TOÁN CAO CẤP 2

TOÁN CAO CẤP 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG THÁI NGUYÊN

BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP 2 Ths.Đàm Thanh Phương, Ths.Ngô Mạnh Tưởng Tháng 12 năm 2010 Mục lục 1 Hàm số nhiều biến số 1 1.1 Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Tập hợp trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số. . 7 1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Điều kiện cần của cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 TÍCH PHÂN KÉP 13 2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Định nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Các tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Ứng dụng hình học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.1 Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 3 Tích phân đường 31 3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường: Công của một lực biến đổi . 31 3.2 Định nghĩa tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Cách tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân . . . . 38 3.6 Ứng dụng của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.1 Công của một lực biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Lý thuyết chuỗi 45 4.1 Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Các định lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.2 Chuỗi số đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 56 4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . 59 4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . 60 4.5.6 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 62 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ii Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.6 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.1 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier . . . . 65 4.6.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . 69 4.6.5 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Phương trình vi phân 73 5.1 Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Định nhĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân. . . . . . . . . . 74 5.1.3 Cấp của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.5 Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Cách giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1 Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.2 Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . 79 5.3.3 Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng iii Chương 1 Hàm số nhiều biến số Mục đích yêu cầu - Trong chương trình bày những khái niệm cơ bản và kết quả cơ bản về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số; định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến số và một số ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học. - Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả trên, hiểu được ý nghĩa của đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số một biến và hàm số nhiều biến số. 1.1 Hàm số nhiều biến số 1.1.1 Tập hợp trong R n . - Giả sử M (x 1 , x 2 , ., x n ) , N (y 1 , y 2 , ., y n ) là hai điểm trong R n . Khoảng cách giữa hai điểm ký hiệu là d(M, N) được cho bởi công thức: d (M, N) =     n  i=1 (x i − y i ) 2 Với ba điểm A, B, C bất kỳ trong R n ta luôn có d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C) - Cho M 0 ∈ R n . Người ta gọi ε - lân cận của M 0 là tập hợp những điểm M ∈ R n sao cho d (M, M 0 ) < ε. Lân cận của M 0 là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của M 0 . - Điểm M ∈ E ⊂ R n được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε - lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong E. