Điều kiện tập mở đối với hệ hàm lặp

1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC - - ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ ĐỐI VỚI HỆ HÀM LẶP CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01 Ngƣời thực hiện: Nguyễn Văn Hậu Cán hƣớng dẫn khoa học: TS Vũ Thị Hồng Thanh Vinh - 2010 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang Mục lục Lời mở đầu Chƣơng Kiến thức sở 1.1 Các loại ánh xạ, hệ hàm lặp 1.2 Mêtric Hausdorff 1.3 Tập bất biến, tập tự đồng dạng 1.4 Điều kiện tập mở 10 1.5 Độ đo Hausdorff 11 1.6 Chiều Hausdorff 12 1.7 Sự phân bố khối lượng bổ đề phủ 15 1.8 Cơng thức tính chiều fractal F sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 18 Chƣơng Hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 24 2.1 Điều kiện tập mở độ đo Hausdorff 25 2.2 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp dựa vào tập mở trung tâm 28 2.3 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp theo quan điểm nhóm tơpơ phép đồng dạng 32 2.4 Mỗi liên hệ điều kiện tập mở điều kiện tách yếu 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI MỞ ĐẦU Độ đo chiều Hausdorff hai vấn đề nghiên cứu hình học fractal - lĩnh vực mới, thú vị có nhiều ứng dụng tốn học Khái niệm chiều Hausdorff xây dựng dựa vào độ đo Hausdorff việc vận dụng tính chất độ đo để nghiên cứu chiều Hausdorff nhà tốn học khai thác triệt để Chính từ đầu nghiên cứu fractal, nhà toán học bắt đầu nghiên cứu cho trường đơn giản tập fractal sinh ánh xạ đồng dạng thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC - Open Set Condition) Trong trường hợp này, tốn tình chiều tập fractal giải trọn vẹn Các trường hợp khác, việc tính chiều độ đo Hausdorff chúng cịn tốn mở, khó thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Khái niệm OSC khởi xướng nghiên cứu P A P Moran vào năm 1946, Schief, C Bandt, S Graf, K J Falconer, M Moran gần Christoph Bandt, Nguyễn Việt Hùng, Hui Rao Vì thế, tốn đặt với điều kiện hệ hàm lặp điều kiện tập mở thỏa mãn Đây toán thú vị tập trung nghiên cứu nhiều nhà tốn học Do đó, chúng tơi muốn tìm hiểu kết đạt điều kiện để hệ hàm lặp sinh fractal thỏa mãn điều kiện tập mở tìm kiếm ví dụ minh họa Vì chúng tơi chọn đề tài cho luận văn " Điều kiện tập mở hệ hàm lặp" Mục đích luận văn thơng qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống điều kiện hệ hàm lặp sinh tập Fractal thỏa mãn điều kiện tập mở cơng thức tính chiều lớp tập fractal này, trình bày cách đầy đủ chứng minh chi tiết kết đạt liên quan đến vấn đề nghiên cứu mà tài liệu phát biểu chưa chứng minh hay chứng minh cịn vắn tắt Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương 1, trình bày kiến thức sở sử dụng tồn luận văn Đặc biệt, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết Bổ đề 