Tập cantor và chiều fractal của nó

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương Tập Cantor 1.1 Một số kiến thức sở 1.2 Cách xây dựng tập Cantor cổ điển tập kiểu Cantor 1.3 Tính chất tập Cantor cổ điển C3 10 Chương Một số phương pháp tính chiều Hausdorff tập Cantor 21 2.1 Chiều Hausdorff 21 2.2 Chiều hộp 25 2.3 Một số phương pháp tính chiều fractal tập Cantor 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Tập Cantor giới thiệu nhà toán học người Đức Georg Cantor vào năm 1883 (thực chất phát vào năm 1875 Henry John Stephen Smith) Nó tập hợp điểm nằm đoạn thẳng xây dựng thuật toán đơn giản có cấu trúc phức tạp, tinh tế, có nhiều tính chất đặc biệt, thú vị Thơng qua xem xét nó, Cantor nhiều nhà tốn học khác đặt móng nghiên cứu cấu trúc nhiều đối tượng Vào đầu năm 70 kỷ 20, hướng tốn học đời hình học fractal Cơng cụ để nghiên cứu hình học fractal chiều fractal Trong tập Cantor ví dụ điển hình dùng để minh họa cho phương pháp tính chiều fractal Chính thế, việc tìm hiểu cấu trúc, tính chất, phương pháp tính chiều fractal tập Cantor tập kiểu Cantor cần thiết Do đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn "Tập Cantor chiều fractal nó" Mục đích luận văn thơng qua tài liệu, chúng tơi tìm hiểu, trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết tính chất tập Cantor Thơng qua việc nghiên cứu tính chất tập Cantor tìm hiểu phương pháp để tính chiều fractal, chúng tơi lấy tập Cantor làm ví dụ minh hoạ cho phương pháp Với mục đích vậy, ngồi lời mở đầu, mục lục phần tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày hai chương Chương Tập Cantor Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần thiết cho luận văn, cách xây dựng tập Cantor cổ điển C3 (Middle third Cantor set), tập tựa Cantor Ck , tập Cantor đều, bụi Cantor tập Cantor tổng quát Đặc biệt, cuối chương chúng tơi hệ thống trình bày cách đầy đủ tính chất tập Cantor cổ điển chứng minh chi tiết tính chất Mệnh đề, Định lý từ 1.3.1 đến 1.3.14 Chương Một số phương pháp tính chiều Hausdorff tập Cantor Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất chiều Haudorff Đặc biêt, sở hệ thống bốn phương pháp để tính chiều Hausdorff kết hợp với cấu trúc tinh tế đa tính chất tập Cantor, chúng tơi tính chiều Hausdorff tập Cantor làm ví dụ minh hoạ cho phương pháp tính chiều nêu Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô, người dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình tiến hành làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Giải tích, thầy Khoa Toán, Khoa Sau đại học bạn học viên lớp Cao học 16 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trong trình thực luận văn này, cố gắng khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG TẬP CANTOR 1.1 Một số kiến thức sở Trong mục chúng tơi trình bày lại số kiến thức độ đo, mêtric Hausdorff, ánh xạ co, ánh xạ đồng dạng, tập tự đồng dạng, tập hoàn hảo, tập liên thơng cần sử dụng cho nội dung luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([5]) Cho X tập hợp tuỳ ý C đại số tập X Hàm tập µ : C → R gọi độ đo C thoả mãn điều kiện sau i) µ(A) ≥ với A ∈ C ; ii) µ(∅) = 0; iii) µ σ - cộng