Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2017

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2017 Độ đo xác suất c om Độ đo co ng Định nghóa Cho M họ tập tập X Ta nói M σ-đại số M thỏa a) X ∈ M, b) Nếu A ∈ M Ac ∈ M c) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ∪∞ n=1 An ∈ M Khi (X, M) gọi không gian đo phần tử M gọi tập đo th an Hệ Cho (X, M) không gian đo Ta có a) ∅ ∈ M, b) Nếu An ∈ M n = 1, 2, ∩∞ n=1 An ∈ M Ai = du o A\ ng Bài tập Chứng minh hệ cách sử dụng luật De Morgan i∈I i∈I (A \ Ai ), A \ Ai = i∈I i∈I (A \ Ai ) cu u Mệnh đề a) Nếu Mi (i ∈ I) họ σ-đại số X ∩i∈I Mi σ-đại số Cho F ⊂ P(X) b) Ñaët σ(F ) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M} Khi đó, σ(F ) sigma-đại số nhỏ chứa F , nghóa cho sigma-đại số M, F ⊂ M ⇒ σ(F ) ⊂ M Ta noùi σ(F ) σ-đại số sinh F Bài tập a) Chứng minh ba tính chất σ-đại số b) CM tính nhỏ σ(F ) Định nghóa Cho τ họ tập mở Rn Khi σ-đại số nhỏ Rn chứa τ gọi σ-đại số Borel ký hiệu B(Rn ) Các phần tử B(Rn ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt gọi tập Borel Các tập Borel thông thường tập mở Rn , tập đóng Rn , giao đếm tập mở, hội đếm tập đóng ∞ µ An = n=1 ∞ c om Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Một ánh xạ µ : M → [0, ∞] gọi độ đo (dương) a) Tồn A ∈ M cho µ(A) < ∞, b) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) µ(An ) n=1 ng Khi (X, M, µ) gọi không gian đo Nếu µ(X) = µ gọi độ đo xác suất (X, M, µ) gọi không gian xác suaát = = = = F+ (b) − F− (a), F− (b) − F+ (a), F− (b) − F− (a), F+ (b) − F+ (a), th an µF ([a, b]) µF ((a, b)) µF ([a, b)) µF ((a, b]) co Mệnh đề Với hàm tăng F : R → R tồn độ đo ký hiệu µF , gọi độ đo Stieljes, xác định σ-đại số Borel B(R) cho với a < b ta có ng F+ (x) = limt→x+ F (t) F− (x) = limt→x− F (t) du o Định nghóa Nếu chọn F (x) = x µF gọi độ đo Lebesgue R ký hiệu m hay m1 Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) = m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b − a với a, b ∈ R, a < b cu u Định lý Cho (X, M, µ) không gian đo Ta có a) µ(∅) = 0, b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, , m vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) m µ m An = n=1 µ(An ) n=1 c) Nếu A, B ∈ M A ⊂ B µ(A) ≤ µ(B) d) Nếu An ∈ M An ⊂ An+1 , , n = 1, 2, lim µ(An ) = µ n→∞ ∞ An n=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) Neáu An ∈ M, An+1 ⊂ An , µ(A1 ) < ∞, n = 1, 2, ∞ lim µ(An ) = µ n→∞ An n=1 f) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, An n=1 ≤ ∞ µ(An ) .c om µ ∞ n=1 th an co ng Bài tập CM tính chất d) theo bước sau i) Đặt B1 = A1 , Bn = An \ An−1 , n = 2, 3, CM B i ∩ Bj = ∅ i = j ii) CM A n = ∪ni=1 Bi iii) CM A = ∪ ∞ i=1 Bi iv) Tính µ(A n ) vaø µ(A) theo µ(Bi ) v) Suy đpcm BÀI TẬP ng Cho X = {a, b, c} Tìm σ-đại số chứa A = {a} Đặt F = {A} σ-đại số nhỏ σ(F ) gì? Chỉ tập hợp đo được, tập hợp không đo theo σ(F ) u du o Cho X = {a, b, c, d} Tìm σ-đại số chứa B = {a, b} Đặt F = {B} σ-đại số nhỏ σ(F ) gì? Chỉ tập hợp đo được, tập hợp không đo theo σ(F ) cu Cho a, b ∈ R, a < b CMR tập hợp [a, ∞), (−∞, b], [a, b), (a, b] tập Borel Tập hợp {a} với a ∈ R có phải tập Borel không? Cho a, b ∈ R, a < b Cho F = {(a, ∞) : a ∈ R} (a) CMR σ(F 0) ⊂ B(R) (b) Cho M σ-đại số R giả sử (a, ∞) ∈ M với a ∈ R Sử dụng đẳng thức [a, ∞) = ∞ n=1 a − n , ∞ CMR [a, ∞) ∈ M Suy (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] tập hợp M Từ suy σ(F0) có tính chất M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) Cho tập hợp U mở R Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợp khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) đếm