PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH: Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng - Ta đã biết một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Chuyên đề : DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH I NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Đa giác lồi Đa giác Tổng các góc đa giác n cạnh là (n – 2) 1800 ( n 3).n Số đường chéo đa giác n cạnh là Tổng các góc ngoài đa giác n cạnh là 3600 Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc là tâm đa giác Tâm O cách các đỉnh, cách các cạnh đa giác đều, có đường tròn tâm O qua các đỉnh đa giác gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác Diện tích tam giác: S S a.h (a: cạnh đáy; h: chiều cao tương ứng) a.b.sin C ( a = AB; b = CA ) Diện tích hình chữ nhật S = ab Diện tích hình vuông S = a2 10 Diện tích hình bình hành S = ah (h là chiều cao kẻ từ đỉnh đến cạnh a) 11 Diện tích hình thoi S AC.BD (AC; BD là hai đường chéo) 12 Diện tích hình thang S ( AB CD) AH (AB, CD là hai đáy; AH: chiều cao) 13 Một số kết cần nhớ a) SABM = SACM ( AM là trung tuyến tam giác ABC) b) AA’ // BC => SABC = SA’BC (2) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH c) d) S ABD BD S DBC CD S ABD AH S DBC DK (D thuộc BC tam giác ABC) (AH; DK là đường cao tam giác ABC và DBC) S AMN AM AN S ABC AB AC e) (M thuộc BC; N thuộc AC tam giác ABC) II PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH: Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập mối quan hệ độ dài các đoạn thẳng - Ta đã biết số công thức tính diện tích đa giác công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi … biết độ dài số yếu tố ta có thể tính diện tích nhữnh hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình chẳng hạn biết diện tích hai tam giác và có hai đáy thì suy các chiều cao tương ứng Như các công thức diện tích cho ta các quan hệ độ dài các đoạn thẳng Sử dụng các công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng - Để so sánh độ dài các đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: Xác định quan hệ diện tích các hình Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó đẳng thức có chứa các độ dài Biến đổi các đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác ta vẽ OK CA OH AB OI BC ; ; Chứng minh O di động tam giác thì tổng OH + OI + OK không đổi Giải Gọi độ dài cạnh tam giác là a, chiều cao h Ta có: S AOB S BOC SCOA S ABC A 1 1 a.OH a.OI a.OK a.h 2 2 K H B I C (3) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH 1 a(OH OI OK ) a.h 2 (OH OI OK ) h (không đổi) Nhận xét : - Có thể giải ví dụ trên cách khác không thể ngắn gọn phương pháp diện tích đã trình bày - Bài toán trên đúng O thuộc cạnh tam giác - Nếu thay tam giác đa giác thì tổng các khoảng cách từ O đến cách cạnh không thay đổi Ví dụ 2: Chứng minh định lý Pitago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông: Giải: - Dựng phía ngoài - Muốn chứng minh ABC các hình vuông BCDE; ABFG; ACMN BC AB AC ta phải chứng minh S BCDE S ABFG S ACMN - Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE K ta chứng minh S ACMN SCHKD - Nối AE; CF FBC ABE FBC (c-g-c) S FBC S ABE S ABFG S BHKE và (1) và hình vuông ABFG có chung đáy BF, đường cao ứng với đáy này (là AB) S FBC S ABFG (2) S ABE Tương tự: Từ (1); (2) và (3) S BHKE S BHKE S ABFG Chứng minh tương tự ta được: Do đó: (3) SCHKD S ACMN S BHKE SCHKD S ABFG S ACMN (4) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH S BCDE S ABFG S ACMN (đpcm) (5) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH B\ E\ K\ D\ H\ C\ M\ N\ (6) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH A Nhận xét: - Điểm mấu chốt cách giải trên là vẽ hình phụ: vẽ thêm ba hình vuông BC AB AC Ta phải chứng minh: mà BC2; AB2; AC2 chính là diện tích các hình vuông có cạnh là BC; AB; AC S BCDE S ABFG S ACMN - Để chứng minh ta vẽ đường cao AH kéo dài để chia hình vuông BCDE thành hai hình chữ nhật không có điểm chung chứng minh hai hình chữ nhật này có diện tích diện tích hai hình vuông G Bài tập áp dụng: (Khoảng bài tập) III TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ - Đặt các diện tích cần tìm các ẩn đưa phương trình hệ phương trình với các ẩn đó - Giải phương trình hệ phương trình để tìm nghiệm Ví dụ 1: Cho ABC có diện tích đơn vị, trên cạnh AB lấy M và trên AC lấy N cho AM = 3BM BN cắt CM O Tính diện tích Giải: Đặt SAOB = x; SAOC = y (x,y > 0) Ta có: S S OAM S OAM Vì OAB (vì và A N\ M\ AM AB AOB O\ B ) C\ 3x AN AC S OAN F AOB S nên OAN C AN AC 4y Ta có: SBAN = SBAO + SOAN = x + 4y (7) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH S BAN 4 S ABC 5 mà S CAM x nên SCOA SOAM mặt khác: S CAM mà: y 4y 5 (1) 3x y 3 S ABC 4 3x 4 đó: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 5x + 4y = (3) 3x + 4y = (4) x Lấy (3) trừ (4) theo vế ta x Thay S AOB Vậy Ví dụ 2: x vào (3) ta S AOC và 8 Giả sử MNPQ là hình vuông nội tiếp tam giác ABC, với M AB; N AC P; Q BC và Tính cạnh hình vuông biết BC = a và đường cao AH = h Giải: Gọi I là giao điểm AH với MN Đặt cạnh hình vuông MNPQ là x (x > 0), Ta có: S AMN 1 MN AI x(h x) 2 1 S BMNC ( BC MN ) MQ (a x) x 2 S ABC A\ a.h I\ N\ Q H\ P\ M\ B\ C\ (8) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Ta lại có: S ABC S AMN S BMNC nên 1 a.h x(h x) x( a x ) 2 a.h x (a h) x Hay: ah ah ah ah Vậy cạnh hình vuông MNPQ là Bài tập áp dụng: khoảng bài IV BẤT ĐẲNG THỨC DIỆN TÍCH: - Ta sử dụng hệ bất đẳng thức Côsi: hai số có tổng không đổi thì tích chúng lớn hai số - Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta đặt độ dài cần xác định là x biểu thị đại lượng cần tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) biểu thức có biến x tìm điều kiện x để biểu thức có giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) Ví dụ 1: Cho tam giác ANC vuông A, AB = 4cm Trên hai cạnh AB và AC lấy các điểm M, N cho AM = CN Xác định vị trí M, N cho tứ giác BCMN có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ đó Giải: B S BCMN S Đặt: ; AM = CN = x => AN = - x S = SABC - SAMN M S A 4.4 x (4 x) x(4 x ) 8 2 S nhỏ x(4 x) x(4 x) N C lớn lớn Vì x + (4 – x) = (không đổi) nên x(4 – x) lớn x=4–x x = (hệ bất đẳng thức Côsi Khi đó M và N là trung điểm AB và AC (9) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Smin 2(4 2) 6cm2 Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính r nội tiếp tam giác ABC Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AC và BC tạio M và N Chứng minh Giải: Đặt SCMN S SCMN SOCM SOCN Ta có Theo bất đẳng thức Côsi: ( MC NC )r A M ( MC NC ) CM CN 25 (Vì SCMN 2r 1 S ( MC