tính, tức Ai ∈ C, i = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j , ∞ ∞ Ai ∈ C µ( i=1 ∞ Ai ) = i=1 µ(Ai ) i=1 Độ đo µ σ - đại số L tập X gọi độ đo đủ A ⊂ B, B ∈ L, µ(B) = A ∈ L, µ(A) = Hàm µ gọi độ đo C thoả mãn i), ii) điều kiện iii) thay iii’) với ∞ iii’) µ σ - cộng tính, tức Ai ∈ C, i = 1, 2, , Ai ∈ C i=1 ∞ µ( i=1 ∞ Ai ) ≤ µ(Ai ) i=1 1.1.2 Định nghĩa ([5]) Cho D tập đóng khơng gian mêtric (Rn , d) với d mêtric xác định n |xi − yi |2 , với ∀x, y ∈ Rn , d(x, y) = |x − y| = i=1 n với x ∈ R tập A D đặt d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} với số thực dương δ , đặt Aδ = {x ∈ Rn : d(x, A) ≤ δ} gọi Aδ δ bao A Gọi K lớp tất tập compact, khác rỗng D Với hai tập A, B thuộc K, ta ký hiệu dH (A, B) = inf{δ > : A ⊂ Bδ B ⊂ Aδ } (1.1) 1.1.3 Bổ đề Với A, B ∈ K, dH (A, B) cho cơng thức (1.1) cịn xác định dH (A, B) = max{sup{d(a, B) : a ∈ A}, sup{d(b, A) : b ∈ B}} Nhờ Bổ đề 1.1.3 ta chứng minh kết sau 1.1.4 Định lý ([1]) Với cách xác định dH (1.1) dH mêtric K Hơn nữa, (K, dH ) không gian mêtric đầy đủ 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Cho D tập đóng Rn Ánh xạ S : D → D gọi ánh xạ co D tồn số c ∈ [0; 1) cho |S(x) − S(y)| ≤ c|x − y| với x, y ∈ D, c gọi tỷ số co S Nếu dấu "=" bất đẳng thức xảy với x, y ∈ D S gọi ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng c Một họ hữu hạn ánh xạ co {Si}N i=1 với Si : D → D gọi hệ hàm lặp (viết tắt IFS - Interated Function System) D 1.1.6 Mệnh đề ([5]) Cho N ánh xạ co {Si }N i=1 D Ta xác định ánh xạ S : K → K N E → S(E) = Si (E) i=1 (1.2) dH (S(A), S(B)) ≤ cmax dH (A, B), cmax = max {ci } với ci tỷ 1≤i≤N số co Si , i ∈ {1, 2, , N } 1.1.7 Định lý ([5]) Cho hệ hàm lặp {Si }N i=1 S ánh xạ co xác định (1.2) Khi tồn tập F ∈ K cho S(F ) = F Hơn nữa, có tập E ∈ K cho Si (E) ⊆ E với ∀i ∈ {1, 2, , N } ∞ F = S k (E) với S k lặp lại k lần ánh xạ S k=1 1.1.8 Định nghĩa ([5]) Tập F xác định Định lý 1.1.7 gọi tập bất biến hệ hàm lặp Nếu Si , ≤ i ≤ N ánh xạ đồng dạng tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng Các tập bất biến xem tập Fractal Một tính chất vô quan trọng tập Fractal tự đồng dạng, có ý nghĩa chọn phần nhỏ tuỳ ý tập tự đồng dạng F phần chọn ln "bản sao" F 1.1.9 Định nghĩa Một điểm x gọi điểm tụ tập F lân cận x chứa vô số điểm F Cho tập F không gian mêtric X Một điểm x ∈ F điểm tụ F gọi điểm cô lập F Một tập đóng F mà khơng có điểm lập gọi tập hồn hảo 1.1.10 Nhận xét i) Một điểm x điểm tụ tập F lân cận x có chứa điểm F khác với x ii) Điểm x ∈ F điểm lập F có lân cận x không chứa điểm tập F \{x} 1.1.11 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi liên thông X biểu diễn dạng hợp hai tập khác rỗng, tách Tập A ⊂ X - không gian tôpô gọi tập liên thông không gian A với tôpô cảm sinh không gian liên thông Giả sử X không gian tôpô, A ⊂ X Tập A gọi thành phần liên thông X A tập liên thông cực đại Không gian tôpô X gọi hồn tồn khơng liên thơng thành phần liên thông X điểm 1.2 Cách xây dựng tập Cantor cổ điển tập kiểu Cantor Trong mục chúng tơi trình bày cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor, tập Cantor đều, bụi Cantor, tập Cantor tổng quát 1.2.1 Tập Cantor cổ điển (C3 - Middle third Cantor set) Tập Cantor C3 xây dựng cách lấy đoạn thẳng [0; 1], chia làm ba phần nhau, bỏ khoảng mở I1 = ( 13 ; 23 ) giữ lại hai đoạn hai đầu nghĩa giữ lại tập F1 = [0; 1] \I1 = 0; 31 ∪ Tiếp tục cách làm tương tự tập F1 , bỏ tập I2 = ( 312 ; 322 ) ∪ giữ lại tập F2 = [0; 1] \(I1 ∪ I2 ) = 0; 312 ∪ 32 ; 32 ∪ 32 ; 32 ∪ 3; ( 372 ; 382 ) 32 ; Lặp lại cách làm y đoạn lại tiếp tục Tập cịn lại sau q trình tập Cantor C3 , khoảng mở bỏ đoạn [0; 1] bước thứ k để tạo tập Cantor gọi khoảng bù cấp k tập Cantor C3 Khoảng 3; gọi khoảng bù cấp 1, khoảng 32 ; 32 , 32 ; 32 khoảng bù cấp 2, ∞ Khi đó, ta có F0 ⊃ F1 ⊃ ⊃ ∞ Fi = C3 tập Cantor C3 = [0; 1] \ i=0 In n=1 Xây dựng tập Cantor C3 1.2.2 Tập tựa Cantor Ck Tập tựa Cantor Ck xây dựng dựa số nguyên k (k ≥ 3) cách lấy đoạn thẳng [0; 1], chia làm phần, bỏ khoảng mở với độ dài k , lặp lại cách giữ lại hai đoạn hai đầu với độ dài đoạn 21 − 2k làm y đoạn tiếp tục Tập cịn lại sau q trình ta gọi tập tựa Cantor Ck Xây dựng tập tựa Cantor C4 Xây dựng tập tựa Cantor C5 1.2.3 Tập Cantor Cho đoạn I = [0; 1], số nguyên m ≥ r ∈ (0; m1 ) Ta thay I m đoạn I1 , I2 , , Im cách có độ dài đoạn r|I| cho điểm mút bên trái I trùng với điểm mút bên trái I1 điểm mút bên phải m Ii Tiếp tục cách làm I trùng với điểm mút bên phải Im Đặt F1 = i=1 cho đoạn I1 , I2 , , Im ta có tập F2 Lặp lại cách làm y ∞ đoạn F2 tiếp tục Khi đó, F = Fk gọi k=0 tập Cantor 1.2.4 Bụi Cantor Xuất phát từ hình vng đơn vị, chia thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh 31 , giữ lại hình vng góc hình vng đơn vị bỏ hình vng khác (như hình vẽ) Cứ tiếp tục bước thứ k ta có 4k hình vng độ dài cạnh 3k Q trình lặp lại vơ hạn lần Khi đó, tập thu gọi bụi Cantor Thực chất bụi Cantor F = C3 × C3 Xây dựng bụi Cantor 10 1.2.5 Tập Cantor tổng quát Cho dãy giảm dần tập [0; 1] = E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ , với k = 1, 2, Ek hợp hữu hạn khoảng đóng rời (gọi khoảng sở cấp k ) với khoảng Ek chứa hai khoảng Ek+1 chiều dài lớn khoảng sở cấp k dần k → ∞ ∞ Khi đó, tập F = Ek tập hồn tồn khơng liên thông đoạn k=0 [0; 1], fractal ta gọi tập Cantor tổng quát 1.3 Tính chất tập Cantor cổ điển C3 Trong mục chúng tơi hệ thống, trình bày đầy đủ tính chất tập Cantor cổ điển C3 chứng minh chi tiết tính chất 1.3.1 Mệnh đề ([7]) Tập Cantor C3 khác rỗng ∞ Chứng minh Vì 0, ∈ Fi với i = 1, 2, nên 0, ∈ Fi = C3 Do i=1 đó, C3 = ∅ 1.3.2 Mệnh đề Tập Cantor C3 có độ đo Lebesgue Chứng minh Ta có độ đo Lebesgue đoạn [0; 1] µL ([0; 1]) = |1 − 0| = Sau bước thứ k trình xây dựng tập Cantor C3 có 2k−1 khoảng bị bỏ khỏi đoạn [0; 1], khoảng có độ dài 3−k Vì thế, tổng độ dài tất khoảng bỏ tập Cantor C3 ∞ k=1 k−1 1 k = 3 ∞ k=0 k 1 = 1− = Do đó, phần bù C3c tập Cantor C3 đoạn [0; 1] có độ đo Lebesgue µL (C3c ) = µL ([0; 1]\C3 ) = Từ đó, độ đo Lebesgue tập Cantor C3 µL (C3 ) = − = 18 ∞ t = k=1 2θk 3k , θk ∈ {0; 1} Điều chứng tỏ [0; 1] ⊂ f (C3 ) Vậy f (C3 ) = [0; 1] Kết chứng minh dựa vào biểu diễn giải tích tập Cantor C3 Ta tổng quát Định lý 1.3.12 kết sau sử dụng phương pháp chứng minh khác 1.3.13 Định lý Bất kỳ tập compact không gian mêtric X ảnh tập Cantor C3 qua ánh