được, đó, ta viết khoảng dạng dãy (In ), n = 1, 2, CMR ∞ U = n=1 In Từ suy U ∈ σ(F0) với tập mở U ⊂ R (d) Sử dụng điều CMR σ(F 0) = B(R) Hàm đo c om (e) Tìm họ tập hợp F khác thỏa σ(F ) = B(R) ng Mệnh đề Cho (X, M) không gian đo f : X → Y Khi tập Nf = {W ⊂ Y : f −1 (W ) ∈ M} co σ-đại số Y ng th an Định nghóa Cho (X, M), (Y, N ) hai không gian đo Ánh xạ f : X → Y gọi làđo f −1 (W ) ∈ M với W ∈ N Nếu (X, M) = (Rn , B(Rn)), (Y, N ) = (Rk , B(Rk )) f gọi Borel đo hay gọi vắn tắt hàm Borel du o Định lý Cho (X, M), (Rk , B(Rk )) không gian đo Ánh xạ f : X → Rk đo f −1 (U) ∈ M với U tập mở Rn cu u Bài tập CM Định lý theo bước sau: i) Đặt Nf = {W ⊂ Rk : f −1 (W ) ∈ M} CM N f σ-đại số k R ii) CM B(R k ) ⊂ Nf Hệ Mọi ánh xạ liên tục f : Rn → Rk hàm Borel đo Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục tập mở tập mở tính chất F ⊂ σ−đại số M σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh đề Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z không gian đo f : X → Y , g : Y → Z đo g ◦ f đo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Nếu X không gian đo được, f : X → Rn đo g : Rn → Rk đo Borel g ◦ f đo Bài tập a) Chứng minh tính chất (g ◦ f) −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) với A ⊂ Z b) CM mệnh đề ng c om Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo điều sau với a ∈ R a) (f ≥ a) := f −1 ([a, ∞]) đo b) (f > a) := f −1 ((a, ∞]) đo c) (f ≤ a) := f −1 ([−∞, a]) đo d) (f < a) := f −1 ([−∞, a)) đo e) (f ∈ (a, b)) := f −1 ((a, b)) ño với a < b f) (f ∈ V ) := f −1 (V ) đo với tập mở V ⊂ R du o ng th an co Bài tập Cm mệnh đề theo bước sau i) CM (f > a) = ∪ ∞ n=1 f ≥ a + n Từ CM a) ⇒ b) ii) CM b) ⇒ c) iii) CM (f < a) = ∪ ∞ n=1 f ≤ a − n Từ CM c) ⇒ d) iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a) Từ CM (f ∈ [a, b)) đo CM a + δ n < b với δn = b−a (f ∈ (a, b)) = ∪∞ n=1 (f ∈ [a + δn , b) Từ 2n CM d) ⇒ e) v) Sử dụng tính chất: tập mở V R viết dạng V = ∪∞ n=1 (an , bn ), an < bn , CM e) ⇒ f) u Mệnh đề Cho u, v : X → R hàm số đo Φ : R2 → R liên tục h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) ánh xạ đo cu Mệnh đề Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] đo sup fn , inf fn , lim sup fn , lim inf fn đo Bài tập Đặt g(x) = supn fn (x), h(x) = inf n fn (x) CM ∞ (g > a) = ∪∞ n=1 (fn > a), (h < a) = ∪n=1 (fn < a) Từ CM mệnh đề Định nghóa Cho H tập hợp, A ⊂ H Khi ta định nghóa IA (x) = (x ∈ A) (x ∈ H \ A) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm ký hiệu χA Mệnh đề Cho X không gian đo được, A ⊂ X Khi IA đo A đo Bài tập CM mệnh đề cách tìm I−1 A (V ) với V mở Xét trường hợp a) ∈ V, ∈ V ; b) ∈ V, ∈ V ; c) ∈ V, ∈ V ; d) ∈ V, ∈ V c om Định nghóa Cho X không gian đo Cho s : X → R Hàm s gọi hàm đơn s(X) có hữu hạn giá trị co ng Mệnh đề Cho hàm s : X → R có s(X) = {α1 , , αn} với αi = αj với i = j Đặt Ai = s−1 (αi ), ta có n a) Ai ∩ Aj = ∅ với i = t vaø i=1 Ai = X b) s = ni=1 αi IAi , c) với g : R → R ta coù g(s(x)) = ni=1 g(αi )IAi d) hàm s đo Ai đo với i = 1, 2, an Bài tập Chứng minh mệnh đề du o ng th Định lý Với hàm đo f : X → [0, ∞] tồn hàm đơn đo không âm sn X cho a) ≤ s1 ≤ s2 ≤ ≤ f, b) sn (x) → f(x) n → ∞ với x ∈ X cu u Bài tập i) Ký hiệu [α] số nguyên lớn không vượt α ∈ R CM α − ≤ [α] ≤ α α ≤ β [α] ≤ [β] n ii) Đặt ϕn (t) = [22nt] (0 ≤ t ≤ n) vaø ϕn (t) = n với t > n CM t − 2−n ≤ ϕn (t) ≤ t với ≤ t ≤ n Từ suy limn→∞ ϕn (t) = t iii) CM ϕ n (t) ≤ ϕn+1 (t) iv) CM n2n −1 k ϕn (t) = I k k+1 (t) + nI[n,∞) (t) 2n [ 2n , 2n ) k=0 v) Đặt sn (x) = ϕn (f(x)) CM (s n ) thỏa định lý BÀI TẬP Sử dụng tính chất (D): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt f −1 ((a, ∞]) đo với a ∈ R CMR hàm f(x) = 2x đo Borel R Có cách chứng minh khác không? Cho f(x) = x2 Hỏi f có đo Borel hay không? kiểm tra trực tiếp tính chất (D) Bài tập tương tự với (b) f(x) = x−4 (x = 0) vaø f(0) = −∞ (c) f(x) = x−1 (x = 0) vaø f(0) = .c om (a) f(x) = x−2 (x = 0) f(0) = +∞ ng Tích phân Lebesgue hàm không âm co Định nghóa Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho hàm đơn đo s : X → R, s(X) = {α1 , , αn} với αi ≥ (i = 1, , n) Ta định nghóa an n th s(x)dµ(x) = E i=1 αi µ(Ai ∩ E) ng Ai = (s = αi ) := s−1 (αi ) Neáu f : X → R đo được, ta định nghóa s(x)dµ(x) du o f(x)dµ(x) = sup E 0≤s≤f E s hàm đơn đo cu u Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ), A, B, E ∈ M, f, g : X → R laø hàm đo a) ≤ f ≤ g E fdµ ≤ E gdµ b) A ⊂ B f ≥ A fdµ ≤ B fdµ c) f ≥ ≤ c < ∞ E cfdµ = c E fdµ d) f ≥ E fdµ = X fIE dµ e) f(x) = c ≥ với x ∈ E E f(x)dµ = cµ(E) f) µ(E) = 0, f ≥ E fdµ = Bài tập Chứng minh mệnh đề theo hướng dẫn sau a) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM E s(x)dµ ≤ suy đpcm E g(x)dµ Từ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om b) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM A s(x)dµ ≤ B s(x)dµ Từ cm mệnh đề c) Lấy s ≥ đơn, đo CM c E s(x)dµ = E cs(x)dµ Suy ra: ≤ s ≤ f c E s(x)dµ ≤ E cf(x)dµ Từ CM c E f(x)dµ ≤ E cf(x)dµ suy E cf(x)dµ ≤ c E f(x)dµ d) Lấy s ≥ đơn, đo CM E s(x)dµ = X s(x)IE (x)dµ Từ suy ≤ s ≤ f E s(x)dµ ≤ X f(x)IE (x)dµ Mặt khác, s đơn ≤ s ≤ fIE X s (x)dµ ≤ E f(x)dµ Từ suy đpcm e) Áp dụng câu d) f) Lấy s đơn, đo ≤ s ≤ f CM E s(x)dµ = Suy f) φ(E) = co ng Mệnh đề Cho s,t hai hàm đơn đo không âm (X, M, µ), E ∈ M Ta có a) Hàm ϕ : M → [0, ∞) xác định sdµ E tdµ th độ đo dương M b) E (s + t)dµ = E sdµ + an E du o ng Bài tập a) Giả sử s = ni=1 αi IAi với s(X) = {α1 , , αn} Ai = s−1 (αi ) Viết biểu thức φ(E) Từ CM tính chất độ đo b) Giả sử thêm t = ki=1 βi IBj với t(X) = {β1, , βk} vaø Bj = t−1 (βj ) CM E∩Ai ∩Bj (s + t)dµ = E∩Ai ∩Bj sdµ + E∩Ai ∩Bj tdµ Từ suy mệnh đề cu u Định lý hội tụ đơn điệu Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho (f n ) dãy hàm đo X cho a) ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) với n ≥ n0 b) fn (x) → f(x) n → ∞ với x ∈ X Khi f hàm đo không âm lim n→∞ fn dµ = E lim fn dµ = E n→∞ fdµ E ho Bài tập Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo câu sau: a) CM L = limn→∞ E fn dµ tồn L ≤ E fdµ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Cho c ∈ (0, 1), s hàm đơn đo thỏa ≤ s ≤ f Đặt An = {x ∈ X : fn (x) ≥ cs(x)} CM A n ⊂ An+1 vaø X = ∞ n=1 An c) CM c E∩An sdµ ≤ E fn dµ d) CM limn→∞ E∩An sdµ = E sdµ e) suy E sdµ ≤ L Từ E fdµ ≤ L (g + h)dµ = gdµ + X ∞ fn dµ = X n=1 hdµ X ∞ ng X c om Mệnh ñeà Cho fn , g, h : X → [0, ∞] hàm đo không âm (X, M, µ) Ta có fn dµ co n=1 X th an Bài tập Chọn hai dãy hàm đơn đo sn , tn thoûa ≤ s1 ≤ s2 ≤ , ≤ t1 ≤ t2 ≤ vaø limn→∞ sn = g, limn→∞ tn = h Dùng định lý hội tụ đơn điệu để CM mệnh đề ng Bổ ñeà Fatou Cho f n : X → [0, ∞] hàm đo không âm Khi du o lim inf n→∞ X fn dµ ≥ lim inf fn dµ X X cu u Bài tập Đặt gn (x) = inf k≥n fk (x) a) CM gn ≤ gn+1 b) CM X gn dµ ≤ X fn dµ c) Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu suy kết Mệnh đề Cho f : X → [0, ∞] hàm đo được, Với E ∈ M, đặt ϕ(E) = fdµ E Khi ϕ độ đo dương M Hơn gdϕ = X gfdµ X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt với hàm đo không âm g : X → [0, ∞] Lưu ý Để chứng minh số tính chất tích phân Lebesgue với hàm f dùng kỹ thuật 4D: 1) CM cho hàm đặc trưng, 2) CM cho hàm đơn đo được, 3) CM cho hàm dương đo được, 4) CM cho hàm đo có dấu co ng c om Bài tập Lấy Ai , i = 1, 2, tập đo rời X n n n a) Sử dụng tính chất ISni=1 Ai = i=1 IAi , CM ϕ( i=1 Ai ) = i=1 ϕ(Ai ) b) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu suy tính chất cộng tính đếm ϕ c) CM công thức X gdϕ = X gfdµ g hàm đơn, đo không âm d) Với hàm g ≥ 0, chọn dãy sn hàm đơn đo thỏa ≤ s1 ≤ s2 limn→∞ sn = g Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu CM công thức X gdϕ = gfdµ X th an Định nghóa Cho (X, M) không gian đo Độ đo λ : M → [0, ∞] gọi liên tục tuyệt đối so với độ đo µ : M → [0, ∞] với E ∈ M µ(E) = λ(E) = Ta ký hiệu λ µ du o ng Định lý Radon-Nikodym Cho (X, M, µ không gian đo Giả sử µ σ-hữu hạn, nghóa tồn Ei ∈ M với µ(Ei ) < ∞ X = ∞ n=1 Ei Nếu λ độ đo dương M thỏa λ µ tồn hàm đo không âm h cho λ(E) = hdµ E cu u với E ∈ M Ta nói h đạo hàm Radon-Nikodym λ µ ký hiệu h = dλ hay hdµ = dλ dµ Tích phân Lebesgue hàm tổng quát Định nghóa Cho không gian đo (X, M, µ) cho f : X → [−∞, ∞] đo Ta nói f khả tích Lebesgue với độ đo µ X |f(x)|dµ(x) < ∞ 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (iv) Sử dụng tính chất đơn điệu tính chất P(Ac ) = − P(A) để CM d) Định nghóa Biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk gọi biến ngẫu nhiên liên tục PX mk , nghóa với tập Borel đo B Rk thỏa mk (B) = PX (B) = P(X ∈ B) = c om Meänh đề Nếu biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk biến ngẫu nhiên liên tục tồn hàm khả tích Lebesgue fX : Rk → R (gọi hàm mật độ X) cho fX (x) ≥ với tập Borel B ∈ Rk ta có fX (x)dmk (x) B co ng Mệnh đề Xét biến số ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R Khi ∞ a) fX (x) ≥ −∞ fX (x)dx = 1, b an b) P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx c) FX (x) = fX (x) điểm liên tục x fX ng th Định nghóa Biến ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R gọi có phân phối chuẩn với trung bình µ độ lệch chuẩn σ, ký hiệu X ∼ N(µ, σ2 ), 2πσ e− (x−µ)2 2σ du o fX (x) = √ Nếu µ = 0, σ = ta nói X có phân phối Gauss cu u Mệnh đề Nếu X ∼ N(µ, σ 2) ta có P(X > µ + a) = P(X < µ − a), P(X < µ) = 0, Ngoaøi biến ngẫu nhiên Z = X−µ có phân phối Gauss σ Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R coù X(Ω) = {xj | j ∈ J } với J ⊂ N Ta nói X biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm số fX (x) = P (X = x) gọi hàm mật độ X Mệnh đề Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc lấy giá trị xi , i ∈ I Khi pi := fX (xi ) ≥ i∈I pi = Phương pháp tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục định nghóa Cho X có hàm mật độ fX Ta tìm hàm mật độ Y = h(X) 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bước 1: với y ∈ R ta tìm tập Ay = {x : h(x) ≤ y} Bước 2: Tìm Fh(X)(y) = P (h(X) ≤ y) = Ay fX (x)dx Bước 3: Tìm Fh(X) = fh(X) BÀI TẬP Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên CMR P(X = x) = F (x) − F (x − ) Cho X ∼ N(µ, σ 2) (b) Chứng tỏ X−µ σ ∼ N(0, 1), ng (a) Chứng tỏ cX + d ∼ N(cµ + d, c2 σ 2), c om Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm fcX+d theo fX co (c) Cho X ∼ N(3, 4), tính P(1 < X < 3), an (d) Cho X ∼ N(1, 9), tính a, b để P(X < a) = 0, 506, P(X > b) = 0, 198 th (e) Cho X ∼ N(20, 4; 3, 52 ) Tìm P(X < 18, 1), P(X > 17, 9), P(X < 18, 1|X > 17, 9) Tìm t để P(X < t) = 0, 444 du o ng (f) Cho X ∼ N(5, σ ) Cho P(X < 3) = 0, Tìm P(X ≥ 7), P(X < 7), P(3 ≤ X < 7) (g) Cho Y ∼ N(12, σ ) P(10 ≤ Y < 14) = 0, Tìm P(Y ≥ 14), P(Y < 10), P(12 ≤ Y < 14), P(Y < 14|Y > 12) cu u (h) Cho X ∼ N(−5, σ 2) Cho P(X < −3) = 0, Tìm P(X < 7), P(−7 < X < −5) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX Tìm hàm mật độ Y = eX với (a) fX (x) = e−x với x ≥ 0, fX (x) = với x < (b) X ∼ N(0, 