Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2018

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2018 Độ đo xác suất c om Xác suất cổ điển an co ng Định nghóa (a) Phép thử ngẫu nhiên τ phép thử mà kết lần thử biết chắn (b) Tập hợp tất kết có lần thử τ gọi không gian mẫu, thường ký hiệu Ω (c) Một tập E ⊂ Ω gồm kết ω quan tâm gọi biến cố Tập hợp biến cố ký hiệu M (hay F , G, ) Khi thực phép thử τ ta nhận kết ω Nếu ω ∈ E ta nói biến cố E xảy Nếu ω ∈ E ta nói biến cố E không xảy (d) Cho hai biến cố A, B ∈ M, ta có th Biến cố tổng A ∪ B: cho biến cố biến cố A, B xảy ra, ng Biến cố tích A ∩ B: cho biến cố hai biến cố A, B xảy ra, du o Biến cố đối A: cho biến cố A không xảy ra, Biến cố Ω: biến cố chắn, cu u Biến cố ∅: biến cố không xảy Định nghóa Xác suất biến cố A ∈ M số P(A) xác định khả xảy A Xác suất A thỏa tính chất sau: P(A) ≥ với biến cố A ∈ M, Với A1, A2 , ∈ M ta coù P ∞ An n=1 = ∞ P(An ), n=1 P(Ω) = 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (a) Cho A ∈ M ta coù ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = (b) Neáu A1, , An ∈ M, ta coù n n Aj P = j=1 P(Aj ) j=1 c om Từ ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) với moïi A, B ∈ M (c) P(A) = − P(A) ng Định nghóa Cho hai biến cố A, B ∈ M Ta định nghóa xác suất xảy A biết B xảy P(A ∩ B) P(A|B) = P(B) an co Ta noùi A, B hai biến cố độc lập khả xảy biến cố A B xảy với khả xảy biến cố A B không xảy Ta suy hai biến cố độc lập th P(A ∩ B) = P(A)P(B) du o ng Định lý (xác suất toàn phần) Cho họ biến cố B1 , , Bn Ta nói họ biến cố đầy đủ Bi ∩ Bj = ∅ i = j vaø Ω = B1 ∪ ∪ Bn Khi với biến cố A ta có n P(A) = P(Bi )P(A|Bi ) j=1 cu u Định lý (công thức Bayes) Với giả thiết định lý ta có P(Bk |A) = P(Bk ∩ A) = P(A) P(A|Bk )P(Bk ) P(Bi )P(A|Bi ) n j=1 Bài tập Một thí nghiệm bao gồm việc thực 20 quan sát chất lượng chip máy tính Mỗi quan sát ghi nhận G hay D Tìm không gian mẫu S thí nghiệm Có biến cố sơ cấp S Đặt An , n = 0, , 20 biến cố có n quan sát loại G thực Hỏi An có phần tử CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một thí nghiệm bao gồm 10 phép đo w1 , , w1 trọng lượng gói Tấ gói có trọng lượng từ 10 đến 20 Kg Tì m không gian mẫu S Đặt A = {(w1, , w10) : w1 + w2 = 25}, B = {(w1, , w1 0) : w1 + w2 ≤ 25} Mô tả biến cố hình vẽ .c om Xét chuỗi tín hiệu chiều dài 30 gồm ký tự nhị phân 0.1 Mô tả không gian mẫu Cho A10 biến cố mà 10 tín hiệu truyền Tính số phần tử A10 Cho B10 biến cố truyền có 10 tín hiệu Tìm số phần tử B10 Giả sử A1 , , An họ biến cố đầy đủ S CM B = ∪nj=1 B ∩ Aj n với biến cố B Từ suy P(B) = j=1 P(BAj ) ng Tìm công thức xác suất cho P(A ∩ B ∩ C) co Xét xúc xắc cân Tung xúc xắc lần Tính xác suất để tổng số nốt xuất hiên 10 th an Một khối tín hiệu 100 bit truyền đi, xác suất môt bit bị lỗi 10−3 Biết khả bit bị lỗi độc lập Tính xác suất để khối tín hiệu có lỗi ng CMR A, B độc lập cặp biến cố Ac , B hay Ac , B c độc lập cu u du o Một máy dùng để kiểm tra tình trạng lỗi hàng (G biến cố tốt, D biến cố lỗi) Gọi A biến cố hàng xem tốt sau kiểm tra Cho P(A|G) = 0, 95, P(A|D) = 0.1, P(G) = 0.99 Tìm xác suất D biết A 10 Một que bẻ ngẫu nhiên thành khúc Tính xác suất để khúc tạo thành tam giác 11 Hai nhà sản xuất X,Y cung cấp gốm để sản xuất vi mạch Tỉ lệ gốm hỏng nhà sản xuất X 0.1 Tỉ lệ gốm hỏng nhà sản xuất Y 0.05 Một lô hàng gốm gửi đến, kiểm tra trực tiếp 20 thấy có bị hỏng Dự đoán xem lô hàng nhà sản xuất X hay Y? 12 Một phép thử T vi khuẩn E-coli gọi dương tính sai mẫu thử E coli phép thử khẳng định có E coli, âm tính sai CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt mẫu thử có E coli phép thử khẳng định E coli Giả sử thử 10 000 mẫu thịt nhiễm E.coli phép thử báo có 9500 mẫu nhiễm; 10 000 mẫu không nhiễm E.coli phép thử báo có 9900 mẫu không nhiễm .c om (a) Độ nhạy (sentivity) phép thử T tỉ lệ dương tính đúng, độ đặc hiệu (specificity) phép thử T tỉ lệ âm tính sai Tìm độ nhạy độ đặc hiêu phép thử E.coli (b) Cho số mẫu thịt biết có tỉ lệ nhiễm E coli thực 4.5% Hỏi dùng phép thử T ta khẳng dịnh % thịt thực bị nhiễm th an co ng 13 Một câu lạc sách phân loại thành viên thành loại: đọc nhiều, đọc vừa đọc tách thông báo gửi cho ba nhóm khác Theo thống kê, có 20% thành viên loại đọc nhiều; 30% đọc vừa 50% đọc Một thành viên phân loại vào nhóm sau 18 tháng gia nhập câu lạc bộ, nhiên số liệu mua sách tháng đầu dùng để phân loại Bảng sau cho biết tỉ lệ phần trăm sách mà thành viên phân loại mua tháng 0,1,2 từ tháng trở lên du o ng Thời gian Nhóm (%) 15 60 10 30 20 30 40 15 + 55 15 cu u Nếu thành viên chưa mua sách tháng đầu khả thành viên nằm nhóm đọc bao nhiêu? 14 Một công ty cho vay tài có tỉ lệ khách hàng không hoàn thành trả nợï 1% Công ty kiểm tra tín dụng khách hàng Với khách hàng không hoàn thành trả nơ công t phát 30% có rủi ro tín dụng thấp, 40% rủi ro vừa, 30% rủi ro cao Với khách hàng hoàn thành trả nơ công t phát 10% có rủi ro tín dụng thấp, 40% rủi ro vừa, 50% rủi ro cao Tìm xác suất để khách hàng rủi ro thấp hoàn thành trả nợ Độ đo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Định nghóa Cho M họ tập tập X Ta nói M σ-đại số M thỏa a) X ∈ M, b) Nếu A ∈ M Ac ∈ M c) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ∪∞ n=1 An ∈ M Khi (X, M) gọi không gian đo phần tử M gọi tập đo ng Hệ Cho (X, M) không gian đo Ta có a) ∅ ∈ M, b) Nếu An ∈ M n = 1, 2, ∩∞ n=1 An ∈ M Ai = i∈I i∈I (A \ Ai ), A \ Ai = i∈I i∈I (A \ Ai ) an A\ co Bài tập Chứng minh hệ cách sử dụng luật De Morgan du o ng th Mệnh đề a) Nếu Mi (i ∈ I) họ σ-đại số X ∩i∈I Mi σ-đại số Cho F ⊂ P(X) b) Ñaët σ(F ) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M} Khi đó, σ(F ) sigma-đại số nhỏ chứa F , nghóa cho sigma-đại số M, F ⊂ M ⇒ σ(F ) ⊂ M cu u Ta nói σ(F ) σ-đại số sinh F Bài tập a) Chứng minh ba tính chất σ-đại số b) CM tính nhỏ σ(F ) Định nghóa Cho τ họ tập mở Rn Khi σ-đại số nhỏ Rn chứa τ gọi σ-đại số Borel ký hiệu B(Rn ) Các phần tử B(Rn ) gọi tập Borel Các tập Borel thông thường tập mở Rn , tập đóng Rn , giao đếm tập mở, hội đếm tập đóng Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Một ánh xạ µ : M → [0, ∞] gọi độ đo (dương) a) Tồn A ∈ M cho µ(A) < ∞, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) ∞ µ An = n=1 ∞ µ(An ) n=1 Khi (X, M, µ) gọi không gian đo Nếu µ(X) = µ gọi độ đo xác suất (X, M, µ) gọi không gian xác suất F+ (b) − F− (a), F− (b) − F+ (a), F− (b) − F− (a), F+ (b) − F+ (a), ng = = = = co µF ([a, b]) µF ((a, b)) µF ([a, b)) µF ((a, b]) c om Mệnh đề Với hàm tăng F : R → R tồn độ đo ký hiệu µF , gọi độ đo Stieljes, xác định σ-đại số Borel B(R) cho với a < b ta có an F+ (x) = limt→x+ F (t) F− (x) = limt→x− F (t) ng th Định nghóa Nếu chọn F (x) = x µF gọi độ đo Lebesgue R ký hiệu m hay m1 Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) = m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b − a với a, b ∈ R, a < b cu u du o Định lý Cho (X, M, µ) không gian đo Ta có a) µ(∅) = 0, b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, , m vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) m