xạ liên tục Chứng minh Cho tập compact K ⊂ X Khi đó, ta phủ K số hữu hạn hình cầu Br1 , r1 ∈ {1, 2, , 2n1 } có đường kính khơng q 21 Đặt Kr1 = K ∩ Br1 = ∅, r1 ∈ {1, 2, , 2n1 }, ta giả thiết số hình cầu 2n1 , số s ta lấy số n1 n1 cho 2 n1 n1 Kr1 , > s đặt Br1 = Bs , với r1 = s + 1, , Ta có K = r1 =1 Kr1 khác rỗng có đường kính khơng q 21 Sau đó, cách tương tự tập compact Kr1 lại biểu diễn thành hợp 2n2 22 , tập khác rỗng Kr1 r2 , r2 = 1, 2, , 2n2 có đường kính khơng q Đến bước thứ k > ta có họ tập Kr1 r2 rk = ∅, ri ∈ {1, 2, , 2ni }, i ∈ {1, 2, , k} K = ∪Kr1 r2 rk với tập có đường kính khơng q 2k Để ý rằng, Ink hợp 2nk −1 khoảng bù cấp nk − tập Cantor Fnk = [0; 1] \Ink hợp 2nk đoạn thẳng (mỗi đoạn có độ dài ∞ ) 3nk −1 Khi Fnk Hiển nhiên đoạn thẳng Fnk nằm đó, tập Cantor thực tế k=1 đoạn Fnk −1 , đoạn lại nằm đoạn Fnk −2 , đoạn Fnk ký hiệu ∆r1 r2 rk số ri có nghĩa ∆r1 r2 rk nằm đoạn thứ ri Fni , với ri = 1, 2, , 2ni Vậy, ứng với ∞ điểm t ∈ F có dãy vô hạn r1 , r2 , , rk , cho t = ∆r1 r2 rk k=1 19 Để cho gọn ta gọi dãy r1 , r2 , , rk , dãy đặc trưng t Bây ta xác định ánh xạ f : C3 → K sau Với t ta có dãy đặc trưng r1 , r2 , , rk , cho tương ứng dãy Kr1 ⊃ Kr1 r2 ⊃ ⊃ Kr1 r2 rk ⊃ Vì đường kính tập Kr1 r2 rk dần tới 0, nên dãy thắt lại điểm ∞ f (t), nghĩa f (t) = Kr1 r2 rk k=1 Ta chứng minh ánh xạ f liên tục Thật vậy, với ε > ta chọn k đủ nhỏ để 2k < ε, lấy δ = 3nk Khi đó, t đặc trưng dãy r1 , r2 , , rk , t thỏa mãn |t − t| ≤ δ phải nằm đoạn ∆r1 r2 rk với t Do đó, f (t ) f (t) thuộc Fr1 r2 rk |f (t ) − f (t)| ≤ 2k < ε Vì vậy, f liên tục f (C3 ) = K 1.3.14 Định lý ([1]) Tập Cantor C3 tập tự đồng dạng Chứng minh Xét hai ánh xạ f1 : [0; 1] → [0; 31 ] f2 : [0; 1] → [ 23 ; 1] ; x → x3 x → x3 + 32 Ta có |fi (x) − fi (y)| = 13 |x − y| ∀x, y ∈ [0; 1], i = 1, hay fi ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng ci = 13 , i = 1, Ta có F1 = f1 (F0 ) ∪ f2 (F0 ) F2 = f1 (F1 ) ∪ f2 (F1 ) Bằng quy nạp ta có Fi+1 = f1 (Fi ) ∪ f2 (Fi ) với i = 0, 1, 2, Ta chứng minh C3 = f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) Trước hết ta chứng minh C3 ⊂ f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) ∞ Thật vậy, với x ∈ C3 = i=0 Fi x ∈ F1 , x ∈ 0; 31 x ∈ 3; 20 Xét trường hợp x ∈ 3; Khi đó, x ∈ Fi+1 = f1 (Fi ) ∪ f2 (Fi ) ∀i ∈ N Vì f1 (Fi ) ⊆ f1 ([0; 1]) = 0; 31 nên x ∈ f2 (Fi ) Do đó, tồn x0 ∈ Fi cho x = f2 (x0 ) = ∞ x1 +2 hay 3x − = x0 ∈ Fi với i ∈ N Khi đó, Fi = C3 dẫn đến tồn x1 ∈ C3 cho 3x − = x1 hay 3x − ∈ x= x0 +2 i=0 = f2 (x1 ) ∈ f2 (C3 ) Trường hợp x ∈ 0; 13 chứng minh tương tự Do đó, C3 ⊂ f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) Bây ta chứng minh f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) ⊂ C3 Với x ∈ f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) ta có x ∈ f1 (C3 ) x ∈ f2 (C3 ) Ta xét trường hợp x ∈ f2 (C3 ) Khi đó, tồn x2 ∈ C3 cho x = f2 (x2 ) = ∞ hay 3x − = x2 ∈ C3 Do C3 = x2 +2 Fi nên với i ∈ N ta có 3x − ∈ Fi i=0 dẫn đến tồn x3 ∈ Fi cho 3x − = x3 hay x = x3 +2 = f2 (x3 ) ∈ f2 (Fi ) ⊆ Fi+1 Trường hợp x ∈ f1 (C3 ) chứng minh tương tự Do đó, ∞ x∈ ∞ Fi = C3 Vì C3 ⊇ f1 (C3 ) ∪ f2 (C3 ) Fi+1 = i=0 i=0 Vậy C3 bất biến qua