Đáp án một số bài toán hay

Câu 1:(2 điểm) a ‚ 2 t a t a A t a t a   − + + =  ÷ − − +   ² ² ² ² ² ² ² ² Có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 5 2 17 5 38 5 2 5 2 5 2 5 2 3. 2011 3. 2011 3. 5 3 5 5 14 6 5 5 3 5 x   + + + − + −  ÷ = + = + =  ÷ + − + −   + − +2011 = ( ) 2 5 2 3. 2011 2012 3 − + = ² Mà ( ) 1 1 0 2 2 x x t a a t x x + + = > ⇒ ² ² ² =a² nên ( ) 2 1 1 1 2 2 2 x x x t a a a a t a a x x x + − − − = − = ⇒ − = ² ² ² ² ² ² ² ² ( ) 2 1 1 1 2 2 2 x x x t a a a a t a a x x x + + + = + = ⇒ = ² ²+ ² ² ² ² ²+ ² Nên 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 x x ax t a t a a a a x x x x x x a t a t a a a x x x − + − + + = + = = − + − − − + = − = ² ² ² ² ² ² ² ² do đó ( ) 2 2 2 2012 2 2 a x A x x a x   = = − = =  ÷ −  ÷  ÷   ² ² b ‚ Có ( ) ( ) ( ) x y z x y y z z x + + = − − − (1) Áp dụng kết quả bài toán: 3a b c abc + + = ³ ³ ³ với a+b+c=0 (tự CM) Có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 0 3x y y z z x M x y y z z x x y y z z x− + − + − = ⇒ = − + − + − = − − − • Nếu x, y, z chia 3 cùng dư 0,1,2 3x y ⇒ − M ; 3y z − M ; 3z x − M nên 4 3 81M = M • Nếu 2 trong 3 số x, y, z chia 3 cùng dư 0, 1, 2 ⇒ vế trái của (1) chia 3 dư 1 hoặc 2 Vế phải của (1) chia hết cho 3 nên (1) vô lý • Nêú trong ba số x, y, z có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2 ⇒ vế trái của (1) chia hết cho 3 Vê phải của (1) không chia hết cho 3 nên (1) vô lý Vậy 81M M c ‚ Cách 1 Có ( ) ( ) 2 2 2 2 10 1 1 1 99 9 0,99 9 1 10 1 1 10 1 1 10 10 n n n n n n n S   −   = + + = + − + = + − + −  ÷  ÷     ² ² ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 10 2.10 1 1 10 1 2.10 2. 2 10 1 10 10 10 10 10 n n n n n n n n n n       = + − + + − + = + + − − + = + −  ÷  ÷  ÷       ² 1 10 1 10 n n = + − Cách 2 • Chứng minh bài toán phụ 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c   + + = + +  ÷   ² ² ² với a+b+c=0 Có 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c abc a b c + +   + + = + + + = + +  ÷   ² ² ² ² ² ² (vì a+b+c=0) Đặt 10 1 1 99 9 n n a − = = ; 1 1 99 9 10 1 n n b = = − ; 1 10 10 0,99 9 99 9 10 1 n n n n n c − − − = = = − Suy ra 0 1 1 1 1 99 9 0,99 9 n n a b c S a b c + + = = + + = + +² ² ² ² ² Nên áp dụng bài toán phụ ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 10 1 10 1 10 10 n n n n n S a b c a b c − = + + = + + = + − − = + − ² ² ² Câu 2: (2 điểm) 1 ‚ a ‚ 2 2 2 2 2 2 2 x x x x + − + = + + − − (*) (ĐKXĐ: x>0) 2 2 1 2 4 2 2 4 2 x x x x + − ⇔ + = + + − − Đặt 4 2 ( 0) 4 2 (b 0) x a a x b + = ≥ − = ≥ ⇒ 8a b + = ² ² (1) Khi đó (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b a b a a b a b + = ⇔ + = ⇔ − + + = − + + − + − ² ² ² ² ² ² ( ) ( ) ( ) 2 8 4 4 2 2.8 8 4( ) 2a b ab a b a b ab ab a b a b ab⇔ + − − = + − − ⇔ − − = + − −² ² (vì a+b=8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 0ab ab a b ab a b ⇔ + = + − ⇔ + − − = 2 0a b ⇔ − − = (vì ab+4 >0 ∀a,b>0) ⇔a = b+2 (2) Thế (2) vào (1) ta có : ( ) 2 2 8 2 2 4 2 2 0b b b b b b + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ² ² ² (3) Có ( ) (3) 1 2 3 0 ∆ = − − = > ‚ ² ⇒ (3) có hai nghiệm phân biệt : 1 1 3b = − + (thỏa