Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2015

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2015 Độ đo xác suất c om Độ đo co ng Định nghóa Cho M họ tập tập X Ta nói M σ-đại số M thỏa a) X ∈ M, b) Nếu A ∈ M Ac ∈ M c) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ∪∞ n=1 An ∈ M Khi (X, M) gọi không gian đo phần tử M gọi tập đo th an Hệ Cho (X, M) không gian đo Ta có a) ∅ ∈ M, b) Nếu An ∈ M n = 1, 2, ∩∞ n=1 An ∈ M Ai = du o A\ ng Bài tập Chứng minh hệ cách sử dụng luật De Morgan i∈I i∈I (A \ Ai ), A \ Ai = i∈I i∈I (A \ Ai ) cu u Mệnh đề a) Nếu Mi (i ∈ I) họ σ-đại số X ∩i∈I Mi σ-đại số Cho F ⊂ P(X) b) Ñaët σ(F ) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M} Khi đó, σ(F ) sigma-đại số nhỏ chứa F , nghóa cho sigma-đại số M, F ⊂ M ⇒ σ(F ) ⊂ M Ta noùi σ(F ) σ-đại số sinh F Bài tập a) Chứng minh ba tính chất σ-đại số b) CM tính nhỏ σ(F ) Định nghóa Cho τ họ tập mở Rn Khi σ-đại số nhỏ Rn chứa τ gọi σ-đại số Borel ký hiệu B(Rn ) Các phần tử B(Rn ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt gọi tập Borel Các tập Borel thông thường tập mở Rn , tập đóng Rn , giao đếm tập mở, hội đếm tập đóng ∞ µ An = n=1 ∞ c om Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Một ánh xạ µ : M → [0, ∞] gọi độ đo (dương) a) Tồn A ∈ M cho µ(A) < ∞, b) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) µ(An ) n=1 ng Khi (X, M, µ) gọi không gian đo Nếu µ(X) = µ gọi độ đo xác suất (X, M, µ) gọi không gian xác suaát = = = = F+ (b) − F− (a), F− (b) − F+ (a), F− (b) − F− (a), F+ (b) − F+ (a), th an µF ([a, b]) µF ((a, b)) µF ([a, b)) µF ((a, b]) co Mệnh đề Với hàm tăng F : R → R tồn độ đo ký hiệu µF , gọi độ đo Stieljes, xác định σ-đại số Borel B(R) cho với a < b ta có ng F+ (x) = limt→x+ F (t) F− (x) = limt→x− F (t) du o Định nghóa Nếu chọn F (x) = x µF gọi độ đo Lebesgue R ký hiệu m hay m1 Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) = m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b − a với a, b ∈ R, a < b cu u Định lý Cho (X, M, µ) không gian đo Ta có a) µ(∅) = 0, b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, , m vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) m µ m An = n=1 µ(An ) n=1 c) Nếu A, B ∈ M A ⊂ B µ(A) ≤ µ(B) d) Nếu An ∈ M An ⊂ An+1 , , n = 1, 2, lim µ(An ) = µ n→∞ ∞ An n=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) Neáu An ∈ M, An+1 ⊂ An , µ(A1 ) < ∞, n = 1, 2, ∞ lim µ(An ) = µ n→∞ An n=1 f) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, An n=1 ≤ ∞ µ(An ) .c om µ ∞ n=1 an co ng Bài tập CM tính chất d) theo bước sau i) Đặt B1 = A1 , Bn = An \ An−1 , n = 2, 3, CM B i ∩ Bj = ∅ i = j ii) CM A n = ∪ni=1 Bi iii) CM A = ∪ ni=1 Ai iv) Tính µ(A n ) µ(A) theo µ(Bi ) v) Suy đpcm ng th Hàm đo du o Mệnh đề Cho (X, M) không gian đo f : X → Y Khi tập Nf = {W ⊂ Y : f −1 (W ) ∈ M} u σ-đại số Y cu Định nghóa Cho (X, M), (Y, N ) hai không gian đo Ánh xạ f : X → Y gọi làđo f −1 (W ) ∈ M với W ∈ N Nếu (X, M) = (Rn , B(Rn)), (Y, N ) = (Rk , B(Rk )) f gọi Borel đo hay gọi vắn tắt hàm Borel Định lý Cho (X, M), (Rk , B(Rk )) không gian đo Ánh xạ f : X → Rk đo f −1 (U) ∈ M với U tập mở Rn Bài tập CM Định lý theo bước sau: i) Đặt Nf = {W ⊂ Rk : f −1 (W ) ∈ M} CM N f σ-đại số k R CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ii) CM B(R k ) ⊂ Nf Hệ Mọi ánh xạ liên tục f : Rn → Rk hàm Borel đo Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục tập mở tập mở tính chất F ⊂ σ−đại số M σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh đề .c om Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z không gian đo f : X → Y , g : Y → Z đo g ◦ f đo b) Nếu X không gian đo được, f : X → Rn đo g : Rn → Rk đo Borel g ◦ f đo ng Bài tập a) Chứng minh tính chất (g ◦ f) −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) với A ⊂ Z b) CM mệnh đề du o ng th an co Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo điều sau với a ∈ R a) (f ≥ a) := f −1 ([a, ∞]) đo b) (f > a) := f −1 ((a, ∞]) đo c) (f ≤ a) := f −1 ([−∞, a]) đo d) (f < a) := f −1 ([−∞, a)) đo e) (f ∈ (a, b)) := f −1 ((a, b)) ño với a < b f) (f ∈ V ) := f −1 (V ) đo với tập mở V ⊂ R cu u Bài tập Cm mệnh đề theo bước sau i) CM (f > a) = ∪ ∞ n=1 f ≥ a + n Từ CM a) ⇒ b) ii) CM b) ⇒ c) iii) CM (f < a) = ∪ ∞ n=1 f ≤ a − n Từ CM c) ⇒ d) iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a) Từ CM (f ∈ [a, b)) đo CM a + δ n < b với δn = b−a vaø (f ∈ (a, b)) = ∪∞ n=1 (f ∈ [a + δn , b) Từ 2n CM d) ⇒ e) v) Sử dụng tính chất: tập mở V R viết dạng V = ∪∞ n=1 (an , bn ), an < bn , CM e) ⇒ f) Mệnh đề Cho u, v : X → R hàm số đo Φ : R2 → R liên tục h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) ánh xạ đo Mệnh đề Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] đo sup fn , inf fn , CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt lim sup fn , lim inf fn đo Bài tập Ñaët g(x) = supn fn (x), h(x) = inf n fn (x) CM ∞ (g > a) = ∪∞ n=1 (fn > a), (h < a) = ∪n=1 (fn < a) Từ CM mệnh đề IA (x) = c om Định nghóa Cho H tập hợp, A ⊂ H Khi ta định nghóa (x ∈ A) (x ∈ H \ A) ng Haøm naøy ký hiệu χA co Mệnh đề Cho X không gian đo được, A ⊂ X Khi IA đo A đo th an Bài tập CM mệnh đề cách tìm I−1 A (V ) với V mở Xét trường hợp a) ∈ V, ∈ V ; b) ∈ V, ∈ V ; c) ∈ V, ∈ V ; d) ∈ V, ∈ V ng Định nghóa Cho X không gian đo Cho s : X → R Hàm s gọi hàm đơn s(X) có hữu hạn giá trị cu u du o Mệnh đề Cho hàm s : X → R có s(X) = {α1 , , αn} với αi = αj với i = j Đặt Ai = s−1 (αi ), ta có a) Ai ∩ Aj = ∅ với i = t vaø ni=1 Ai = X n b) s = i=1 αi IAi , c) với g : R → R ta coù g(s(x)) = ni=1 g(αi )IAi d) hàm s đo Ai đo với i = 1, 2, Bài tập Chứng minh mệnh đề Định lý Với hàm đo f : X → [0, ∞] tồn hàm đơn đo không âm sn X cho a) ≤ s1 ≤ s2 ≤ ≤ f, b) sn (x) → f(x) n → ∞ với x ∈ X Bài tập i) Ký hiệu [α] số nguyên lớn không vượt quaù α ∈ R CM α − ≤ [α] ≤ α α ≤ β [α] ≤ [β] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt n ii) Đặt ϕn (t) = [22nt] (0 ≤ t ≤ n) vaø ϕn (t) = n với t > n CM t − 2−n ≤ ϕn (t) ≤ t với ≤ t ≤ n Từ suy limn→∞ ϕn (t) = t iii) CM ϕ n (t) ≤ ϕn+1 (t) iv) CM n2n −1 k ϕn (t) = I k k+1 (t) + nI[n,∞) (t) 2n [ 2n , 2n ) k=0 c om v) Đặt sn (x) = ϕn (f(x)) CM (s n ) thỏa định lý Tích phân Lebesgue hàm không âm E co n s(x)dµ(x) = ng Định nghóa Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho hàm đơn đo s : X → R, s(X) = {α1 , , αn} với αi ≥ (i = 1, , n) Ta định nghóa an i=1 αi µ(Ai ∩ E) th Ai = (s = αi ) := s−1 (αi ) Neáu f : X → R đo được, ta định nghóa ng f(x)dµ(x) = sup E 0≤s≤f s(x)dµ(x) E du o s hàm đơn đo cu u Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ), A, B, E ∈ M, f, g : X → R hàm đo a) ≤ f ≤ g E fdµ ≤ E gdµ b) A ⊂ B f ≥ A fdµ ≤ B fdµ c) f ≥ ≤ c < ∞ E cfdµ = c E fdµ d) f ≥ E fdµ = X fIE dµ e) f(x) = c ≥ với x ∈ E E f(x)dµ = cµ(E) f) µ(E) = 0, f ≥ E fdµ = Bài tập Chứng minh mệnh đề theo hướng dẫn sau a) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM E s(x)dµ ≤ suy đpcm b) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM A s(x)dµ ≤ cm mệnh đề E g(x)dµ Từ B s(x)dµ Từ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om c) Lấy s ≥ đơn, đo CM c E s(x)dµ = E cs(x)dµ Suy ra: ≤ s ≤ f c E s(x)dµ ≤ E cf(x)dµ Từ CM c E f(x)dµ ≤ E cf(x)dµ suy E cf(x)dµ ≤ c E f(x)dµ d) Lấy s ≥ đơn, đo CM E s(x)dµ = X s(x)IE (x)dµ Từ suy ≤ s ≤ f E s(x)dµ ≤ X f(x)IE (x)dµ Mặt khác, s đơn ≤ s ≤ fIE X s (x)dµ ≤ E f(x)dµ Từ suy đpcm e) Áp dụng câu d) f) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM E s(x)dµ = Suy f) φ(E) = sdµ tdµ an E co E độ đo dương M b) E (s + t)dµ = E sdµ + ng Mệnh đề Cho s,t hai hàm đơn đo không âm (X, M, µ), E ∈ M Ta có a) Hàm ϕ : M → [0, ∞) xác định Bài tập a) Giả sử s = i=1 αi IAi với s(X) = {α1 , , αn} Ai = s−1 (αi ) Viết biểu thức