Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS 2

tai lieu, document1 of 66 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực HĐ ghi): Tên sáng kiến: Rèn kĩ giải toán lũy thừa cho học sinh THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên mơn mơn Tốn THCS Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn THCS, chúng tơi nhận thấy hầu hết học sinh gặp toán liên quan đến luỹ thừa e sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát Khi học sinh lớp 6, lớp tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khó khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nào? chưa cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: a Mục đích giải pháp: Để nâng cao mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tịi, học hỏi thầy giáo đồng nghiệp, chúng tơi muốn trình bày số ý kiến “Rèn kĩ giải toán lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phương pháp giải toán luỹ thừa cho đối tượng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn u tốn nói chung tốn luỹ thừa nói riêng b Nội dung giải pháp: b.1 Tính giải pháp: Trong tốn học, “Toán luỹ thừa’’ mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm tốn luỹ thừa việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em làm quen với môn đại số tiếp cận với tốn luỹ thừa nên chưa có cơng cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phương pháp, kĩ tính toán Để học tốt mơn tốn nói chung “Tốn luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng ln biết rèn nếp suy luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document2 of 66 nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tịi lời giải Đứng trước tốn khó, chưa tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang bỏ qua tốn đó, có giúp đỡ, gợi mở em khơng sợ mà cịn thích thú làm tốn b.2 Sự khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ: Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em khơng cịn thấy sợ gặp tốn luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập b.3 Cách thức thực sáng kiến Ngay từ đầu năm học, tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo sau phối hợp với thầy đồng nghiệp thực chuyên đề Chúng thường xuyên trao đổi khả tiếp thu, hứng thú học tập học sinh thông qua buổi họp tổ chuyên môn, tổ chức thao giảng, hội giảng, chuyên đề tổ b.4 Các bước thực sáng kiến Sau chúng tơi xin trình bày số dạng toán phương pháp giải từ đến nâng cao vài ví dụ cụ thể Dạng 1: Tìm số chưa biết 1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài tập 1: Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = - c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp Giải b) (2x – 1)3 = -8 a) x = -27 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 2x – = - Vậy x = - x= Vậy x = 1 1 c) (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 2x -3 = -3 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document3 of 66 2x = 2x = x=3 x=0 Vậy x = x = d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 x–2=4 x = -2 x=6 Vậy x = -2 x = Bài tập Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số- chưa biết, số mũ- biếtlại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh “ tìm mị’’ x = x = 1, cách khơng thuyết phục cịn số x thỏa mãn đề ? Giáo viên gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = x  =>   x   x  =>  x  =>  x  x   Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài tập Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 x10 = x 20 Hướng dẫn : Đặt 3y – = x Khi (*) trở thành :  x 10  Giải tương tự ta :  10  x   (*) x  x  =>  10 =>  x  1 x    x  Rất học sinh dừng lại đây, tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta có : 3y -1 = => 3y = => y = +) Với x = ta có : 3y -1 = => 3y = => y = +) Với x = -1 ta có : 3y – = -1 => 3y = => y = Vậy y = ; y= ; y=0 3 Bài tập : Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200  (*) luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document4 of 66 Với toán này, số số mũ hai lũy thừa khơng giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu “  ’’ thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề: so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với Giải 100 Ta thấy: (3x - 5)   x (2y +1)200  Q  x Q => Biểu thức (*) 0, khơng thể nhỏ Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = y= 1 Bài tập 6: Tìm số nguyên x y cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo 3, học sinh nhận ngay: (x + 2)2  2(y – 3)2   x Z  x Z (1) (2) Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ” , học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < trường