 < 7600 = Φ 7600 −8000 200 −Φ 0−8000 200 = Φ −2 − Φ −40 = Φ 40 − Φ = 0,5 − 0,47725 = 0,02275 Vậy tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành 2,275% b) Gọi Y lợi nhuận cho sản phẩm công ty bán (đơn vị: nghìn đồng) Y có bảng phân phối xác suất: Y - 50 200 P 0,02275 0,97725 Ta có: 𝐸 𝑌 = −50.0,02275 + 200.0,97725 = 194,3125 Hỏi thêm: Tính lợi nhuận trung bình cho 1000 sản phẩm mà cơng ty bán Gọi Z lợi nhuận cho 1000 sản phẩm mà công ty bán Gọi 𝑍1 số sản phẩm phải bảo hành 1000 sản phẩm + Sản xuất 1000 sản phẩm 1000 phép thử độc lập + Xác suất để sản phẩm phải bảo hành 0,02275 14 Ta có: 𝑍1 ~𝐵 1000; 0,02275 ⟹ 𝐸 𝑍1 = 1000.0,02275 = 22,75 Lại có: 𝑍 = 200 1000 − 𝑍1 − 50𝑍1 = 200000 − 250𝑍1 Suy ra: 𝐸 𝑍 = 𝐸 200000 − 250𝑍1 = 200000 − 250𝐸 𝑍1 = 200000 − 250.22,75 = 194312,5 Bài 2.56 Một cửa hàng bán loại linh kiện điện tử với tuổi thọ trung bình 8,2 năm độ lệch tiêu chuẩn 1,6 năm Cửa hàng quy định thời gian bảo hành cho loại linh kiện điện tử 5,5 năm Giả sử tuổi thọ linh kiện điện tử có phân phớ i chuẩn a) Tính tỷ lệ linh kiện điện tử phải bảo hành b) Biết bán sản phẩm cửa hàng lãi 200 nghìn đồng, song sản phẩm bị hỏng thời gian bảo hành cửa hàng 800 nghìn đồng cho việc bảo hành Nếu muốn tiền lãi trung bình bán sản phẩm 180 nghìn đồng cửa hàng cần quy định thời gian bảo hành năm? Giải Gọi 𝑋 tuổi thọ linh kiện điện tử (đơn vị: năm) Ta có: 𝑋~𝑁 8,2; 1,62 a) 𝑃 𝑋 < 5,5 = 𝑃 < 𝑋 < 5,5 = Φ 5,5−8,2 −Φ 1,6 0−8,2 1,6 = Φ −1,69 − Φ −5,13 = Φ 5,13 − Φ 1,69 = 0,5 − 0,45449 = 0,04551 Vậy tỉ lệ linh kiện điện tử phải bảo hành 4,551% 5,5−8,2 Chú ý: 𝑃 𝑋 < 5,5 = 𝑃 −∞ < 𝑋 < 5,5 = Φ 1,6 − Φ −∞ = Φ +∞ − Φ 1,69 = 0,5 − 0,45449 = 0,04551 b) Gọi thời gian quy định bảo hành t (năm) Khi đó, tỉ lệ linh kiện phải bảo hành là: 𝑝=𝑃 𝑋