4 LTDH CHUYEN DE HAM SO

www.facebook.com/toihoctoan

1 Phần 4 HÀM SỐ Dạng 1. GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài 1. Tìm giới hạn   6 2 1 6 5 lim 1 x x x L x      Bài 2. Tìm giới hạn 3 0 1 1 lim x x x I x      Bài 3. Tìm giới hạn 3 2 2 0 3 1 2 1 lim 1 cos x x x I x       Bài 4. Tính   2 32 2 2 0 1 lim ln 1 x x e x I x       Bài 5. Tính 2 4 9 lim 1 x x I x     Bài 6. Tính 2 1 lim tan cos x I x x           Bài 7. Tính 2 1 1 2 lim 1 4 3 x x x x            Bài 8. Tính   2 lim 1 x x x x     Bài 9. Tính 3 5 2 lim 1 x x x I x            ;   1 cos 2 lim 1 cot x x J x     Bài 10. Tính a, 2 0 1 lim sin x x x  b, 2 3 5cos lim 1 x x x x    c, 2 lim sin x x x  2 Dạng 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1. Cho hàm số 3 2 1 cos ( 0) sin ( ) 1 ( 0) 6 x x x f x x            Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Bài 2. Cho 2sin 2 ( ) Asin 2 2 cos 2 x x y f x x B x x x                                          Tìm A, B để hàm số liên tục trên R. Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số     1 1 0 ( ) 1 0 x x x f x x          Bài 4. Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm: a, 4 0 x e x   b, cos cos 2 0x m x  c,   2 4 1 2 2 0m m x x     Bài 5. Chứng minh phương trình 4 3 0x x   có nghiệm   1;2   với 7 12   . Dạng 3. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau đây: a, 3 3 1y x x    b, 3 2 1 3 x y x x    c, 4 2 2 3y x x   d, 4 2 2 4y x x  e, 2 1 1 x y x    3 f,   2 1 2 x y x    h, 2 2 1 1 x x y x x      g, 2 4 2 1 1 2 x x y x     Bài 2. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số: a, 3 . x y x e   b, ln x y x  c, 2 1y x x  d,   32 2 4y x x  e, 2 2 3y x x   f, ln 2y x x   Dùng tính đơn điệu và cực trị để chứng minh bất đẳng thức Bài 3. Chứng minh rằng: 2 cos 2 , 2 x x e x x x       Bài 4. Cho 0.a b  Chứng minh rằng: 1 1 2 2 2 2 b a a b a b                Dạng 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ln x y x  trên đoạn 3 1;e     . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 4y x x   . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x    trên đoạn   1;2 . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   3 6 2 4 1y x x   trên đoạn   1,1 . 4 Bài 5. Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5 4 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 4 S x y   . Bài 6. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    2 2 4 3 4 3 25S x y y x xy    . Bài 7. Gọi   ,x y là nghiệm của hệ phương trình: 2 4 3 1 x my m mx y m          Với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2A x y x   khi m thay đổi. Bài 8. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 2x y  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :   3 3 2 3P x y xy   . Bài 9. Cho hàm số 2 ( ) sin 2 x x f x e x   . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng hai nghiệm. Dạng 5. TIỆM CẬN Bài 1. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số : a, 2 x y x   b, 2 6 3 3 x x y x     c, 2 1y x  Bài 2. Cho hàm số 2 1 1 x mx y x     (C) Tìm m để đường tiệm cận của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 3. Cho   2 2 3 2 2 3 mx m x y x m      (C) Tìm m để góc của hai tiệm cận của (C) bằng 45 . 5 Dạng 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 4 6 1y x x   Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 4 2y x x x     Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 2y x x  Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 6y x x    Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1 x y x   Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   2 3 3 2 2 x x y x      Dạng 7. TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ SUY RA ĐỒ THỊ CÁC HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2 1 1 x x y x     Suy ra đồ thị hàm số 2 1 1 x x y x     Bài 2. Khảo sát và vẽ đồ thị 4 2 5 3 2 2 x y x   Suy ra đồ thị hàm số 4 2 5 3 2 2 x y x   Bài 3. Khảo sát và vẽ đồ thị   2 1 2 x y x    Suy ra đồ thị hàm số   2 1 2 x y x    Dạng 8. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG K CHO TRƯỚC. Bài 1. 6 Tìm m để : 2 ( ) mx m f x x m     nghịch biến a, Trên từng khoảng xác định. b, Trên   0; . Bài 2. Cho ( ) x f x x m   . Tìm m để hàm số đồng biến trên ( ;3] . Bài 3. Cho 2 3 4 ( ) x m f x m x     . Tìm m để hàm số nghịch biến trên   1;0 . Bài 4. Cho 3 2 1 1 ( ) 3 3 f x x x mx    . Tìm m để : a, f(x) đồng biến trên   1;  . b, f(x) nghịch biến trên   0;3 . Bài 5. Cho   3 2 2 2 1 ( ) 2 1 5 3 y f x x mx m x m       Tìm m để y = f(x) nghịch biến trên   ; 1  . Bài 6. Tìm m để 3 2 ( ) 3 2f x x x mx     đồng biến trên   0;2 . Bài 7. Cho   4 2 2 ( ) 2 2 3f x x m m x m      Tìm m để f(x) nghịch biến trên   2; 1  . Bài 8. Cho   4 2 2 ( ) 2 2 5 6 7f x x m m x      Tìm m để f(x) nghịch biến trên (1; 3). Bài 9. Cho hàm số 2 2 2 x x m y x     (m là tham số) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [-1; 0]. Bài 10. Cho hàm số 2 2 5 6 3 x x m y x      (m là tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng   1; . 7 Dạng 9. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Bài 1. Cho hàm số     3 2 2 1 2 2y x m x m x      , với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Bài 2. Cho hàm số   3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m       , m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. Bài 3. Cho hàm số   3 2 2 3 2 3 3 1y x mx m x m m       (m là tham số). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bài 4. Cho 3 2 1 ( ) 3 y f x x x mx    Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 1 2 ,x x với 1 2 2 4x x  . Bài 5. Cho   3 2 2 2 3 3 1 3 2y x x m x m       Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành. Bài 6. Cho     3 2 2 2 2 3 2 6 1 1y x m x m x      Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm cực đại M của đồ thị cắt trục tung tại A sao cho  OAM có diện tích bằng 7. Bài 7. Cho   3 2 2 2 ( ) 3 3 1 3 1y f x x x m x m        Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trong đó điểm cực tiểu nằm phía trên đường thẳng: 4y   Bài 8. Cho hàm số   4 2 2 9 10y mx m x    (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. Bài 9. Cho hàm số 4 2 2 2 1y x m x   với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Bài 10. Cho 4 2 2 2 2y x mx m m     Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị 1 2 3 , ,M M M sao cho 1 2 3 M M M thỏa mãn a, Vuông cân. b, Có góc 120 . c. Có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O. d, Nhận gốc tọa độ 0 là trọng tâm. e, Diện tích bằng 1. 8 g, Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Dạng 10. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỈ Bài 11. Gọi ( ) m C là đồ thị của hàm số   2 1 1 1 x m x m y x       (m là tham số). Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị ( ) m C luôn luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . Bài 12. Cho     2 2 2 1 4 2 x m x m m y x m        Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bài 13. Cho hàm số 2 1 x mx y x    (m là tham số) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10? Bài 14. Cho hàm số   2 2 2 1 4 2 x m x m m y x       , m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài 15. Gọi ( ) m C là đồ thị của hàm số 1 y mx x   (m là tham số) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( ) m C đến tiện cận xiên của ( ) m C bằng 1 2 . Dạng 11. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài 1. Cho hàm số 1 x y x   (C). Tìm m để đường thẳng d: y x m   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y C x    Tìm m để đường thẳng 2y x m   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). 9 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 2y x m   cắt đồ thị hàm số 2 1x x y x    tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 4. Cho hàm số 2 2 4 2 x x y x     Tìm m để đường thẳng m d : 2 2y mx m   cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt. Bài 5. Cho 2 1 mx x m y x     Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Bài 6. Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m   cắt đồ thị hàm số 2 1x y x   tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. Bài 8. Cho hàm số     2 1y x x mx m    (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 9. Cho hàm số 3 3 2y x x   có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Bài 10. Cho hàm số     2 1 2 1y x x mx m     (m là tham số) Định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1. Bài 11. Cho hàm số   3 2 2 1y x x m x m     , m là số thực . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , ,x x x thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 2 3 4x x x   . Bài 12. Cho hàm số 3 2 3 4y x x   Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k   3k   đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 10 Bài 13. Cho hàm số 3 3 3y x x m   . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai giao điểm có hoành độ âm. Bài 14. Cho hàm số     3 3 2 2 3 2 3 1 3y x mx m x m x m x        Tìm m để đồ thị hàm số và trục hoành có ba giao điểm phân biệt. Bài 15. Cho hàm số 4 2 1y x mx m    (m là tham số) Xác định m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Bài 16. Cho hàm số   4 2 3 2 3y x m x m    , m là tham số. Tìm m để đường thẳng 1y   cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Dạng 12. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài 1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 3 2 2 9 12 4y x x x    b, Tìm m để 3 2 2 9 12x x x m   có 6 nghiệm phân biệt. Bài 2. Cho hàm số 4 2 2 4y x x  a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b, Với các giá trị nào của m, phương trình 2 2 2x x m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? Bài 3. 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2 6 5y x x   . 2, Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2 2 6 log 0x x m   . Bài 4. 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 5 1 x x y x     2, Dựa vào đồ thị hàm số tìm m để phương trình:     2 2 2 5 2 5 1x x m m x      có hai nghiệm dương phân biệt. Bài 5. Cho hàm số   3 1 3y x x   1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. 2, Tìm k để hệ   3 3 2 2 2 1 3 0 1 1 log log 1 1 2 3 x x k x x             có nghiệm. Bài 6. . x x    c, 4 2 2 3y x x   d, 4 2 2 4y x x  e, 2 1 1 x y x    3 f,   2 1 2 x y x    h, 2 2 1 1 x x y x x      g, 2 4 2 1 1 2 x x y. 4 1y x x   trên đoạn   1,1 . 4 Bài 5. Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5 4 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4