Nghiên cứu định lý viète và ứng dụng

October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE ĐẠI SỐ SƠ CP A LCH S Franỗois Viốte, Seigneur de la Bigotiốre ( tiếng Latinh : Franciscus Vieta ; 1940 - 23 tháng năm 1603) nhà toán học người Pháp có cơng trình đại số bước tiến quan trọng đại số đại, việc sử dụng sáng tạo chữ làm tham số phương trình đồng thời ứng dụng chúng việc biến đổi giải phương trình Ơng luật sư thương mại, ủy viên hội đồng bí mật cho Henry III Henry IV Pháp Ông phát mối liên hệ nghiệm hệ số phương trình Ơng cịn chun gia giải mật mã chiến Pháp Tây Ban Nha Ông năm 1603  Thành tựu bật: Đại số Nền Vào cuối kỷ 16, toán học đặt bảo trợ kép người Hy Lạp, họ mượn công cụ hình học người Ả Rập, người cung cấp thủ tục cho phép giải Vào thời Viète, đại số dao động số học, điều làm xuất danh sách quy tắc hình học chặt chẽ Đại số biểu tượng Viète Viète tạo nhiều đổi mới: công thức nhị thức , Pascal Newton lấy, hệ số đa thức thành tổng tích gốc , gọi cơng thức Viète Đại số hình học Viète thành thạo hầu hết công cụ đại, nhằm mục đích đơn giản hóa phương trình cách thay đại lượng có mối liên hệ định với đại lượng chưa biết ban đầu Một tác phẩm khác ông, Recensio canonica effectionum learningarum , mang dấu ấn đại, sau gọi hình học đại số — sưu tập giới thiệu cách xây dựng biểu thức đại số với việc sử dụng thước compass Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] B ĐỊNH LÝ VIÈTE Trong tốn học, định lý Viète hay cơng thức Viète (có viết theo phiên âm tiếng Việt Vi-ét), nh toỏn hc Phỏp Franỗois Viốte tỡm ra, nờu lên mối quan hệ nghiệm phương trình đa thức (trong trường số phức) hệ số I Định lý Viète cho phương trình bậc hai Bài tốn mở đầu Xét phương trình bậc hai: y  ax  bx  c  a   1 Giả sử:   b2  ac   b    x1   2a Ta có:  hai nghiệm tổng quát phương trình ax  bx  c  b     x2  a  b   b   b   S  x1  x2  2a 2a a  Khi đó:  2  b   b   b2   b  b  4ac c     P  x1 x2  a 2a a 4a2 4a2    Định lý Viète Extra Techniques Định lý Viète Nếu x1 , x2 hai nghiệm (trên trường số phức , nghiệm đơn nghiệm kép)  b x1  x2  S     a phương trình: ax  bx  c  , thì:  x x  P  c  a Chứng minh: Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] Giả sử: x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  Khi đó, phương trình bậc hai 1 tương đương với phương trình y  a  x  x1  x  x2  Như vậy, ta có đẳng thức: ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  Hay: ax  bx  c  ax  a  x1  x2  x  ax1 x2  b  x1  x2   a b  a  x1  x2  Đồng hệ số hai vế, ta thu được:  (đpcm)  c c  ax x x x    a Như vậy, câu hỏi đặt ra: Liệu có hay khơng Định lý Viète tổng quát trường số thực cho đa thức có bậc n ? Câu trả lời có xin trình bày tiếp phần II Định lý Viète cho phương trình đa thức Bài tốn mở đầu Xét phương trình bậc n theo ẩn x tổng quát sau: y  an x n  an1 x n1   a1 x  a0 ,  an     Giả sử: xi , i  1, n n nghiệm phương trình an x n  an1 x n1   a1 x  a0  Khi đó, phương trình bậc n tương đương với phương trình: y  an  x  x1  x  x2   x  xn  Như vậy, ta có: an x n  an1 x n1   a1 x  a0  an  x  x1  x  x   x  xn   an x n  an1 x n1   a1 x  a0  an x n     an x1  x2  xn     n elements  Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021       an x1 x2  x1 x3   xk xk 1   xn 1 xn    n n 1   elements     1 n 1    an x1 x2 xn 1  x1 x2 xn 2 xn   x2 x3 xn    n elements     1 an x1 x2 xn n Đồng hệ số hai vế, ta thu Định lý Viète mở rộng sau: Extra Techniques Định lý Viète mở rộng  Nếu xi , i  1, n, n    hai nghiệm (trên trường số phức , nghiệm đơn nghiệm kép) phương trình: an x n  an1 x n1   