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. - Điểm N ∈ R n được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi ε - lân cận của N đều Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E có thể không thuộc E. Tập hợp những điểm biên của E được gọi là biên của nó. - Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chữa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là một bộ phận của E). - Tập hợp E gồm những điểm M sao cho d (M 0 , M) < r, trong đó M 0 là một điểm cố định, r là một số dương, được gọi là một quả cầu mở tâm M 0 , bán kính r. Tập hợp những điểm M sao cho d (M 0 , M) ≤ r là một tập hợp đóng và được gọi là quả cầu đóng tâm M 0 , bán kính r. - Tập E được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa E. Hình 1.1: Miền đơn liên và miền đa liên Tập E được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm M 1 , M 2 bất kỳ của E bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong E; tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một(xem hình bên). 1.1.2 Định nghĩa. Định nghĩa 1. Một hàm số n biến số thực là một ánh xạ từ tập hợp R n (tập hợp các bộ n số thực) vào tập số thực R. Nói cách khác, với mỗi bộ n số thực (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R n ta có tương ứng một số thực u ∈ R theo một quy tắc f nào đó. Phần tử u ∈ R là ảnh của phần tử (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R n qua ánh xạ f được kí hiệu là u = f (u 1 , u 2 , ., u n ). Để cho tiện ta dùng kí hiệu trên để chỉ hàm n biến và cần hiểu hàm n biến u: f : R n → R u = f (x 1 , x 2 , ., x n ) Với n = 2 hay n = 3 , người ta thường dùng ký hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z). Thí dụ 1. Cho hàm hai biến f : R 2 → R, z =  a 2 − x 2 − y 2 (1.1) Ta thấy để có z tương ứng với (x, y) theo hàm trên thì các số (x, y) phải thỏa mãn điều kiện a 2 − x 2 − y 2  0 ⇔ x 2 + y 2  a 2 Miền chứa điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện trên cũng được gọi là miền xác định của hàm, ở đây là miền hình tròn tâm O, bán kính a (kể cả đường biên). Hàm (1.1) có hình Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 2 Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 ảnh hình học là nửa mặt cầu tâm O bán kính a nằm phía trên mặt phẳng xOy. Thí dụ 2. Hàm hai biến f : R 2 → R, z = ax + by + c là hàm bậc nhất đối với hai biến x và y. Nó xác định với mọi (x, y) và có hình ảnh hình học là một mặt phẳng trong không gian. Chú ý 1. Nếu cho một số biến của hàm nhiều biến các giá trị không đổi thì ta sẽ có hàm với số biến ít hơn. Chẳng hạn với hàm hai biến z = f (x, y), nếu y = y 0 không đổi trong suốt quá trình khảo sát thì ta có hàm của một biến x: z = f (x, y 0 ) . Chú ý 2. Nếu trong hàm hai biến z = f (x, y) ta cho z giá trị không đổi C thì phương trình f (x, y) = C biểu diễn một đường cong(là giao tuyến của mặt phẳng z = C với mặt cong z = f (x, y)). Trên đường cong này, các giá trị của hàm là như nhau. Ta gọi nó là đường đồng mức của hàm f (với mức C). Biểu diễn một số đường đồng mức trên cùng một hình vẽ ta có một hình ảnh về hàm đang xét. Thí dụ, trên một bản đồ địa lý, các điểm có cùng một độ sâu được nối với nhau bằng các đường đồng mức. Với hàm ba biến f (x, y, z), các mặt f (x, y, z) = C là các mặt đồng mức. Thí dụ trong vật lý học, nếu hàm f là một hàm thế, cho giá trị của thế năng tại các điểm trong không gian thì mặt đồng mức chính là các mặt đẳng thế. 1.1.3 Giới hạn và liên tục Ta coi một bộ n số thực (x 1 , x 2 , , x n ) như một điểm M trong không gian n chiều R n . Như vậy hàm n biến u = f (x 1 , x 2 , , x n ) sẽ được coi như hàm của điểm M: u = f (M). Ta có khoảng cách giữa hai điểm A (a 1 , a 2 , , a n ) và M (x 1 , x 2 , , x n ) là số: d (A, M) =  (x 1 − a 1 ) 2 + (x 2 − a 2 ) 2 + . + (x n − a n ) 2 Điểm M dần tới M 0 : M → M 0 khi và chỉ khi              x 1 → a 1 x 2 → a 2 . x n → a n Định nghĩa 2. 