Chuyên đề hàm số

DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” A. CÁC CHUN ĐỀ: Chun đề 1: Tính đơn điệu của hàm số A.Cơ sở lý thuyết: I. Lý thuyết chung: 1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) ( ) ' 0f x ⇔ ≥ với mọi x ∈ (a, b). 2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ( ) ' 0f x ⇔ ≤ với mọi x ∈ (a, b). Chú ý:  Tam thức bậc hai: 1. 2 0y ax bx c = + + ≥ x R ∀ ∈ 0 0 a >  ⇔  ∆ ≤  2. 2 0y ax bx c = + + ≤ x R ∀ ∈ 0 0 a <  ⇔  ∆ ≤   Tam thức bậc hai: Nếu : 2 0y ax bx c = + + ≥ với mọi x ∈ (p, q) thì: Trường hợp 1: Nếu có thể chuyển về ( ) ( )f x g m ≥ ( Rút m độc lập ) . Thì dùng phương pháp đồ thị ( Căn cứ vào Max , Min của f(x) và u cầu của bài tốn mà g(m) phải thuộc vào khoảng nào Trường hợp 2: Nếu khơng thể chuyển về ( ) ( )f x g m ≥ • Lập denta • Biện luận theo denta và hệ số a (Trường hợp phải so sánh nghiệm của p/t với a;b thì đặt ẩn phụ x = p + t (x = q- t ) .Chuyển phương trình thành p/t bậc hai theo t và biện luận với t dương hay âm ) B. Bài tập: 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 3 y m x mx m x = − + + − .Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho : a. đồng biến trên tập xác định của nó. b. nghịch biến trên tập xác định của nó. 2.Tìm m để hàm số 3 2 3 3 3 4y x x mx m = − + + + đồng biến với mọi x. 3. Cho hàm số 3 2 3 4y x x mx = + − − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;0 −∞ . 4. Cho hàm số 3 2 3 2y x x mx = − + + − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 . 5. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 3 3 m y x m x m x= − − + − + . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên [ ) 2; +∞ . 6. Cho hàm số 4mx y x m + = + . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1 −∞ . 7. Cho hàm số : 1 1 2 − −+ = x mxx y . Xác đònh m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó. 8. Cho hàm số : 12 3 2 + +−− = x mxx y Với những giá trò nào của m thì hàm số đồng biến trong khoảng ); 2 1 ( +∞− Chun đề 2: Cực trị của hàm số A.Cở sở lý thuyết: I. Cực trị hàm bậc ba:  Điều kiện tồn tại cực trị: Hàm số ( )y f x= có cực đại và cực tiểu ( 2 cực trị ) '( ) 0f x ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ 0∆ > 1.Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ⇔ 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   <  2. Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 ⇔ 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   >   Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu Chun đề: Hàm số * Trang 1 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.  Chú ý: sử dụng định lý viét cho hồnh độ các điểm cực trị. ( Đặc biệt :áp dụng cho các bài tốn có liên quan đến biểu thức đối xứng của hai nghiệm , khỏang cách ,đối xứng , trung điểm ….) II. Cực trị hàm bậc bốn:  y’ = 0 TH1: có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn x = 0và 1 nghiệm kép x = 0) thì hàm số y có đúng 1 cực trị. TH2: Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị. B. Bài Tập: 9. Tìm m để hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 3 1 5 3 y x m m x m x m = + − + + + + − a. đạt cực tiểu tại x = - 2. b. đạt cực đại tại x = 1. 10. Cho hàm số : 5 2 3 3 )2( −+++= mxxxmy Tìm các giá trò của m sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu 11. Cho hàm số : 4 23 +−= xmxy Đònh m để đồ thò hàm số có cực đại và cực tiểu các điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn : a) Nằm về hai phía của trục tung. (cùng nằm về bên trái , cùng nằm về bên phải Ox) b) Nằm hai phía của trục hồnh ( cùng nằm về bên trái , cùng nằm về bên phải Oy) c) Có hồnh độ dương ( âm , trái dấu ) d) Có tung độ dương ( âm , trái dấu ) 12. Cho hàm số : 1)1(6 2 )12(3 3 2 ++++−= xmmxmxy Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực trò tại 2 ; 1 xx với 21 xx − không phụ thuộc m 13. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 2x 2 = 1. 14. Tìm m để hàm số 3 2 ( 2) 2y x m x mx m= + − − + đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x 1 < -1 < x 2 . 15. Cho hàm số : 1 23 −−= mxxy Chứng minh rằng với mọi m , hàm số luôn có cực đại và cực tiểu a) Tìm m > 0 sao cho điểm cực đại thuộc Ox b) Tìm m > 0 sao cho điểm cực tiểu thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 . 