1.8.1, Định lý 1.7.4, 1.8.2 tìm ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.4, 1.4.2, 1.6.5, 1.8.3 Chương 2, trình bày bốn kết đạt điều kiện để hệ hàm lặp sinh tập fractal thỏa mãn điều kiện tập mở Trong đó, chứng minh chi tiết Hệ 2.2.2, Bổ đề 2.2.4, Định lý 2.1.4, 2.2.1, 2.2.5, 2.3.1 tìm kiếm số ví dụ minh họa Luận văn hồn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến Cơ Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ Giải tích khoa Tốn Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trình học tập Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến qúy Thầy, cô Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nghệ An, Trường THPT Cát Ngạn, Huyện Thanh Chương, Tỉnh Nghệ An, bạn bè, đồng nghiệp gia đình quan tâm, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả vừa học tập vừa công tác, tham gia tốt khóa học hồn thành luận văn thời hạn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót định, mong nhận góp ý quý thầy, bạn để luận văn hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến, tập tự đồng dạng; độ đo, chiều mêtric Hausdorff, điều kiện tập mở cơng thức tính chiều tập Fractal sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở cần sử dụng toàn luận văn 1.1 Các loại ánh xạ, hệ hàm lặp Trong mục này, kí hiệu x  y hiểu khoảng cách thông thường hai phần tử x y R n 1.1.1 Định nghĩa ([9]) Lấy tập D   R n (thường lấy D  R n ) i) Ánh xạ f : D  D gọi ánh xạ co D tồn c  [0;1) cho f ( x)  f ( y)  c x  y x, y  D , (1.1) c gọi tỷ số co ii) Ánh xạ f : D  D gọi ánh xạ đồng dạng D tồn c [0;1) cho f ( x)  f ( y)  c x  y x, y  D , (1.2) c gọi tỷ số đồng dạng iii) Ánh xạ f : D  R n gọi ánh xạ Lipschitz tồn số c > cho f ( x )  f (y)  c x  y x, y  D (1.3) iv) Ánh xạ f : D  R n gọi ánh xạ Holder tồn số c >   cho f ( x )  f ( y)  c x  y  x, y  D (1.4) v) Ánh xạ f : D  R n gọi ánh xạ đẳng cự f ( x )  f (y)  x  y x, y  D (1.5) 1.1.2 Định nghĩa ([9]) Một họ hữu hạn ánh xạ co  fi i1 m với fi : D  D gọi hệ hàm lặp (viết tắt IFS - Iterated Function System) D 1.2 Mêtric Hausdorff 1.2.1 Định nghĩa ([9]) i) Cho A tập không mêtric ( X , d ) Với điểm x  X ta đặt d( x, A)  inf{ d( x, y) : y  A} gọi d( x, A) khoảng cách từ điểm x đến tập A ii) Tập A  {x  X : d( x, A)  } gồm điểm cách tập A không  , gọi  - bao A Nhận xét: Nếu A, B hai tập khơng gian ( X ,d) B  A có nghĩa điểm B cách A không  1.2.2 Định lý ([9]) Cho D tập compact khác rỗng R n Kí hiệu K=là lớp tập compact, khác rỗng D Khi đó, hàm d H : K xK  R (A,B) d H (A,B) = inf{   : A  B ,B  A }   thỏa mãn i) d H (A,B) = max{ sup d(x,B); sup d(y,A)} yB xA ii) d H mêtric K Hơn nữa, không gian ( K , dH ) không gian mêtric đầy đủ 1.2.3 Định nghĩa Mêtric d H K Định lý 1.2.2 gọi Mêtric Hausdorff K 1.3 Tập bất biến, tập tự đồng dạng m