1) (c) X ∼ N(µ, σ ) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX (a) Tìm fX theo fX , 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (b) Tìm f X neáu X ∼ N(0, 1), (c) Cho X ∼ Uniform(−1, 3) Tìm f X Cho X có hàm xác suất tích lũy FX (a) CM P (X = x) = F X (x) − FX (x− ) (b) Tìm F X + với X + = max{X, 0} .c om Một máy đóng gói bột mì đóng bao có trọng lượng tuân theo phân phối chuẩn có trung bình 150 kg độ lệch chuẩn 0,5 kg Chọn ngẫu nhiên bao, tìm xác suất để bao có trọng lượng a) < 149 kg; b) > 151,5 kg; c) naèm 149 kg 151 kg an co ng Một nhà nông chở 850 bắp cải bán Giả sử trọng lượng bắp cải biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,1 kg độ lệch chuẩn 150 g Nếu nhà nông lấy ngẫu nhiên bắp cải xác suất để có trọng lượng nằm 1,2 kg đến 1,3 kg Ước lượng xem có bắp cải có trọng lượng > 1,4 kg? ng th Điểm số kỳ thi tuân theo phân phối chuẩn có trung bình µ độ lệch chuẩn σ Giả sử thang điểm 100 Nếu 10% thí sinh đạt 80 điểm 20% thí sinh thấp 45 điểm Tìm µ, σ du o 10 Khối lượng gói rau bán siêu thị rau biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 550 g độ lệch chuẩn 20 g u (a) Chọn ngẫu nhiên gói rau Tìm xác suất để gói rau có trọng lượng khoảng 500 g đến 600 g cu (b) Trong ngày có 1200 gói rau bán Tìm số rau mà trọng lượng > 540 g (c) Tại siêu thị gần đó, 15% gói rau bán có trọng lượng 600 g không nhiều 10% rau bán có trọng lượng < 540 g Giả sử trọng lượng rau M gói rau siêu thị tuân theo phân phối chuẩn Tìm trung bình độ lệch chuẩn M Véc-tơ ngẫu nhiên 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên V = (X1 , , Xk ) Haøm FV (x1, , xk) = P (X1 ≤ x1, , Xk ≤ xk ) gọi hàm xác suất tích lũy V Mệnh đề Ta có a) ≤ FV (x1 , , xk) ≤ với (x1, , xk ) ∈ Rk , FV (x1, , xk) = 0, lim xi →+∞,∀i FV (x1, , xk) = .c om lim xi →−∞,∀i b) Nếu Xi biến ngẫu nhiên rời rạc, đặt fV (x1 , , xk) = P (X1 = x1, , Xk = xk ), (x1, , xk) ∈ J (x1 , ,xk )∈J fV (x1, , xk) = vaø FV (x1, , xk) = fV (s1, , sk ) ng s1 ≤x1 , ,sk ≤xk co c) Nếu Xi biến ngẫu nhiên liên tục hàm mật độ fV (x1 , , xk) ≥ 0, f dmk = 1, Rk V x1 xk an FV (x1, , xk ) = −∞ ∂ k fV ∂x1 ∂xk th vaø fV = fV (s1 , , sk )ds1 dsk −∞ du o ng Định nghóa Các biến số ngẫu nhiên Xi : Ω → R, i = 1, , n, goïi độc lập với tập Borel đo Bi ⊂ R, i = 1, , n họ biến cố (X ∈ Bi ), i = 1, , n độc lập cu u Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập gi : R → R hàm Borel g1 (X1 ), , gn(Xn ) độc lập Mệnh đề Họ biến ngẫu nhiên (Xi )i=1, ,n độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù FXi1 Xik (xi1 , , xik ) = FXi1 (xi1 ) FXik (xik ) Trong FXi1 Xik hàm xác suất tích lũy đồng thời họ Xi1 , , Xik FXi hàm xác suất tích lũy Xi Mệnh đề Chọ (Xi )i=1, ,n biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập với họ số nguyên ≤ i1 < < ik ≤ n ta coù fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = fXi1 (xi1 ) fXik (xik ) 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt với fXi1 Xik (xi1 , , xik ) = P (Xi1 = xi1 , , Xik = xik ) Meänh đề Cho X, Y : Ω → R hai biến ngẫu nhiên độc lập liên tục, ∞ a) fX+Y (z) = fX ∗ fY (z) := −∞ fX (z − y)fY (y)dy ∞ b) fX/Y (z) = yfX (zy)fY (y)dy co ng c om Meänh đềTa có a) X ∼ N(0, 1) X ∼ χ2 (1) b) neáu X ∼ N(0, 1) Y ∼ χ2(m) độc lập Z = Y /X√m có phân phối Student với tham số n c) X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập X + Y ∼ χ2(m + n) d) neáu X ∼ χ2(n), Y ∼ χ2(m) độc lập Z = YX/n có phân phối Fisher/m Snedecor với tham số (m, n) ng th an Mệnh đề Cho X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) độc lập Cho X1 , , Xn độc lập có phân phối N(µ, σ) Khi a) cX + d ∼ N(cµX + d, c2 