Chứng minh rằng phân giác của góc PQK luôn đi qua một điểm cố định.. A Chứng minh được AM là phân giác góc HAK.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT YÊN KHÁNH ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề này có 05 câu, in 01 trang Câu Tìm x biết: b) 3x +x2 = a) x− 1+5 x− 1=162 x y z Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: = = a b c c) (x-1)(x-3) < và x +2 y −3 z 2=− 100 d b) Cho b = c = d = a (a, b, c, d > 0) Tính A = 2011 a −2010 b 2011b −2010 c 2011 c −2010 d 2011 d −2010 a + + + c +d a+d a+b b+ c Câu a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 27 −2 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 12− x (với x nguyên) Câu a) Cho đa thức f(x) = ax + bx + c Chứng minh f(x) nhận và -1 là nghiệm thì a và c là số đối x 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y 2007 Câu Cho Δ ABC vuông A M là trung điểm BC, trên tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Gọi I và K là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC a) Chứng minh BK = CI và BK//CI b) Chứng minh KN < MC c) Δ ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC Chứng minh các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy ………….Hết………… (2) PHÒNG GD&ĐT YÊN KHÁNH HƯỚNG DẪN CHẤM KĐCL HỌC SINH KHÁ, GIỎI Năm học 2010-2011 MÔN: TOÁN (HD này gồm câu, trang) ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,5đ) x− (1+5) = 162 x− = 27 (4,5 đ) => x-1= => x = b) (1,5đ) 3x +x2 = x(3 + x) = x=0 x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < vì x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < ⇔ Câu a) (1,5đ) x y z (3,0 đ) = = Từ ¿ x − 1> x − 3<0 ⇔ 1< x <3 ¿{ ¿ ĐIỂM 0,75 0,75 0,75 0,75 0,5 1,0 ta có: x y z 2 x 2 y z 2 x 2+2 y − z −100 = = = = = = = =4 16 25 18 32 75 − 25 −25 x 2=36 y =64 z 2=100 ⇔ ¿ x=6 y=8 ¿ x=10 ( Vì x, y, z cùng dấu) ¿ ¿ ¿ x =−6 ¿ y=− ¿ z=− 10 ¿ 0,75 0,75 b) (1,5 đ) a b c d a b c d Ta có 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d Thay vào tính P = Câu a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta có x + y + xy =2 x + + y(x + 1) = (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + và y + phải là ước Lập bảng ta có: 0,5 0,5 0,5 0,75 (3) CÂU x+1 y+1 x NỘI DUNG y (x,y) là: (0,2);2 (2,0); (-2,-4);0 (-4,-2) Vậy các cặp -1 -3 -3 -1 -2 -4 -4 -2 ĐIỂM 0,5 0,25 b) (1,5 đ) 27 −2 x = 2+ 12− x 12− x A lớn lớn 12− x * Xét x > 12 thì <0 12− x * Xét x < 12 thì > Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử 12− x Q= không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ Vậy để 12− x lớn thì 12-x x Z 12-xnhỏ y 0 y , Dấu "=" xảy y = -3 x 2 Vậy P = 2 4 0,25 0,25 0,25 0,25 x = 11 A có giá trị lớn là x =11 Câu a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta có: là nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 là nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) và (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a và c là hai số đối b) (2,0 đ) x 2 , x => x Ta có 0,25 Dấu "=" xảy x = y 2007 + 2007 = 2011 Dấu "=" xảy x = và y = -3 Vậy giá trị nhỏ P = 2011 x = và y = -3 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) CÂU Câu (5,5 đ) NỘI DUNG ĐIỂM B K D M H I A C N O O' a) (2,0 đ) - Chứng minh Δ IBM = Δ KCM => IM= MK - Chứng minh Δ IMC = Δ KMB => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ AM = MC => Δ AMC cân M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến Δ AMC => N là trung điểm AC Δ AKC vuông K có KN là trung tuyến => KN = Mặt