1. Hàm u = f (M) có giới hạn là l khi điểm M dần tới điểm A nếu với mọi ε > 0 cho trước ta tìm được một số δ > 0 sao cho : khi 0 = d (A, M) < δ thì |f (M) − l| < ε và ta viết lim M→A f (M) = l. 2. Hàm u = f (M) được gọi là liên tục tại điểm A nếu: a. Nó xác định tại A. b. lim M→A f (M) = f (A). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3 Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 1.2.1 Đạo hàm riêng. Giả sử f là một hàm n biến xác định trong một miền xác định chứa điểm (x 1 , x 2 , , x n ). Ta cho số x i một số gia ∆x i còn giữ nguyên các biến khác (coi như hàm chỉ chứa biến x i ). Xét tỷ số ∆f ∆x i = f (x 1 , ., x i + ∆x i , ., x n ) − f (x 1 , ., x i , ., x n ) ∆x i Nếu ∆x i → 0 mà tỷ số trên có giới hạn thì giới hạn của nó được gọi là đạo hàm riêng lấy theo biến x i tại điểm (x 1 , x 2 , , x n ) của hàm f. Kí hiệu đạo hàm riêng của hàm f lấy theo biến x i là ∂f ∂x i , i = 1, 2, ., n hay f  x i (x 1 , x 2 , , x n ). Như vậy muốn tính đạo hàm riêng của một hàm f theo một biến nào đó ta chỉ việc tính đạo hàm của hàm đó theo biến đang xét (coi như hàm một biến), còn các biến khác coi như hằng số. Thí dụ 1 : Tính các đạo hàm riêng của hàm hai biến f (x, y) = y x . Ta có ∂f ∂x = y  1 x   x = − y x 2 ; ∂f ∂y = 1 x (y)  y = 1 x Thí dụ 2: f (x, y) = x y . Khi lấy đạo hàm riêng theo x, coi như hằng số nên áp dụng quy tắc đạo hàm hàm luỹ thừa: ∂f ∂x = yx y−1 . Khi lấy đạo hàm riêng theo y, coi x như hằng số nên áp dụng quy tắc đạo hàm hàm mũ: ∂f ∂x = x y ln x. Thí dụ 3 : Cho f (x, y, z) =  x 2 + y 2 + z 2 . Tính các đạo hàm riêng cấp một. ∂f ∂x = x  x 2 + y 2 + z 2 ; ∂f ∂y = y  x 2 + y 2 + z 2 ; ∂f ∂z = z  x 2 + y 2 + z 2 Nếu đặt r =  x 2 + y 2 + z 2 thì r là độ dài của véc tơ −−→ OM với M (x, y, z); gọi α, β, γ là các góc tạo bởi véc tơ −−→ OM với các trục Ox, Oy, Oz thì: ∂f ∂x = x r = cos α; ∂f ∂y = y r = cos β; ∂f ∂z = z r = cos γ 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng f x  , f y  là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau: ∂ ∂x  ∂f ∂x  = ∂ 2 f ∂x 2 = f  x 2 (x, y) , ∂ ∂y  ∂f ∂x  = ∂ 2 f ∂x∂y = f  xy (x, y) ∂ ∂y  ∂f ∂y  = ∂ 2 f ∂y 2 = f  y 2 (x, y) , ∂ ∂x  ∂f ∂y  = ∂ 2 f ∂y∂x = f  yx (x, y) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 4 Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Thí dụ: Với hàm hai biến z = x 3 y 2 − 3xy 3 − xy + 1 ta có: Các đạo hàm riêng cấp 1: ∂z ∂x = 3x 2 y 2 − 3y 3 − y, ∂z ∂y = 2x 3 y − 9xy 2 − x. Các đạo hàm riêng cấp 2: ∂ 2 z ∂x 2 = 6xy 2 ; ∂ 2 z ∂y 2 = 2x 3 − 18xy ∂ 2 z ∂y∂x = 6x 2 y − 9y 2 − 1; ∂ 2 z ∂x∂y = 6x 2 y − 9y 2 − 1 Nếu các đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hàm z = f (x, y) là liên tục thì chúng bằng nhau; f  xy (x, y) = f  yx (x, y). Các đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp hai (nếu có) được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, . Nếu các đạo hàm riêng là liên tục thì chúng không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm. 1.2.3 Vi phân toàn phần. Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong một miền D chứa điểm (x 0 , y 0 ). Xét số gia toàn phần của hàm tại điểm (x 0 , y 0 ): ∆f = f (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − f (x 0 , y 0 ) Ta có có thể biểu diễn số gia ∆f dưới dạng: ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ) , ρ =  ∆x 2 + ∆y 2 (1.2) Trong đó A, B độc lập đối với ∆x, ∆y, nó chỉ phụ thuộc vào x 0 và y 0 , α (ρ) là một vô cùng bé cấp cao hơn ρ, tức là α (ρ) ρ → 0 khi ρ → 0 (cả ∆x và ∆y đều dần đến 0), thì ta nói rằng hàm số z khả vi tại (x 0 , y 0 ) và biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) tại điểm (x 0 , y 0 ). Kí hiệu là df (x 0 , y 0 ) hay dz. Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) = x 2 + y 2 Ta có ∆f = (x 0 + ∆x) 2 + (y 0 + ∆y) 2 −  x 2 0 + y 2 0  = 2x 0 ∆x + 2y 0 ∆y + ∆x 2 + ∆y 2 Ở đây α (ρ) = ∆x 2 + ∆y 2 vì α (ρ) ρ = ∆x 2 + ∆y 2  ∆x 2 + ∆y 2 =  ∆x 2 + ∆y 2 → 0 khi ρ → 0 (∆x → 0, ∆y → 0) , α (ρ) là vô cùng bé có cấp cao hơn ρ Vậy df (x 0 , y 0 ) = 2x 0 ∆x + 2y 0 ∆y. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 5 Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định lý 1. Nếu hàm z = f (x, y) có vi phân tại (x 0 , y 0 ) thì nó cũng có các đạo hàm riêng tại (x 0 , y 0 ) và ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = A, ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = B Chứng minh. Thực vậy, từ (1.2) ta có ∆y = 0 : f (x 0 + ∆x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A∆x + α (|∆x|) lim ∆x→0 f (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − f (x 0 , y 0 ) ∆x = A + lim ∆x→0 α (|∆x|) ∆x Khi ∆x → 0 thì giới hạn cuối cùng bằng không vì α (|∆x|) là vô cùng bé cấp cao hơn ∆x. Vậy ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = A Chứng minh tương tự ta có ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = B Định lý 2. Nếu hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (x 0 , y 0 ) thì nó có vi phân tại điểm đó và df (x 0 , y 0 ) = ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) ∆x + ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) ∆y (1.3) (Chứng minh xem [2] tập 3). Sau này để tính vi phân toàn phần của hàm hai biến ta sẽ dùng công thức (1.3) và viết nó dưới dạng thu gọn: dz = ∂z ∂x ∆x + ∂z ∂y ∆y Nếu các biến số x, y của hàm hai biến z = f (x, y) độc lập thì ta cũng có dx = ∆x và dy = ∆y, khi đó vi phân toàn phần của hàm hai biến còn được viết dưới dạng: dz = ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm số nhiều biến hơn, chẳng hạn với hàm của ba biến số độc lập u = f (x, y, z) ta có vi phân toàn phần của nó: du = ∂u ∂x dx + ∂u ∂y dy + ∂u ∂z dz Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm u = xyz tại điểm (x, y, z). Ta có ∂u ∂x = yz; ∂u ∂y = xz; ∂u ∂z = xy Từ đó: du = yzdx + zxdy + xydz. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 6 [...]... tích phân sau 1 − x2 − y 2 dxdy 1 + x2 + y 2 x2 +y 2 1 6 Tính tích phân (x + 2y + 1) dxdy D với D là miền được xác định bởi x2 + y 2 2y ; x2 + y 2 2x xydxdy trong đó D là nửa trên hình tròn (x − 2) 2 + y 2 7 Tính tích phân 1 D 8 Tính tích phân x2 + y 2 sin x2 + y 2 + cos x2 + y 2 dxdy π 2 x2 +y 2 4π 2 9 Tính tích phân y acrtg dxdy x D x2 + y 2 với D = 1 , x2 + y 2 x √ , y 3 9, y √ 3x x2 (x − y) dxdy trong... y ≤ 2 Do đó: 3 2 x ydxdy = 2 0 D x2 ydy dx 0 Đầu tiên, tính tích phân theo y, xem x là hằng Hình 2. 7: số, ta có: 2 2 2 2 ydy = x 2 0 ydy = x 2y 2 y =2 x2 2 2 − 02 = 2x2 2 = 2 y=0 0 Cuối cùng ta có: 3 2 x3 2x dx = 2 3 x ydxdy = 0 D 3 2 2 2 3 − 02 = 18 3 = 0 Nếu dùng công thức (2. 5), tính tích phân theo x trước Nhìn theo hướng dương của trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi bất đẳng thức kép: 0 ≤ y ≤ 2 và... Mạnh Tưởng 20 Hình 2. 