φ(E) Từ CM tính chất độ đo b) Giả sử thêm t = ki=1 βi IBj với t(X) = {β1, , βk} vaø Bj = t−1 (βj ) CM E∩Ai ∩Bj (s + t)dµ = E∩Ai ∩Bj sdµ + E∩Ai ∩Bj tdµ Từ suy mệnh đề ng th n cu u du o Định lý hội tụ đơn điệu Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho (f n ) dãy hàm đo X cho a) ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) với n ≥ n0 b) fn (x) → f(x) n → ∞ với x ∈ X Khi f hàm đo không âm lim n→∞ fn dµ = E lim fn dµ = E n→∞ fdµ E ho Bài tập Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo câu sau: a) CM L = limn→∞ E fn dµ tồn L ≤ E fdµ b) Cho c ∈ (0, 1), s hàm đơn đo thỏa ≤ s ≤ f Đặt An = {x ∈ X : fn (x) ≥ cs(x)} CM A n ⊂ An+1 vaø X = ∞ n=1 An c) CM c E∩An sdµ ≤ E fn dµ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt d) CM limn→∞ E∩An sdµ = e) suy E sdµ ≤ L Từ sdµ fdµ ≤ L E E Mệnh đề Cho fn , g, h : X → [0, ∞] hàm đo không âm (X, M, µ) Ta có gdµ + X ∞ fn dµ = X n=1 hdµ X ∞ c om (g + h)dµ = X fn dµ n=1 X co ng Bài tập Chọn hai dãy hàm đơn đo sn , tn thỏa ≤ s1 ≤ s2 ≤ , ≤ t1 ≤ t2 ≤ vaø limn→∞ sn = g, limn→∞ tn = h Dùng định lý hội tụ đơn điệu để CM mệnh đề an Bổ đề Fatou Cho f n : X → [0, ∞] hàm đo không âm Khi X fn dµ ≥ lim inf fn dµ X X ng n→∞ th lim inf du o Bài tập Đặt gn (x) = inf k≥n fk (x) a) CM gn ≤ gn+1 b) CM X gn dµ ≤ X fn dµ c) Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu suy kết cu u Mệnh đề Cho f : X → [0, ∞] hàm đo được, Với E ∈ M, đặt ϕ(E) = fdµ E Khi ϕ độ đo dương M Hơn gdϕ = X gfdµ X với hàm đo không âm g : X → [0, ∞] Lưu ý Để chứng minh số tính chất tích phân Lebesgue với hàm f dùng kỹ thuật 4D: 1) CM cho hàm đặc trưng, 2) CM CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cho hàm đơn đo được, 3) CM cho hàm dương đo được, 4) CM cho hàm đo có dấu .c om Bài tập Lấy Ai , i = 1, 2, tập đo rời X a) Sử dụng tính chất ISni=1 Ai = ni=1 IAi , CM ϕ( ni=1 Ai ) = ni=1 ϕ(Ai ) b) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu suy tính chất cộng tính đếm ϕ c) CM công thức X gdϕ = X gfdµ g hàm đơn, đo không âm d) Với hàm g ≥ 0, chọn dãy sn hàm đơn đo thỏa ≤ s1 ≤ s2 limn→∞ sn = g Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu CM công thức X gdϕ = gfdµ X co ng Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Độ đo λ : M → [0, ∞] gọi liên tục tuyệt đối so với độ đo µ : M → [0, ∞] với E ∈ M µ(E) = λ(E) = Ta ký hiệu λ µ ng th an Định lý Radon-Nikodym Cho (X, M, µ không gian đo Giả sử µ ∞ σ-hữu hạn, nghóa tồn Ei ∈ M với µ(Ei ) < ∞ X = n=1 Ei Nếu λ độ đo dương M thỏa λ µ tồn hàm đo không âm h cho λ(E) = hdµ E du o với E ∈ M Ta nói h đạo hàm Radon-Nikodym λ µ ký hiệu h = dλ hay hdµ = dλ dµ cu u Tích phân Lebesgue hàm tổng quát Định nghóa Cho không gian đo (X, M, µ) cho f : X → [−∞, ∞] đo Ta nói f khả tích Lebesgue với độ đo µ X |f(x)|dµ(x) < ∞ Ta ký hiệu tập hàm khả tích Lebesgue L1 (X, M, µ) hay vắn tắt L1 (µ) Hệ Cho f, g đo (X, M, µ) Nếu g khả tích |f(x)| ≤ g(x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt với x ∈ X f khả tích Bài tập Chứng minh tính chất Định nghóa Nếu f ∈ L1 (µ), ta định nghóa fdµ = E E f + dµ − f − dµ E c om với E ∈ M Trong f + := max{f, 0}, f − = max{−f, 0} co ng Baøi tập Chứng minh đẳng thức a) f(x) = f + (x) − f − (x), |f(x)| = f + (x) + f − (x) b) (−f(x))+ = f − (x), (−f(x))− = f + (x) c) Neáu c > (cf(x))+ = cf + (x), (cf(x))− = cf − (x) d) Nếu c < (cf(x))+ = −cf − (x), (cf(x))− = −cf + (x) an Định lý Cho f, g ∈ L1 (µ) Khi a) αf + βg ∈ L1(µ) th (αf + βg)dµ = α X X gdµ X gdµ du o ng b) f ≤ g X fdµ ≤ c) X fdµ ≤ X |f|dµ +β X cu u Bài tập i) Đặt h = f + g CM h + + f − + g − = h− + f + + g + ii) CM X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ iii) Cho c ∈ R CM X cfdµ = c X fdµ iv) CM b), c) Mệnh đề a) Nếu f đo được, g ∈ L1 (µ) |f| ≤ g f ∈ L1 (µ) b) Nếu f, g ∈ L1(µ) f ≤ g X fdµ ≤ X gdµ c) Nếu f ∈ L1 (µ) |f| ∈ L1 (µ) X fdµ ≤ X |f|dµ Bài tập Chứng minh