hệ hai ánh xạ đồng dạng {f1 , f2 } Do đó, C3 tập tự đồng dạng 1.3.15 Nhận xét Tập Cantor C3 fractal 21 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP CANTOR Từ kết Chương thấy tập Cantor dù xây dựng đơn giản có nhiều tính chất phong phú, tinh tế Đặc biệt, tập Cantor tập tự đồng dạng Vì vậy, tập Cantor lấy để làm ví dụ minh hoạ cho phương pháp tính chiều fractal Thơng qua việc tính chiều fractal tập Cantor giúp hiểu rõ cách tính chiều fractal tập fractal phức tạp 2.1 Chiều Hausdorff Trong phần chúng tơi trình bày lại kiến thức độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff tính chất chúng sử dụng luận văn 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Cho U tập khác rỗng không gian Euclide (Rn ,d), đường kính U ký hiệu |U | xác định |U | = sup{d(x, y) : x, y ∈ U } Với δ > Ui ⊂ Rn , i = 1, 2, họ {Ui }∞ i=1 gọi δ -phủ U ∞ Ui ⊃ U < |Ui | ≤ δ , i = 1, 2, i=1 Nếu khơng có nhầm lẫn sau ta ký hiệu {Ui } thay cho {Ui }∞ i=1 Giả sử F tập khác rỗng Rn s số thực không âm Với δ > 0, ta ký hiệu 22 Hδs (F ) ∞ = inf{ |Ui |s : {Ui } δ - phủ F } (2.1) i=1 2.1.2 Nhận xét Giả sử F ⊂ Rn , s ≥ δ > Khi đó, ta có khẳng định sau i) Hδs (F ) ≥ ii) Nếu < δ < δ Hδs (F ) ≥ Hδs (F ) Như vậy, với s ≥ cho trước hàm Hδs (F ) tăng δ giảm Do đó, tồn lim+ Hδs (F ) với F ⊂ Rn dù giới hạn hay +∞ Đặt δ→0 Hs (F ) = lim+ Hδs (F ) δ→0 (2.2) 2.1.3 Mệnh đề ([5]) Cho C lớp tập Rn , với s ≥ hàm tập Hs : C → R xác định (2.2) với F ∈ C độ đo C 2.1.4 Định nghĩa ([5]) Độ đo sinh độ đo Hs gọi độ đo Hausdorff σ - đại số L tập Hs - đo Rn Tập F ⊂ Rn thoả mãn < Hs < +∞ gọi s -tập 2.1.5 Nhận xét ([5]) i) Trong định nghĩa độ đo Hausdorff thay phủ phủ mở (phủ đóng) ii) Nếu F tập compact định nghĩa độ đo Hausdorff thay phủ phủ mở, hữu hạn 2.1.6 Mệnh đề ([5]) i) Nếu F ⊂ Rn λ > Hs (λF ) = λs Hs (F ) ii) Nếu F ⊂ Rn f : F → Rn ánh xạ Holder, nghĩa |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α , ∀x, y ∈ F với số c > α > với s ≥ ta có s s H α (f (F )) ≤ c α Hs (F ) 2.1.7 Hệ ([5]) i) Nếu α = f ánh xạ Lipschitz Khi đó, Hs (f (F )) ≤ cs Hs (F ) 23 ii) Nếu f : F → Rn phép đẳng cự từ F lên f (F ), nghĩa |f (x)−f (y)| = |x − y| với x, y ∈ F Hs (f (F )) = Hs (F ) 2.1.8 Mệnh đề Với δ > 0, t > s ≥ F ⊂ Rn ta ln có Hδt (F ) ≤ δ t−s Hδs (F ) (2.3) Từ bất đẳng thức (2.3) ta có nhận xét sau sở để đến khái niệm chiều Hausdorff 2.1.9 Nhận xét Với số thực s, t thoả mãn t > s ≥ ta có kết sau i) Nếu Hs (F ) < +∞ Ht (F ) = ii) Nếu Ht (F ) > Hs (F ) = +∞ Từ Nhận xét 2.1.9 ta có định lý sau 2.1.10 Định lý ([5]) Cho F ⊂ Rn , tồn sF ∈ [0; +∞] để Hs (F ) "nhảy" từ +∞ 2.1.11 Định nghĩa ([5]) Cho F ⊂ Rn , giá trị sF nói Định lý 2.1.10 gọi chiều Hausdorff F ký hiệu dimH F Như vậy, dimH F = inf{s ≥ : Hs (F ) = 0} = sup{s ≥ : Hs (F ) = +∞} 24 +∞ s < dimH F s > dimH F s s = sF H (F ) nhận giá trị hữu hạn +∞ Với s ∈ R ta có Hs (F ) = Mệnh đề sau cho tính chất chiều Hausdorff 2.1.12 Mệnh đề ([5]) i) Nếu E ⊆ F dimH E ≤ dimH F ii) dimH ({x}) = với x ∈ Rn ∞ iii) dimH ( Fi ) = sup{dimH Fi } i=1 i iv) Nếu F tập đếm điểm Rn dimH F = v) Nếu F tập mở khác rỗng Rn dimH F = n vi) Nếu F đa tạp trơn n chiều Rn dimH F = n Từ Mệnh đề 