8: Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Bộ môn Khoa học Cơ Bản hoàn độ điểm chung) Do đó: √ 1 x2 ydxdy = 1 x2 ydy = dx −1 D 2 x2 −1 x2 √ y= 2 x2 1 dx = y=x2 2 4 2x − x − x 6 2x2 − x4 − x6 dx = dx = −1 x2 2 − x2 − x4 dx 2 −1 1 1 1 = 2 y2 x2 2 2 x3 x5 x7 − − 3 5 7 0 x=1 = x=0 34 105 Chú ý : 1 Đối với trường hợp trên, áp dụng công thức (2. 4) là đơn giản nhất Thật vậy, nếu dùng công thức (2. 5) ta... rsinϕ = 2rcosϕ − r2 cos2 ϕ, r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ = 2r cos ϕ, r2 = π 2r cos ϕ, r = 2 cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2 Các tia kẻ từ gốc cực O và tiếp xúc với biên của miền D π trùng với Ox và Oy, do đó α = 0, β = Theo công thức 2 (2. 8), ta có π 2 cos ϕ 2 rdrdϕ rdr √ √ = dϕ 4 − r2 4 − r2 0 D Hình 2. 18: 0 2 cos ϕ rdr bằng cách đổi biến số 4−r2 = t, −2rdr = dt, 4 ≤ t ≤ 4sin2 ϕ 4 − r2 0 4 sin2 ϕ 2 cos ϕ √ 4 sin2 ϕ dt rdr... các giao điểm M1 và M2 Ta có 2 x2 1 S= dxdy = dx 2 D 1 1 y =2 x2 dy = y|y=x 2 x 2 − x2 − x dx = dx = 9 2 2 b, Đổi sang tọa độ cực, phương trình các đường biên của miền D có dạng: x2 + y 2 = 2x → r = 2cosϕ; x2 + y 2 = 4x → 4 = 4cosϕ; y = x → ϕ = π ;y = 0 → ϕ = 0 4 Áp dụng công thức (2. 14) ta có π 4 S= 2. 7 rdr = dϕ rdrdϕ = 0 D 4 cos ϕ 2 cos ϕ 1 2 π 4 16 cos2 ϕ − 4 cos2 ϕ = 3π 3 + 4 2 0 BÀI TẬP √ arcsin... −x2 a dx c, −a √ − a2 −x2 (x2 + y 2 ) dy Giải: a, Thay x = rcosϕ, y = rsinϕ vào hàm số dưới dấu tích phân, ta có 1 4− x2 − y2 1 = 4 − r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng =√ 1 4 − r2 25 Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Bộ môn Khoa học Cơ Bản còn dxdy thay bằng rdrdϕ Theo (2. 6) ta nhận được dxdy rdrdϕ √ = Đổi sang tọa độ cực, 4 − r2 4 − x2 − y 2 D D √ phương trình cung tròn y = 2x − x2 có... x2 + y 2 ) 2) u = ex (cosy + xsiny) 3) u = xy 2z 1.7 Tính gần đúng: 1) arctg 1, 02 ; 0,95 2) 3 1, 022 + 0, 0 52 ; 3) sin2 1, 55 + 8e0,015 1.8 1) Cho hàm z = y ln x Tìm zxx , zxy , zyy y 2) Cho hàm z = ln tg Tìm zxy x 1.9 Cho hàm 1 u 1) z = ln với u = tg 2 x, v = cot g 2 x Tìm zx 2 v x2 − y dz 2) z = 2 với y = 3x + 1 Tìm x +y dx 1 1.10 Cho hàm u = với r = x2 + y 2 + z 2 Chứng tỏ rằng: r ∂ 2u ∂ 2u... ex 2 +y 2 dy du dy · dv · trong đó x = a cos t, y = b sin t Ta có: ∂z dx dy 2 2 ∂z 2 2 = 2xex + y ; = 2yex + y ; = −a sin t; = bcost ∂x ∂y dt dt do đó dz 2 2 2 2 = 2ex + y (−ax sin t + bycost) = ex + y sin 2t(b2 − a2 ) dt Thí dụ 2 : Cho hàm số z = x2 + y 2 trong đó x = u + v, y = u − v Khi đó: ∂z dx ∂z dz = · + du ∂x du ∂y dz ∂z dx ∂z = · + dv ∂x dv ∂y Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng dy = 2x + 2y... = 10 Tính tích phân D x2 , x = y 2 xydxdy với miền D là miền giới hạn bởi elip 11 Tính tích phân D x2 y 2 + = 1 và nằm a2 b 2 trong góc phần tư thứ nhất 12 Tính tích phân sau 2ay − x2 − y 2 dxdy y2 D với D là mặt tròn x2 + y 2 2ay (a > 0) 13 Tính tích phân a a2 − x 2 − y 2 D dxdy với miền D là nửa hình tròn x2 + y 2 = ay nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng xOy x2 + y 2 − 14 Tính tích phân √... M1 (0, 0) , M2 − , 0 , M3 (−1, 2) , M4 (−1, 2) 3 Mặt khác ta có ∂ 2z = 2y; ∂x∂y ∂ 2z = 12x + 10; ∂x2 ∂ 2z = 2x + 2 ∂y 2 Tại M1 : A = 10; B = 0; C = 2, AC − B 2 > 0, A > 0 do đó hàm số có cực tiểu 4 Tại M2 : A = −10; B = 0; C = − , AC − B 2 > 0, A < 0 do đó hàm số có cực đại 3 Tại M3 : A = 2; B = 4; C = 0, AC − B 2 < 0 do đó hàm số không có cực trị Tại M4 : A = 2; B = −4; C = 0, AC − B 2 < 0 do đó . y − 9xy 2 − x. Các đạo hàm riêng cấp 2: ∂ 2 z ∂x 2 = 6xy 2 ; ∂ 2 z ∂y 2 = 2x 3 − 18xy ∂ 2 z ∂y∂x = 6x 2 y − 9y 2 − 1; ∂ 2 z ∂x∂y = 6x 2 y − 9y 2 − 1 Nếu. 2 + y 2 Ta có ∆f = (x 0 + ∆x) 2 + (y 0 + ∆y) 2 −  x 2 0 + y 2 0  = 2x 0 ∆x + 2y 0 ∆y + ∆x 2 + ∆y 2 Ở đây α (ρ) = ∆x 2 + ∆y 2 vì α (ρ) ρ = ∆x 2 + ∆y 2