ma trận và định thức
1 TOÁN 2 Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng 2 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận & định thức. Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính. Chương 3 : Không gian vector. Chương 4 : Trị riêng, vector riêng của ma trận và dạng toàn phương. Tài liệu: Toán cao cấp, Đại Số Tuyến Tính (Toán 2), Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, NXB ĐHQG TP HCM . Tóm tắt bài giảng Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức Thắng. 3 CHƯƠNG 1 MA TRẬN & ĐỊNH THỨC 4 MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. A là ma trận cấp 3x2 Tập các ma trận n hàng – k cột kí hiệu là M nxk Hàng Cột 13 57 24 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ a 12 a 23 5 1.2. Các loại ma trận. - Ma trận vuông: số hàng = số cột 135 246 987 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ l l à à ma tr ma tr ậ ậ n vuông c n vuông c ấ ấ p 3. p 3. -Ma trận đơn vị : ngoài đường chéo chính thì bằng 1 3 100 010 001 I ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ l l à à ma tr ma tr ậ ậ n đơn v n đơn v ị ị c c ấ ấ p 3. p 3. 6 - Ma trận chuyển vị: của ma trận A kí hiệu là A T hàng A----Æ cột A T cột A ----Æ hàng A T 13 57 24 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 152 ; 374 T A ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ [ ] 574,A = 5 7. 4 T A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 7 1.3. Các phép toán trên ma trận. 1.3.1. Phép cộng hai ma trận. 21 1 2 30 31 04 1 2 ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ +− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ 33 01 16 ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 21 12 3(3) 01 01 42 ++ ⎡⎤ ⎢⎥ =+− + ⎢⎥ ⎢⎥ ++ ⎣⎦ 8 1.3.2. Phép nhân một số với một ma trận. 21 2.22.1 42 23 0 2.3 2.0 6 0 04 2.02.4 08 ⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ == ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦ 9 1.3.3. Phép nhân hai ma trận. Định nghĩa: A * B = C nxk kxm = nxm c ij = hàng i của A * cột j của B Lưu ý: số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. (1 2 3)*(4 5 1)= 1.4+2.5+3.1=4+10+3=17 10 145 214 321 032 013 ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 2.1 1.3 4.0 2.4 1.2 4.1 2.5 1.1 4.3 0.1 3.3 2.0 0.4 3.2 2.1 0.5 3.1 2.3 ++ ++ ++ ⎡⎤ = ⎢⎥ ++ ++ ++ ⎣⎦ 51423 98 9 ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ c c 21 21 = (h = (h à à ng 2 c ng 2 c ủ ủ a A) x (c a A) x (c ộ ộ t 1 c t 1 c ủ ủ a B) a B) = = T T ổ ổ ng qu ng qu á á t: c t: c ij ij = (h = (h à à ng i c ng i c ủ ủ a A) x (c a A) x (c ộ ộ t j c t j c ủ ủ a B) a B) 0.1 3.3 2.0++ 11 145 214 ,321 032 013 AB ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 145 214 321 032 013 ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 2.1 1.3 4.0 2.4 1.2 4.1 2.5 1.1 4.3 0.1 3.3 2.0 0.4 3.2 2.1 0.5 3.1 2.3 ++ ++ ++ ⎡⎤ = ⎢⎥ ++ ++ ++ ⎣⎦ 51423 98 9 ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ 12 Bài tập 21 3 04 2 13 a) ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 2110 013 30 0 1 102 12 10 b) ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ − ⎣⎦ 2. 2. T T í í nh nh t t í í ch ch c c ủ ủ a a AB AB v v à à BA BA n n ế ế u u 121 232 143 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 001 010 100 B ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 1. 1. T T í í nh nh t t í í ch ch c c á á c c ma ma tr tr ậ ậ n n sau sau : : 40 223 11 53 54 1 01 12 c) ⎡⎤ − ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 13 0100 0010 3. Cho A = 0001 0000 . ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ T T í í nh nh c c á á c c ma ma tr tr ậ ậ n n sau sau : : a) A a) A 2 2 , , AI AI 3 3 ,I ,I 3 3 A; A; b) A.A b) A.A T T , A , A T T .A .A 14 ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa. Định thức của A vuông, ký hiệu là det(A) hoặc |A| || ;aa= 11 12 11 22 12 21 21 22 aa aa aa aa =−= đ/c chính đ/c phụ đ/c chính - đ/c phụ 12 1.4 3.2 2 34 =−=− | 2 | 2;−=− 15 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 11 12 21 22 31 32 aa aa aa = = [a [a 11 11 a a 22 22 a a 33 33 + a + a 12 12 a a 23 23 a a 31 31 + + a a 13 13 a a 21 21 a a 32 32 ] ] - - [ [ a a 13 13 a a 22 22 a a 31 31 + + a a 11 11 a a 23 23 a a 32 32 + + a a 12 12 a a 21 21 a a 33 33 ] ] ĐỊNH THỨC 16 ĐỊNH THỨC det( ) [( 2).1.( 1) 2.3.2 ( 3).( 1).0] [( 3).1.2 ( 2).3.0 2.( 1).( 1)] [2 12] [ 6 2] [14] [ 4] 18 A =− −+ +− − −− +− + − − = + −− + = −− = 22 3 22 11 3 11 20 120 A −−− ⎡⎤ ⎢⎥ =− − ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 17 Phân tích theo hàng i Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n. detA = a i1 A i1 + a i2 A i2 + … + a in A in (1) trong đó: A ik được gọi là phần bù đại số của a ik A ik = (-1) i+k det(A bỏ hàng i cột k) 18 22 3 11 3 20 1 A −− ⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 3 31 32 33 31 33 2. 0. ( 1). 23 22 2.(1) . (1).(1) . 13 11 2.[2.3 ( 3).1] [( 2).1 2.( 1)] 2.[6 3] [ 2 2] 18 h AA A ++ =++− −− =− +−− − =−−−−−− =+−−+= 19 Phân tích theo cột i detA = a 1i A 1i + a 2i A 2i + … + a ni A ni , trong đóA ki là phần bù đại số của a ki 20 22 3 11 3 20 1 A −− ⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 2 12 22 32 12 22 2. 1. 0. 13 2 3 2.( 1) . 1.( 1) . 21 21 2.[( 1).( 1) 3.2] [( 2).( 1) ( 3).2] 2[1 6] [2 6] 10 8 18 C AA A A ++ =++ −−− =− +− −− =− − − − + − − − − =− − + + = + = Ví dụ 1: 21 2.2. Các tính chất. 1. det(AB) = det(A)det(B) 2. det(A T ) = det(A). Cho det(A)=5. Tính det(AA T ) và det (A 6 ). 22 det(AA T )=det(A).det(A T )=det(A).det(A)=25 det (A 6 )=det(A.A…A)=det(A).det(A)…det(A) =det(A) 6 =5 6 . 23 2.2. Các tính chất. 2 03 2.( 3).( 5).6 180 00 5 00 06 abc de f − =−− = − 20 00 300 2.( 3).( 5).6 180 50 6 a bc de f − =−− = − 24 12 hh↔ 22 3 11 3 20 1 A −− ⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 22 3 11 3 20 1 A −− =− − = 11 3 22 3 20 1 − −− − − = 22 1 2hh h=− 11 3 00 9 20 1 − −− − 11 3 00 9 025 − −− = 33 1 2hh h=+ 23 hh↔ = 11 3 025 00 9 ⎛− ⎞ ⎜⎟ −− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ = 11 3 025 00 9 − − = -1.2.(-9) = 18 Ví dụ 8: 25 Định lý: - Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng không thì định thức của nó bằng 0. -Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định thức của nó bằng 0. 22 4 11 2 0 20 4 − −= − 124 112 0 124 −= 26 BÀI TẬP 1. Tính các định thức cấp 2: 2. Tính các định thức cấp 3: 2 2 11223 1 2312 a) b) c) nn aab ;; . nn ab b +++ − −− 101 110 011 a) ; 2 2 2 1 1 1 b) aabac ab b bc ; ac bc c + + + c) ax x x xbxx. xxcx + + + 27 3. Tính các định thức cấp 4: 23 3 4 21 1 2 62 1 0 23 0 5 a) ; − − − 111 011 101 110 b) ; a b c d 0 0 0 0 c) abc acb ; bc a cba 10 11 0111 1110 d) . abcd − −− −− 28 1111 11 1 1 111 1 1111 a) x x ; y y + − + − 21111 13111 11411 11151 11116 b) . 4. Tính các định thức: 29 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1. Khái niệm. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn ma trận B cấp n sao cho: AB = BA = I n , B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kh A -1 . Ngược lại ta nói A không khả nghịch. 30 Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0. - Ma trận phụ hợp. Cho v v ớ ớ i i A A ij ij l l à à ph ph ầ ầ n n b b ù ù đ đ ạ ạ i i s s ố ố c c ủ ủ a a a a ij ij . . Ma Ma tr tr ậ ậ n n P P A A đư đư ợ ợ c c g g ọ ọ i i l l à à ma ma tr tr ậ ậ n n ph ph ụ ụ h h ợ ợ p p c c ủ ủ a a A. A. 11 21 n1 12 22 n2 1m 2m nm . . . . . . . A AA A AA A P AA A ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn . . . . . . . aa a aa a A aa a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ đ đ ặ ặ t t 31 3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. 