2.1.12 ta thấy chiều Hausdorff có đầy đủ tính chất mong muốn chiều người ta xây dựng khái niệm chiều 2.1.13 Mệnh đề ([5]) Nếu F ⊂ Rn f : F → Rn thỏa mãn điều kiện Holder, nghĩa |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α ∀x, y ∈ F α, c = const dimH F α 2.1.14 Hệ ([5]) i) Nếu f : F → Rn ánh xạ Lipschitz, nghĩa dimH f (F ) ≤ |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ F, < c dimH f (F ) ≤ dimH F ii) Nếu f : F → Rn ánh xạ Lipschitz kép, nghĩa c1 |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ c2 |x − y|, ∀x, y ∈ F, < c1 < c2 dimH f (F ) = dimH F 2.1.15 Mệnh đề ([5]) Cho tập F ⊂ R Nếu dimH F < F hồn tồn khơng liên thông Chiều Hausdorff xây dựng sở khái niệm độ đo nên có tính chất đẹp Tuy nhiên, từ Định nghĩa 2.1.11 ta thấy việc tính 25 dimH F lại khó khăn Do đó, để khắc phục hạn chế ta xây dựng khái niệm chiều hộp 2.2 Chiều hộp 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho F tập bị chặn, khác rỗng Rn , ta gọi chiều hộp F , ký hiệu dimB F , giá trị xác định log Nδ (F ) − log δ , δ→0+ dimB F = lim Nδ (F ) số tối thiểu tập có đường kính δ phủ F Tương tự, chiều hộp F , ký hiệu dimB F , giá trị xác định dimB F = lim+ log−Nlogδ (Fδ ) δ→0 Nếu dimB F = dimB F giá trị chung gọi chiều hộp F , ký hiệu dimB F 2.2.2 Nhận xét ([5]) i) Nếu tồn dimB F dimB F = lim+ log−Nlogδ (Fδ ) δ→0 ii) dimH F ≤ dimB F ≤ dimB F iii) Nếu tồn dimB F định nghĩa dimB ta thay Nδ (F ) a) Số tối thiểu hình cầu đóng bán kính δ phủ F b) Số tối thiểu hình lập phương cạnh δ phủ F c) Số tối thiểu hình cầu rời bán kính δ tâm thuộc F d) Số tối thiểu tập có đường kính bé δ phủ F 2.3 Một số phương pháp tính chiều fractal tập Cantor Trong mục chúng tơi trình bày số phương pháp phổ biến tiện lợi để tính chiều fractal tập Cantor cổ điển dựa vào đặc điểm tập fractal Việc chứng minh định lý phần dài, 26 khn khổ luận văn, chúng tơi khơng trình bày chứng minh 2.3.1 Tính chiều Hausdorff tập Cantor C3 dựa vào độ đo 2.3.1.1 Mệnh đề ([5]) Cho F ⊂ Rn Nếu tồn s ∈ [0; +∞] mà < Hs (F ) < +∞ s = dimH F Chứng minh Nếu s > dimH F , theo định nghĩa dimH F Hs (F ) = Nếu s < dimH F Hs (F ) = +∞ Vậy, từ giả thiết ta có s = dimH F 2.3.1.2 Mệnh đề Cho C3 tập Cantor s = Hs (C3 ) < Do đó, dimH C3 = log log Khi đó, ta có < log log Chứng minh Đặt CL = C3 ∩ 0; 31 CR = C3 ∩ 3; ta có CL , CR đồng dạng với C3 theo tỷ số 13 , C3 = CL ∪ CR , CL ∩ CR = ∅ Do đó, theo tính chất độ đo Mệnh đề 2.1.6 i) ta có s s s H (C3 ) = H (CL ) + H (CR ) = Vì vậy, 3s = hay = 3s dẫn đến s = log log s s H (C3 ) + s Hs (C3 ) < Hs (C3 ) < +∞ Suy ra, dimH C3 = s Tính tốn Hs (C3 ) cụ thể sau Ta gọi khoảng độ dài 3−k (k ∈ N) tạo nên Fk trình xây dựng C3 khoảng sở Nếu s = log log chọn phủ {Ui} C3 2k khoảng sở Fk chiều dài 3−k dẫn đến |Ui |s = 2k 3−ks = H3s−k (C3 ) ≤ i Khi k → +∞ ta có Hs (C3 ) ≤ Để chứng minh Hs (C3 ) ≥ phủ {Ui} C3 |Ui |s ≥ ta i = 3−s với 27 Khơng tính tổng qt, giả sử {Ui} phủ gồm khoảng Do tính compact C3 nên chọn {Ui} phủ hữu hạn khoảng đóng [0; 1] Với Ui , lấy k số nguyên cho 3−(k+1) ≤ |Ui | < 3−k Khi đó, Ui giao với nhiều khoảng Fk , khoảng cách khoảng sở 3−k Nếu j ≥ k theo cách xây dựng tập Cantor Ui giao