MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút không kể phát đề.. Câu 4: 6,0 điểm Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT LONG PHÚ TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015 – 2016 Khóa ngày … tháng 11 năm 2015 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút không kể phát đề) Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2x 4x2 2 x x 3x A ( ):( ) x x2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x2 y z x y z 0 1 1 b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Hết - (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : x 0 x 0 x 0 x 2 x 0 x x 0 x 3 x x 0 x x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) A ( ):( 3) x x x 2x x (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 4x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x ( x 2) x(2 x) x2 (2 x )(2 x )( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì 1,0 A 4x x 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x x 30 x 3(TMDKXD) Vậy với x > thì A > c x 4 x 4 x 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 (3) x 11(tm) x 3(ktm) 0,25 121 Với x = 11 thì A = 0,25 Bài a 5,0 2,5 Ta có: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 2 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 Do : ( x 1) 0;( y 3) 0;( z 1) 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz Từ : ayz + bxz + cxy = x y z x y z 1 ( ) 1 a b c Ta có: a b c 0,5 0,25 0,5 x2 y z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1( dfcm) a b c 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O A E D a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF K 2,0 0,5 (4) Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD b, Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC 0,5 Mà : CD = AB Suy ra: AD.AK + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 (5)