hợp sau : (x + 2)2 = +) Trường hợp 1: => x = -2 +) Trường hợp : (x + 2) = => +) Trường hợp : (y – 3)2 = => xảy y=3 (y – 3) = y  x = -2 =>  y  (x + 2)2 = x   =>   x   1 => (y – 3)2 = y=3  x  1 =>   x  3 +) Trường hợp : (x + 2)2 =  x  1 =>   x  3 (y – 3)2 = y  =>  y  Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề : luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document5 of 66 x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật toán phức tạp! Nếu không cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề 1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp: Đưa hai lũy thừa có số Bài tập 1: Tìm n  N biết: a) 2008n = c) 32-n 16 n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a a) 2008n = => 2008n = 20080 => n = Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số khơng số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên: b) 5n + n+2 = 650 n + 5n.52 = 650 n (1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 n = 25 = 52 => n = Theo hướng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c) 32-n 16 n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 -5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d) 3-1.3n + 5.3 n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – = luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document6 of 66 n=4 Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên m, n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực thấy khó gặp này, phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý: 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2 m -2n + = 2m (2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1) (2n - 1) = Vì 2m  , n  2 m   Nên từ (*) =>  2 n    (*) m, n  N 2 m  m  =>  n =>  2  n  Vậy: m = n = Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n  234 b) 8.16  2n  Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số a) < 3n  234 < 3n  => n  2;3;4;5 b) 8.16  2n  3.24  n  22 27  2n  22 => n  2;3;4;5;6;7 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét số mũ lũy thừa tích học sinh nghĩ hướng giải toán: 415 915 < 2n 3n < 18 16 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document7 of 66 630 < 6n < 32 => n = 31 Bây giờ, học sinh biết làm tốn tương tự mà cịn tự tốn dạng tương tự Tìm số nguyên n cho: a) 27n = 35 b) (23 : 4) 2n = c) 3-2 34 3n = 37 d) 2-1 n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho: a) 125.5  5n  5.25 b) (n54)2 = n c) 243  3n  9.27 d) n+3 n =144 Tìm số tự nhiên x, y biết : a) 2x+1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20 y Tìm số tự nhiên n biết : 411 2511  2n 5n  2012.512 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài tập 1: Tìm chữ số tận số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án: 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài tập 2: Tìm chữ số tận số sau: luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document8 of 66 20072008 , 1358 20072007 , 10231024 2008 67 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , Hướng dẫn: Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5; +) 2007 2008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận +) 20072007 = 20072004.20073 = (2007 4)501 = ( )501 = = => 20072007 có chữ số tận +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = => 5235 có chữ số tận +) 10231024 = (10234)256 = ( )256 = =>10231024 có chữ số tận +) 2003 2005 = 2003 2004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 => 20032005 có chữ số tận +) 204208 =( 2042)104 = ( )104 = => 204208 có chữ số tận 67 +) Ta thấy 56 số lẻ nên có chữ số tận +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 1975 có chữ số tận +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 có chữ số tận +) Ta thấy 9 số lẻ nên 9 có chữ số tận Bài tập 3: Cho A = 172008 – 112008 – 2008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận tổng số hạng, cộng chữ số tận lại Hướng dẫn: Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = Vậy A có chữ số tận Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ : M  10 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document9 of 66 Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 17 = 244 =(242)2 = 5762 = .6 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = 13 = Vậy M = + .6 - = => M  10 Đến đây, sau làm 2, 3, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: a A = 24n – b B = 4n + (n  N, n ≥ 1) +1 (n  N) c C = 74n – (n  N) Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận => 24n – có chữ số tận b) B = 24n + 2+ Ta có 4n + (n  N) = 24n = 16n có chữ số tận => B = 