16. Cho hàm số : 37 23 +++= xmxxy Đònh m để đồ thò hàm số có cực đại và cực tiểu . Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò đó 17. Tìm m để ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2y x m x m m x = + − + − có CĐ, CT cùng nằm trên đường thẳng d: y = - 4x. 18. Tìm m để ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 2 1y x m x m x = + − + − − có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3. 19. Tìm m để 3 2 7 3y x mx x = + + + có đường thẳng đi qua CĐ, CT vng góc với đường thẳng d: y = 3x - 7. 20. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 11 3y x m x m = + − + − Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng. 21. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 1 3y mx mx m x m = − + + + − Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua CĐ, CT ln đi qua 1 điểm cố định. 22. Tìm m để hàm số 1 23 3 1 ++−−= mxmxxy có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là a) bằng 6 b) nhỏ nhất. 23.Cho hàm số : 4)12(3 2 )1(3 3 ++−++−= xmxmxy .Đònh m để đồ thò hàm số có cực đại và cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0;4) 24. Tìm m để hàm số 3 2 2 3y x x m x m = − + + có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 1 5 2 2 y x= − Chun đề: Hàm số * Trang 2 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” 25. Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. 26. Cho hàm số 4 2 1 3 2 2 y x mx= − + Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại. 27. Tìm m để hàm số ( ) 4 2 2 9 10y mx m x = + − + có 3 điểm cực trị. 28. Tìm m để hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m = − + + có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 29. Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1y x m x = − + có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vng cân. 30. Cho hàm số: 4 2 2 2y x mx m = − + .Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT: a. Lập thành tam giác đều. b. Lập thành tam giác vng. c. Lập thành tam giác có diện tích bằng 16. 31. Cho hàm số 3 2 3y x mx= − .Tìm m > 0 để hàm số có cực đại, cực tiểu và điểm cực tiểu cách đều hai trục tọa độ 32. Cho hàm số : 2 2 2 1 x mx y x + + = + Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách tự hai điểm đó đến đường thẳng : x + y + 2 = 0 bằng nhau. Chun Đề 3: Tiếp tuyến- Tiếp xúc và các bài tốn liên quan A.Cơ sở lý thuyết: 1. Điều kiện Tiếp xúc : Cho hai đường y = f(x) ( C ) và y = g(x) ( C ‘ ). • Để ( C ) tiếp xúc với ( C’) khi và chỉ khi hệ sau Có nghiệm :    = = )2)((')(' )1)(()( xgxf xgxf 2.Tiếp tuyến : Cho hàm số y = f(x) f( x ) ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : a. Tại 1 điểm )()) 0 (; 0 ( 0 CxfxM ∈ : Sử dụng công thức : ) 0 )( 0 (' 0 xxxfyy −=− (*) với ) 0 ( 0 xfy = và ) 0 (' xf là Hệ số góc của tiếp tuyến (Tại 1 điểm chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến ) b. Biết trước hệ số góc k: • Gọi )()) 0 (; 0 ( 0 CxfxM ∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến (d).Suy ra : kxf = ) 0 (' .Giải tìm 0 x .tìm k • p dụng công thức (*) Chú ý : Các biến dạng của hệ số góc:  Biết trực tiếp hệ số góc k  Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.(d //d 1 : thì d và d 1 cùng hệ số góc ).  Tiếp tuyến vng góc với 1 đường thẳng cho trước.(d ⊥ d 1 : Thì Tích hệ số góc bằng -1).  Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng α .  Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc α .  Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng α cho trước. c. tiếp tuyến đi qua ) 1 ; 1 ( 1 yxM : • Viết phương trình đường thẳng đi qua ) 1 ; 1 ( 1 yxM có hệ số góc k : 1 ) 1 ( yxxky +−= • (Sử dụng Điều kiện Tiếp xúc) Để ( C ) tiếp xúc với ( C’) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm    = +−== )2()(' )1( 1 ) 1 ()( kxf yxxkyxf Thay (2) vào (1) có p/t hoành độ tiếp điểm u(x) =0 (3). Giải (3)tìm hoành độ tiếp điểm.Tìm k. p dụng (*) Chú ý: 1.Số nghiệm của phương trình (3) chính là số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị 2. Nếu tham số k không độc lập thì ta chọn giải phương trình nào đơn giản , thay vào p/t còn lại Chun đề: Hàm số * Trang 3 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” B.Bài Tập: 33. Viết PTTT của đồ thị (C): 3 3 5y x x = − + khi biết: a. Tại điểm M(2; 7). b. Hoành độ tiếp điểm là x 0 = - 1. c. Tung độ tiếp điểm là y 0 = 5. d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: 7x + y = 0 34. Cho hàm số (C): 1 2 x y x + = − a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung. b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm B(3; 4). c. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A. 35. Cho hàm số (C): 3 2 1 2 3 3 y x x x = − + Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Chú ý : Nếu hệ số a âm thì hệ số góc lớn nhất 36.Chohàmsố(C): 3 2 1 1 4 2 3 2 3 y x x x = + − − Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2. 37. Cho hàm số (C): 2 1 1 x y x − = − Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 38. Cho hàm số (C m ): 3 2 1 1 3 2 3 m y x x = − + Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. 39. Cho hàm số (C): 3 y x x = − Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 2). 40. Cho hàm số (C): 3 2 2 6 5y x x = − + − Tìm M là điểm thuộc (C) ,biết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; -13). 41. Cho hàm số (C m ): ( ) 3 2 3 1 1y x mx m x = + + + + Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x = - 1 đi qua điểm A(1; 2). 42. Cho hàm số (C): 1 2 1 x y x − + = + Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox. 43. Cho hàm số (C): 1 x y x = − Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 44. Cho hàm số (C): 3 1 1 x y x + = + Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-2; 5). 45. Cho hàm số (C): 2 1 x y x = + Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . 46. Cho hàm số (C): 2 2 3 x y x + = + Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. 47. Cho hàm số (C): 1 1 x y x + = − Chuyên đề: Hàm số * Trang 4 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. 48. Cho hàm số (C): 2 1 1 x y x − = − Cho M bất kì trên (C) có x M = m. Tiếp tuyến của (C) tạ M cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi. 49. Cho hàm số (C m ): 3 2 3 1y x x mx= + + + Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc. Chuyên đề 4:Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước A.Phương pháp: 1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (C m ): y = f(x, m)  Giả sử M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ (C m ).  Khi đó: y 0 = f(x 0 , m) với mọi m. Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị (x 0 ; y 0 ).  Kết luận. Chú ý:  am + b = 0, ∀ m ⇔ 0 0 a b =   =   am 2 + bm + c = 0, ∀ m ⇔ 0 0 0 a b c =   =   =  2.Dạng 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.  Giả sử hàm số y = ax b cx d + + , ta biến đổi về dạng phân thức.  Nếu a chia hết cho c ⇒ ta chia tử cho mẫu và sử dung tính chia hết.  Nếu a không chia hết cho c ⇒ ta chia tử cho mẫu ( ) ax b a bc ad y cx d c c cx d + − = = + + + ⇔ bc ad cy a cx d − − = + Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d. Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm. 3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn điều kiện K.  Giả sử M(x 0 ; y 0 ) = M(x 0 ; f(x 0 )).  Thiết lập điều kiện K cho điểm M.  Kết luận. B.Bài tập: 50. Cho hàm số (C m ): 3 2 3 9 1y x mx x = − + + Tìm m để điểm uốn của (C m ) thuộc đường thẳng y = x + 1. 51. Cho hàm số (C m ): 2 1 mx m y x − − = + Chứng minh rằng họ (C m ) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. 52. Cho hàm số (C): 1 2 x y x − = + Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên. 53. Cho hàm số (C): 3 2 3 2y x x = − + − . Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C). 54. Cho hàm số (C): 2 1 x y x + = − Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 55. Cho hàm số (C): 4 2 2 1y x x = − + − Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C). Chuyên đề: Hàm số * Trang 5 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” 56. Cho hàm số (C m ): ( ) 3 2 2 2 3 3 1 1y x mx m x m = − + − + − Tìm m để trên đồ thị (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. 57. Cho hàm số (C): 3 2 3 2y x x = + − Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18). 