Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiên V = (X1, ..., Xk). Hàm FV(x1, ..., xk) =
P(X1 ≤ x1, ..., Xk≤xk)gọi là hàm xác suất tích lũy của V.
Mệnh đề Ta có
a)0≤FV(x1, ..., xk)≤ 1với mọi (x1, ..., xk)∈Rk,
lim
xi→−∞,∀iFV(x1, ..., xk) = 0, lim
xi→+∞,∀iFV(x1, ..., xk) = 1.
b) Nếu Xi là các biến ngẫu nhiên rời rạc, đặt fV(x1, ..., xk) = P(X1 = x1, ..., Xk=xk), (x1, ..., xk)∈J thì P
(x1,...,xk)∈JfV(x1, ..., xk) = 1 và
FV(x1, ..., xk) = X
s1≤x1,...,sk≤xk
fV(s1, ..., sk)
c) NếuXi là các biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm mật độfV(x1, ..., xk)≥0,
R RkfVdmk = 1, FV(x1, ..., xk) = Z x1 −∞ ... Z xk −∞ fV(s1, ..., sk)ds1...dsk
và fV = ∂kfV
∂x1...∂xk
Định nghĩa. Các biến số ngẫu nhiênXi : Ω→R, i= 1, ..., n, gọi làđộc lập nếu với mọi tập Borel đo được Bi ⊂ R, i= 1, ..., nhọ các biến cố (X ∈Bi),
i= 1, ..., n là độc lập.
Mệnh đề Cho các biến ngẫu nhiên (Xi)i=1,...,n độc lập và gi :R→R là các hàm Borel thì g1(X1), ..., gn(Xn) độc lập.
Mệnh đề Họ các biến ngẫu nhiên (Xi)i=1,...,n là độc lập khi với mọi họ các số nguyên 1≤i1 < ... < ik≤n ta có.
FXi1...Xik(xi1, ..., xik) =FXi1(xi1)...FXik(xik)
Trong đó FXi1...Xik là hàm xác suất tích lũy đồng thời của họ Xi1, ..., Xik và
FXi là hàm xác suất tích lũy của Xi.
Mệnh đề. Chọ (Xi)i=1,...,n là các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập. với mọi họ các số nguyên 1≤i1 < ... < ik ≤n ta có
fXi1...Xik(xi1, ..., xik) =fXi1(xi1)...fXik(xik)
với fXi1...Xik(xi1, ..., xik) =P(Xi1 =xi1, ..., Xik =xik).
Mệnh đề Cho X, Y : Ω →R là hai biến ngẫu nhiên độc lập và liên tục, khi đó a)fX+Y(z) =fX ∗fY(z) :=R∞ −∞fX(z−y)fY(y)dy b)fX/Y(z) =R∞ 0 yfX(zy)fY(y)dy Mệnh đềTa có a) nếuX ∼N(0,1) thì X2 ∼χ2(1) b) nếu X ∼ N(0,1) và Y ∼ χ2(m) độc lập thì Z = Y /X√ m có phân phối Student với tham số n
c) nếu X ∼χ2(n),Y ∼χ2(m)độc lập thì X+Y ∼χ2(m+n)
d) nếuX ∼χ2(n), Y ∼χ2(m) độc lập thì Z =Y /mX/n có phân phối Fisher- Snedecor với tham số (m, n).
Mệnh đề Cho X ∼N(µX, σ2
X), Y ∼N(µY, σ2
Y)độc lập. Cho X1, ..., Xn độc lập và có cùng phân phối N(µ, σ). Khi đó
a)cX +d∼N(cµX +d, c2σ2 X) b)(X−µX)/σX ∼N(0,1) c) X+Y ∼N(µX +µY, σ2 X +σ2 Y) d)X = 1 n Pn i=1Xi ∼N(µ,σ2 n) e) 1 σ2 Pn i=1(Xi −µ)2 ∼χ2(n). Phương pháp tìm hàm mật độ của Z =r(X, Y) Bước 1Tìm tập hợp Bz ={(x, y) :r(x, y)≤z} Bước 2Tính FZ =P(Z ≤z) =R BzfX,Y(x, y)dxdy Bước 3Tính fZ =F0 Z BÀI TẬP 1. Tìm hàm mật độ của
(a) Z = X±Y với X, Y độc lập và có phân phối đều trên khoảng
(0,1). Nhắc lại, Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn
(a, b)(ký hiệu X ∼ Uniform(a, b)) nếu fX(x) = 1
b−a nếu x ∈
(a, b), fX(x) = 0 nếu x6∈(a, b).
(b) Z = X/Y với X, Y độc lập và có phân phối đều trên khoảng
(0,1).
(c) Z = max{X1, ..., Xn} biết X1, ..., Xn độc lập và có cùng phân phối fX. HD: max{x1, ..., xn} ≤z nghĩa làx1 ≤z, ..., xn≤z. (d) Z = min{X1, ..., Xn}biếtX1, ..., Xnđộc lập và có cùng phân phối
fX.