a1 x  a0  , thì: n an1  xi  x1  x2   xn   an  i 1  n a   xi x j  x1 x2  x1 x3  x2 x3   xn1 x n  n2 an 1i j n    n n 1 a  xi xi xi  x1 x2 xn 1  x1 x2 xn 2 xn   x2 x3 xn   1  n 1 an 1i1 i2  in 1  n  n  x  x x x   1n a0 i n  an  i 1 Lưu ý: Trong hàng k bất kỳ, vế trái đẳng thức tổng tích cụm k nghiệm phương trình Và vế phải đẳng thức tính cách tổng qt theo cơng thức:  1 k ank an Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Một số tổng quát thường gặp:  Phương trình bậc ba: Nếu x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình: ax  bx  cx  d  cơng thức Viète  b  x1  x2  x3   a  c  cho ta:  x1 x2  x2 x3  x3 x1  a  d   x1 x2 x3   a   Hệ định lý Viète: Giả sử phương trình: an x n  an1 x n1   a1 x  a0    có hệ số , i  0, n thỏa mãn: n 2   i   a k 0 2k  n 2    ii   a k 0 2k  n 1       k 1  a2 k 1  khi: x  nghiệm phương trình    n 1       k 1 a2 k 1  khi: x  1 nghiệm phương trình   Chứng minh i   : Giả sử: n 2    n 1      k 0 k 1  a2 k    a2 k 1   a0   an  an 1   a1    Khi đó:  3  an x n  an  an1 x n1  an1    a1 x  a1   ;      an x n   an1 x n1    a1  x  1        x  1  an x n1  x n2    an1 x n2  x n3     a2  x  1  a1     Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021  x  nghiệm i   : Giả sử: x  nghiệm phương trình   , đó, ta có: an 1  an1 1 n n 1 n 2    n 1      k 0 k 1   a1 1  a0   an  an 1   a1  a0   a2 k   a2 k 1  Vậy:  i  hoàn toàn chứng minh  ii   : Bài toán phụ:    x t 1   x  x t  x t 1   1 k x k    x         2t1    Ta có:   *  x k   x k   x k  x k     x  1    2t       Một điều đáng nói, k chẵn lẻ, điều khơng quan trọng   k  2 ta xét x k  đẳng thức   , k  2  hồn tồn rút lượng nhân tử  x  1 theo đẳng thức   Như dù k bội  , đến số đủ lớn bước (sau  bước), ta thu nhân tử  x  1 Giả sử: n 2    n 1      k 0 k 1  a2 k   n 2    n 1      k 1 k 1 a2 k 1   a0    a2 k  Khi đó:     an x n   1  n 1  a2 k 1   n an    an1 x n1   1 an1    a2 x  a2   a1 x  a1        x  1  an n  an1 n1   a2  x  1  a1    x  1 nghiệm    ii   : Giả sử: x  1 nghiệm phương trình   , đó, ta có: Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 an  1  an1  1 n n 2    n 1      k 0 k 1   a2 k  n 1 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]   a1  1  a0    1 an   1 n n 1 an1    1 ak  a1  a0  k  a2 k 1  Vậy:  ii  hoàn toàn chứng minh Extra Techniques Study tips Xét phương trình: ax  bx  c   a      x1   Nếu phương trình   có tổng a  b  c  thì:  c hai nghiệm   x   a   x1  1  Nếu phương trình   có tổng a  b  c  thì:  c hai nghiệm    x2   a   Hệ định lý Viète: Giả sử phương trình: an x n  an1 x n1   a1 x  a0    có n nghiệm, kí hiệu xi , i  1, n n  S    xi i 1  n  S2   xi x j 1i  j  n   Nếu ta đặt:   n Sn1   xi1 xi2 xin1  1i1 i2  in 1  n  n S   x  n i 1 i Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] Khi đó: xi , i  1, n nghiệm phương trình: x n  S1 x n1  S2 x n2    1 Sk x nk    1 k n 1 Sn1 x   1 Sn    n Chứng minh: Theo định lý Viète mở rộng, ta suy ra: Nếu xi , i  1, n nghiệm   , thì: n an1  xi  x1  x2   xn   an  i 1  n a   xi x j  x1 x2  x1 x3  x2 x3   xn1 x n  n2 an 1i j n    n n 1 a  xi xi xi  x1 x2 xn 1  x1 x2 xn 2 xn   x2 x3 xn   1  n 1 an 1i1 i2  in 1  n  n  x  x x x   1n a0 i n  an  i 1  an1 S1   an   a S2  n2 an   Như vậy, dễ dàng ta có:   n 1 a Sn1   1 an   S   1n a0  n an  Vậy phương trình   tương đương với: x n  an1 n1 an2 n2 a a x  x   x   an an an an Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021   Vì: deg f  x1 , x2 , , xn   n  an  Nhân hai vế cho an , ta thu phương trình   (đpcm) Extra Techniques Study tips  S  x1  x2 Xét phương trình: ax  bx  c   a     với   , ta đặt:   P  x1 x2   Thì: x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  Sx  P  0, S  P C MỘT SỐ TIPS GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE I Dấu nghiệm phương trình bậc hai x2 S  x1  x2 P  x1 x2 ?       