mệnh đề Định lý hội tụ bị chận Lebesgue Cho g, (f n ) đo (X, M, µ) cho a) |fn (x)| ≤ g(x) với x ∈ X, n = 1, 2, b) g khả tích, 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) xp−1 dx 1+xq HD: xp−1 1+xq = ∞ n=0 xp−1 (x2n − x2n+1 ) Biến ngẫu nhiên c om Định nghóa Trên không gian xác suất (Ω, M, P), ánh xạ đo X : Ω → Rk gọi biến ngẫu nhiên Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên X tập Borel B ⊂ Rk , ta đặt PX (B) = P(X ∈ B) Khi đó, PX độ đo xác suất Rk Hơn nữa, với hàm Borel g : Rk → R cho g ◦ X ∈ L1 (P) g(x)dPX (x) ng g(X(ω))dP(ω) = B Độ đo PX gọi phân phối X co X∈B du o ng th an Bài tập i) CM P X độ đo B(R) ii) CM đẳng thức mệnh đề theo kỹ thuật 4D Trước hết CM với g = IB B ∈ B(Rk ) Muốn vậy, ta kiểm tra IB (X(ω)) = IX(ω)∈B iii) CM đẳng thức với g hàm dơn đo B ∈ B(Rk ) iv) CM với g hàm không âm đo v) Sử dụng phân tích g = g + − g − để chứng minh cho trường hợp tổng quát u Định nghóa Hàm FX (x) = P (X ≤ x) gọi hàm phân phối tích lũy (cdf: cumulative distributrion function) X Ta quy ước dFX := dPX cu Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R Hàm FX thỏa a) ≤ FX (x) ≤ ∀x ∈ R, b) FX không giảm, nghóa FX (x) ≤ FX (y) x < y, c) FX liên tục bên phải, nghóa limt→x+ FX (t) = FX (x), d) limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = Bài tập (i) CM a) định nghóa (ii) Sử dụng tính chất tăng độ đo (A ⊂ B đo P(A) ≤ P(B)) để CM b) (iii) Sử dụng tính chất đơn điệu limn→∞ P(An ) = P(∩∞ n=1 An ) với An đo được, An+1 ⊂ An để CM c) 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (iv) Sử dụng tính chất đơn điệu tính chất P(Ac ) = − P(A) để CM d) Định nghóa Biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk gọi biến ngẫu nhiên liên tục PX mk , nghóa với tập Borel đo B Rk thỏa mk (B) = PX (B) = P(X ∈ B) = c om Mệnh đề Nếu biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk biến ngẫu nhiên liên tục tồn hàm khả tích Lebesgue fX : Rk → R (gọi hàm mật độ X) cho fX (x) ≥ với tập Borel B ∈ Rk ta có fX (x)dmk (x) B co ng Mệnh đề Xét biến số ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R Khi ∞ a) fX (x) ≥ vaø −∞ fX (x)dx = 1, b an b) P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx c) FX (x) = fX (x) điểm liên tục x fX ng th Định nghóa Biến ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R gọi có phân phối chuẩn với trung bình µ độ lệch chuẩn σ, ký hiệu X ∼ N(µ, σ2 ), 2πσ e− (x−µ)2 2σ du o fX (x) = √ Nếu µ = 0, σ = ta nói X có phân phối Gauss cu u Mệnh đề Nếu X ∼ N(µ, σ 2) ta có P(X > µ + a) = P(X < µ − a), P(X < µ) = 0, Ngoài biến ngẫu nhiên Z = X−µ có phân phối Gauss σ Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R coù X(Ω) = {xj | j ∈ J } với J ⊂ N Ta nói X biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm số fX (x) = P (X = x) gọi hàm mật độ X Mệnh đề Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc lấy giá trị xi , i ∈ I Khi pi := fX (xi ) ≥ vaø i∈I pi = Phương pháp tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục định nghóa Cho X có hàm mật độ fX Ta tìm hàm mật độ Y = h(X) 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bước 1: với y ∈ R ta tìm tập Ay = {x : h(x) ≤ y} Bước 2: Tìm Fh(X)(y) = P (h(X) ≤ y) = Ay fX (x)dx Bước 3: Tìm Fh(X) = fh(X) BÀI TẬP Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên CMR P(X = x) = F (x) − F (x − ) Cho X ∼ N(µ, σ 2) (b) Chứng tỏ X−µ σ ∼ N(0, 1), ng (a) Chứng tỏ cX + d ∼ N(cµ + d, c2 σ 2), c om Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm fcX+d theo fX co (c) Cho X ∼ N(3, 4), tính P(1 < X < 3), an (d) Cho X ∼ N(1, 9), tính a, b để P(X < a) = 0, 506, P(X > b) = 0, 198 th (e) Cho X ∼ N(20, 4; 3, 52 ) Tìm P(X < 18, 1), P(X > 17, 9), P(X < 18, 1|X > 17, 9) Tìm t để P(X < t) = 0, 444 du o ng (f) Cho X ∼ N(5, σ ) Cho P(X < 3) = 0, Tìm P(X ≥ 7), P(X < 7), P(3 ≤ X < 7) (g) Cho Y ∼ N(12, σ ) vaø P(10 ≤ Y < 14) = 