Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi trong lượng giác thì phải chứng minh được nó Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà đúng thì giám khảo nghiên cứu và cho điểm tương ứng.[r]
(1)ĐỀ M«n thi: TO¸N (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) §Ò ra: Câu 1( 2,5 điểm): Cho biểu thức: P = x−1 −√ (√ x − √1x ): ( √ x√−1 x x +√ x ) a) Rút gọn P 2+ √ b) Tính giá trị P x = c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức: P √ x = √ x - - √ x − Câu 2( 2,0 điểm): a) Cho a + b + c = và a,b,c khác Chứng minh rằng: √ b) Giải phương trình: 1 1 1 + 2+ 2= + + a b c a b c | | √ x+7 − √ x −5=2 Câu 3( 1,5 điểm): a) Tìm giá trị lớn và nhỏ của: A = √ x −2+ √ − x b) Cho x và y thỏa mãn: ( x + √ x2 +2011 )( y + √ y 2+2011 )=2011 Tính: x + y Câu 4(2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH CH có độ dài là 4cm, 9cm Gọi D và E là hình chiếu H trên AB và AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE b) Các đường thẳng vuông góc với DE D và E cắt BC M và N Tính diện tích tứ giác DENM Câu 5(1,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A( AB < AC) Trung tuyến AM Gọi số đo góc ACB là α Số đo góc AMB β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α )2 = + sin β (2) Câu Ý a Kú thi chän häc sinh giái líp – N¨m häc 2011 -2012 Híng dÉn chÊm M«n TO¸N (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Nội dung Biểu điểm ( P= √ x− : √x )( √ x −1 − √ x − x +√ x √x ) ĐKXĐ: x > , x 1 x −1 : √x ( )( P= 1đ 0,25 √ x − − √ x −1 √ x √ x( √ x +1) = x −1 x − 1− √ x +1 : √ x √ x ( √ x+ 1) = x −1 : √x x−√ x √ x (√ x+ 1) = x −1 √x √ x( √ x +1) √ x ( √ x −1) ) 0,25 √ x+1 ¿2 b 2+ √ Với x = c) 0,25 0,25 ĐKXĐ √ = ( √ 3− 1¿ ⇒ √ 3− 1+ 1¿ x=4-2 0,75đ 0,25 ¿ ¿ ¿ = Nên P = ĐK: x ¿ ¿ ¿ = √3 −1 √ x=√3 − = ( 0,25 √ 3+1¿ 0,25 P 0,75đ √x = √x - - √ x − √ x+1 ¿2 ¿ ⇔ √x = √x - - √ x − ¿ 0,25 ¿ ⇔ ( √ x+1 ¿2 = √ x - - √ x − ⇔ x + √x + = √x - - √ x − ⇔ ( 0,25 √ x −2 ¿ + √ x − 4=0 (*) √x−4≥0 ∀ x Nên để (*) xảy thì √ x −2 ¿2=0 và √ x − 4=0 Do ( a) 1,0 √ x −2 ¿2 ≥ ∀ x > 0; ⇒ x =4(TM ĐKXĐ) 1 1 2 + + ¿ = 2+ 2+ 2+ + + Ta có a b c a b c ab bc ac ¿ 1 2(a b c) 2 2 abc =a b c = 1 + + +0 a b c = 0,25 0,25 1 + 2+ 2 a b c 0,5 (3) b 1 + + ¿ a b c ¿ ¿ 1 + + =√ ¿ a b2 c √ x+7 − √ x −5=2 ( ĐKXĐ: x 1,0 ⇔ √ ⇔ 0,25 √ x −5 0,25 √ x −5 = √ x −5 = ⇔ x= ( ĐKXĐ) a A= 0,75 A2 = x -2 + 6- x +2 0,5 ĐKXĐ : 2≤ x ≤ √ x −2+ √6 − x =4+2 Vì 5) √ x+7=√ x −5+ ⇔ x +7 = x – 5+ +2 0,25 √ x −2 √ − x 0,25 √(x − 2)(6 − x) Nên A2 √( x − 2)( − x) hay A - Do đó minA = ⇔ x = x = ( tm ĐK) Mặt khác A2 = + √(x − 2)( − x) 0,25 + x -2 + –x = A2 hay A √ ⇔ x-2 = 6-x hay x = (tm ĐK) - Do đó maxA = √ b 0,75 Vì Nên 0,25 ( x + √ x2 +2011 )( y + √ y 2+2011 )=2011 ( x + √ x2 +2011 )=2011 y + √ y 2+2011 Tương tự : y + √ y 2+2011 = 0,25 =√ y 2+2011 − y 0,25 √ x2 +2011− x Cộng vế theo vế: Ta có x+y+ √ y 2+2011 √ x2 +2011 + = √ y 2+2011 √ x2 +2011 + -x0,25 y 2(x +y) = nên x + y = a) A E D B 1,0 M H N C Ta có Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có góc vuông Nên AH = DE 0,5 (4) Mà AH2 = BH.CH( Theo hệ thức đường cao và hình chiếu) b) 1,5 Nên AH2 = 4.9 = 36 Do đó AH = nên DE = (cm) Chứng minh được: 0,5 * M là trung điểm BH nên DM = BH = cm * N là trung điểm HC nên EN = HC = 4,5 cm Nên tứ giác DENM là hình thang vuông có đáy 2cm và 4,5cm và đường cao DE = 6cm Do đó SDENM = (DM +EN).DE = (2+4,5).6 = 19,5(cm2) 0,5 0,5 0,5 A 0,25 1,5 B Từ A vẽ AH H C M BC Vì AB < AC nên HB < HC Do đó H nằm B và M Nên sin β = 0,25 AH AH = AM BC ( Vì AM = BC Theo t/c trung 0,25 tuyến tam giác vuông) Mặt khác: (sin α + cos α ¿ = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α 0,25 = + 2sin α cos α Mà 2sin α cos α Do đó sin β =2 AB AC BC BC =2 AH BC AH = BC BC❑ 0,25 = 2sin α cos α Vì (sin α + cos α ¿ = 1+ sin β 0,25 ( Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi lượng giác thì phải chứng minh nó) Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà đúng thì giám khảo nghiên cứu và cho điểm tương ứng (5)