Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 Đ 3- Phép cộng và phép nhân I/ Kiến thức cơ bản II/ Kiến thức nâng cao.. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601 Đ 4- Phép tr
Trang 1Đ 1- Tập hợp Tập hợp con I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
Đ.2- Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhiên I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 3- Phép cộng và phép nhân I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 4- Phép trừ và phép chia I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 5- Luỹ thừa với số mũ tự nhiên I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ6 Thứ tự thực hiện phép tính I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ7 – Tính chất chia hết của một tổng I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ8 – Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 8 – Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ sốhoặc cùng số mũ
Trang 2- NÕu hai luü thõa cïng c¬ sè (c¬ sè lín h¬n 1) th× luü thõa nµo cã sè
Bæ xung kiÕn thøc n©ng cao:
1 Luü thõa cña luü thõa: (a m ) n = a m.n
2 Luü thõa cña mét tÝch: ( a.b) n = a n b n
Trang 3- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là5.
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
2 Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ (khác
0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n đều cótận cùng là 1
II/ Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.
3 Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố
Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p
Đặc biệt nếu an
p thì ap
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Trang 4118 Cho a,nN* , biết a n 5 Chứng minh a2+150 25
119 a) Cho n là số không chi hết cho 3 Chứng minh rằng n2 chia 3 d 1.
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3 Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số.
Bài 120 Cho n> 2 và không chia hết cho 3 Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n 2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
b) Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số
Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p 3) Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay
Bài 127: Tính cạnh của hình lập phơng biết thể tích của nó là 1728cm3
Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Trang 54 Chứng minh rằng bình phơng của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều
d 1.
5 Tìm số n N * , sao cho n 3 - n 2 + n - 1 là số nguyên tố.
Đ 13 Ước chung và ớc chung lớn nhất I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Bài 134: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a) Hai số lẻ liên tiếp.
Bài 137: ƯCLN của hai số là 45 Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18.
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của
chúng là 15.
Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27.
Bài 141: Cho a + 5b 7 (a, b N) Chứng minh rằng 10a + b 7 Mệnh đề đảo lại
1 Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12
2 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16.
Trang 63 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
4 Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc
đều có đủ học sinh 3 khối.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm có bao nhiêu ngời và số học sinh mỗi khối trong một nhóm là bao nhiêu.
Đ 14 Bội chung và bội chung nhỏ nhất I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1 Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
2 Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thơng của chúng là những sốnguyên tố cùng nhau
3 Nếu a m và a n thì a BCNN(m,n) Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết chotích của chúng
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó chiahết cho tích của chúng
III/ Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số d lần
lợt là: 8 ; 20; 35
GiảiGọi số phải tìm là a Ta có: a + 10 chia hết cho 18; 30; 45
Bài 145: Ba học sinh, mỗi ngời mua một loại bút Giá ba loại lần lợt là 1200 đồng,
1500 đồng, 2 000 đồng Biết số tiền phải trả là nh nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?
Bài 146: Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhng nhỏ hơn 10000 của các số 126 ; 140 ;
180.
Trang 7Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều d 5 Tìm số đó biết rằng nó xấp xỉ
1000.
Bài 148: Khối 6 của một trờng có cha tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều d
3 nhng nếu xếp hàng 11 thì không d Tính số học sinh khối 6.
Bài 149: Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15
Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng
là 210.
Bài 151: Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.
Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì d 5, chia
7 Tổng số học sinh khối 6 cua một trờng có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho
3 d 2, chia cho 4 thì d 3, chia cho 5 d 4, chia cho 6 d 5, chia 10 d 9 tìm số học sinh của khối 6
Chuyên đề 4 Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai số
có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 154: Cho dãy số : 10; 102 ; 10 3 ; ;10 20
Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 d 1.
Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19 Bài 159: Cho ba số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng các chữ số bằng 19 Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn chọn đợc hai số có tổng chia hết cho 4.
Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon đợc ba số có tổng chia hết cho 4.
Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn đợc ba số có
tổng chia hết cho 3.
Bài 164: Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn đợc bốn
số có tổng chia hết cho 4
Bài 165*: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta
gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm đợc một hay nhiều măt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.
Trang 82n chữ số 5
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 d 5 ; chia nó cho 9 d 12 Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.
a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = 4 + 42 + 4 3 + + 4 23 + 4 24 Chứng minh :
A 20 ; A 21 ; A 420
Bài 174: Cho n = 29k với k N Với giá trị nào của k thì n là :
a) Số nguyên tố
b) Là hợp số.
Bài 175: Tìm x, y N biết (x+1)(2y-5) = 143
Bài 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai số
nguyên tố khác nhau p 1 và p 2 Biết a 3 có tất cả 40 ớc hỏi a 2 có bao nhiêu ớc ?
Bài 177: Tìm a N biết 355 chia a d 13 và 836 chia cho a thì d
Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì d 5, chia cho 13 thì d 4 Nếu đem số đó chia
cho 91 thì d bao nhiêu?
Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1?
Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 d 10 ; chia 18 d 16 ; chia 27 d 25?
Bài tập bổ sung chơng I
Chơng II Số nguyên
Đ 1 Tập hợp Z các số nguyên Thứ tự trong Z
Trang 9Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.
Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát có 2
chữ số có phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau không?
Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
Trang 10196 Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
b) S 2 = a + |a| + a + |a| + + a với a Z - và có 101 số hạng.
201* Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số
âm Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài toán còn đúng không nếu thay 18 số bằng 19 số.
Đ 3 Phép trừ hai số nguyên I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
204 Cho |x| = 7 ; |y| = 20 với x, y Z Tính x – y
205 Cho |x| 3; |y| 5 với x,y Z Biết x – y = 2.
Trang 11217 Cho a > b ; Tính |S| biết:
S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)
218 Cho M = a + b – 1 và N = b + c – 1 Biết M > N hỏi hiệu a – c dơng hay
âm ?
219 Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của
hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng – 6 Tìm 5 số nguyên đó?
Bài tập bổ sung
Đ 5 Phép nhân hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một số nguyên dơng
Trang 12- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số nguyên âm.
2 a b ac ab nếu c > 0
a b ac ab nếu c < 0
3 Giá rị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
| a b| = |a|.|b|
4 Với a Z thì a2 0 ( dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 )
III/ Ví dụ: Tìm a, b Z biết a,b = 24 và a + b = - 10.
Trang 13230* Cho 16 số nguyên Tích của 3 số bất kì luôn là một số âm Chứng minh
232 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa
hn tich hai số kia đúng 1 đơn vị
233 Cho a = - 20 ; b – c = - 5, hãy tìm A biết
II/ Kiến thức nâng cao.
1 Các tính chất về chia hết (hay không chia hết) đối với số tự nhiên vẫn
đúng với số nguyên
2 Nếu alà bội của b thì - a cũng là bội của b Nếu b là ớc của a thì -b cũng là
ớc của a Do đó nếu số nguyên m có k ớc tự nhiên thì có thêm k ớc âm (đó làcác số đối của các ớc tự nhiên)
Trang 14239 Với n Z, các số sau là chẵn hay lẻ?
a) Chứg minh rằng S là bội của – 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 d 1
243 Tìm số nguyên dơng n sao cho n + 2 là ớc của 111 còn n – 2 là bội của 11.
248 Cho biểu thức B = 1 10 100 Hãy điền vào cá ô trống dấu của các
phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B là số nguyênlớn nhất, số nguyên nhỏ nhất
249 Tìm x Z biết 2 |x| 5
250 Tìm x Z
a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
251 Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a A; b B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
252 Số (-3)20 + có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp không ?
253 Tìm x Z biết (x + 5)(3x – 12) > 0
254 Tìm x Z biết (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) < 0
Trang 15II/ VÝ dô: 1
VÝ dô: T×m hai sè tù nhiªn x vµ y sao cho
2x + 5y = 19C¸ch 1: V× x,y N 5y ≤ 19 y < 4
2x = 4
x = 2 VËy víi x = 7 vµ y = 1 ; x = 2 vµ y = 3
II/ KiÕn thøc n©ng cao.
III/ VÝ dô: T×m x, y Z biÕt : x = 3
Trang 16260 ViÕt c¸c ph©n sè díi ®©y díi d¹ng ph©n sè cã mÉu sè d¬ng, biÕt a Z
Trang 18IV Bài tập:
Đ 12 Chuyên đề Toán công việc làm đồng thời I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV Bài tập:
Bài 13 Chuyên đề Toán về tính tuổi.
2 Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;
a) x 9-131y12 b)
9
2 12
y 2 18
1 3x
và x - y = -1
Trang 191 2x 4
1 x 3
2 2
6 2 4
10 1 2x
52
1 51
1 12
16
6 15
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña A?
8 T×m hai sè nguyªn a vµ b biÕt r»ng :
1 b
1 2
1 2
4 5 1
2
14 12
2 12
6 5 )(
1 5 (
5
11
11 Cho P = (2 1)(22 3)
5 3
2 3 1
Chøng minh P < 1, n N *
12 a) Chøng minh n N, n > 1 ta cã
n
1 1 - n
1 n
1 n
1 1 - n
1
3
1 2
1 100
99
2 2
13 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : S = 20021.2005
7 4
1 4 1
3 6
1 3 2 1
2
1 2
1 2
1
3
1 3
1 3
Trang 20C =
1 999
1 3 997
1
997 3
1 999
.
1
1
5
1 3
1 1
1
5
1 2007
1
6
1 5
1
2 3
Phßng GD
QuËn CÇu giÊy §Ò KTCL Häc sinh giái vßng II n¨m 2005 - 2006
M«n To¸n 6 - thêi gian 120 phót
.
Trang 212 2
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.
2 Rút gọn phân số :
a) M = 84 45 6 42
8 234 81 3
3 3 27
6 3 8
120 6 9 4