1. Dùng ma trận phụ hợp. Nếu A khả nghịch thì 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp . Nếu A khả nghịch thì 1 1 det( ) A AP A − = 32 11 12 13 21 22 23 31 32 33 14 3 4 3 1 2145 12 22 21 20 1 0 1 2 42 5 12 22 21 20 10 12 845 14 34 31 A;A ;A A;A;A A;A ;A ==−=− =− = = −− =− =− = = =− =− −− ===−=−==− 248 14 2 4 555 A P −− ⎡⎤ ⎢⎥ =− − ⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎣⎦ 120 314 212 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ V V ậ ậ y y V V í í d d ụ ụ 1 30 0det( A ) A − =− ≠ ⇒∃ 1 12 4 15 15 15 1712 30 15 15 15 11 1 66 6 A AP − ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⇒=− = − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ 33 3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. 1. Dùng ma trận phụ hợp. Nếu A khả nghịch thì 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp . Nếu A khả nghịch thì 1 1 det( ) A AP A − = [ ] 1 pbdsc pbdsc A|I . I|A − ⎡⎤ ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→ ⎣⎦ 34 Dùng phép biến đổi sơ cấp: 120100 054310 212001 ⎡⎤ ⎢⎥ −− ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 22 1 3hh h=− ⎯⎯⎯⎯→ 120100 314010 212001 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 33 1 2hh h=+ ⎯⎯⎯⎯→ 120100 054310 052201 ⎡⎤ ⎢⎥ −− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 332 hhh=+ ⎯⎯⎯⎯→ 120100 054310 006 111 ⎡⎤ ⎢⎥ −− ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ 33 1 6 hh= ⎯⎯⎯→ 35 33 1 6 hh= ⎯⎯⎯→ 120100 054310 111 001 666 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 22 3 4hh h=− ⎯⎯⎯⎯→ 1201 0 0 71 2 050 333 11 1 001 666 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ 22 1 5 hh=− ⎯⎯⎯⎯→ 36 22 1 5 hh=− ⎯⎯⎯⎯→ 120 1 0 0 712 010 15 15 15 11 1 001 666 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ 11 2 2hh h=− ⎯⎯⎯⎯→ 12 4 100 15 15 15 712 010 15 15 15 11 1 001 666 − ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 12 4 15 15 15 712 15 15 15 11 1 666 − ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⇒ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ -1 A= 37 HẠNG CỦA MA TRẬN Xét ma trận A cấp mxn, các phần tử nằm trên giao của k hàng k cột tạo nên một ma trận vuông cấp k, định thức của nó được gọi là định thức con cấp k. Ví dụ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1632 2314 0521 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 13 21 δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 163 231 052 γ l l à à m m ộ ộ t t đ đ ị ị nh nh th th ứ ứ c c con con c c ấ ấ p p 2 2 c c ủ ủ a a A. A. l l à à m m ộ ộ t t đ đ ị ị nh nh th th ứ ứ c c con con c c ấ ấ p p 3 3 c c ủ ủ a a A. A. 38 Định nghĩa: Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau: Định lý: Ma trận bậc thang có k hàng khác không có hạng bằng k. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3611 0412 3221 A Ta Ta c c ó ó t t ấ ấ t t c c ả ả 4 4 đ đ ị ị nh nh th th ứ ứ c c con con c c ấ ấ p p 3: 3: 0 361 041 322 ;0 361 042 321 ;0 311 012 321 ;0 611 412 221 = − = − = −− = − − c c ó ó đ đ ị ị nh nh th th ứ ứ c c con con c c ấ ấ p p 2: 2: 03 12 21 ≠−= V V ậ ậ y y r r A A =2. =2. 39 4.2 Cách tính hạng của một ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận. Để tìm hạng của một ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang B, và hạng của A chính là số hàng khác không của B. 40 CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức Thắng. 3 CHƯƠNG 1 MA TRẬN & ĐỊNH THỨC 4 MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. A là ma trận cấp 3x2 Tập các ma trận n hàng – k cột. 1 TOÁN 2 Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng 2 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận & định thức. Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính. Chương