24n + 2+ có chữ số tận c) C = 74n – Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận Vậy 74n – có chữ số tận Bài 6: Chứng tỏ rằng, số có dạng: n A = 22 1 a) chia hết cho (n  N, n ≥ 2) n chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1) n chia hết cho (n  N, n ≥ 1) b) B =  H = 92  c) Với dạng này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 2 , , , học sinh khơng biết phải tính nào, học sinh nhầm: n n n n n n a  2 n ,  n ,  2n Khi giáo viên hướng dẫn sau: a) Với n  N, n ≥ 2, ta có : n 2 = 2 n 2 2n     24  16 n 2 có chữ số tận n => A = 2  có chữ số tận luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document10 of 66 Vậy A  b) Với n  N, n ≥ 1, ta có : n = 4 n 1   n 1  24  16 n 1 có chữ số tận n => B = 24  có chữ số tận Vậy B  10 c) Với n  N, n ≥ 1, ta có : n = 2 n 1   n 1  92  812 n 1 có chữ số tận n => H =  có tận Vậy H  2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau: +) Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận +) Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 +) số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 +) số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 +) Số 26n (n  N, n >1) Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm này: 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bài tập 2: Tìm hai chữ số tận của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 16101 Hướng dẫn: Đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 a) 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 => 5151 có chữ số tận 51 Tương tự: b) 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c) 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d) 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76 224 = 24 luan van, khoa luan 10 of 66 10 tai lieu, document12 of 66 Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh, lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n có tận 376 => 23n 47n có tận 376 b) 23n+3 47 n+2 Dù làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn: 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có: 376 n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672 Bài tập3: Chứng tỏ rằng: n a + 375  1000 ( n  N, n ≥ 1) n b - 25  100 ( n  N, n ≥ 2) c 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 Nếu học sinh làm tốt phần trước gặp khơng gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi n a Ta có: = 4.4 n 1 = 625 n 1 tận 625 ( n  N, n ≥ 1) n => + 375 có tận 000 n Vậy: + 375  1000 2n  b Ta có = 2 = 5  n n2 = 6252 n ( n  N, n ≥ 2) n Vậy - 25 có chữ số tận 00 n Do : - 25  100 c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thấy : 2001n có tận 001 23n 47n = (8 47 )n = 376 n có tận 376 252n = (252)n = 625n có tận 625 Vậy: 2001n + 3n 47n + 252n có tận 002 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa luan van, khoa luan 12 of 66 12 tai lieu, document13 of 66 * Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý số tính chất sau : Với a, b, m, n N , ta có: a > b  an > bn  n m > n  am > an N* (a > 1) a = a = am = an ( m.n  0) Với A, B biểu thức ta có: An > Bn  A > B > Am > An => m > n A > m < n < A < Bài tập 1: So sánh : a) 33317 33323 b) 200710 200810 c) (2008-2007)2009 (1998 - 1997)1999 Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ a) Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 2007 10 < 200810 (2008-2007)2009 = 2009 = c) Ta có : (1998 - 1997)1999 = 11999 = Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài tập 2: So sánh a) 2300 3200 e) 9920 999910 b) 3500 7300 f) 111979 371320 c) 85 3.4 g) 1010 48.505 d) 202 303 303202 h) 199010 + 1990 199110 Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ Hướng dẫn : a) Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 luan van, khoa luan 13 of 66 13 tai lieu, document14 of 66 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 300 c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.101 2)101 = d) Ta có : (808.101)101 303 202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.101 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (99 2)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Từ (1) (2) suy : 11 1979 < 371320 g) Ta có : 1010 = 210 510 = 29 510 5 10 (*) 48 50 = (3 ) (2 ) = 10 (**) Từ (*) (**) => 1010 < 48 505 h) Có : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 527 < 263 < 528 Bài tập Chứng tỏ : Với nà , học sinh lớp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý: chứng tỏ 63> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (5 4)7 = 6257 27 63 Từ (1) (2) => < < Bài tập So sánh : a) 10750 7375 b) 291 535 Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán.Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (1) (2) Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 luan van, khoa luan 14 of 66 14 tai lieu, document15 of 66 Vậy 10750 < 73 75 b) 291 > 290 = (2 5)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 25 18 => 291 > 3218 > 2518 > 535 291 > 535 Vậy Bài tập So sánh: a) (-32)9 (-16)13 b) (-5)30 (-3)50 c) (-32)9 (-18)13 d) (  100 1 ) ( )500 16 Hướng dẫn: Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 d) Ta có : (  100 1  1100 ) = = 100 = 400 100 16 16 16 Vì 2400 < 2500 nên Vậy ( 400 > (  500 (1) 500 ) = = 500 500 2 2 500  100 1 ) > ( )500 16 Bài So sánh A B biết : A= 2008 2008  2008 2009  ; B= 2008 2007  2008 2008  Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau: * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh được: +) Nếu a > b a ac  b bc luan van, khoa luan 15 of 66 15 tai lieu, document16 of 66 a < b +) Nếu a ac  b bc Ap dụng tính chất vào , ta có : Vì A = A= 2008 2008  < nên 2008 2009  2008  2008 2008 2008  2008 2008   2007 2008.(2008 2007  1) < = = 2008 2009  2008 2009   2007 2008 2009  2008 2008.( 20082009  1) = 2008 2007  =B 2008 2007  Vậy A < B Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta có : 2008.A = 2008.B = (2008 2008  1).2008 2008 2009   2007 2007 =1+  2009 2009 2008 2009  2008 1 2008 1 2008 2007  1).2008 20082008   2007 2007 =1+  2008 2008 2008 1 2008 1 20082008  Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2007 2007 < 2009 2008  20082008  => 2008.A < 2008 B => A < B Cách 2: 2008 2009  2008 2009  2008  2007 2008.( 20082008  1)  2007 = = = A 2008 2008  2008 2008  20082008  = 2008 - 2007 2008 2008  2008 2008  2008 2008  2008  2007 2008.( 20082007  1)  2007 = = = B 2008 2007  2008 2007  20082007  = 2008 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên => 2008 Vậy 1 > A B 2007 2008 2007  2007 2007 < 2008 2008  2008 2007  2007 2007 > 2008 2008 2008 1 2008 2007  => A < B (vì A,B > 0) Bài So sánh M N biết: M= 100100  10099  ; N= 100101  100100  Hướng dẫn: luan van, khoa luan 16 of 66 16 tai lieu, document17 of 66 100101  >1 100100  Cách : N = => N = 100101  100101   99 100101  100 (100100  1).100 100100  > = = = =M 100100  100100   99 100100  100 (100 99  1).100 10099  Vậy M < N 100100  100100  100  99 (100 99  1).100  99 99 = = = 100 99 99 99 100  100  100  100 99  Cách 2: M = 99 100101  100101  100  99 (100100  1).100  99 = = = 100 100 100 100 100100  100  100  100  N= Vì 100 99 + < 100100 + nên 99 99 99 > => 100 < 100 99 100 100  100  100 99  99 100100  Vậy M < N Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau: So sánh: a, 528 2614 b, 21 12410 c, 3111 1714 d, 421 647 e, 291 35 g, 544 2112 h, 230 + 330 + 430 24 10 So sánh: a) 300 1 c)       4 b) 200 199 300 15 d)     8  10  20  10  So sánh: a) A = 1315  1316  b) A = 19991999  19991998  c) A = 100100  10099  và B = B = 1316  1317  B = 1999 2000  19991999  100 69  100 68  Dạng 4: Tính tốn lũy thừa *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt cơng thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phương pháp tính tốn biến đổi luan van, khoa luan 17 of 66 17 tai lieu, document18 of 66 Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức sau với x=7 a) b) A= 30.5  213.5 27 27  210.5 27 M = x  ( x 5) ( x 6 )( x 6 ) ( x 5 ) với x = Hướng dẫn: Với này, học sinh khơng nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm khó đưa đáp án Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung đưa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết tốn nhanh đến bất ngờ 30.5  213.5 27 213.5 (217  20 ) = = 23 = 27 10 27 10 17 20 (2  )  a) A= b) M = x  ( x 5) ( x )( x  6) ( x 5 ) Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng thay giá trị x vào M lại tìm cách dễ dàng M =  x  4( x 5) 12 113 M = 32 ( x 6 )( x  ) ( x 5 ) = 7  4(7 5) ( 6 )( 7 ) ( 5 ) = 32 = 32 = Bài tập 2: Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 125  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 c) M = 88 + 220  17 d) H = 3135 299 – 313 36  Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a  m, a  n, (m;n) = a  m.n (a, m, n  N*) a) A = 102008 + 125  45 Ta có: 102008 + 125 = 100 + 125 = 100 0125 2008 số 2005 số A có tận => A  Tổng chữ số A là: 1+1+2+5 = => A  Mà (5;9) = => A  5.9 hay A  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 luan van, khoa luan 18 of 66 18 tai lieu, document19 of 66 Ta khơng thể tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép chia Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + + 1) B = 52006 31  31 c) M = 88 + 220  17 Cách làm tương tự câu b, trước tiên phải đưa hai lũy thừa có số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17  17 d) H = 313 299 – 3136 36  Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn: H = 3135 299 – 3136 36 H = 3135 299 – 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 – 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (313 – 3136 )  Bài tập Cho A = 2+ 2 + 23 +……+ 260 Chứng tỏ rằng: A  , A  , A Với này, giáo viên hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm / / / ….lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 = (2+22)+(2 3+24)+(2 5+26)+…….