58. Cho hàm số (C): 3 12 12y x x = − + Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 59. Cho (C): ( ) 3 1 1y x k x= + − + .Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. 60. Cho hàm số (C): 4 2 x y x + = − Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 6 = 0. 61. Cho hàm số (C): 2 3 x y x + = − Tìm trên đồ thị (C) của hàm số điểm M cách đều hai đường tiệm cận của (C). 62. Cho hàm số (C): 3 3y x x= − a. CMR: đường thẳng d: y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại 1 điểm A cố định. b. Tìm m để d cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau. 63. Tìm các điểm trên đồ thị (C): 3 1 2 3 3 y x x = − + mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: 1 2 3 3 y x − = + . 64. Cho (C m ): 3 2 1y x mx m= + − − . Viết PTTT của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua với moi giá tri m Chuyên Đề 5: Tương giao giữa hai đồ thị hàm số A.Cơ sở lý thuyết: 1. Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x, m) = g(x,m) (1).  Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) thì phương trình d: y – y 0 = k(x – x 0 ). Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C). 2.Bài toán cơ bản: Cho đồ thị y = f(x, m) và trục hoành: y = 0. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình : f(x,m) = 0. 3.Phương pháp chung:  Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ * Cho phương trình: 1 1 1 0 ( ) . 0 n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + = . Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ p x q = (p, q)=1 thì \ n q a và 0 \p a .  Phương pháp hàm số • Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m. • Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m. Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1. B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox. 1.Các phương pháp xét tương giao:  Phương pháp nhẩm nghiệm cố định : Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ. Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x = α thì ( ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( ) ( )f x m x a m x b m x c m α = − + + .  Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số : Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số  ** Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.  Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ thị và 1 đường thẳng g(x) = m. 2.Đặc biệt : Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số a. Lập thành cấp số cộng: Chuyên đề: Hàm số * Trang 6 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x 1 , x 2 , x 3 lập cấp số. Khi đó đồng nhất hai vế ta có: 2 3 b x a − = . Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm. Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề bài không. Từ đó kết luận. b. Cấp số nhân. Tương tự ta cũng có: 3 2 d x a − = . Thế vào và kiểm tra. C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox. 1.Đặc biệt : Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng. Phương pháp: Sau khi đặt t = x 2 ta đựơc phương trình bậc hai. Căn cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t 1 , t 2 dương và thỏa mãn t 2 = 9t 1 . Vậy điều kiện là: 2 1 0 0 0 9 S P t t ∆ >   >   >   =  D. Phép Suy đồ thị: Cho đồ thị y = f(x) ( C )ta suy ra các đồ thị ( C ‘)hàm số sau:  ( ) y f x =  ( ) y f x =  Từ ( ) ( )f x y g x = suy ra ( ) ( ) f x y g x = . Phương pháp chung : Bỏ trị tuyệt đối , nhận xét quan hệ giữa ( C ) và ( C ‘ ) chú ý các tính chất : hàm số chẵn , lẻ ( đối xứng qua Ox , O y ….) E. Bài Tập: 65. Tìm m để đồ thị (C m ): ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m = − + + + + − + cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1. 66. Tìm m để đồ thị (C m ): ( ) 3 2 2 2 2 2 1 (1 )y x mx m x m m = − + − + − cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương. 67. Tìm m để đồ thị (C m ): ( ) 3 2 2 3 2 4 9y x mx m m x m m = − + − + − cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. 68. Tìm m để đồ thị (C m ): ( ) 3 2 (3 1) 5 4 8y x m x m x= − + + + − cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân. 69. Tìm m để đồ thị (C m ): 4 2 2( 1) 2 1y x m x m= − + + + cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. 70. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 4 2 4 2 2 2x x m m − = − . 71. Cho hàm số (C): 2 1 2 x y x + = + CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất. 72. Cho hàm số (C): 2 3 x y x + = − . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). 73. a. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C): 1 1 x y x + = − tại A, B phân biệt thuộc 2 nhánh của (C). b. Tìm m để AB đạt min. Chuyên đề: Hàm số * Trang 7 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” 74. Cho hàm số (C): 3 5 2 x y x − = − . Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 75. Cho hàm số: 4 2 2 4y x x= − Với giá trị nào của m, phương trình 2 2 2x x m − = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? 76. Cho hàm số (C m ): ( ) 4 2 3 2 3y x m x m= − + + Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 77. Cho hàm số (C): 3 2 3 4y x x = − + CMR: mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k(k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 78. Cho hàm số (C): 3 3 2y x x = − + Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 79. Cho hàm số (C): 2 1 1 x y x − = + Với các giá trị nào của m đường thẳng d m đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C) a. Tại hai điểm phân biệt b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. 80. Cho hàm số (C): 1 2 x y x − = − Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau. 81. Cho hàm số (C): 3 2 3y x x = − + Tìm k để phương trình: 3 2 3 2 3 3 0x x k k − + + − = có 3 nghiệm phân biệt. 82. Cho hàm số (C): 3 2 2 9 12 4y x x x = − + − . Tìm m để phương trình: 3 2 2 9 12x x x m − + = có 6 nghiệm phân biệt. 83. Cho hàm số (C): 3 2 3 6y x x = − − . Tìm m để phương trình: 3 2 3 6x x m − − = có 4 nghiệm phân biệt. 84. Cho hàm số (C): y = 3x – 4x 3 . Tìm m để phương trình: ( ) 2 3 4x x m− = có 4 nghiệm phân biệt. 85. Cho hàm số (C): 3 3 2y x x = − + Tìm m để phương trình: ( ) 2 1 2x x x m − − − = có 3 nghiệm phân biệt. 86. Cho hàm số (C): 3 2 6 9 6y x x x = − + − Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 87. Cho hàm số (C m ): ( ) 3 2 2 3 1 6 2y x m x mx = − + + − Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. 88. Cho hàm số (C m ): 4 2 1y x mx m = − + − Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 89. Cho hàm số (C): 3 3 4y x x = − Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 3 4 3 4x x m m − = − . 90. Cho hàm số (C): 2 1 x y x = − a. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số 2 1 x y x = − b. Biện luận theo m số nghiệm [ ] 1;2x ∈ − của phương trình: Chuyên đề: Hàm số * Trang 8 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” ( ) 2 0m x m − − = Chuyên đề 6: GTLN và GTNN của hàm số A. Cơ sở lý thuyết:  Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D +Nếu tồn tại 1 điểm x 0 thuộc D sao cho: 0 ( ) ( )f x f x ≤ ∀ x D ∈ thì M = f(x 0 ) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D. +Nếu tồn tại 1 điểm x 0 thuộc D sao cho: 0 ( ) ( )f x f x ≥ ∀ x D ∈ thì M = f(x 0 ) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.  Để tìm GTLN, GTNN ta có thể 1.Xét trên khoảng D= ) : Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận 2.Xét trên đoạn D=  + Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các nghiệm x 1 , x 2 thuộc D . + Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) + So sánh các giá trị trên và kết luận.  Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới. • Ứng dụng của GTLN, GTNN để Biện luận & giải PT, BPT : 1. Giải phương trình: + Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)). + Để PT có nghiệm thì ⇔ min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m ≤ ≤ . + Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm. 2.Giải bất phương trình: Áp dụng các tính chất sau: +Bất phương trình ( )f x m ≥ đúng x I ∀ ∈ ⇔ Min f(x) m ≥ x I ∀ ∈ +Bất phương trình ( )f x m ≤ đúng x I ∀ ∈ ⇔ Max f(x) m ≤ x I ∀ ∈ + Bất phương trình ( )f x m ≥ có nghiệm x I ∈ ⇔ max f(x) m≥ x I ∀ ∈ +Bất phương trình ( )f x m ≤ có nghiệm x I ∈ ⇔ Max f(x) m ≤ x I ∀ ∈ B. Bài tập: 91.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cos2 4siny x x = + trên đoạn 0; 2 π       . 