mãn b>0) 2 1 3b = − − (không thỏa mãn b>0) ( ) 2 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 4 2 3 3 3x x x x x ⇒ − = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của phương trình (*) b ‚ ( ) 2 3 6 3 2 x x x x = − − + ² ² (*) (ĐKXĐ: 2x ≠ − ) ( ) ( ) 4 4 3 6 3x x x x x ⇒ + − − ² = ²+ ² 4 3 6x x ⇔ + ³-16x²-36x-12=0 ( ) ( ) 2 3 6 6 20 36 120 0x x x x ⇔ − + + − − = ² ³ ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 6 2 3 10 6 0 6 3 6 2 0x x x x x x ⇔ − + + − = ⇔ − + + = ² ² ² ² 6 0x ⇔ − = ² hoặc 3 6 2 0x x + + = ² • Nếu 6 0 6 6x x x − = ⇔ = ⇔ = ± ² ² (thỏa mãn ĐKXĐ) • Nếu 3 6 2 0x x + + = ² (1) có 3 ∆ = ‚ ²-2.3=3>0 ⇒(1) có hai nghiệm phân biệt 1 3 3 3 x − + = 3 1 3 − + = (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 3 3 3 1 3 3 x − − − = = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là S= 3 1 3 1 6; ; 3 3   − + − − ±     2 ‚ (**) 2 5 2 0 4 0 x xy y x y x y x y + − − + + =   + + + − =  ² ² ² ² Có (1) 4 2 2 10 2 4 0x xy y x y ⇔ + − − + + = ² ² ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 3 6 3 3 6 3 0x y xy x y x x y y ⇔ + + + − − + − + − − + = ² ² ² ² ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 1 3 1 0x y x y ⇔ + − + − − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0x y x y x y ⇔ + − + + − − = ( ) ( ) 2 2 1 0x y x y ⇔ + − − − = 2 0x y ⇔ + − = hoặc 2 1 0x y − − = • Nếu 2 0 2x y x y + − = ⇔ + = =1+1 Khi đó (2) ( ) 2 2 4 0 2 2 2 4 0 1x y x y xy xy xy ⇔ + + + − − = ⇔ + − − = ⇔ = ² =1.1 Nên x=y=1 • Nếu 2 1 0x y − − = 2 1y x ⇔ = − thế vào (2) ta có (2) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 4 0x x x x ⇔ + − + + − − = ² 5 4 0x x ⇔ − − = ² ( ) ( ) 1 1 4 13 5 5 1 5 4 0 x y x y x x = ⇒ = − − = ⇒ =  ⇔ − + = ⇔   Vây nghiệm (x,y) của hệ (**) là (1,1) ; 4 13 ; 5 5 − −    ÷   3 ‚ x xy y x y + + = ² ² ² ² (3) ( ) ( ) 2 1x y xy x⇔ + = + Vì ,x y ∈Ζ nên xy(xy+1) là số chính phương xy và (xy+1) là hai số nguyên liên tiếp Do đó xy =0 hoặc xy+1=0 • Nếu xy =0 ⇒ x=0 hoặc y=0 + Với x=0. Từ (3) ⇒y=0 + Với y=0. Từ (3) ⇒x=0 • Nếu xy+1=0⇒ xy=-1 ⇒ x=1;y=-1 hoặc x=-1;y=1 ( ,x y ∈Ζ ) Vậy nghiệm nguyên (x,y)của phương trình (3) là (0,0); (1,-1); (-1,1) Câu 3:(3 điểm) a ‚ Đặt 3-x =a ⇔ x+a=3 Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 5 5 2 5 3 2 5x x x x a xa xa + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ² ²+a² ² (vì x+a=3) 2xa ⇔ ≤ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 3 6 3 6 4P x x x x x a x a x a xa x a = + − + − = + + = + − + ² ² ² ² ² ² = ( ) 4 3 4xa x a − + ² ² (vì x+a=3) Vì 2 4 8xa xa x ≤ ⇔ − ≥ − ≥ ²+a² 5 nên ( ) 4 40xa x a − + ≥ − ² ² Do đó 4 3 40 41P ≥ − = ⇒ Min 41P = Dấu “=” xảy ra khi 2 1.2 1; 2 3 1 2 2; 1 xa x a x a x a  = = = =  ⇔   + = = + = =   b ‚ 6 21 18y x x x = − + + ³ ² với 1 1 2 x − ≤ ≤ Xét hàm số ( ) ( ) 3 6 21 18 2 9 26f x x x x x x = − + + = − + + ³ ² Tập xác định: { } 1 / 1 2 D x x − = ≤ ≤ Lấy 1 2 ;x x D ∈ , giả sử 1 2 x x < Vì 1 2 x x < ( ) ( ) 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 9 9 9 26 9 26 x x x x x x x x   − < − − < −   ⇔ ⇔   < + < +     Nên ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 