+(2 57+2 58)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+… +257+259) = 3.( 2+23+2 5+… +257+2 59) => A  Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+2 7+…….+258) = 7.(2+24+27+…….+258) luan van, khoa luan 19 of 66 19 tai lieu, document20 of 66 => A  A = (2+ 23)+(2 2+24)+……+(2 57+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22) = (1+2 2).(2+22+25+26+…….+257+258) = (2+22+25+26+…….+257+2 58 => A  Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: a) D = + 32 + 33 + 34 +…… + 32007  13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n  400 Hướng dẫn: a) Ta thấy : 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau : D = (3 + 32 + 33) + (3 +35 + 36) +…….+ (32005 + 2006.+ 32007) =3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) +…….+ 32005.(1 + + 32) = 13 + 34 13 + …… + 32005 13 = (3 + 34 + ……+ 32005) 13 => D  13 b, Tương tự câu a, có : 400 = + + + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4)  400 => E  400 Bài tập 5: a) Tính tổng : Sn = + a + a2 + + an b) áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + + ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + +… + 7n-1 + 7n a) Đây toán tổng quát , giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm: Để thu gọn tổng lũy thừa nà, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa luan van, khoa luan 20 of 66 20 tai lieu, document21 of 66 * Xét a = ta có: * Xét a ≠ ta có : Sn = + + 12 + + n =( n +1).1 = n +1 Sn = + a + a2 + + an a Sn = a + a2 + + an+1 a Sn - Sn = an+1 – => Sn = a n 1  a 1 b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B , C nhờ công thức Sn A = + + 32+ … + 32008 = 32009  B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n = Bài tập 6: Thu gọn tổng sau : n1  M = - + 22- 23 + … + 2008 Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu “+”, “-“ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống nhau; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng: M = - + 22- 23 + … + 22008 2M= - 22 + 23 – 24 + … + 2009 => 2M + M = 22009 + => M = 2009  Bài tập Tính a, A = 1 1     100 2 2 b, B = 1+ 1 1     500 5 5 Hướng dẫn: làm tương tự a) A = 1 1     99  100 2 2 2 2A = 1+  1    99 2 2 luan van, khoa luan 21 of 66 21 tai lieu, document22 of 66 => 2A – A =(1+  2 A = 1+   1 1 1    99 ) – (     100 ) 2 2 2 2 1 1 1      99  99  100 2 2 2 2 2100 A=1b) B = 1+ 1 1     500 5 5 5B = 5+1+ 1 1     499 5 5 1 1 1 1     499 ) – (1+     499 ) 5 5 5 5 => 5B – B = (5+1+ 1 1 1 1        499  499  500 5 5 5 5 = 5+1-1+ 4B = B = (5 Bài tập 8.Tính : 500 500 ):4 B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 1002, 982 , …, 22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Ta có: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+…… +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+…….+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bài tập9: Chứng tỏ a, H = b, K = 1 1      1 2 2007 2008 1 1 1 1        2 10 12 14 Để làm câu a, học sinh phải nắm kiến thức liên quan Những toán dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên Lưu ý: 1   n.(n  1) n n  (n  N*) luan van, khoa luan 22 of 66 22 tai lieu, document23 of 66 1  1.2 Ta có: 1  2.3 , 1 , …… ,  3.4 1  2007.2008 2008 1 1 1 1          2 1.2 2.3 2007.2008 2007 2008 => H = Mà , (*) 1 1 1 1 1             1 1 1.2 2.3 2007.2008 2 3 2007 2008 2008 Nên , từ (*) => H < Qua toán trên, giáo viên cho học sinh làm tốn tổng quát sau: Chứng tỏ : Bài tập 10 a) H = 1 1        2 2003 n b) K = 1 1 1 1       2< 2 10 12 14 (n  N * , n  1) Hướng dẫn: a) H < 1 1 1 1 1 =         1 1    1.2 2.3 (n  1).n 2 3 n 1 n n Nên H < b) K = 1 1 1 1 1 (       ) < (1+1) = 2 = 2 2 2 (Vì theo câu a, Vậy K < 1 1 1       1) 2 Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau: Chứng tỏ biểu thức sau viết dạng số phương: M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53 N = 13+23+3 R = 13+23+33+43+5 3+6 P = 13+23+33+4 K = 13+23+33+43+53+6 3+7 Tính A B hai cách trở lên: A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n  N*) B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 (n  N) Viết tổng sau dạng lũy thừa 2; T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 2008 So sánh: a) A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 B = 22009 – luan van, khoa luan 23 of 66 23 tai lieu, document24 of 66 b) P = + + 2+ … + 3200 Q = 3201 c) E = + x + x2+ … + x2008 F = x2009 (x  N*) Chứng tỏ rằng: a, 3+33+53+73  23 b) 3+33+3 5+37+……+32n+1  30 c) 1+5+ 52 + 53 +…….