σX ) b) (X − µX )/σX ∼ N(0, 1) c) X + Y ∼ N(µX + µY , σX + σY2 ) d) X = n1 ni=1 Xi ∼ N(µ, σn ) e) σ12 ni=1 (Xi − µ)2 ∼ χ2 (n) cu u du o Phương pháp tìm hàm mật độ Z = r(X, Y ) Bước Tìm tập hợp Bz = {(x, y) : r(x, y) ≤ z} Bước Tính FZ = P (Z ≤ z) = Bz fX,Y (x, y)dxdy Bước Tính fZ = FZ BÀI TẬP Tìm hàm mật độ (a) Z = X ± Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) Nhắc lại, Biến ngẫu nhiên X có phân phối đoạn (a, b)(ký hiệu X ∼ Uniform(a, b)) neáu fX (x) = b−a neáu x ∈ (a, b), fX (x) = neáu x ∈ (a, b) (b) Z = X/Y với X, Y độc lập có phân phối khoảng (0, 1) 26 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (c) Z = max{X1 , , Xn } bieát X1 , , Xn độc lập có phân phối fX HD: max{x1, , xn} ≤ z nghóa x1 ≤ z, , xn ≤ z (d) Z = min{X1 , , Xn} biết X1 , , Xn độc lập có phân phối fX c om Các tham số đặc trưng an co ng Định nghóa Cho (Ω, M, P) không gian xác suất X, Y biến ngẫu nhiên Ω Nếu X ∈ L1 (P) ta định nghóa a) Kỳ vọng (expectation, hay trung bình) X: µX = EX := Ω X(ω)dP(ω) b) Phương sai (variance) X: varX := E(X − µX )2 c) Môment thứ n X: E(X n ) d) Hàm sinh môment (moment generating function) X: MX (t) = E(etX ) e) Hiệp phương sai (covariance) cuûa X, Y : cov(X, Y ) = E(X − µX )(Y − µY ) du o ng th Định lý (Quy tắc Lazy Statistician) Cho X : Ω → R k biến ngẫu nhiên có hàm mật độ fX g : Rk → R hàm Borel a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, X(Ω) = {x1, x2, } E(g(X)) = g(xi )P(X = xi ) = i g(xi )fX (xi ) i cu u b) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục g(X) ≥ hay g(X) ∈ L1 (P) E(g(X)) = g(x)fX (x)dx Rk Bài tập Dùng kỹ thuật 4D chứng minh định lý cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục theo bước sau: (i) Xét trường hợp g(x) = IB (x) với B ∈ B(Rk ) CM g(X(ω)) = I X∈B (ω) Từ suy đẳng thức (ii) Cm cho trường hợp g hàm đơn (iii) Cm cho trường hợp g ≥ 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (iv) Cm cho trường hợp tổng quát cách dùng phân tích g = g + − g − ng c om Mệnh đề (về EX) Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất Ta có a) X, Y có phân phối g(X) ∈ L1 (P) g(Y ) ∈ L1 (P) E(g(X)) = E(g(Y )) b) E(c) = c với c ∈ R c) neáu X, Y ∈ L1 (P) αX +βY ∈ L1 (P) E(αX +βY ) = αEX +βEY d) Nếu X ≤ Y hầu chắn EX ≤ EY e) X ≥ hầu chắn EX = X = hầu chắn f) X ∈ L1 (P) |X| ∈ L1 (P) |E(X)| ≤ E(|X|) g) neáu X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập gi : R → R hàm Borel cho gi (Xi ) ∈ L1 (P) co E(g1 (X1 ) gn(Xn )) = E(g1 (X1 )) E(gn (Xn )) ng th an Bài tập Chứng minh định lý (i) Cm E(g(X)) = Eg(Y ) kỹ thuật 4D (ii) Cm b) , c), d), f) tính chất tích phân (iii) Cm e) cách xét tập hợp En = {X ≥ n1 } = {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ n1 } CMR P(E n ) = vaø {X > 0} = ∪∞ n=1 En Từ suy P(X > 0) = cu u du o Mệnh đề (về varX vaø cov(X,Y)) Cho X, Y ∈ L2 (P ), α ∈ R Ta có X ∈ L1 (P ) a) var(X + α) = var(X), var(αX) = α2 var(X), var(α) = b) var(X) = E(X ) − (E(X))2 c) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), X, Y độc lập cov(X, Y ) = d) var(αX + βY ) = α2 varX + β 2var(Y ) + 2αβcov(X, Y ) e) (coâng thức Biennayme) X1 , , Xn : Ω → R biến ngẫu nhiên độc lập Xi ∈ L2 (P ) n var n Xi = i=1 varXi i=1 Mệnh đề (về hàm sinh moment) Cho biến ngẫu nhiên X, Y, Xi : Ω → R coù etX , etY , etXi ∈ L1 (P), i = 1, , n khoảng mở (của biến t) chứa Cho X1 , , Xn độc lập 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (n) a) MX (0) = E(X n ) b) neáu MX (t) = MY (t) khoảng mở chứa X, Y có hàm mật độ xác suất c) MX1 + +Xn (t) = MX1 (t) MXn (t) c om Phương pháp tính EX, varX, hàm moment Cách Dùng quy tắc Lazy Statistician: EX = i xP(X = xi ) hay EX = R xfX (x)dx, EX = i x2i P(X = xi ) hay EX = R x2 fX (x)dx công thức varX = EX − (EX)2 MX (t) = i etxi P(X = xi ) hay MX (t) = R etxfX (x)dx Cách Dùng công thức EX = MX (0), EX = M”X (0) an co ng Phương pháp tìm phân phối X + Y hàm sinh moment Bước 1: Ta tìm MX (t), MY (t) Bước 2: Tìm MX+Y cách sử dụng MX+Y (t) = MX (t)MY (t) với X, Y độc lập Bước 3: Từ MX+Y xác định phân phối có hàm sinh moment th BÀI TẬP ng Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối du o (a) Bernoulli(p): X : Ω → {0, 1} với f X (1) = P (X = 1) = p, fX (0) = P (X = 0) = − p u (b) nhị thức Binomial(n,p): f X (k) = P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k với k = 0, 1, , n cu (c) hình học Geom(p): fX (k) = P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, (0 < p < 1) k (d) Poisson(λ): f X (k) = P (X = k) = e−λ λk! Tìm kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối (fX (x) = giá trị x không ra) (a) Uniform(a,b): fX (x) = (b) chuẩn N(µ, σ 2): fX (x) = b−a với x ∈ [a, b] √ e− 2πσ2 (x−µ)2 2σ (c) muõ Exp(β) (β > 0): fX (x) = β1 e−x/β (x > 0) 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (d) Gamma(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (e) χ2(p) (p > 0): fX (x) = β α α−1 −βx x e Γ(α) x−1+p/2e−x/2 2p/2 Γ(p/2) (f) Beta(α, β) (α, β > 0): f X (x) = (x > 0) (x > 0) Γ(α+β) α−1 x (1− x)β−1 Γ(α)Γ(β) (0 < x < 1) Tìm hàm sinh moment biến ngẫu nhiên sau c om (a) Binomial(n, p) (b) P oisson(λ) (c) Chuẩn N(µ, σ ) (d) Gamma(α, β) ng Cho X, Y độc lập CMR co (a) X ∼ Binomial(n, p), Y ∼ Binomial(m, p) X + Y ∼ Binomial(n + m, p) an (b) neáu X ∼ P oisson(λ), Y ∼ P oisson(µ) X + Y ∼ P oisson(λ + µ) th (c) X ∼ Γ(a, β), Y ∼ Γ(b, β) X + Y ∼ Γ(a + b, β) du o ng (d) neáu X ∼ N(µX , σX ), Y ∼ N(µY , σY2 ) X + Y ∼ N(µX + 2 µY , σX + σY ) u Các định lý giới hạn cu Định nghóa Cho X, Xn : Ω → R dãy biến số ngẫu nhiên (Ω, M, P) Ta nói p a) Xn hội tụ theo xác suất tới X, ký hiệu Xn → X với > ta có lim P(|Xn − X| > ) = n→∞ b) Xn hoäi tụ theo phân bố, ký hiệu Xn X limn→∞ FXn (t) = FX (t) h.c.c c) Xn hội tụ hầu chắn, ký hiệu Xn → X limn→∞ P(Xn → X) = Mệnh đề Các khẳng định sau 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt p a) Xn → X Xn X p h.c.c b) Xn → X Xn → X σ2 k2 ng P(|X − µ| > k) ≤ c om Mệnh đề a) (Bất đẳng thức Markov) Nếu X biến ngẫu nhiên không âm với a, p > ta coù E(X p ) P(X > a) ≤ ap b) (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho X biến ngẫu nhiên có trung bình µ phương sai σ Với k > ta có th an co Định lý (dạng yếu luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ Khi n p Xi → µ n i=1 n n h.c.c i=1 Xi → µ cu u du o ng Định lý (dạng mạnh luật số lớn) Cho X , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ Khi Mệnh đề Cho Z1 , Z2 , dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân phối tích lũy FZn hàm sinh moment MZn Cho biến số ngẫu nhiên Z có hàm phân phối tích lũy FZ hàm sinh MZ Nếu MZn (t) → MZ (t) với t FZn (z) → FZ (z) z ∈ R mà FZ liên tục Định lý giới hạn trung tâm Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình E(Xi ) = µ phương sai var(Xi ) = σ Đặt Sn = ni=1 Ta có hàm phân phối xác suất Sn − E(Sn ) var(Sn ) = (X1 + + Xn ) − nµ √ σ n 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt xấp xỉ phân phối Gauss n → ∞, nghóa là, với moïi a ∈ R, (X1 + + Xn ) − nµ √ P ≤a σ n → Φ(a) = √ 2π a e−t /2 dt −∞ c om Định lý Moivre-Laplace Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Gọi X số lần thành công n phép thử Khi đó, với a ∈ R, ta có X − np < a → Φ(a) lim P n→∞ np(1 − p) e−λ λk k! co lim P(X = k) = ng Định lý giới