Đờng tròn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng tròn O tại điểm thứ hai G, c¾t AB, AC lÇn lît t¹i D vµ E.. 2 Chứng minh OA vuông góc với DE từ đó suy ra các đờng thẳng AG, DE và BC đồng quy.[r]
(1)§Ò THI Thö VµO LíP 10 VßNG 1TO¸N Phßng Gi¸o dôc NGµY 10 - - 2013 đào tạo huyện vũ th (Thêi P 3( x x 3) Bµi 1(1,5 ®iÓm) : 1) Rót gän P 2) Tìm x để x x x 3 x 2 gian lµm bµi :120') x x1 víi x vµ x 10 P Bµi (1,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x (k 2) x 2k 0 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) nÕu k = 2) Chøng minh r»ng tån t¹i hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm mµ kh«ng phô thuéc vµo k 3) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 cho 3x12 + 2x22 = 5x1x2 y x2 Bµi (2 ®iÓm) : Cho Parabol (P) : và đờng thẳng (d) : y= mx – 2m +1 1) Tìm m để điểm A( m;7 3) thuộc Parabol (P) 2) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau, tìm toạ độ điểm tiếp xúc 3) Tìm m để điểm F(-2;-1) cách đờng thẳng (d) khoảng lớn ( m 1) x y m x (m 1) y 2 Bµi ( 1,0 ®iÓm) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 1) Gi¶i hÖ víi m = 2) Khi hÖ cã nghiÖm (x;y), t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x + y Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC ( AB ≠ AC) nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính BC, đờng cao AH Đờng tròn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng tròn (O) điểm thứ hai G, c¾t AB, AC lÇn lît t¹i D vµ E 1) Chøng minh r»ng D, I ,E th¼ng hµng vµ tø gi¸c BDEC néi tiÕp 2) Chứng minh OA vuông góc với DE từ đó suy các đờng thẳng AG, DE và BC đồng quy 3) Gäi AL, AK lÇn lît lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc BAH, CAH, gäi S lµ diÖn tÝch ABC, S’ lµ diÖn tÝch AKL Chømg minh r»ng S 1 S' Bµi (0,5 ®iÓm) Tìm giá trị tham số m để phơng trình sau có nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất: x4 + 2x2+ 2mx + m2- 6m +1=0 đáp án và biểu điểm Bµi C©u 2® (1®) đáp án P 3( x x 3) x x x 3 x 2 0,25 x x1 ®iÓm víi x vµ x (2) P P P P 3x x ( x 2)( x 1) ( x 3)( x 1) ( x 2)( x 1) 3x x x 3x x ( x 2)( x 1) ( x 1)( x 2) 0,25 x 3 x 3 x 4 0,25 ( x 1)(3 x 8) ( x 2)( x 1) 0,25 x 2 2)Tìm x để x 8 x 2 víi x vµ x 0,25 10 P 10 x 10 P 3 x 2 ( x 2)( x 2) x 8 KÕt luËn : ( x 2)( x 1) P (0,5 ®) ( x 0, x 1) x 10 x 24 10( x 2) x 24 10 x 20 0 0 0 x 2 3( x 2) 3( x 2) 3( x 2) 4 x 3( x 2) 0 V× x nªn x 0 Do đó x 0 x 16 0,25 x 2 3( x 2) 6 10 P Bµi (0,5 ®) (0,5 ®) KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta cã x 16 vµ x th× Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x (k 2) x 2k 0 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) nÕu k = Thay k = vµo pt (1) ta cã : x x 0 (2) a+ b +c = +2 -3 = nªn ph¬ng tr×nh(2) cã hai nghiÖm : x1 = ; x2 = -3 Vậy k = phơng trình đã cho có nghiệm : x1 = ; x2 = -3 2) Chøng minh r»ng tån t¹i hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm mµ kh«ng phô thuéc vµo k +) Tính đợc (k 2) 12 và chứng minh đợc 0k để suy pt (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt k +) Gäi hai nghiÖm cña pt (1) lµ x1 vµ x2, ¸p dông Vi- et ta cã: x1 x2 k x x2 2k x1 x2 x1 x2 x1 x2 2k x1 x2 2k VËy tån t¹i hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm lµ x1 x2 x1 x2 kh«ng phô thuéc vµo k 3)Tìm k để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 cho 0,5 ® 0,25 0,25 mµ 0,25 (3) (0,5 ®) 3x12 + 2x22 = 5x1x2 Theo