Dấu nghiệm x1 Trái dấu  Cùng dấu    Cùng dương   Cùng âm   Điều kiện cần Điều kiện đủ P0 0 P0 P  0, S  P  0, S  II Một số đẳng thức cần lưu ý i   ii   iii   iv  v x12  x2   x1  x2   x1 x2  S  P  x13  x2   x1  x2   x1  x2   x1 x2   S S  3P     2 x1  x2   x1  x2   x1 x2    x1 x2   S  P   1 x1  x2 P    x1 x2 x1 x2 S 4 x2  x1  x   2P  x2   x1 x2  S  P  x2  x1  Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 III Ứng dụng đa thức đối xứng để giải tập áp dụng định lý Viète Định nghĩa Giả sử A vành giao hốn có đơn vị, f  x1 , x2 , , xn  đa thức vành A  x1 , x2 , , xn  Đa thức f  x1 , x2 , , xn  gọi đa thức đối xứng   n ẩn f  x1 , x2 , , xn   f x 1 , x   , , x  n  với phép    1        n     n    f x 1 , x   , , x  n  suy từ f  x1 , x2 , , xn  cách thay f  x1 , x2 , , xn  , x1 x 1 , , xn x  n  Định lý Bộ phận gồm đa thức đối xứng vành A  x1 , x2 , , xn  vành vành A  x1 , x2 , , xn  Chứng minh: Giả sử f  x1 , x2 , , xn  g  x1 , x2 , , xn  đa thức đối xứng vành A  x1 , x2 , , xn  , theo định nghĩa ta có: f  x1 , x2 , , xn   f x 1 , x   , , x  n      Và g  x1 , x2 , , xn   g x 1 , x   , , x  n   với phép      1     n   Thế thì:   n       f  x1 , x2 , , xn   g  x1 , x2 , , xn   f x 1 , x   , , x  n   g x 1 , x   , , x  n  ,    f  x1 , x2 , , xn  g  x1 , x2 , , xn   f x 1 , x   , , x  n  g x 1 , x   , , x  n  10 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng |  ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]  iv  Điều kiện để: a f    x1      x2 là:  a f     7  v  Điều kiện để: a f    x1    x2   là:  a f     8  vi  Điều kiện để:  x1    x2   là: f   f     9     '    a f     vii  Điều kiện để:   x1  x2   là: a f        S    10    x1    x2 Để tiết kiệm thời gian cho số tốn ta tính trực tiếp dựa hàm số bậc ba: y  ax3  bx  cx  d  a   Khi đó:  Hàm số đồng biến  Hàm số nghịch biến a  chi  '   b  ac   f ' a  chi  '  f '  b  3ac  42 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Extra Techniques Study tips Cơ sở hình thành điều kiện: 1 :Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên    '  Do tổng hai số âm số âm tích hai số âm số dương   :Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên    '  Do tổng hai số dương số dương tích hai số dương số dương  3 :Sỡ c  hay a ac   ac  Khi đó:    b  4ac  Đã thỏa mãn điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt dĩ cần điều kiện   ,   , 8 ,   : g  x  P  P   P  khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a ngồi hai khoảng nghiệm dấu với hệ số a Và tích số dương với số âm số âm  5 : Vì x2  x1   nên x1  x2  x1  2  S     : Vì S 2  S  2      x1  x2  x2  2    x1  x2   S    6 : nên Vì x1  x2   nên x1  x1  x2  x2 Khi đó: Lưu ý: Ở điều kiện  5 ,   , 10  dấu tích a f   , a f    xét dấu tương tự với   ,   , 8 ,   Và phương trình có hai nghiệm phân biệt nên    '  Câu Tìm m để hàm số y   x3   m  1 x  2mx  đồng biến khoảng  0;2  Giải 43 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] Ta có: y '  2 x   m  1 x  2m Để hàm số đồng biến khoảng  0;2  phương trình y '  có hai nghiệm thực phân biệt x1  x2 thỏa mãn: x1    x2 Điều tương đương với hệ:  2.2m  m  a f       m    m  12  m   a f        Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số: y   x3   m  1 x   m  3 x  10 đồng biến khoảng  0;3 ? Giải Ta có: y '   x   m  1 x  m  Để hàm số đồng biến  0;3 