hạn Poisson Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Gọi X số lần thành công n phép thử Khi p → np → λ (0 < λ < ∞) với k = 0, 1, 2, ta coù an n→∞ cu u du o ng th Phương pháp áp dụng luật số lớn Bước 1: Kiểm tra tính độc lập phân phối biến ngẫu nhiên Y1 , Y2 , Ta sử dụng tính chất: -Nếu X ∼ Y g(X) ∼ g(Y ) E(g(X)) = E(g(Y )) -Nếu X độc lập với Y g(X) độc lập với h(Y ) Bước 2: Tính µ = E(Y1 ) Bước 3: Áp dụng tính chất lim n→∞ n n Yj = µ h.c.c j=1 Phương pháp áp dụng định lý giới hạn trung tâm Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X1 , , Xn có trung bình phương sai Tìm xác suất P(a < S n < b) với Sn = ni=1 Xi Bước 1: Tìm µ = EXi σ = varXi Bước 2: Chuẩn hóa a − nµ Sn − nµ b − nµ < √ < √ P(a < Sn < b) = P √ nσ nσ nσ b − nµ a − nµ Φ √ −Φ √ nσ nσ 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lưu ý Nếu ta gặp tích Y1 Yn, Yi > ta dùng công thức n P(a < Y1 Yn < b) = P(ln a < ln Yj < ln b) j=1 c om áp dụng định lý giới hạn trung tâm co ng Phương pháp tìm xác suất biến ngẫu nhiên Bernoulli Xét thí nghiệm có xác suất thành công p, xác suất thất bại − p Lặp lại thí nghiệm n lần độc lập Ký hiệu Xi biến ngẫu nhiên xác định bởi: Xi = thí nghiệm thành công, Xi = thí nghiệm thất bại Đặt Sn = X1 + + Xn Sn số lần thí nghiệm thành công n lần thí nghiệm Ta có Sn ∼ Bernoulli(n, p), E(Sn ) = np, var(Sn ) = np(1 − p) Theo định lý giới hạn trung taâm an b − np np(1 − p) ng Φ a − np < np(1 − p) th P(a < Sn < b) = P du o P(Sn < b) = P Sn − np < np(1 − p) Sn − np < np(1 − p) −Φ b − np np(1 − p) a − np np(1 − p) b − np np(1 − p) b − np np(1 − p) 1 P(Sn = k) = P(k − < Sn < k + ) 2 k + − np k − 12 − np Φ −Φ np(1 − p) np(1 − p) cu u Φ Neáu Sn ∼ Bernoulli(n, p) với λ = np nhỏ ta dùng xấp xỉ −λ k Poisson(λ) Khi P(S n = k) e k!λ BÀI TẬP 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho Yi , i = 1, 2, i.i.d có Yi ∼ Binomial(1, p) CM X n = n Xn i=1 Yi ∼ Binomial(n, p) limn→∞ n = p hầu chắn Cho Xj , j = 1, 2, i.i.d với E(|X j |) < ∞ Đặt Yj = eXj CM (Y1 Yn)1/n hội tụ tới số hầu chắn .c om Cho biến ngẫu nhiên Xj , j = 1, 2, i.i.d Giả sử E(|X j |k ) < ∞ CM n lim Xjk = E(X1k ) h.c.c n→∞ n j=1 Cho Xj , j = 1, 2, laø i.i.d vaø X j ∼ N(1, 3) CM X1 + + Xn = 2 n→∞ X1 + + X n h.c.c co ng lim n th g(Xj (ω)) = b−a j=1 b g(x)dx h.c.c a ng lim n→∞ n an (Phương pháp Monte-Carlo) Cho hàm số g : (a, b) → R g khả tích Riemann (a, b) Cho dãy Xj biến ngẫu nhiên i.i.d có Xj ∼ Uniform(a, b) CM u du o Cho biến ngẫu nhiên X chưa biết phân phối cho quan trắc X1 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối với X Từ X1 , , Xn tìm xấp xỉ (còn gọi ước lượng) tham số với giả sử cu (a) X ∼ N(µ, σ ) với µ, σ chưa biết Tìm xấp xỉ µ ˆ, σ ˆ (của µ, σ) ˆ (b) X ∼ P oisson(λ) với λ chưa biết Tìm λ (c) X ∼ Uniform(a, b) với a, b chưa biết Tìm a ˆ, ˆb ˆ pˆ (d) X ∼ Binomial(k, p) với k, p chưa biết Tìm k, ˆ (e) X ∼ Gamma(a, λ) với a, λ chưa biết Tìm aˆ, λ ˆ (f) X ∼ Exp(β) với β chưa biết Tìm β Trong tập trên, dùng phần mềm R để phát sinh liệu X1 , , Xn có phân phối cho ước lượng tham số theo bước mô tả sau: 34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (a) Chọn phân phối chọn tham số (ví dụ µ = 0, σ = 1), (b) Phát sinh liệu X1 , , Xn có phân phối chọn (ví dụ N(0, 1)), (c) Tính ước lượng tham số từ X1 , , Xn (ví dụ tính µ ˆ, σˆ ), (d) So sánh kết từ công thức ước lượng với tham số chọn lúc ban đầu (ví dụ: so sánh µ ˆ, σˆ với 0, 1) .c om Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có quan trắc X1 , , Xn độc lập phân phối với X Cho a ∈ R, h > (a) Từ quan trắc tìm ước lượng cho P(a < X ≤ a + h) HD: P(a < X ≤ b) = E(Ia