NC ).sin C CM CN 2 C N ) B S ( MC NC ).r S r S 2S r MN OC Dấu “=” xảy CM = CN hay Bài tập áp dụng: Khoảng bài V BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH VÀ CHỨNG MINH Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 3cm, AD = 4cm, BC = 6cm, CD = 9cm Tính diện tích hình thang Giải Vẽ BE // AD ta có: 39 S h 6h CBE B I (cm2) cân C IC = 36 – = 32 A D E K C IC (10) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH S BCE 4.4 8 2 h BK 5.2 S ABCD 6h 16 Ví dụ 2: · BAC ABC Cho có chu vi là 2p, cạnh BC = a, gọi góc tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh AC K Tính diện tích AOK + Giải AK = AL; CK = CM; BM = BL K CM + AK + BM = 2p AK = p – (BM + CM) AK = p – a A · KAO , đường tròn nội C M L B OK = (p - a)tan 1 AK ( p a) tan 2 SAOK = AO = * Bài tập áp dụng: Cho ABC có góc nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H HA ' HB ' HC ' AA ' BB ' CC ' Tính tổng: Một tam giác có độ dài các đường cao là các số nguyên và bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh tam giác đó µA , B µ , µ C Cho ABC biết , , , đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính r; P, Q, R là các tiếp điểm 10 (11) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Tính diện tích tam giác PQR Cho ABC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N cho AM AN AB AC Gọi O là giao điểm BN và CM Gọi H, L là chân đường vuông góc kẻ từ A, C tới đường thẳng BN a/ Chứng minh CL = AH b/ Chứng minh: SBOC = SBOA Kẻ CE và BD vuông góc với AO Chứng minh BD = CE c/ Giả sử SABC = 30 cm2, tính SAMON Cho hình thang ABCD, đáy AB, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD a/ Chứng minh rằng: SOAD = SOBC b/ SOAB.SOCD = (SOBC)2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: S HBC HA '.BC HA ' S ABC AA '.BC AA ' Tương tự: S HAB HC ' S ABC CC ' S HAC HB ' S ABC BB ' A C’ (1) B (2) B’ H A’ C (3) Cộng (1), (2) và (3) ta được: HA ' HB ' HC ' AA ' BB ' CC ' = S HBC S HAB S HAC S ABC = S ABC 1 S ABC Đặt a = BC, b = AC, c = AB Gọi x, y, z là độ dài các đường cao tương ứng với cạnh a, b, c tam giác Vì bán kính đường tròn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử: x y z 11 (12) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Theo kết bài 1: 1 x y z z z=3 1 1 x y z x y Từ: =1 =1 z hay 3(x+y) = 2xy (2x-3)(2y-3) = = = x = y = x = 6; y =2 (loại) Vậy = y = z đó a = b = c OP = OQ = OR = r SPQR = S OPR + SOPQ + SOQR SPQR = r2sin(1800 - ) 2 = r sin 2 SORQ = r sin SORQ = r2sin 2 Do đó SPQR = r (sin + sin + sin ) A a/ CN = AN SBNC = 2S BNA SBNC SBNA CL AH BNchung H M O L N 12 (13) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH BO.CL B SBOA BO AH SBOC 2SBOA CL= 2AH / (1) Chứng minh tương tự SBOC = 2SCOA (2) SBOC T (1) v à (2) C D A SBOA = SCOA (3) Kẻ CE AO, BD CE Ta chứng minh được: BD = CE c/ Giả sử SBOC = 2a (cm ) Ta tính được: SABC = 4a (cm2) E SBOA = a (cm2), SCOA= a (cm2) a = cm2 Ta lại có SONA = SOMA = a= (cm2) Vậy: SOAMN = cm2 a/ Kẻ đ ờng cao AH v à BH’, ta c ó: AH = BH’ AH DC Ta có: SADC = A BH '.DC SBDC = SADC = SBDC SODA = SOBC b/ Kẻ đường cao BK ABC, ta c ó: SOAB OA SOBC OC B L K 13 (14) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH Tương tự: SOAD OA SOCD OC SOAB SOAD SOBC SOCD D A H’ C (SOBC)2 = SOAB.SOCD ( Vì SOBC = SOAD) 14 (15)