phương trình: y '  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1    x2 Khi đó:  '   m  12  m    '  m  m       f 0   1 f       f  3   1 f  3   m  m   12   m    m  3  m  7 m  12   12  m   Dạng 14 Ứng dụng khác Câu Cho parabol  P  : y   x đường thẳng  d  qua điểm I  0; 1 có hệ số góc k Gọi A B giao điểm  P   d  Giả sử A, B có hồnh độ Giá trị nhỏ biểu thức: x13  x23 là? Giải 44 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Cho parabol y   x2 đường thẳng  d  qua điểm I  0; 1 có hệ số góc k Gọi A B giao điểm  P   d  Giả sử A B có hồnh độ x1 , x2 + Đường thẳng  d  có phương trình: y  kx  + Phương trình tương giao  d   P  :  x  kx   x  kx   * + * ln có nghiệm phân biệt: x1 ; x2 , vì:   k   0, x  Theo định lý Viéte, ta có: x1  x2   k , x1 x2  1 Ta có: x13  x23  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  x1x2  = x1  x2 ( x1  x2 )2  x1 x2 Ta có: x1  x2   x1  x2   x1 x2  k   x13  x23 =   k  k   4.1  , k  Đẳng thức xảy k  Câu Tìm tất các giá trị thực m để đường thẳng y   x  m cắt đồ thị hàm số y  x    m  x   2m  3 x  m ba điểm phân biệt A  0; m  , B, C cho đường thẳng OA phân giác góc BOC Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x    m  x   2m   x  m   x  m    x    m  x  m    * 3 Để đường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt * phải có hai nghiệm phân biệt khác x  Hay: 45 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021  18  m  44   m  12m  0      m    6m         m  18  1  6m   m     m   Suy ra: Tọa độ điểm B, C là: B  x1 ,  x1  m  , C  x2 ,  x2  m   x1  x2   m   x x  m     Theo định lý Viéte, ta có:  O  0;0   Oy ) có véctơ phương j  0;1 A 0; m  Oy    Để ý: OA  Oy (Do  Vậy để đường thẳng OA phân giác góc BOC    m  x1  cos j , OB  cos j , OC   2  m  x1 x  (m  x1 ) x2   m  x2   m  x2 2 m  x2  x  (m  x2 ) 2 x12   m  x1   2 2 2   m  x1   x2   m  x2     m  x2   x12   m  x1         m  x1  x2   m  x1   m  x2    m  x2  x12   m  x2   m  x1  2 2 2  x22 (m  x1 )  x12  m  x2   x2 m  2mx1 x2  x12 x2  x12 m  2mx12 x2  x12 x2 2    m x12  x2  2mx1 x2  x1  x2    m  x1  x2  x1  x2   2mx1 x2  x1  x2    mx1  mx2  m  x1  x2   m  x1  x2   x1 x2      m( x1  x2 )  x1 x m  m    m      m   33 3m(m  2)  6(6m  8) 3m  42m  48  m   33  Đối chiếu điều kiện 1 A  O  0;0  nên ta nhận m   33 46 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]   Câu Biết đồ thị hàm số y   x  1 x  1 x   m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Tìm tất giá trị nguyên tham số m để 1 1     1?  x1  x2  x3  x4 Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  1 x  1  x    m   x  x   m  1 Đặt: t  x ,  t   Khi phương trình cho có dạng: t  8t   m    Vì đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt nên phương trình 1 có nghiệm thực phân biệt hay phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương Điều tương đương  '  16   m     9  m  với:  S   8  P  7  m    t  t  Khi phương trình   có hai nghiệm dương:  t1  t2 thoả mãn:  t1t2   m Suy phương trình 1 có bốn nghiệm là: x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 Như vậy:   1  t2 1 1 1 1    1     1  x1  x2  x3  x4  t2  t1  t1  t2  1  t2    t1  t2  1 2  1  1 1  t2  t1   t1  t2   t1t2  t1  t1  2.8 12 12  m 1 1    m  12 1   m m m Kết hợp điều kiện ta được:  m   m  1;2;3;4;5;6 47 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] Câu Cho hàm số y  x3    2m  x   9m  31 x  27  7m có đồ thị  C  Biết ứng với giá trị nguyên m  m1 hàm số  C  cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng có phần tử nguyên dương ứng với giá trị nguyên m  m2 hàm số cắt trục hồnh điểm lập thành