5 Phương trình vi phân
5.3Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp 1
Giải: Nếu xem y là hàm số phải tìm với biến số x thì phương trình có dạng (xey − 1)y0+ey = 0 phương trình này không có dang phương trình vi phân tuyến tính.
Nếu xem x là hàm số phải tìm với biến số y ta có phương trình x0+x= 1
ey . Phương trình này là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trình x0+x= 0 hay dx
dy =−xhay dx
x =−dy. Lấy tích phân hai vế ta có ln|x|=−y+ ln|C| trong đó C là hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x=C.e−y.
Coi C là hằng số của y suy ra x0 =C0.e−y−C.e−y, thay x vàx0 vào phương trình ban đầu ta được C0.e−y−C.e−y+C.e−y =e−y hayC0 = 1 hay C =y+K trong đó K là hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là x= (y+K).e−y.
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân y0 = x
cosy −tgy.
Giải: Ta có phương trình đã cho không phải là phương trình vi phân tuyến tính. Đặt z(x) = sinyta có z0 =y0cosy , thay vào phương trình đã cho ta được z0+z =x. Đây là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trình z0+z = 0 hay dz
z = −dx hay ln|z| = −x+ ln|C| hay z = C.e−x
trong đõ C là hằng số tùy ý.
Coi C là hàm số của x suy ra z0 =C0.e−x−C.e−x, thay z và z0 vào phương trình trên ta được C0.e−x−C.e−x+C.e−x =x hay C0 = x.ex hay C = x.ex−ex+K trong đó K là hằng số tùy ý, do đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là z =x−1 +K.e−x. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là siny=x−1 +K.e−x.
5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp1 1
5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp1 1
Giải: Với x6= 0,y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho xy ta có 1 x + 1 dx+ 1 y −1 dy = 0