µ m An = n=1 µ(An ) n=1 c) Nếu A, B ∈ M A ⊂ B µ(A) ≤ µ(B) d) Nếu An ∈ M An ⊂ An+1 , , n = 1, 2, lim µ(An ) = µ n→∞ ∞ An n=1 e) Nếu An ∈ M, An+1 ⊂ An , µ(A1 ) < ∞, n = 1, 2, lim µ(An ) = µ n→∞ ∞ An n=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt f) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, µ ∞ An n=1 ≤ ∞ µ(An ) n=1 ng c om Bài tập CM tính chất d) theo bước sau i) Đặt B1 = A1 , Bn = An \ An−1 , n = 2, 3, CM B i ∩ Bj = ∅ i = j ii) CM A n = ∪ni=1 Bi iii) CM A = ∪ ∞ i=1 Bi iv) Tính µ(A n ) µ(A) theo µ(Bi ) v) Suy đpcm BÀI TẬP co Cho X = {a} Hỏi P(X) gì? Tương tự với X = {a, b}, X = {a, b, c} Liệt kê σ−đại số treân X ng th an Cho X = {a, b, c} Đặt F = {A} Hỏi (i) F có σ−đại số không? (ii) Nếu M σ-đại số X M ⊃ F M chứa tập nào? (iii) σ-đại số nhỏ σ(F ) gì? (iv) Chỉ tập hợp đo được, tập hợp không đo theo σ(F ) du o Bài tương tự với X = {a, b, c} vaø F = {{a, b}}, F = {{a, b}, {a}}, F = {{a, b}, {c}} Bài tương tự với X = {a, b, c, d}, B = {a, b} Đặt F = {B} cu u Trên R, tìm σ(F ) với F = {[0, 1], (2, 4)} Tập hợp [0, 3] có σ(F )-đo không? Tương tự, cho tập X tập hợp A1, , An ⊂ X, Ai ∩ Aj = ∅ với i = j Mô tả σ(F ) với F = {A1, , An} Cho a, b ∈ R, a < b CMR tập hợp (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b], (−∞, b), [a, b), (a, b], [a, b], (a, b) tập Borel Tập hợp {a} với a ∈ R có phải tập Borel không? Cho a, b ∈ R, a < b Cho F = {(a, ∞) : a ∈ R} (a) CMR σ(F 0) ⊂ B(R) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (b) Cho M σ-đại số R giả sử (a, ∞) ∈ M với a ∈ R Sử dụng đẳng thức [a, ∞) = ∞ n=1 a − n , ∞ CMR [a, ∞) ∈ M Suy (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] tập hợp M Từ suy σ(F0) có tính chất M (d) Sử dụng điều CMR σ(F 0) = B(R) .c om (c) Cho tập hợp U mở R Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợp khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) đếm được, đó, ta viết khoảng dạng dãy (In ), n = 1, 2, CMR U= ∞ n=1 In Từ suy U ∈ σ(F0 ) với tập mở U ⊂ R (e) Tìm họ tập hợp F khác thỏa σ(F ) = B(R) co ng Hàm đo σ-đại số Y th an Mệnh đề Cho (X, M) không gian đo f : X → Y Khi tập Nf = {W ⊂ Y : f −1 (W ) ∈ M} du o ng Định nghóa Cho (X, M), (Y, N ) hai không gian đo Ánh xạ f : X → Y gọi làđo f −1 (W ) ∈ M với W ∈ N Neáu (X, M) = (Rn , B(Rn)), (Y, N ) = (Rk , B(Rk )) f gọi Borel đo hay gọi vắn tắt hàm Borel cu u Định lý Cho (X, M), (Rk , B(Rk )) không gian đo Ánh xạ f : X → Rk đo f −1 (U) ∈ M với U tập mở Rn Bài tập CM Định lý theo bước sau: i) Đặt Nf = {W ⊂ Rk : f −1 (W ) ∈ M} CM N f σ-đại số Rk ii) CM B(R k ) ⊂ Nf Heä Mọi ánh xạ liên tục f : Rn → Rk hàm Borel đo Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục tập mở tập mở tính chất F ⊂ σ−đại số M σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt đề Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z không gian đo f : X → Y , g : Y → Z đo g ◦ f đo b) Nếu X không gian đo được, f : X → Rn đo g : Rn → Rk đo Borel g ◦ f đo .c om Bài tập a) Chứng minh tính chaát (g ◦ f) −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) với A ⊂ Z b) CM mệnh đề an co ng Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo điều sau với a ∈ R a) (f ≥ a) := f −1 ([a, ∞]) ño b) (f > a) := f −1 ((a, ∞]) đo c) (f ≤ a) := f −1 ([−∞, a]) đo d) (f < a) := f −1 ([−∞, a)) đo e) (f ∈ (a, b)) := f −1 ((a, b)) đo với a < b f) (f ∈ V ) := f −1 (V ) đo với tập mở V ⊂ R cu u du o ng th Bài tập Cm mệnh đề theo bước sau i) CM (f > a) = ∪ ∞ n=1 f ≥ a + n Từ CM a) ⇒ b) ii) CM b) ⇒ c) iii) CM (f < a) = ∪ ∞ n=1 f ≤ a − n Từ ñoù CM c) ⇒ d) iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a) Từ CM (f ∈ [a, b)) đo CM a + δ n < b với δn = b−a (f ∈ (a, b)) = ∪∞ n=1 (f ∈ [a + δn , b) Từ 2n CM d) ⇒ e) v) Sử dụng tính chất: tập mở V R viết dạng V = ∪∞ n=1 (an , bn ), an < bn , CM e) ⇒ f) Mệnh đề Cho u, v : X → R hàm số đo Φ : R2 → R liên tục h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) ánh xạ đo Mệnh đề Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] đo sup fn , inf fn , lim sup fn , lim inf fn đo Bài tập Đặt g(x) = supn fn (x), h(x) = inf n fn (x) CM ∞ (g > a) = ∪∞ n=1 (fn > a), (h < a) = ∪n=1 (fn < a) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Từ CM mệnh đề Định nghóa Cho H tập hợp, A ⊂ H Khi ta định nghóa IA (x) = Hàm ký hiệu laø χA (x ∈ A) (x ∈ H \ A) c om Mệnh đề Cho X không gian đo được, A ⊂ X Khi IA đo A đo ng Bài tập CM mệnh đề cách tìm I−1 A (V ) với V mở Xét trường hợp a) ∈ V, ∈ V ; b) ∈ V, ∈ V ; c) ∈ V, ∈ V ; d) ∈ V, ∈ V co Định nghóa Cho X không gian đo Cho s : X → R Hàm s gọi hàm đơn s(X) có hữu hạn giá trị ng th an Mệnh đề Cho hàm s : X → R coù s(X) = {α1 , , αn} với αi = αj với i = j Đặt Ai = s−1 (αi ), ta coù a) Ai ∩ Aj = ∅ với i = t ni=1 Ai = X b) s = ni=1 αi IAi , n c) với g : R → R ta có g(s(x)) = i=1 g(αi )IAi d) hàm s đo Ai đo với i = 1, 2, du o Bài tập Chứng minh mệnh đề cu u Định lý Với hàm đo f : X → [0, ∞] tồn hàm đơn đo không âm sn X cho a) ≤ s1 ≤ s2 ≤ ≤ f, b) sn (x) → f(x) n → ∞ với x ∈ X Bài tập i) Ký hiệu [α] số nguyên lớn không vượt α ∈ R CM α − ≤ [α] ≤ α α ≤ β [α] ≤ [β] n ii) Đặt ϕn (t) = [22nt] (0 ≤ t ≤ n) ϕn (t) = n với t > n CM t − 2−n ≤ ϕn (t) ≤ t với ≤ t ≤ n Từ suy limn→∞ ϕn (t) = t iii) CM ϕ n (t) ≤ ϕn+1 (t) iv) CM n2n −1 k ϕn (t) = I k k+1 (t) + nI[n,∞) (t) 2n [ 2n , 2n ) k=0 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b b) P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx c) FX (x) = fX (x) điểm liên tục x fX Định nghóa Biến ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R gọi có phân phối chuẩn với trung bình µ độ lệch chuẩn σ, ký hiệu X ∼ N(µ, σ2 ), 2πσ e− (x−µ)2 2σ Nếu µ = 0, σ = ta noùi X coù phân phối Gauss .c om fX (x) = √ Mệnh đề Nếu X ∼ N(µ, σ 2) ta có P(X > µ + a) = P(X < µ − a), P(X < µ) = 0, Ngoài biến ngẫu nhiên Z = X−µ có phân phối Gauss σ co ng Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R coù X(Ω) = {xj | j ∈ J } với J ⊂ N Ta nói X biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm số fX (x) = P (X = x) gọi hàm mật độ X th an Mệnh đề Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc lấy giá trị xi , i ∈ I Khi pi := fX (xi ) ≥ vaø i∈I pi = du o ng Phương pháp tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục định nghóa Cho X có hàm mật độ fX Ta tìm hàm mật độ Y = h(X) Bước 1: với y ∈ R ta tìm tập Ay = {x : h(x) ≤ y} Bước 2: Tìm Fh(X)(y) = P (h(X) ≤ y) = Ay fX (x)dx Bước 3: Tìm Fh(X) = fh(X) cu u BÀI TẬP Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên CMR P(X = x) = F (x) − F (x − ) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm fcX+d theo fX Cho X ∼ N(µ, σ 2) (a) Chứng tỏ cX + d ∼ N(cµ + d, c2 σ 2), (b) Chứng tỏ X−µ σ ∼ N(0, 1), (c) Cho X ∼ N(3, 4), tính P(1 < X < 3), 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (d) Cho X ∼ N(1, 9), tính a, b để P(X < a) = 0, 506, P(X > b) = 0, 198 (e) Cho X ∼ N(20, 4; 3, 52 ) Tìm P(X < 18, 1), P(X > 17, 9), P(X < 18, 1|X > 17, 9) Tìm t để P(X < t) = 0, 444 (f) Cho X ∼ N(5, σ ) Cho P(X < 3) = 0, Tìm P(X ≥ 7), P(X < 7), P(3 ≤ X < 7) .c om (g) Cho Y ∼ N(12, σ ) vaø P(10 ≤ Y < 14) = 0, Tìm P(Y ≥ 14), P(Y < 10), P(12 ≤ Y < 14), P(Y < 14|Y > 12) (h) Cho X ∼ N(−5, σ 2) Cho P(X < −3) = 0, Tìm P(X < 7), P(−7 < X < −5) ng Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm hàm mật độ Y = eX với co (a) fX (x) = e−x với x ≥ 0, fX (x) = với x < (b) X ∼ N(0, 1) an (c) X ∼ N(µ, σ ) th Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX ng (a) Tìm fX theo fX , (b) Tìm f X neáu X ∼ N(0, 1), du o (c) Cho X ∼ Uniform(−1, 3) Tìm f X Cho X có hàm xác suất tích lũy FX u (a) CM P (X = x) = F X (x) − FX (x− ) cu (b) Tìm F X + với X + = max{X, 0} Một máy đóng gói bột mì đóng bao có trọng lượng tuân theo phân phối chuẩn có trung bình 150 kg độ lệch chuẩn 0,5 kg Chọn ngẫu nhiên bao, tìm xác suất để bao có trọng lượng a) < 149 kg; b) > 151,5 kg; c) nằm 149 kg 151 kg Một nhà nông chở 850 bắp cải bán Giả sử trọng lượng bắp cải biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,1 kg độ lệch chuẩn 150 g Nếu nhà nông lấy ngẫu nhiên bắp cải xác suất để có trọng lượng nằm 1,2 kg đến 1,3 kg Ước lượng xem có bắp cải có trọng lượng > 1,4 kg? 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điểm số kỳ thi tuân theo phân phối chuẩn có trung bình µ độ lệch chuẩn σ Giả sử thang điểm 100 Nếu 10% thí sinh đạt 80 điểm 20% thí sinh thấp 45 điểm Tìm µ, σ 10 Khối lượng gói rau bán siêu thị rau biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 550 g độ lệch chuẩn 20 g .c om (a) Chọn ngẫu nhiên gói rau Tìm xác suất để gói rau có trọng lượng khoảng 500 g đến 600 g (b) Trong ngày có 1200 gói rau bán Tìm số rau mà trọng lượng > 540 g an co ng (c) Tại siêu thị gần đó, 15% gói rau bán có trọng lượng 600 g không nhiều 10% rau bán có trọng lượng < 540 g Giả sử trọng lượng rau M gói rau siêu thị tuân theo phân phối chuẩn Tìm trung bình độ lệch chuẩn M th Véc-tơ ngẫu nhiên ng Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên V = (X1 , , Xk ) Hàm FV (x1, , xk) = P (X1 ≤ x1, , Xk ≤ xk ) gọi hàm xác suất tích lũy V du o Mệnh đề Ta có a) ≤ FV (x1 , , xk) ≤ với (x1, , xk ) ∈ Rk , u lim FV (x1, , xk) = 0, cu xi →−∞,∀i lim xi →+∞,∀i FV (x1, , xk) = b) Neáu Xi biến ngẫu nhiên rời rạc, đặt fV (x1 , , xk) = P (X1 = x1, , Xk = xk ), (x1, , xk) ∈ J (x1 , ,xk )∈J fV (x1, , xk) = vaø FV (x1, , xk) = fV (s1, , sk ) s1 ≤x1 , ,sk ≤xk c) Nếu Xi biến ngẫu nhiên liên tục hàm mật độ fV (x1 , , xk) ≥ 0, f dmk = 1, Rk V x1 FV (x1, , xk ) = xk −∞ fV (s1 , , sk )ds1 dsk −∞ 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt vaø fV = ∂ k fV ∂x1 ∂xk Định nghóa Các biến số ngẫu nhiên Xi : Ω → R, i = 1, , n, gọi độc lập với tập Borel đo Bi ⊂ R, i = 1, , n họ biến coá (X ∈ Bi ), i = 1, , n độc lập .c om Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập gi : R → R hàm Borel g1 (X1 ), , gn(Xn ) độc lập Mệnh đề Họ biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù ng FXi1 Xik (xi1 , , xik ) = FXi1 (xi1 ) FXik (xik ) co Trong FXi1 Xik hàm xác suất tích lũy đồng thời họ Xi1 , , Xik FXi hàm xác suất tích lũy Xi th an Mệnh đề Chọ (Xi )i=1, ,n biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = fXi1 (xi1 ) fXik (xik ) ng với fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = P (Xi1 = xi1 , , Xik = xik ) cu u du o Mệnh đề Cho X, Y : Ω → R hai biến ngẫu nhiên độc lập liên tục, ∞ a) fX+Y (z) = fX ∗ fY (z) := −∞ fX (z − y)fY (y)dy ∞ b) fX/Y (z) = yfX (zy)fY (y)dy Mệnh đềTa có a) X ∼ N(0, 1) X ∼ χ2 (1) b) neáu X ∼ N(0, 1) Y ∼ χ2(m) độc lập Z = Y /X√m có phân phối Student với tham số n