cấp số nhân có phần tử nguyên dương Tìm giá trị m1 , m2 ? Giải Từ hàm số: y  x3    2m  x   9m  31 x  27  7m Ta nhận thấy x  luôn nghiệm phương trình y    Bằng phép chia Hoocner ta có: y   x  1 x    2m  x  7m  27 x  Giao điểm hàm số với trục hoành nghiệm của:   x    2m  x  m  27  Để hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt thì:  '    m 2  m  27  22 m  1    2m   m  27  Giả sử giao điểm y  f  x  với trục hoành là: 1, x1 , x2 Khi đó: - điểm lập thành cấp số cộng khi: 2  3d  2m  2  3d  2m   x1   d  x1  x2  2m        3m   x2   2d  x1.x2  7m  27 2d  3d   m  27 2d  3d       27    3d  m  3   d ; m    2;6  TM  2  3d  2m       d   21  45  d; m   ;   L  2d  3d   d    4  d   Hay: m1  - điểm lập thành cấp số nhân khi: 48 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG]  d  d  2m    x1  d x  x  m     d  d  2m      d  d2    x x  m  27 d   27  x2  d d  m  27         d  d2  m   d  d  2m     7  d    d ; m    2;5  TM  d  d  d  13      2   d   113  L    Nên: m2  x  mx   m   x  2021 Tìm tất giá trị nguyên m thuộc để đồ thị hàm số có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  Giải Đồ thị hàm số y  x  mx   m   x  2021 có điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  mx   m   x  2021 có hai điểm cực trị nằm bên phải trục Oy hay hàm số y  x3  mx   m   x  2021 có hai điểm cực trị dương Ta có: y  x  2mx  m  Bài toán cho trở thành việc tìm m để phương trình x  2mx   m    có hai nghiệm dương phân biệt Khi đó:  m      m2  m      m  2   b   m   m       2m  a  m   m  6  c   a   49 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Câu Cho hàm số y  ax3  bx  cx  d  a, b, c, d   có đồ thị đường cong hình vẽ Định dấu hệ số a, b, c, d Giải Ta có: lim y    a  x  Gọi x1 , x2 hoành độ hai điểm cực trị hàm số suy x1 , x2 nghiệm phương trình y  3ax2  2bx  c  nên theo định lí Viéte, ta có: 2b b +) Tổng hai nghiệm: x1  x2   0  0 b  3a a c +) Tích hai nghiệm: x1.x2   0 c  3a Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d  x  x  12 có đồ thị  C  Tìm tập hợp S chứa tất giá x  x  2k trị thực thám số k để đồ thị  C  có hai tiệm cận đứng? Câu Cho hàm số y  Giải 0  x  Điều kiện:  x  x  k   Ta có: 12  x  x  0, x  D Nên để  C  có hai tiệm cận đứng phương trình: x  x  2k   x  x  2k  * có hai nghiệm phân biệt thuộc  0;4 50 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] Để phương trình * có hai nghiệm phân biệt thì:    2k   k  Gọi hai nghiệm phân biệt * x1  x2 , ta có:  x1  x2  Theo định lý Viéte ta có:  x1 x2   2k    60  x1  x2   x1  x2   k 0     k4  x  x   x x  k k  24  16  k           x1     x2        9 Kết hợp nghiệm ta có: S   4;   2 Câu Với giá trị tham số m phương trình x  m2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  ? Giải   Ta có: x  m2 x 1  2m   x  2m.2 x  2m  * Xem phương trình * phương trình bậc hai theo ẩn t  x  Khi đó: *  t  2mt  2m  ** Điều kiện để phương trình ** có hai nghiệm dương phân biệt:   '  m  2m    m   S  2m   P  2m   Theo định lý Viéte, ta có: t1.t2   2m   m  Note: Để phương trình * có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn u cầu đề ** phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1.t2  x1  x2   x1  x2  23   x1.2 x2   x   Câu Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm:   x   m  1 x  4m   Giải  x   1 Đặt:   x   m  1 x  4m     51 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 1  x   2  m  2m Từ 1   +) Trường hợp 1:  2   hệ phương trình cho có nghiệm với x   1;1  m2  2m   m   0;  * m   hệ phương trình có nghiệm    có nghiệm m  +) Trường hợp 2:  2    m  m     m  m     2        f  1  