Chuyên Đề - Khai thác phát triển một bài toán thành nhiều dạng toán Bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử :... Ngoài cách giải bằng cách xét rồi phân tích..[r]
(1)Chuyên Đề - Khai thác phát triển bài toán thành nhiều dạng toán Bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3 a b c 3abc Ta có a b3 c 3abc a b3 3ab(a b) 3ab( a b) c 3abc 3 (a b) c 3ab(a b c ) (a b c) (a b) ( a b).c c 3ab (a b c )(a 2ab b ac bc c 3ab) 2 (a b c )(a b c ab bc ac ) (2) (a b c)3 a b3 c 3( a b c)(ab ac bc ) 3abc a b3 c 3abc (a b c )3 3( a b c )(ab ac bc ) (a b c) (a b c) 3(ab ac bc) 2 (a b c)(a b c 2ab 2ac 2bc 3ab 3ac 3bc) (a b c)(a b c ab ac bc ) Bài toán Phân tích thành nhân tử a b3 c3 3abc a b3 3ab(a b) c3 3ab(a b) 3abc 3 (a b) c 3ab(a b c) (a b c)(a 2ab b ac bc c 3ab) (a b c)(a b c ac bc ab) (3) Bài toán Ta có thể thay b = - b a b3 c 3abc 2 ( a b c )(a b c ac bc ab) khai thác bài toán Từ kết việc phân tích đa thức thành nhân tử bài toán ta có bài toán a b3 c3 3abc 2 (a b c)(a b c ab ac bc) (4) Bài toán 3 Cho a+b+c =0 CMR : a b c 3abc Ngoài cách giải cách xét phân tích a b3 c 3abc (a b c)(a b c ab ac bc ) Do a +b +c = Ta còn cách giải khác cho bài toán này Từ a + b + c = a+b=-c a 3a 2b 3ab b3 c 3 3 a b c 3ab(a b) 3ab( c ) 3abc Thay giả thiết kết luận bài toán ta bài toán (5) 3 a b c 3abc Bài toán Cho CMR : a + b+ c = a = b = c Rõ ràng từ a b3 c 3abc 3 a b c 3abc 0 Phân tích vế trái thành nhân tử ta kết sau a3 b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab ac bc) { a+b+c=0 2 a b c ab ac bc 0 2 Xét : a b c ab ac bc 0 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc 0 2 2 2 a 2ab b b 2bc c a 2ac c 0 (a b) (b c) (a c) 0 a = b = c (6) 3 a b c 3abc Bài toán : CMR : a + b + c > a b3 c 3abc a b3 c 3abc 2 (a b c) (a b) (b c) (a c) a + b +c > vì (a b) (b c) ( a c) -Tiếp tục khai thác bài toán ta có hàng loạt các bài toán khác mà cách giải có thể tìm thấy dễ dàng Bài toán rút gọn : Bài toán rút gọn : a b3 c 3abc 2 a b c ac ab bc a b c a b3 c3 3abc a b c 2 a b c ac ab bc (7) Bài toán rút gọn : Bài toán a b3 c3 3abc a b c a) 2 (a b) (b c) (a c) a b3 c3 3abc a b c b) 2 (a b) (b c) (a c) cho a + b + c = 2011 tính : a b3 c 3abc A 2 8044( a b c ab ac bc ) dễ dàng tính (a b c)(a b c ab ac bc ) A 8044( a b c ab ac bc) a b c 2011 8044 8044 (8) Mở rộng bài toán - Từ bài toán kết hợp với bài toán để ý thay a=x-y;b=y-z;c=z–x Chúng ta chứng minh a + b + c = nên chúng ta có dạng toán khác rộng , sâu Bài toán 10 phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3 đặt a = x - y ; b = y – z ; c = z – x ta có Ta có a + b + c = thì a b3 c 3abc hay ( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3 = (x - y)( y - z)( z - x) Bài toán 11 cho ( x y )3 ( y z )3 ( z x ) A ( x y ) ( y z )( z x) với x y ; y z ; z x (9) CMR : A không phụ thuộc vào x ; y ; z Theo bài toán 10 ta có ( x y )3 ( y z )3 ( z x)3 3( x y )( y z )( z x) A 3 ( x y ) ( y z )( z x) ( x y ) ( y z )( z x) Vậy A không phụ thuộc vào x ; y ; z Bài toán 12 Rút gọn ( x y )3 ( y z )3 ( z x ) B ( x y )3 ( y z )3 ( z x )3 Từ kết bài 10 ta có 3( x y ) ( y z ) ( z x ) B ( x y ) ( y z )( z x) 3( x y ) ( y z )( z x) Theo bài toán ta có thể mở rộng thành bài toán sau (10) Bài toán 13 cho a.b.c 0 và a b3 c3 3abc a b c tính giá trị biểu thức P (1 )(1 )(1 ) b c a Theo bài toán a b c 3abc ta có a+b+c=0 a=b=c a) Nếu a + b + c = thì a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b b a c b a c c a b abc P b c a b c a abc b) Nếu a = b = c thì P = = Nếu xét a ,b , c dạng nghịch đảo ta có bài toán (11) Bài toán 14 cho 1 0 và a.b.c a b c 0 tính số trị biểu thức M bc ac ab 2 a b c Theo bài toán ta có từ 1 1 0 a b c abc a b c 1 3 M = abc( ) abc a b c abc Ta còn có thể mở rộng bài toán dạng bài tập khác (12) Bài toán 15 Giải phương trình 3 x 3ax 3( a bc) x a b c 3abc 0 (1) (1 ) 3 ( x a) 3bc( x a) b c 0 đặt x + a = y bài toán trở thành y3 - 3bcy + b3 + c3 = ( y b c)( y b c yb yc bc) 0 y+b+c=0 y=b=c y=-b=-c y=b= c + y = -b = - c x = - (a + b + c ) + y = b = c x = b - a = c - a (13)