c) X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập X + Y ∼ χ2(m + n) d) X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập Z = YX/n có phân phối Fisher/m Snedecor với tham số (m, n) Mệnh đề Cho X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) độc lập Cho X1 , , Xn độc lập có phân phối N(µ, σ) Khi 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) cX + d ∼ N(cµX + d, c2 σX ) b) (X − µX )/σX ∼ N(0, 1) c) X + Y ∼ N(µX + µY , σX + σY2 ) n d) X = n1 i=1 Xi ∼ N(µ, σn ) e) σ12 ni=1 (Xi − µ)2 ∼ χ2 (n) .c om Phương pháp tìm hàm mật độ Z = r(X, Y ) Bước Tìm tập hợp Bz = {(x, y) : r(x, y) ≤ z} Bước Tính FZ = P (Z ≤ z) = Bz fX,Y (x, y)dxdy Bước Tính fZ = FZ BÀI TẬP ng Tìm hàm mật độ an co (a) Z = X ± Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) Nhắc lại, Biến ngẫu nhiên X có phân phối đoạn x ∈ (a, b)(ký hiệu X ∼ Uniform(a, b)) fX (x) = b−a (a, b), fX (x) = neáu x ∈ (a, b) th (b) Z = X/Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) du o ng (c) Z = max{X1 , , Xn } biết X1 , , Xn độc lập có phân phối fX HD: max{x1, , xn} ≤ z nghóa x1 ≤ z, , xn ≤ z cu u (d) Z = min{X1 , , Xn} biết X1 , , Xn độc lập có phân phối fX Các tham số đặc trưng Định nghóa Cho (Ω, M, P) không gian xác suất X, Y biến ngẫu nhiên Ω Nếu X ∈ L1 (P) ta định nghóa a) Kỳ vọng (expectation, hay trung bình) X: µX = EX := Ω X(ω)dP(ω) b) Phương sai (variance) X: varX := E(X − µX )2 c) Môment thứ n X: E(X n ) d) Hàm sinh môment (moment generating function) cuûa X: MX (t) = E(etX ) 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) Hiệp phương sai (covariance) X, Y : cov(X, Y ) = E(X − µX )(Y − µY ) Định lý (Quy tắc Lazy Statistician) Cho X : Ω → R k biến ngẫu nhiên có hàm mật độ fX g : Rk → R hàm Borel a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, X(Ω) = {x1, x2, } g(xi )P(X = xi ) = i g(xi )fX (xi ) i c om E(g(X)) = b) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục g(X) ≥ hay g(X) ∈ L1 (P) g(x)fX (x)dx co Rk ng E(g(X)) = ng th an Bài tập Dùng kỹ thuật 4D chứng minh định lý cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục theo bước sau: (i) Xét trường hợp g(x) = IB (x) với B ∈ B(Rk ) CM g(X(ω)) = I X∈B (ω) Từ suy đẳng thức (ii) Cm cho trường hợp g hàm đơn (iii) Cm cho trường hợp g ≥ (iv) Cm cho trường hợp tổng quát cách dùng phân tích g = g + − g − cu u du o Mệnh đề (về EX) Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất Ta có a) X, Y có phân phối g(X) ∈ L1 (P) g(Y ) ∈ L1 (P) vaø E(g(X)) = E(g(Y )) b) E(c) = c với c ∈ R c) X, Y ∈ L1 (P) αX +βY ∈ L1 (P) E(αX +βY ) = αEX +βEY d) Neáu X ≤ Y hầu chắn EX ≤ EY e) X ≥ hầu chắn EX = X = hầu chắn f) X ∈ L1 (P) |X| ∈ L1 (P) |E(X)| ≤ E(|X|) g) X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập gi : R → R hàm Borel cho gi (Xi ) ∈ L1 (P) E(g1 (X1 ) gn(Xn )) = E(g1 (X1 )) E(gn (Xn )) Bài tập Chứng minh định lý 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (i) Cm E(g(X)) = Eg(Y ) kỹ thuật 4D (ii) Cm b) , c), d), f) tính chất tích phân (iii) Cm e) cách xét tập hợp En = {X ≥ n1 } = {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ n1 } CMR P(E n ) = vaø {X > 0} = ∪∞ n=1 En Từ suy P(X > 0) = n n Xi = varXi i=1 an i=1 co var ng c om Mệnh đề (về varX vaø cov(X,Y)) Cho X, Y ∈ L2 (P ), α ∈ R Ta coù X ∈ L1 (P ) vaø a) var(X + α) = var(X), var(αX) = α2 var(X), var(α) = b) var(X) = E(X ) − (E(X))2 c) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), X, Y độc lập cov(X, Y ) = d) var(αX + βY ) = α2 varX + β 2var(Y ) + 2αβcov(X, Y ) e) (công thức