nhiều 2j−k = 2j 3−ks ≤ 2j 3s |Ui |s khoảng sở Fj Chọn j đủ lớn để 3−(j−1) ≤ |Ui | với Ui Vì Ui giao với 2j khoảng sở chiều dài 3−k 2j 3s |Ui |s 3−s = nên 2j ≤ i s hai vế ta có H (C3 ) ≥ |Ui |s Do đó, lấy infimum < i Thực chất ta Hs (C3 ) = 2.3.2 Tính chiều Hausdorff tập Cantor C3 dựa vào chiều hộp 2.3.2.1 Định lý ([5]) Nếu F ⊂ Rn tập tự đồng dạng tồn dimB F dimH F = dimB F 2.3.2.2 Mệnh đề Cho tập Cantor C3 s = Do đó, dimH C3 = log log Khi đó, dimB C3 = s log log Chứng minh Với δn = 3−n ta phủ tập C3 2n tập n Un = { k=1 có đường kính 3n t ik + : ik ∈ {0; 2}, k ≥ 1, ≤ t ≤ 1} 3k 3n Vì vậy, suy Nδn (C3 ) ≤ 2n Hơn nữa, dễ thấy khoảng có độ dài 2n C3 có giao nhiều với hai khoảng Un dẫn đến Nδn (C3 ) ≥ 2n−1 Lấy δ > ta chọn n ∈ N để δn+1 = 3n+1 ≤δ≤ 3n = δn Khi đó, 28 Nδn (C3 ) ≤ Nδ (C3 ) ≤ Nδn+1 (C3 ) Vì vậy, log Nδn (C3 ) log Nδ (C3 ) log Nδn+1 (C3 ) n + log n − log ≤ ≤ ≤ ≤ n + log − log δn+1 − log δ − log δn n log δ (C3 ) Khi n → ∞ ta có dimB C3 = lim+ log−Nlog δ = δ→0 log log Từ Mệnh đề 1.3.14 Mệnh đề 2.3.2.2 ta có dimH C3 = dimB C3 = 2.3.3 log log Tính chiều Hausdorff tập Cantor C3 dựa vào điều kiện tập mở 2.3.3.1 Định nghĩa ([5]) Cho hệ hàm lặp {Si }N i=1 Ta nói hệ hàm lặp cho thoả mãn điều kiện tập mở (viết tắt OSC- Open Set Condition) n tồn tập mở bị chặn khác  rỗng V ⊂ R cho N  Si (V ) ⊆ V ; i=1  Si (V ) ∩ Sj (V ) = ∅, i = j 2.3.3.2 Định lý ([5]) Nếu F ⊂ Rn sinh hệ hàm lặp {f1 , f2 , , fm } thoả mãn OSC tồn dimB F dimH F = dimB F = s nghiệm m phương trình i=1 csi = với ci , i = 1, 2, , m tỷ số co ánh xạ co f1 , f2 , , fm tương ứng 2.3.3.3 Mệnh đề Cho tập Cantor C3 Khi đó, C3 tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thoả mãn OSC dimH C3 = log log Chứng minh Xét tập mở V = (0; 1) hệ hàm lặp {f1 , f2 } Mệnh đề 1.3.14 Khi f1 (V ) = (0; 13 ), f2 (V ) = ( 32 ; 1) f1 (V ) ∪ f2 (V ) ⊆ V f1 (V ) ∩ f2 (V ) = ∅ Do hệ hàm lặp {f1 , f2 } thoả mãn OSC Mặt khác f1 , f2 hai ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng ci = 3, i = 1, Theo Mệnh đề 1.3.14 ta có tập Cantor C3 sinh hệ hàm lặp 29 {f1 , f2 } Vì vậy, dimH C3 = dimB C3 = s nghiệm phương trình cs1 + cs2 = hay 2( 13 )s = Giải phương trình ta có nghiệm s = Vậy dimH C3 = 2.3.4 log log log log Tính chiều Hausdorff tập Cantor C3 dựa vào nguyên tắc phân bố khối lượng 2.3.4.1 Định nghĩa ([5]) Cho µ độ đo Rn i) Giá độ đo µ ký hiệu sptµ tập đóng bé cho µ(Rn \sptµ) = ii) Cho A tập bị chặn Rn ta nói µ độ đo A sptµ ⊂ A iii) Cho µ độ đo tập bị chặn Rn thoả mãn < µ(Rn ) < +∞ Khi đó, µ gọi phân bố khối lượng (Mass distributions) µ(A) xem khối lượng A ⊂ Rn 2.3.4.2 Định lý ([5]) (Nguyên tắc phân bố khối lượng) Cho F tập compact, khác rỗng Rn µ phân bố khối lượng F Nếu với s ≥ tồn c > δ > cho µ(U ) ≤ c|U |s với U mà |U | ≤ δ Hs (F ) ≥ µ(F ) c Do đó, dimH F ≥ s 2.3.4.3 Mệnh đề Nếu F bất biến qua hệ ánh xạ co với tỷ số co ci , i = 1, 2, dimH F ≤ s với s nghiệm phương trình m i=1 csi = 2.3.4.4 Mệnh đề Cho tập Cantor C3 Khi đó, ta xây dựng phân bố khối lượng C3 với s = log log dimH C3 = s Chứng minh Tập Cantor C3 tập Borel, bị chặn R Ta xây dựng phân bố khối lượng C3 sau 30 Với k = 1, 2, ký hiệu Uk,i , i = 1, 2, , 2k