c©u pt (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt k x1 x2 k Theo Vi –et ta cã: x1 x2 2k 3 +) 3x12 + 2x22 = 5x1x23x12 + 2x22 - 5x1x2 =0 3x12 –3x1x2 + 2x22 - 2x1x2 = (x1 –x2)(3 x1-2 x2 ) =0 x1 –x2 =0 hoÆc x1-2 x2 =0 +) NÕu x1 –x2 = x1 =x2 kh«ng x¶y pt ( 1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt k +) NÕu x1-2 x2 = ta cã hÖ pt : 0,25 2k x1 x1 x2 k x1 x2 2k x1 2k 3x1 x2 0 x1 x2 0 x2 k x1 x k 2k 2k x1 x 5k 10 2k 3k 5 2k 3k 2k 6k 12k 12k 24 50k 75 5 6k 12k 12k 24 50k 75 0 Thay vµo (3) ta cã : 6k 26k 99 0 ’ = 132- 6.99 = 169 - 594 = - 425 < Pt v« nghiÖm Vậy không có giá trị nào k để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 cho 3x12 + 2x22 = 5x1x2 Bµi (0,5 ®) y x2 0,25 Bµi 3: Cho Parabol (P) : 1)Tìm m để điểm A(m;7 3) thuộc Parabol (P) V× A(m;7 3) thuéc Parabol (P) nªn ta cã: m 7 m 28 16 (16 2.4.2 12) (4 3) m (4 3) KL 2)Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau, tìm toạ độ điểm tiếp xúc Pt hoành độ: x 4mx 8m 0 (1) 0,25 0,25 ' 4m 8m 4( m 1) (P) vµ (d) tiÕp xóc pt (1) cã nghiÖm kÐp m=1 Khi đó x1 x2 2m 2 y=1 Vậy m =1 thì (P) và (d) tiếp xúc và tọa độ tiếp điểm là (2; 1) 0,25 (4) 3) 3)Tìm m để điểm F(-2 ; -1) cách đờng thẳng (d) khoảng lớn (0,5® nhÊt ) 0,25 +) Tìm đợc đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định M(2;1) +) H¹ FH (d) th× FH lµ kho¶ng c¸ch tõ F tíi (d) Ta cã FH FM DÊu = x¶y H ≡ M (d) FM t¹i M y (d) H M -2 O F x -1 +) Lập đợc pt đờng thẳng FH là +) ®t (d) FH VËy m =-2 Bµi 4(1 ®) 1) (0,5® ) y x 0,25 m m 2 (m 1) x y m x (m 1) y 0,5 ® 1) Thay m = vµo gi¶i hÖ v« nghiÖm vµ kÕt luËn 2) m y m (1) (0,5® ) 2)+) Biến đổi hệ đã cho x 2 (m 1) y (2) 0,25 +) Nếu m = thì (1) trở thành 0.y = vô nghiệm đó hệ vô nghiÖm +) Nếu m ≠ tính đợc m 1 y m2 x m 1 m2 m m m2 m 8(m2 m 2) ( m 4)2 S x y m m m2 8m m2 S vµ chØ dÊu = x¶y m=- ( tm ) Lý luËn cho VËy Min S = m= - 0,25 (5) Bµi (1,5 (3, ®) 5®) A E G I B 3) (0,5 ®) M D P 2) (1,5 ®) 0,75 ® Bµi : Híng dÉn L H O K C 1) Chøng minh r»ng D, I ,E th¼ng hµng vµ tø gi¸c BDEC néi tiÕp +) Gãc BAC = 900 ( Gãc néi tiÕp ch¾n nöa (O)) Hay góc DAE = 900 cung DE là nửa (I) nên DE là đờng kính đó D, I, E thẳng hàng +)XÐt tø gi¸c BDEC : Chỉ và giải thích góc ADE = góc ACB đó tứ giác BDEC néi tiÕp 2) Chứng minh OA vuông góc với DE từ đó suy các đờng thẳng AG, DE và BC đồng quy +) Gäi M= OA DE gãc ADE = gãc ACB, gãc OAB = gãc OBA ( tam gi¸c OAB c©n t¹i O) gãc ADE + gãc OAB = gãc ACB + gãc OBA=900 AMD vu«ng t¹i M OA DE *) chứng minh AG, DE và BC đồng quy +) Gäi P= AG BC XÐt APO : - Chỉ AH là đờng cao - Chỉ OI AG ( tính chất đờng nối tâm ) I lµ trùc t©m cña APO PI AO Mà DE AO , I thuộc DE đó DE qua P hay AG, DE và BC đồng quy S 1 S' 0,75 ® 0,75 ® 0,25 ® 0,25 0,25 0,25 3) Chømg minh r»ng §Æt AB =c, AC = b, BC = a - ChØ BAK c©n t¹i B BK = AC = c, t¬ng tù CL=AC= b - ChØ : KL = BC – BL – CK = a- ( BC – CL) – (BC- BK) = a – (a-b) – (a- c)= b +c -a S BC a 1 S' KL bc a 21 21 2a b c 2a b c 2bc a 2bc b c 2bc (b c) (§óng AB ≠ AC ).®pcm 0,25 (6) Bµi (0,5 ®) Bài 6: Tìm giá trị tham số m để phơng trình sau có nghiệm lín nhÊt, nhá nhÊt: x4 + 2x2+ 2mx + m2- 6m +1= Gọi x0 là nghiệm pt đã cho, ta có: x04 x02 2mx0 m 6m 0 m 2( x0 3) m x04 x02 0 (1) Do tồn m để pt có nghiệm là x0 nên pt (1) ( ẩn số m ) phải có nghiÖm Pt (1) cã nghiÖm ’ -2 x0 +) x0=1 m = - (x0-3) = +) x0= -2 m = - (x0-3) = VËy max x0= m =2 vµ x0 = -2 m = 0,25 0,25 (7)