khác MC = AC BC Lại có Δ ABC vuông A => BC > AC => 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 BC > AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao Δ ABM => Δ ABM cân B (1) Mà Δ ABC vuông A, trung tuyến AM nên ta có Δ ABM cân M (2) Từ (1) và (2) ruy Δ ABM => góc ABM = 600 Vậy vuông Δ ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN Gọi O là giao điểm BI và tia MN, O’ là giao điểm DH và tia MN Dễ dàng chứng minh Δ AIO = Δ MHO’ => MO = MO’ => O O’ Suy BI, DH, MN đồng quy Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI và BH cắt tia đối tia MN Chứng minh tương tự trường hợp Vậy BI, DH, MN đồng quy 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) CÂU NỘI DUNG (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy đường cao ) ĐIỂM Lưu ý: - Lời giải trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác đúng thì cho điểm tương ứng Đáp án Bµi 1: Tìm x biết: b) 3x +x2 = a) x− 1+5 x− 1=162 x− (1-5) = 162 x=0 x= -3 x− = 27 x-1 = x=4 c) (x-1)(x-3) < vi (x-1) > x-3 nên (x-1)(x-3) < ⇔ ¿ x − 1> x − 3<0 ⇔ 1< x <3 ¿{ ¿ Bài 2: a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và (6) Ta có x+1 y+1 x y 2 2 2 -1 -3 -2 -4 2 -3 -1 -4 -2 x y z x y z x +2 y − z −100 = = = = = = = =4 nên 16 25 18 32 75 − 25 −25 x 2=36 y2 =64 z 2=100 ⇔ ¿ x=6 y=8 ¿ x=10 ( Vì x, y , z cùng dấu) ¿ ¿ ¿ x =−6 ¿ y=− ¿ z=− 10 ¿ a b c d b) Cho b = c = d = a 2011 a −2010 b 2011b −2010 c 2011c −2010 d 2011 d −2010 a + + + c +d a+d a+b b+ c a b c d = = = suy a =b =c= d 2b 2c 2d 2a Tính P= Vì P=2 Bài 3: a)Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 Vì x + y + xy =2 nên (x+1)(y+1)=3 ⇒ x+1, x+1 là ước 27 −2 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức:A= 12− x 27 −2 x A= 12− x ⇔ A= 2+ 12− x ( với x nguyên) (7) A lớn 12− x lớn * Xét x > 12 thì 12− x <0 * Xét x < 12 thì 12− x >0 Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nênphân số có giá trị lớn mẫu nhỏ ¿ 12-x>0 x∈Z ⇔ x=11 ¿{ ¿ A có giá trị lớn là x =11 Bài 4: a) Tìm nghiệm đa thức sau: (x3-8)(x2-25)(x2+4) (x3-8)(x2-25)(x2+4)=0 ⇔ x −8=0 ¿ x −25=0 ¿ ⇔ ¿ x =2 ¿ x =5 ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b) Cho Q(x) = x2011- 2011x2010+2011x2009-2011x2008+…+2011x-1 Tính Q(2010) Q(2010)= 20102011- 2011.20102010+2011.20102009-2011.20102008+…+2011.2010-1 = 20102011- (2010+1).20102010+(2010+1).20102009-(2010+1).20102008+… +(2010+1).2010-1 = 2010-1=2009 Bài 5: Bài 5: Cho Δ ABC cân A.Trên tia đối tia BA lấy điểm D, Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Từ D và E kẻ các đường vuông góc với BC cắt BC H và K BH a) Tính: CK Chứng minh Δ BDH = Δ CEK(Cạnh huyền - góc nhọn) suy HB = CK suy BH =1 CK b) Chứng minh Δ HAK cân Chứng minh Δ ABH = Δ ACK(c-g-c) (8) c) Gọi M là trung điểm BC, kẻ MI vuông góc với AH P là điểm thuộc đoạn AI, Q là điểm thuộc đoạn AK cho ∠ APQ = ∠ PMI Chứng minh phân giác góc PQK luôn qua điểm cố định A Chứng minh AM là phân giác góc HAK y Chứng minh PM là phân giác góc HPQ P Suy QM là phân giác góc PQK Vậy phân giác góc PQK luôn qua điểm M M Q H K M M B C x D E Câu Cho Δ ABC cân A.Trên tia đối tia BA lấy điểm D, Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Từ D và E kẻ các đường vuông góc với BC cắt BC H và K a) Chứng minh BC//DE b) Chứng minh Δ ADH = Δ AEK c) Gọi M là trung điểm BC, P là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AH, Q là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AK Chứng minh tia phân giác các góc DPA, EQA và đường thẳng AM đồng quy (9)