đoạn sở tập Fk trình xây dựng tập Cantor C3 Khi đó, đường kính tập −k Uk,i → k → ∞ Ta gán µ(Uk,i ) = 2k 2k Khi đó, i=1 µ(Ui ) = 2k 21k = = µ(F0 ) = µ([0; 1]) Ta mở rộng µ thành độ đo R cho µ(R) = 1.Rõ ràng giá µ C3 Vì vậy, µ phân bố khối lượng C3 Giả sử U tập với |U | < tồn số nguyên k cho 3−(k+1) ≤ |U | ≤ 3−k Do U giao với nhiều tập Fk µ(U ) ≤ 2−k = log log log (3 log )−k = (3−k ) log ≤ (3|U |) log Vì vậy, s = log log ≤ dimH F Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.14 ta có C3 tập bất biến hệ {f1 , f2 } gồm hai ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng c1 = c2 = 31 Từ Mệnh đề 2.3.4.3 ta có dimH C3 ≤ s với s nghiệm phương trình cs1 + cs2 = dẫn đến s = log log 2.3.5 Một số kết việc tính chiều Hausdorff tập mơ Do đó, dimH C3 ≤ log log Vậy, dimH C3 = log log tả Mục 1.2 Tương tự trình bày tập Cantor C3 ta có kết sau 2.3.5.1 Mệnh đề Chiều tập tựa Cantor Ck dimH Ck = log 2k ) log( k−1 2.3.5.2 Mệnh đề Cho F tập Cantor đều, m ≥ r ∈ (0; m1 ) Khi đó, dimH F = log m − log r log m < H − log r (F ) < ∞ 2.3.5.3 Mệnh đề Cho F bụi Cantor Khi đó, dimH F = log log 31 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau Trình bày cụ thể cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor Ck , tập Cantor đều, Bụi Cantor tập Cantor tổng quát Hệ thống chứng minh chi tiết tính chất tập Cantor cổ điển Mệnh đề, Định lý từ 1.3.1 đến 1.3.14 Trình bày bốn phương pháp tính chiều tập fractal lấy tập Cantor làm ví dụ mơ tả cho phương pháp Chứng minh chi tiết số Mệnh đề mà tài liệu chưa chứng minh chứng minh vắn tắt Thông qua việc nghiên cứu tập Cantor, thấy tập xây dựng đơn giản có nhiều tính chất tinh tế, thú vị Nhờ đặc tính mà ta có nhiều phương pháp tính chiều fractal cách thuận lợi áp dụng kết để nghiên cứu tập fractal khác 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A E Gerald (2008), Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer [2] C C Pugh (2002), Real Mathematical Analysis, Springer-verlag [3] C Ma (2003), Hausdorff Measure of Linear Cantor Set, Wujns Wuhan University Journal of Natural Sciences [4] S Christopher (2009), An Exploration of the Cantor Set, Rockhurst University, Spring [5] K Falconer (1990), Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Son, Chichester [6] P Yakov and V Climenhaga (2009), Lectures on Fractals and dimension theory, American Mathematical Society, Mathematics Advanced Study Semesters [7] R N Dylan (2007), The Cantor set - A brief introduction, University of California - Berkeley, Berkeley, CA 94704 ... Cách xây dựng tập Cantor cổ điển tập kiểu Cantor Trong mục trình bày cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor, tập Cantor đều, bụi Cantor, tập Cantor tổng quát 1.2.1 Tập Cantor cổ điển... tập Cantor tập tự đồng dạng Vì vậy, tập Cantor lấy để làm ví dụ minh hoạ cho phương pháp tính chiều fractal Thơng qua việc tính chiều fractal tập Cantor giúp hiểu rõ cách tính chiều fractal tập. .. Trình bày cụ thể cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor Ck , tập Cantor đều, Bụi Cantor tập Cantor tổng quát Hệ thống chứng minh chi tiết tính chất tập Cantor cổ điển Mệnh đề, Định lý