1 2 2 9 26 2 9 26x x x x f x f x− + + < − + + ⇒ < Do đó f(x) đồng biên trên D Lại có 1 1 2 x − ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 47 47 1 34 34 2 8 8 f f x f f x f x y −   ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ = ≤  ÷   Nên Min y = 47 8 .Dấu “=” xảy ra 1 2 x − ⇔ = Max y 34 = . Dấu “=” xảy ra 1x ⇔ = Câu 4: (2 điểm) a, Chứng minh HK ⊥ JI tại X • Có · 90ACB • = (góc nội tiếp chắn nửa (O)) Vì · · 90NIC NJC • = = (vì NI ⊥AC, NJ ⊥BC) Nên NICJ là hình chữ nhật ⇒ tứ giác NICJ nội tiếp⇒ · · CIJ CNJ = (góc nội tiếp chắn » CJ ) Mà ∆CJN vuông tại J ( · 90CJN = o ) · · 90CNJ NCB • ⇔ + = Suy ra · · 90CIJ NCB • + = (1) Chứng minh tương tự ta có: · · 90CHK BCM • + = (2) • Có · 90MBN • = (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒∆MBN vuông tại B ⇒ · · 90BMN BNM • + = (3) Mà · · NCB BMN= (góc nội tiếp chắn » BN của (O)) (4) Từ (1),(3),(4)⇒ · · CIJ BNM = Mà · · BNM BCM = (góc nội tiếp chắn ¼ BM của (O)) Nên · · CIJ BCM = (5) Từ (2),(5)⇒ · · 90CIJ CHK • + = ⇒∆HIX vuông tại X⇒ · 90HXI • = ⇒ HK ⊥ JI tại X b, Tìm quỹ tích của điểm X • Gỉa sử P,Q lần lượt là trung điểm của AC,BC ( )MK O ∩ tại G Có · 90NGM • = (góc nội tiếp chắn nửa (O))⇒ MK⊥ NG tại G Mà MK⊥ BC tại K (GT) Nên NG // BC ⇒ NGBC là hình thang Mà NGBC nội tiếp (O) Do đó NGBC là hình thang cân · · NC BG NCJ GBK =   ⇒  =   Măt khác · · NJC GKB = (vì NJ ⊥BC tại J; MG⊥BC tại K) Nên ∆CJN =∆BKG (cạnh huyền- góc nhọn)⇒ CJ= BK Mà CQ= BQ (vì Q là trung điểm của BC) Suy ra CQ − CJ=BQ − BK ⇒QJ =QK ⇒Q là trung điểm của JK ⇒XQ là đương trung tuyến của ∆XJK vuông tại X ⇒ 1 2 XQ JK QK = = (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyên trong tam giác vuông) ⇒∆QXK cân tại Q⇒ · · QXK QKX = Chứng minh tương tự: · · PXI PIX = • Laị có · · ICK IXK= (vì NI⊥ AC tai I,Ị ⊥HK tại X)⇒ tứ giác ICXK nội tiếp⇒ · · XIP XKQ = Nên · · PXI QXK = Mà · · 90QXK QXI • + = Do đó · · · 90 90QXI PXI PXQ • • + = ⇒ = ⇒X thuộc đường tròn đường kính PQ Mà A,B.C cố định ⇒P,Q cố định (vì P,Q lần lượt là trung điểm của AC,BC) ⇒ đường tròn đường kính PQ cố định Vậy X luôn chạy trên đường tròn đường kính PQ cố định Câu 5: (2điểm) [...]... nội tiếp · Vì CF là tiếp tuyến của (O) (GT)⇒ OF⊥AC tại F⇒ OFC = 90• · Mà OEC = 90• (vì AE⊥ BC tại E) · · Nên tứ giác OECF nội tiếp ⇒ OEF = OCF (góc nội tiếp chắn » OF ) · · Mà ∆OEF cân tại O (OE =OF; bán kính (O)) ⇒ OEF = OFE · · Nên OCF = OFE · · Mà BCF = BFE (câu a) · · · · · · Do đó BCF − OCF = BFE − OFE ⇒ OCE = OFM · · Mà OFM = OMF (vì ∆OMF cân tại O do OM =OF) · · Nên OCE = OMF ⇒ tứ giác BMOC nội . nên 4 3 81 M = M • Nếu 2 trong 3 số x, y, z chia 3 cùng dư 0, 1, 2 ⇒ vế trái của (1) chia 3 dư 1 hoặc 2 Vế phải của (1) chia hết cho 3 nên (1) vô lý • Nêú trong ba số x, y, z có một số chia. z có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2 ⇒ vế trái của (1) chia hết cho 3 Vê phải của (1) không chia hết cho 3 nên (1) vô lý Vậy 81 M M c ‚ Cách 1 Có ( ) (. = ≥ ⇒ 8a b + = ² ² (1) Khi đó (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b a b a a b a b + = ⇔ + = ⇔ − + + = − + + − + − ² ² ² ² ² ² ( ) ( ) ( ) 2 8 4 4 2 2 .8 8 4( )