Biennayme) X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập Xi ∈ L2 (P ) du o ng th Mệnh đề (về hàm sinh moment) Cho biến ngẫu nhiên X, Y, Xi : Ω → R coù etX , etY , etXi ∈ L1 (P), i = 1, , n khoảng mở (của biến t) chứa Cho X1 , , Xn độc lập (n) a) MX (0) = E(X n ) b) neáu MX (t) = MY (t) khoảng mở chứa X, Y có hàm mật độ xác suất c) MX1 + +Xn (t) = MX1 (t) MXn (t) cu u Phương pháp tính EX, varX, hàm moment Cách Dùng quy tắc Lazy Statistician: EX = i xP(X = xi ) hay EX = R xfX (x)dx, EX = i x2i P(X = xi ) hay EX = R x2 fX (x)dx công thức varX = EX − (EX)2 MX (t) = i etxi P(X = xi ) hay MX (t) = R etxfX (x)dx Cách Dùng công thức EX = MX (0), EX = M”X (0) Phương pháp tìm phân phối X + Y hàm sinh moment Bước 1: Ta tìm MX (t), MY (t) Bước 2: Tìm MX+Y cách sử dụng MX+Y (t) = MX (t)MY (t) với X, Y độc lập 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bước 3: Từ MX+Y xác định phân phối có hàm sinh moment BÀI TẬP Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối Rayleigh với hàm cdf F (x) = 2 − e−x /2σ x ≥ vaø F (x) = x < Tìm E(X) .c om Số vết bẩn gốm biến ngẫu nhiên có pdf p(k) = k e−5 5k! Tìm xác suất có a) vết bẩn gốm b) nhiều vết bẩn gốm Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối ng (a) Bernoulli(p): X : Ω → {0, 1} với f X (1) = P (X = 1) = p, fX (0) = P (X = 0) = − p co (b) nhị thức Binomial(n,p): f X (k) = P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k với k = 0, 1, , n an (c) hình học Geom(p): fX (k) = P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, (0 < p < 1) k th (d) Poisson(λ): f X (k) = P (X = k) = e−λ λk! du o ng Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối (fX (x) = giá trị x không ra) (a) Uniform(a,b): fX (x) = u (b) chuẩn N(µ, σ 2): fX (x) = b−a với x ∈ [a, b] √ e− 2πσ2 (x−µ)2 2σ cu (c) muõ Exp(β) (β > 0): fX (x) = β1 e−x/β (x > 0) (d) Gamma(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (e) χ2(p) (p > 0): fX (x) = β α α−1 −βx x e Γ(α) x−1+p/2e−x/2 2p/2 Γ(p/2) (f) Beta(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (x > 0) (x > 0) Γ(α+β) α−1 x (1− x)β−1 Γ(α)Γ(β) (0 < x < 1) Tìm hàm sinh moment biến ngẫu nhiên sau (a) Binomial(n, p) (b) P oisson(λ) 34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) Chuẩn N(µ, σ ) (d) Gamma(α, β) Cho X, Y độc lập CMR (a) neáu X ∼ Binomial(n, p), Y ∼ Binomial(m, p) X + Y ∼ Binomial(n + m, p) c om (b) neáu X ∼ P oisson(λ), Y ∼ P oisson(µ) X + Y ∼ P oisson(λ + µ) (c) neáu X ∼ Γ(a, β), Y ∼ Γ(b, β) X + Y ∼ Γ(a + b, β) ng (d) X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) X + Y ∼ N(µX + 2 µY , σX + σY ) an co Các định lý giới hạn du o ng th Định nghóa Cho X, Xn : Ω → R dãy biến số ngẫu nhiên (Ω, M, P) Ta nói p a) Xn hội tụ theo xác suất tới X, ký hiệu Xn → X với > ta có lim P(|Xn − X| > ) = n→∞ u b) Xn hội tụ theo phân bố, ký hiệu Xn X limn→∞ FXn (t) = FX (t) h.c.c c) Xn hội tụ hầu chắn, ký hiệu Xn → X limn→∞ P(Xn → X) = cu Mệnh đề Các khẳng định sau p a) Xn → X Xn X p h.c.c b) Xn → X Xn → X Mệnh đề a) (Bất đẳng thức Markov) Nếu X biến ngẫu nhiên không âm với a, p > ta coù E(X p ) P(X > a) ≤ ap 35 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho X biến ngẫu nhiên có trung bình µ phương sai σ Với k > ta có P(|X − µ| > k) ≤ σ2 k2 ng c om Định lý (dạng yếu luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ Khi n p Xi → µ n i=1 n h.c.c Xi → µ an n co Định lý (dạng mạnh luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ Khi th i=1 du o ng Mệnh đề Cho Z1 , Z2 , dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân phối tích lũy FZn hàm sinh moment MZn Cho biến số ngẫu nhiên Z có hàm phân phối tích lũy FZ hàm sinh MZ Nếu MZn (t) → MZ (t) với t FZn (z) → FZ (z) z ∈ R mà FZ liên tục cu u Định lý giới hạn trung tâm Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ n Đặt Sn = i=1 Ta có hàm phân phối xác suất Sn − E(Sn ) (X1 + + Xn ) − nµ √ = σ n var(Sn ) xấp xỉ phân phối Gauss n → ∞, nghóa là, với a ∈ R, P (X1 + + Xn ) − nµ √ ≤a σ n → Φ(a) = √ 2π a e−t /2 dt −∞ Định lý Moivre-Laplace Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Gọi X số lần thành công n phép thử Khi đó, với a ∈ R, 36 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ta coù X − np lim P np(1 − p) n→∞ → Φ(a) ta dùng công thức n P(a < Y1 Yn < b) = P(ln a < ln Yj < ln b) j=1 37 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt áp dụng định lý giới hạn trung tâm np(1 − p) < b − np Sn − np Φ b − np np(1 − p) −Φ np(1 − p) P(Sn < b) = P Sn − np < b − np np(1 − p) a − np np(1 − p) b − np np(1 − p) th an np(1 − p) < ng Φ a − np co P(a < Sn < b) = P c om Phương pháp tìm xác suất biến ngẫu nhiên Bernoulli Xét thí nghiệm có xác suất thành công p, xác suất thất bại − p Lặp lại thí nghiệm n lần độc lập Ký hiệu Xi biến ngẫu nhiên xác định bởi: Xi = thí nghiệm thành công, Xi = thí nghiệm thất bại Đặt Sn = X1 + + Xn Sn số lần thí nghiệm thành công n lần thí nghiệm Ta có Sn ∼ Bernoulli(n, p), E(Sn ) = np, var(Sn ) = np(1 − p) Theo định lý giới hạn trung tâm u du o ng np(1 − p) 1 P(Sn = k) = P(k − < Sn < k + ) 2 k + − np k − 12 − np Φ −Φ np(1 − p) np(1 − p) cu Neáu Sn ∼ Bernoulli(n, p) với λ = np nhỏ ta dùng xấp xỉ −λ k Poisson(λ) Khi P(S n = k) e k!λ BÀI TẬP Cho Yi , i = 1, 2, laø i.i.d có Yi ∼ Binomial(1, p) CM X n = n Xn i=1 Yi ∼ Binomial(n, p) vaø limn→∞ n = p hầu chắn Cho Xj , j = 1, 2, i.i.d với E(|X j |) < ∞ Đặt Yj = eXj CM 1/n (Y1 Yn) hội tụ tới số hầu chắn 38 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho biến ngẫu nhiên Xj , j = 1, 2, i.i.d Giả sử E(|X j |k ) < ∞ CM n lim Xjk = E(X1k ) h.c.c n→∞ n j=1 Cho Xj , j = 1, 2, laø i.i.d vaø X j ∼ N(1, 3) CM X1 + + Xn = n→∞ X + + X n h.c.c .c om lim n g(Xj (ω)) = b−a b co n→∞ n lim ng (Phương pháp Monte-Carlo) Cho hàm số g : (a, b) → R g khả tích Riemann (a, b) Cho dãy Xj biến ngẫu nhiên i.i.d có Xj ∼ Uniform(a, b) CM h.c.c an j=1 g(x)dx a ng th Cho biến ngẫu nhiên X chưa biết phân phối cho quan trắc X1 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối với X Từ X1 , , Xn tìm xấp xỉ (còn gọi ước lượng) tham số với giả sử du o (a) X ∼ N(µ, σ ) với µ, σ chưa biết Tìm xấp xỉ µ ˆ, σ ˆ (của µ, σ) ˆ (b) X ∼ P oisson(λ) với λ chưa biết Tìm λ cu u (c) X ∼ Uniform(a, b) với a, b chưa biết Tìm a ˆ, ˆb ˆ pˆ (d) X ∼ Binomial(k, p) với k, p chưa biết Tìm k, ˆ (e) X ∼ Gamma(a, λ) với a, λ chưa biết Tìm aˆ, λ ˆ (f) X ∼ Exp(β) với β chưa biết Tìm β Trong tập trên, dùng phần mềm R để phát sinh liệu X1 , , Xn có phân phối cho ước lượng tham số theo bước mô tả sau: (a) Chọn phân phối chọn tham số (ví dụ µ = 0, σ = 1), (b) Phát sinh liệu X1 , , Xn có phân phối chọn (ví dụ N(0, 1)), 39 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) Tính ước lượng tham số từ X1 , , Xn (ví dụ tính µ ˆ, σˆ ), (d) So sánh kết từ công thức ước lượng với tham số chọn lúc ban đầu (ví dụ: so sánh µ ˆ, σˆ với 0, 1) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có quan trắc X1 , , Xn độc lập phân phối với X Cho a ∈ R, h > .c om (a) Từ quan trắc tìm ước lượng cho P(a < X ≤ a + h) HD: P(a < X ≤ b) = E(Ia