92.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 4 2sin sin 3 y x x = − trên đoạn [ ] 0; π . 93. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cos 2 sin cos 4y x x x = − + . 94. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 6 6 4 4 1 sin cos 1 sin cos x x y x x + + = + + . 95. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2x y x e = − trên đoạn [ ] 0;1 . 96. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1y x x = + − . 97. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) ( ) 3sin 4cos 10 3sin 4cos 10y x x x x= − − + − . 98. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 8 16 9y x x x = − + − trên đoạn [ ] 1;3 . 99. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 cosx x + trên đoạn 0; 2 π       . 100.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 3 9y x x = + − . 101.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 3y x x = − trên đoạn [ ] 1;1− . 102.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 4 sin cosy x x = − . 103.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 y x x = − trên đoạn [ ] 1;1− . Chuyên đề: Hàm số * Trang 9 * GV: Nguyễn Văn Huy ( ) ;a b [ ] ;a b DY KẩM TI NH - T: 0909 64 65 97 THY GII TRề GII 104.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s 2 sin cosy x x = + . 105.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s sin 3 sin 1 2 sin x x y x + = . 106.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s 3 sin cos2 sinx 2y x x = + + 107.Tỡm GTLN, GTNN ca 2 3 2y x x = + trờn on [ ] 10;10 . 108. Tỡm GTLN, GTNN ca hm s 2 2 3 2 x y x x + = + + . VN DNG GTLN-GTNN VO GII BIN LUN P/T V BPT: 109. Chng minh rng: sin tan 2x x x+ > vi . 110. Tỡm m phng trỡnh 3 2 3 0x x m + = cú ba nghim phõn bit. 111. Tỡm m bt PT: 3 3 1 3 2x mx x + nghim ỳng vi mi 1x . 112. a. Tỡm m phng trỡnh 2 2 1x x m + + = cú nghim. b. Tỡm m bt phng trỡnh 2 2 1x x m+ + > vi mi x R . 113. Tỡm m phng trỡnh: 2 9 9x x x x m + = + + cú nghim. 114. Tỡm m phng trỡnh: ( ) ( ) 3 6 3 6x x x x m + + + = cú nghim. 115. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim ( ) ( ) 4 4 6 6 2 4 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m + + = 116.Tỡm m phng trỡnh: cos2 4sin cos 2 0m x x x m + = cú nghim x. 117. Xỏc nh m phng trỡnh ( ) 2 1 4 1x x m + + = cú nghim. 118. Xỏc nh m phng trỡnh 9 2 1x x m = + cú nghim thc. 119. Tỡm m BPT: ( ) ( ) 2 3 2 2 5 2 5 0m x m x m + > cú nghim. 120.Tỡm GTLN, GTNN ca 1 9y x x= + trờn on [ ] 3;6 . 121.Tỡm m phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 2x x x x m + + + = cú nghim. B.KHO SáT HàM Số TRONG Đề THị ĐạI HọC Từ 2002 - 2009 Đề số 1. Khi: A-09 Cho hm s ( ) x 2 y 1 2x 3 + = + 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1). 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (1), bit tip tuyn ú ct trc honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc to O. Đề số 2. (K B - 2009) Cho hm s y = 2x 4 4x 2 (1) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1). 2. Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh 2 2 x x 2 m = cú ỳng 6 nghim thc phõn bit? Đề số 3. K D - 09 Cho hm s y = x 4 (3m + 2)x 2 + 3m cú th l (C m ), m l tham s. 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho khi m = 0. 2. Tỡm m ng thng y = -1 ct th (C m ) ti 4 im phõn bit u cú honh nh hn 2. Đề số 4 K A-08 Cho hàm số y = 2 2 (3 2) 2 3 mx m x x m + + (1) với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 0 . Đề số 5. K B - 08 Cho hàm số y = 4x 3 -6x 2 +1 (1). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M (-1;-9). Đề số 6.K D - 08 Cho hàm số y = x 3 -3x 2 +4 (1) Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua I(1;2) với hệ số góc k ( k > -3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB. Chuyờn : Hm s * Trang 10 * GV: Nguyn Vn Huy 0; 4 ữ 0; 2 x ữ . Nếu khơng thể chuyển về ( ) ( )f x g m ≥ • Lập denta • Biện luận theo denta và hệ số a (Trường hợp phải so sánh nghiệm của p/t với a;b thì đặt ẩn phụ x. α = − + + .  Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số : Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số  ** Phương pháp hình dạng đồ thị và