0, Tìm P(Y ≥ 14), P(Y < 10), P(12 ≤ Y < 14), P(Y < 14|Y > 12) cu u (h) Cho X ∼ N(−5, σ 2) Cho P(X < −3) = 0, Tìm P(X < 7), P(−7 < X < −5) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm hàm mật độ Y = eX với (a) fX (x) = e−x với x ≥ 0, fX (x) = với x < (b) X ∼ N(0, 1) (c) X ∼ N(µ, σ ) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX (a) Tìm fX theo fX , 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (b) Tìm f X X ∼ N(0, 1), (c) Cho X ∼ Uniform(−1, 3) Tìm f X Cho X có hàm xác suất tích lũy FX (a) CM P (X = x) = F X (x) − FX (x− ) (b) Tìm F X + với X + = max{X, 0} .c om Một máy đóng gói bột mì đóng bao có trọng lượng tuân theo phân phối chuẩn có trung bình 150 kg độ lệch chuẩn 0,5 kg Chọn ngẫu nhiên bao, tìm xác suất để bao có trọng lượng a) < 149 kg; b) > 151,5 kg; c) nằm 149 kg 151 kg an co ng Một nhà nông chở 850 bắp cải bán Giả sử trọng lượng bắp cải biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,1 kg độ lệch chuẩn 150 g Nếu nhà nông lấy ngẫu nhiên bắp cải xác suất để có trọng lượng nằm 1,2 kg đến 1,3 kg Ước lượng xem có bắp cải có trọng lượng > 1,4 kg? ng th Điểm số kỳ thi tuân theo phân phối chuẩn có trung bình µ độ lệch chuẩn σ Giả sử thang điểm 100 Nếu 10% thí sinh đạt 80 điểm 20% thí sinh thấp 45 điểm Tìm µ, σ du o 10 Khối lượng gói rau bán siêu thị rau biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 550 g độ lệch chuẩn 20 g u (a) Chọn ngẫu nhiên gói rau Tìm xác suất để gói rau có trọng lượng khoảng 500 g đến 600 g cu (b) Trong ngày có 1200 gói rau bán Tìm số rau mà trọng lượng > 540 g (c) Tại siêu thị gần đó, 15% gói rau bán có trọng lượng 600 g không nhiều 10% rau bán có trọng lượng < 540 g Giả sử trọng lượng rau M gói rau siêu thị tuân theo phân phối chuẩn Tìm trung bình độ lệch chuẩn M Véc-tơ ngẫu nhiên 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên V = (X1 , , Xk ) Haøm FV (x1, , xk) = P (X1 ≤ x1, , Xk ≤ xk ) goïi hàm xác suất tích lũy V Mệnh đề Ta coù a) ≤ FV (x1 , , xk) ≤ với (x1, , xk ) ∈ Rk , FV (x1, , xk) = 0, lim xi →+∞,∀i FV (x1, , xk) = .c om lim xi →−∞,∀i b) Nếu Xi biến ngẫu nhiên rời rạc, đặt fV (x1 , , xk) = P (X1 = x1, , Xk = xk ), (x1, , xk) ∈ J (x1 , ,xk )∈J fV (x1, , xk) = vaø FV (x1, , xk) = fV (s1, , sk ) ng s1 ≤x1 , ,sk ≤xk co c) Nếu Xi biến ngẫu nhiên liên tục hàm mật độ fV (x1 , , xk) ≥ 0, f dmk = 1, Rk V x1 xk an FV (x1, , xk ) = −∞ ∂ k fV ∂x1 ∂xk th vaø fV = fV (s1 , , sk )ds1 dsk −∞ du o ng Định nghóa Các biến số ngẫu nhiên Xi : Ω → R, i = 1, , n, gọi độc lập với tập Borel đo Bi ⊂ R, i = 1, , n họ biến cố (X ∈ Bi ), i = 1, , n độc lập cu u Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập gi : R → R hàm Borel g1 (X1 ), , gn(Xn ) độc lập Mệnh đề Họ biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù FXi1 Xik (xi1 , , xik ) = FXi1 (xi1 ) FXik (xik ) Trong FXi1 Xik hàm xác suất tích lũy đồng thời họ Xi1 , , Xik FXi hàm xác suất tích lũy Xi Mệnh đề Chọ (Xi )i=1, ,n biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = fXi1 (xi1 ) fXik (xik ) 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt với fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = P (Xi1 = xi1 , , Xik = xik ) Mệnh đề Cho X, Y : Ω → R hai biến ngẫu nhiên độc lập liên tục, ∞ a) fX+Y (z) = fX ∗ fY (z) := −∞ fX (z − y)fY (y)dy ∞ b) fX/Y (z) = yfX (zy)fY (y)dy co ng c om Mệnh đềTa có a) X ∼ N(0, 1) X ∼ χ2 (1) b) X ∼ N(0, 1) Y ∼ χ2(m) độc lập Z = Y /X√m có phân phối Student với tham số n c) X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập X + Y ∼ χ2(m + n) d) neáu X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập Z = YX/n có phân phối Fisher/m Snedecor với tham số (m, n) ng th an Mệnh đề Cho X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) độc lập Cho X1 , , Xn độc lập có phân phối N(µ, σ) Khi a) cX + d ∼ N(cµX + d, c2 σX ) b) (X − µX )/σX ∼ N(0, 1) c) X + Y ∼ N(µX + µY , σX + σY2 ) d) X = n1 ni=1 Xi ∼ N(µ, σn ) e) σ12 ni=1 (Xi − µ)2 ∼ χ2 (n) cu u du o Phương pháp tìm hàm mật độ Z = r(X, Y ) Bước Tìm tập hợp Bz = {(x, y) : r(x, y) ≤ z} Bước Tính FZ = P (Z ≤ z) = Bz fX,Y (x, y)dxdy Bước Tính fZ = FZ BÀI TẬP Tìm hàm mật độ (a) Z = X ± Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) Nhắc lại, Biến ngẫu nhiên X có phân phối đoạn (a, b)(ký hiệu X ∼ Uniform(a, b)) fX (x) = b−a neáu x ∈ (a, b), fX (x) = neáu x ∈ (a, b) (b) Z = X/Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) Z = max{X1 , , Xn } bieát X1 , , Xn độc lập có phân phối fX HD: max{x1, , xn} ≤ z nghóa x1 ≤ z, , xn ≤ z (d) Z = min{X1 , , Xn} biết X1 , , Xn độc lập có phân phối fX c om Các tham số đặc trưng an co ng Định nghóa Cho (Ω, M, P) không gian xác suất X, Y biến ngẫu nhiên Ω Nếu X ∈ L1 (P) ta định nghóa a) Kỳ vọng (expectation, hay trung bình) X: µX = EX := Ω X(ω)dP(ω) b) Phương sai (variance) X: varX := E(X − µX )2 c) Môment thứ n X: E(X n ) d) Hàm sinh môment (moment generating function) X: MX (t) = E(etX ) e) Hiệp phương sai (covariance) X, Y : cov(X, Y ) = E(X − µX )(Y − µY ) du o ng th Định lý (Quy taéc Lazy Statistician) Cho X : Ω → R k biến ngẫu nhiên có hàm mật độ fX g : Rk → R hàm Borel a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, X(Ω) = {x1, x2, } E(g(X)) = g(xi )P(X = xi ) = i g(xi )fX (xi ) i cu u b) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục g(X) ≥ hay g(X) ∈ L1 (P) E(g(X)) = g(x)fX (x)dx Rk Bài tập Dùng kỹ thuật 4D chứng minh định lý cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục theo bước sau: (i) Xét trường hợp g(x) = IB (x) với B ∈ B(Rk ) CM g(X(ω)) = I X∈B (ω) Từ suy đẳng thức (ii) Cm cho trường hợp g hàm đơn (iii) Cm cho trường hợp g ≥ 26 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (iv) Cm cho trường hợp tổng quát cách dùng phân tích g = g + − g − ng c om Mệnh đề (về EX) Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất Ta có a) X, Y có phân phối g(X) ∈ L1 (P) g(Y ) ∈ L1 (P) E(g(X)) = E(g(Y )) b) E(c) = c với c ∈ R c) X, Y ∈ L1 (P) αX +βY ∈ L1 (P) vaø E(αX +βY ) = αEX +βEY d) Nếu X ≤ Y hầu chắn EX ≤ EY e) X ≥ hầu chắn EX = X = hầu chắn f) X ∈ L1 (P) |X| ∈ L1 (P) |E(X)| ≤ E(|X|) g) X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập gi : R → R hàm Borel cho gi (Xi ) ∈ L1 (P) co E(g1 (X1 ) gn(Xn )) = E(g1 (X1 )) E(gn (Xn )) ng th an Bài tập Chứng minh định lý (i) Cm E(g(X)) = Eg(Y ) kỹ thuật 4D (ii) Cm b) , c), d), f) tính chất tích phân (iii) Cm e) cách xét tập hợp En = {X ≥ n1 } = {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ n1 } CMR P(E n ) = vaø {X > 0} = ∪∞ n=1 En Từ suy P(X > 0) = cu u du o Mệnh đề (về varX cov(X,Y)) Cho X, Y ∈ L2 (P ), α ∈ R Ta có X ∈ L1 (P ) a) var(X + α) = var(X), var(αX) = α2 var(X), var(α) = b) var(X) = E(X ) − (E(X))2 c) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), neáu X, Y độc lập cov(X, Y ) = d) var(αX + βY ) = α2 varX + β 2var(Y ) + 2αβcov(X, Y ) e) (công thức Biennayme) X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập Xi ∈ L2 (P ) n var n Xi = i=1 varXi i=1 Mệnh đề (về hàm sinh moment) Cho biến ngẫu nhiên X, Y, Xi : Ω → R coù etX , etY , etXi ∈ L1 (P), i = 1, , n khoảng mở (của biến t) chứa Cho X1 , , Xn độc lập 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (n) a) MX (0) = E(X n ) b) MX (t) = MY (t) khoảng mở chứa X, Y có hàm mật độ xác suất c) MX1 + +Xn (t) = MX1 (t) MXn (t) c om Phương pháp tính EX, varX, hàm moment Cách Dùng quy tắc Lazy Statistician: EX = i xP(X = xi ) hay EX = R xfX (x)dx, EX = i x2i P(X = xi ) hay EX = R x2 fX (x)dx công thức varX = EX − (EX)2 MX (t) = i etxi P(X = xi ) hay MX (t) = R etxfX (x)dx Cách Dùng công thức EX = MX (0), EX = M”X (0) an co ng Phương pháp tìm phân phối X + Y hàm sinh moment Bước 1: Ta tìm MX (t), MY (t) Bước 2: Tìm MX+Y cách sử dụng MX+Y (t) = MX (t)MY (t) với X, Y độc lập Bước 3: Từ MX+Y xác định phân phối có hàm sinh moment th BÀI TẬP ng Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối du o (a) Bernoulli(p): X : Ω → {0, 1} với f X (1) = P (X = 1) = p, fX (0) = P (X = 0) = − p u (b) nhị thức Binomial(n,p): f X (k) = P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k với k = 0, 1, , n cu (c) hình học Geom(p): fX (k) = P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, (0 < p < 1) k (d) Poisson(λ): f X (k) = P (X = k) = e−λ λk! Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối (fX (x) = giá trị x không ra) (a) Uniform(a,b): fX (x) = (b) chuẩn N(µ, σ 2): fX (x) = b−a với x ∈ [a, b] √ e− 2πσ2 (x−µ)2 2σ (c) muõ Exp(β) (β > 0): fX (x) = β1 e−x/β (x > 0) 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (d) Gamma(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (e) χ2(p) (p > 0): fX (x) = xα−1e−x/β β α Γ(α) x−1+p/2e−x/2 2p/2 Γ(p/2) (f) Beta(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (x > 0) (x > 0) Γ(α+β) α−1 x (1− x)β−1 Γ(α)Γ(β) (0 < x < 1) Tìm hàm sinh moment biến ngẫu nhiên sau c om (a) Binomial(n, p) (b) P oisson(λ) (c) Chuẩn N(µ, σ ) (d) Gamma(α, β) ng Cho X, Y độc lập CMR co (a) X ∼ Binomial(n, p), Y ∼ Binomial(m, p) X + Y ∼ Binomial(n + m, p) an (b) X ∼ P oisson(λ), Y ∼ P oisson(µ) X + Y ∼ P oisson(λ + µ) th (c) X ∼ Γ(a, β), Y ∼ Γ(b, β) X + Y ∼ Γ(a + b, β) du o ng (d) X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) X + Y ∼ N(µX + 2 µY , σX + σY ) u Các định lý giới hạn cu Định nghóa Cho X, Xn : Ω → R dãy biến số ngẫu nhiên (Ω, M, P) Ta nói p a) Xn hội tụ theo xác suất tới X, ký hiệu Xn → X với > ta coù lim P(|Xn − X| > ) = n→∞ b) Xn hội tụ theo phân bố, ký hiệu Xn X limn→∞ FXn (t) = FX (t) h.c.c c) Xn hội tụ hầu chắn, ký hiệu Xn → X neáu limn→∞ P(Xn → X) = Mệnh đề Các khẳng định sau 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt p a) Xn → X Xn X p h.c.c b) Xn → X Xn → X σ2 k2 ng P(|X − µ| > k) ≤ c om Mệnh đề a) (Bất đẳng thức Markov) Nếu X biến ngẫu nhiên không âm với a, p > ta coù E(X p ) P(X > a) ≤ ap b) (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho X biến ngẫu nhiên có trung bình µ phương sai σ Với k > ta có th an co Định lý (dạng yếu luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ Khi n p Xi → µ n i=1 n n h.c.c i=1 Xi → µ cu u du o ng Định lý (dạng mạnh luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ Khi Mệnh đề Cho Z1 , Z2 , dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân phối tích lũy FZn hàm sinh moment MZn Cho biến số ngẫu nhiên Z có hàm phân phối tích lũy FZ hàm sinh MZ Nếu MZn (t) → MZ (t) với t FZn (z) → FZ (z) z ∈ R mà FZ liên tục Định lý giới hạn trung tâm Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ Đặt Sn = ni=1 Ta có hàm phân phối xác suất Sn − E(Sn ) var(Sn ) = (X1 + + Xn ) − nµ √ σ n 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt xấp xỉ phân phối Gauss n → ∞, nghóa là, với a ∈ R, (X1 + + Xn ) − nµ √ P ≤a σ n → Φ(a) = √ 2π a e−t /2 dt −∞ c om Định lý Moivre-Laplace Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Gọi X số lần thành công n phép thử Khi đó, với a ∈ R, ta coù X − np < a → Φ(a) lim P n→∞ np(1 − p) e−λ λk k! co lim P(X = k) = ng Định lý giới hạn Poisson Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Gọi X số lần thành công n phép thử Khi p → np → λ (0 < λ < ∞) với k = 0, 1, 2, ta có an n→∞ cu u du o ng th Phương pháp áp dụng luật số lớn Bước 1: Kiểm tra tính độc lập phân phối biến ngẫu nhiên Y1 , Y2 , Ta sử dụng tính chất: -Nếu X ∼ Y g(X) ∼ g(Y ) E(g(X)) = E(g(Y )) -Nếu X độc lập với Y g(X) độc lập với h(Y ) Bước 2: Tính µ = E(Y1 ) Bước 3: Áp dụng tính chất lim n→∞ n n Yj = µ h.c.c j=1 Phương pháp áp dụng định lý giới hạn trung tâm Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X1 , , Xn có trung bình phương sai Tìm