6m   m    a f             m  1   m  2  1   m    S  1       x2  x1  1         m  x  x      m     m  m          m  m    a f 1         f  m       m   S    m   1 1     m        * Từ ***  m   Câu Cho số thực a, b, c (với a  0) cho phương trình ax  bx  c  có hai nghiệm thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  (a  b)(2a  b) a(a  b  c) Giải b   x1  x2   a Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình cho Theo định lý Viéte, ta có:  x x  c  a 52 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Do a  , nên: b  b  1      1  x  x   x  x  1  x  x   1  x  x  x  x  a  a 2 2 P    x1  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2  b c 1     a a 2 1  x1  x2  x1 x2    x12  x2  x1  x2  1  x1  x2    x1  x2    x1  x2  x  x22  x1  x2 P   2 1  x1  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2 Giả sử x1  x2 nghiệm thuộc  0;1 nên x12  x1 x2  x22  Và  x1  x2  x1 x2  nên ta có: x12  x22  x1  x2 x1 x2   x1  x2  1 P   x1  x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2 Vậy max P  Dấu đẳng thức xảy khi:   x1   c     x1  x1 x2   x2    b  a     x    x2  b  a  c       x2   2m    x  x  2022 Biết tồn hai giá trị tham số   m1  m2 ; thỏa mãn hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 cho x1  x2   m Tìm m1 , m2 Câu 10 Cho hàm số y  x3   Giải  2m   y  x3    x  x  2022;   y '  x   2m  1 x  Hàm số có hai điểm cực trị phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt   2  2m  1     2m  1  24, (*) 53 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] 2m    x1  x2  Theo định lý Viète ta có:  x x     x1   3m    x  x  2m    Vì:   2 x1  x2   m  x   m  11 15   Thế vào x1.x2  , ta được: x1 x2  2 1  1     3m      m  11     3m  31m  22   75 5  15     m1  73  31   3m  31m  22  50  3m  31m  72    m   73  31    Câu 11 Xác định giá trị tham số m để hàm số y  f  x    m  1 x3   m  1 x  2mx  đồng biến khoảng có độ dài Giải Ta xét khả năng:  Trường hợp 1: m  1 , đó: y  f  x   2 x  đường thẳng có hệ số góc k  2  Nên hàm số nghịch biến  Trường hợp 2: m  1 , đó: Nếu f '  x   vơ nghiệm có nghiệm kép hàm số đồng biến (Loại) Nếu f '  x   có hai nghiệm thực x1 , x2 hàm số đồng biến hai khoảng  ; x1   x2 ;   (Loại) Như Trường hợp không tồn giá trị thực m hàm số đồng biến khoảng có độ dài  Trường hợp 3: m  1 , đó: 54 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 Nếu f '  x   vơ nghiệm có nghiệm kép hàm số nghịch biến (Loại) Nếu f '  x   có hai nghiệm thực x1 , x2 hàm số đồng biến khoảng  x1; x2  m  1  Như để hàm số đồng biến khoảng có độ lớn thì:  ' f ' x   *   x1  x2  Ta có: f '  x    m  1 x   m  1 x  2m  m  1 Suy ra:  ' f ' x    m  1  6m  m  1   m  1 3m       m  3  x1  x2   Theo định lý Viète, ta có:  2m  x1 x2   m  1  Mà x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2  2  m  1  m  3   m  1    m  9 2m  *      m  3 2   m  1    2m     m  1  The End -55 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] 56 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com ...  x1  Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] October 4, 2021 III Ứng dụng đa thức đối xứng để giải tập áp dụng định lý Viète Định nghĩa... x2 , , xn  20 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪ mathvn.com October 4, 2021 [NGUYỄN THÀNH NHÂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG] D MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÈTE I Một số ứng dụng Dạng Tìm hai... phụ thuộc vào m Giải   2m  3 12  x1  x2  m   m 4  x1  x2    m Theo định lý Viète, ta có:   x x  m    3 x x   12   m m m 27 Nghiên cứu định lý Viète ứng dụng | ▫▪