+ 5403+5404 d) 1+4+ + +4 +……+ 99 (n  N*)  31 B = 4100 Tìm số dư chia A cho 7, biết rằng: A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002 Tính: a) 3S – 22003 biết S = – + 22 - 23 +……+ 22002 b) E = 2100 – 99 – 298 – 97 - … - 22 - – H = + 3+ 32 + 33 +……+ 320 c) H – K biết: K = 321 : 8.Tìm : a) Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100 b) Chữ số tận M biết : M = 2+ 22 + 23 +… + 220 Chứng tỏ : a) 87 – 218  14 h, 122n+1 + 11n+2  133 c) 817 – 279 - 913  405 b) 106 – 57  59 i, 70+71+72+73+… +7101  k, 4+ 42 + 43 +4 +……+ 416  d) 1099+23  l, 2000+20002+20003 + ……+20002008  2001 e) 1028 +  72 m, 3+ 35 + 37 +……+ 31991  13  41 10 Chứng tỏ rằng: a) 1 1      2 2 100 b) 1 1 1       6 100 Dạng 5: Tốn có lời văn với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương Số phương bình phương số tự nhiên *Phương pháp: Cần nắm số kiến thức sau: +) Số phương tận 0, , 4, 5, 6, tận 2, 3, 7, +) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ luan van, khoa luan 24 of 66 24 tai lieu, document25 of 66 +) Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương Bài tập 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dịng chữ sau để phép tính MÙI MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn trả lời giúp Phân tích đề bài: Đề hay, tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dịng chữ (*) MÙI số có chữ số Theo (*) (MÙI)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi MÙI = a Ta có: a2 = 1000 TÂN + a hay a2 – a = 1000 TÂN => a.(a-1)  1000 Ta thấy a-1 a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; ) = Vậy xảy : +) a  125 a –  => a = 625 +) a  a-1  125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 376 376 = 141376 (thỏa mãn) (không thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N) Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI 625 625 = 390625 Bài tập 2: Đố bạn: số phương có chữ số viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2 Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận Số tận 86 chia hết cho 2, khơng chia hết khơng phải số phương Vậy n2 có tận 36 Do số phương cần tìm 8836 Bài tập Bạn tìm số phương có chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống luan van, khoa luan 25 of 66 25 tai lieu, document26 of 66 Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = aabb = 11 a0b => a0b = 11k2 (k  N ) Ta có 100  11k2  909 =>  k  Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 3.3 Khả áp dụng giải pháp Các giải pháp áp dụng cho tất học sinh khối lớp, tùy theo đối tượng học sinh giáo viên chọn dạng tập cho phù hợp Đặt biệt giải pháp đem lại hiệu cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh giỏi,tôi hướng dẫn em học sinh khối học chuyên đề , Kết cho thấy em giải tốt toán lũy thừa mà hào hứng với chuyên đề này, giúp em cảm thấy u thích mơn tốn nói chung phần tốn lũy thừa nói riêng Các em học sinh sau học chuyên đề nắm vững dạng tập lũy thừa để tìm phương pháp giải hợp lý cho tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt số em đội tuyển học sinh giỏi em giải vận dụng linh hoạt, nhanh chọn phương pháp tối ưu giải toán 3.5 Tàỉ liệu kèm theo gồm : khơng có Chợ Lách, ngày 15 tháng năm 2019 luan van, khoa luan 26 of 66 26 ... lieu, document20 of 66 => A  A = (2+ 23 )+ (2 2 +24 )+……+ (2 57 +25 9)+ (25 8+ 26 0 ) A = 2( 1 +22 ) +22 (1 +22 )+…… +25 7(1 +22 ) +25 8(1 +22 ) = (1 +2 2). (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +25 8) = (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +2 58 => A  Bài... hết cho Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 +……+ 26 0 = (2+ 22) + (2 3 +24 )+ (2 5 +26 )+…….+ (2 57 +2 58)+ (25 9 +26 0) = 2. (1 +2) +23 .(1 +2) +25 .(1 +2) +……. +25 7.(1 +2) +25 9.(1 +2) = (1 +2) . (2+ 23 +25 +… +25 7 +25 9) = 3.( 2+ 23 +2 5+… +25 7 +2. .. 2+ 23 +2 5+… +25 7 +2 59) => A  Tương tự, ta có : A = (2+ 22 + 23 )+ (24 +25 +26 )+……+ (25 8 +25 9+ 26 0 ) = 2. (1 +2+ 22) +24 .(1 +2+ 22) +……. +25 8.(1 +2+ 22) = (1 +2+ 22) . (2+ 24 +2 7+……. +25 8) = 7. (2+ 24 +27 +……. +25 8) luan van,