xác suất P(a < S n < b) với Sn = ni=1 Xi Bước 1: Tìm µ = EXi σ = varXi Bước 2: Chuẩn hóa a − nµ Sn − nµ b − nµ < √ < √ P(a < Sn < b) = P √ nσ nσ nσ b − nµ a − nµ Φ √ −Φ √ nσ nσ 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lưu ý Nếu ta gặp tích Y1 Yn, Yi > ta dùng công thức n P(a < Y1 Yn < b) = P(ln a < ln Yj < ln b) j=1 c om áp dụng định lý giới hạn trung tâm co ng Phương pháp tìm xác suất biến ngẫu nhiên Bernoulli Xét thí nghiệm có xác suất thành công p, xác suất thất bại − p Lặp lại thí nghiệm n lần độc lập Ký hiệu Xi biến ngẫu nhiên xác định bởi: Xi = thí nghiệm thành công, Xi = thí nghiệm thất bại Đặt Sn = X1 + + Xn Sn số lần thí nghiệm thành công n lần thí nghiệm Ta có Sn ∼ Bernoulli(n, p), E(Sn ) = np, var(Sn ) = np(1 − p) Theo định lý giới hạn trung tâm an b − np np(1 − p) ng Φ a − np < np(1 − p) th P(a < Sn < b) = P du o P(Sn < b) = P Sn − np < np(1 − p) Sn − np < np(1 − p) −Φ b − np np(1 − p) a − np np(1 − p) b − np np(1 − p) b − np np(1 − p) 1 P(Sn = k) = P(k − < Sn < k + ) 2 k + − np k − 12 − np Φ −Φ np(1 − p) np(1 − p) cu u Φ Nếu Sn ∼ Bernoulli(n, p) với λ = np nhỏ ta dùng xấp xỉ −λ k Poisson(λ) Khi P(S n = k) e k!λ BÀI TẬP 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho Yi , i = 1, 2, i.i.d có Yi ∼ Binomial(1, p) CM X n = n Xn i=1 Yi ∼ Binomial(n, p) vaø limn→∞ n = p hầu chắn Cho Xj , j = 1, 2, i.i.d với E(|X j |) < ∞ Đặt Yj = eXj CM (Y1 Yn)1/n hội tụ tới số hầu chắn .c om Cho biến ngẫu nhiên Xj , j = 1, 2, i.i.d Giả sử E(|X j |k ) < ∞ CM n lim Xjk = E(X1k ) h.c.c n→∞ n j=1 Cho Xj , j = 1, 2, laø i.i.d vaø X j ∼ N(1, 3) CM ng X1 + + Xn = 2 n→∞ X1 + + Xn h.c.c co lim n g(Xj (ω)) = ng lim n→∞ n th an (Phương pháp Monte-Carlo) Cho hàm số g : (a, b) → R g khả tích Riemann (a, b) Cho dãy Xj biến ngẫu nhiên i.i.d coù Xj ∼ Uniform(a, b) CM b g(x)dx h.c.c a du o j=1 b−a cu u Moät công ty định giá bảo hiểm lốc xoáy sử dụng giả thiết sau: a) Mỗi năm có nhiều lốc xoáy, b) Xác suất lốc xoáy 0.05, c) số lốc xoáy hàng năm độc lập với Tính xác suất để có lốc xoáy 20 năm Một công ty lập quỹ có trị giá 120 triệu đồng để thưởng cho nhân viên có thành tích cao năm Mỗi người thưởng C triệu đồng Công ty có 20 nhân viên xác suất đạt thành tích cao nhân viên 0.02 Xác định số C để xác suất quỹ bị hết vốn thấp 0.01 Một kỳ thi trắc nghiệm có 40 câu, câu có đáp án Một sinh viên cảm thấy khả làm câu 0.5 Tìm xác suất để sinh viên giải 25 câu 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lãi suất tính theo năm tiền đầu tư biến ngẫu nhiên độc lập ri (i = 1, , n) với ri = 0.06 với xác suất 0.3; ri = 0.08 với xác suất 0.4;ri = 0.10 với xác suất 0.3 Tìm kỳ vọng phương sai ln(1 + ri ) Khi đầu tư 1$ số tiền tích lũy sau n năm AVn = (1 + r1) (1 + rn ) $ Sử dụng định lý giới hạn trung tâm để tìm xác suất tiền tích lũy cuối năm thứ 20 nhỏ 5$ cu u du o ng th an co ng c om 10 Lãi suất tính theo năm tiền đầu tư biến ngẫu nhiên độc lập ri (i = 1, , n) với ri = 0.08; 0.12 với xác suất 0.4; 0.6 Tìm kỳ vọng phương sai ln(1 + ri ) Đầu tư 10 000$ Tìm xác suất để số tiền tích lũy cuối năm thứ 40 tối thiểu 400 000 $ 34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... σ? ?đại số M σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh đề .c om Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z không gian đo f : X → Y , g : Y → Z đo g ◦ f đo b) Nếu X không gian đo được, f : X → Rn đo g : Rn → Rk đo Borel g ◦ f đo. .. nhiên c om Định nghóa Trên không gian xác suất (Ω, M, P), ánh xạ đo X : Ω → Rk gọi biến ngẫu nhiên Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên X tập Borel B ⊂ Rk , ta đặt PX (B) = P(X ∈ B) Khi đó, PX độ đo xác. ..gọi tập Borel Các tập Borel thông thường tập mở Rn , tập đóng Rn , giao đếm tập mở, hội đếm tập đóng ∞ µ An = n=1 ∞ c om Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Một ánh xạ µ : M → [0, ∞] gọi độ đo