D Ta xác định ánh xạ 1.3.1 Mệnh đề ([9]) Cho m ánh xạ co {Si}i S : K  K E S (E)  m i 1 Si ( E ) ( 1.6 ) d H (S(A),S(B))  cmax d H (A,B) với cmax = max{ci } , ci tỷ số co ánh 1i m xạ Si, i = 1,m 1.3.2 Định lý ([8]) Cho hệ hàm lặp {Si}im1 ánh xạ S xác định (1.6) Khi đó, tồn tập FK cho S(F)=F Hơn nữa, có tập E K cho Si ( E)  E, với i  1,2, ,m F  k 1 S k ( E ) với Sk lặp lại k lần ánh xạ S 1.3.3 Định nghĩa ([8]) i) Cho hệ hàm lặp {Si}im1 Tập F K thỏa mãn m S(F)=F gọi tập bất biến hay tập hút hệ hàm lặp {Si}i ii) Nếu Si với i  1,2, ,m ánh xạ đồng dạng tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng Các tập bất biến xem tập fractal Một tính chất vơ quan trọng tập fractal tính tự đồng dạng, có nghĩa lấy phần nhỏ tùy ý tập fractal F phần chọn "bản sao" F (theo nghĩa đó) 1.3.4 Một số ví dụ hình ảnh tập tự đồng dạng 1) Tập Cantor Tập Cantor F xây dựng cách lấy đoạn thẳng [0;1], chia làm ba phần bỏ khoảng mở I1  ( 13 ; 23 ) giữ lại hai đoạn hai đầu, nghĩa giữ lại tập F1  0; 13  tập F1 , bỏ tập I  ( ; ) 32 32 (  23 ;1 Tiếp tục cách làm tương tự ; ) giữ lại tập 32 32 F2  0; 12   22 ; 32   62 ; 72   82 ;1   3  3  3  Lặp lại cách làm y đoạn lại F2 tiếp tục Tập lại sau q trình tập Cantor F, cịn khoảng mở bỏ bước thứ k đoạn [0;1] để tạo tập Cantor gọi khoảng bù cấp k tập ỉ1 ỉ1 ữ ỗỗ ; ữ, Cantor F Khong çç ; ÷ gọi khoảng bù cấp 1, khong ữ ỗố3 ữ ỗố3 ữ ứ ứ ổ7 ữ ỗỗ ; ữ l khong bự cp 2, ỗố3 ữ ứ Sau bước thứ k có 2k- khoảng bù cấp k , khoảng có độ dài 3- k Vì thế, 1 + 2 + + 2k- k + = 3 tổng độ dài tất khoảng bù / F0 = [0;1] F1 = é0; ùÈ é2 ;1ù êë ú û êë3 ú û F2 = é0; ùÈ é2 ; ùÈ é2 ; ùÈ é8 ;1ù êë ú û êë9 ú û êë3 ú û êë9 ú û / / / / / ¥ F0 É F1 É F2 É É I Fi = F i= Bây ta chứng minh tập Cantor F tập tự đồng dạng Thật vậy, ta F bất biến qua hệ hàm lặp {fi }i= [0; 1], gồm hai ánh xạ xác 1 định sau f1 ( x)  x , f ( x)  x  Vì 3 | fi ( x) - fi ( y) |= | x - y | " x, y Ỵ [0;1]; i = 1,2 nên f i ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng c1 = c2 = 13 Ta có F1  f1 ( F0 ) f ( F0 ) , F2  f1 ( F1 ) minh Fi1  f1 ( Fi ) f ( F1 ) , ,bằng quy nạp ta chứng f ( Fi ) với i = 0, 1, 2,…Ta chứng minh F = f1 ( F ) È f ( F ) Trước hết, ta chứng minh F Ì f1 ( F ) È f ( F ) Thật vậy, lấy x  F   Fi x  F1 , x  0;  x   ;1 Xét  3 3  i 0 trường hợp x   ;1 Khi đó, x  Fi1  f1 ( Fi ) 3  f ( Fi ) i N Nhưng f1 ( Fi )  f1 (0;1)  0;   3 x  f ( Fi ) Do đó, tồn x0  Fi cho x  f (x0 )= 3x   x0  Fi với i  Dẫn đến (3x  2)   x0  hay Fi  F , tồn i 0 x1  F cho 3x   x1 hay x x1   f (x1 )  f (F ) Trường hợp x  0; 13  chứng minh tương tự suy Do đó, F Í f1 ( F ) È f ( F ) (1) Bây giờ, ta chứng minh F É f1 ( F ) È f ( F ) Với x Ỵ f1 ( F ) È f ( F ) ta có x  f1 ( F ) x  f ( F ) Ta xét trường hợp x  f ( F ) Khi đó, tồn x2  F cho x  f (x2 )= 3x   x2  F Do  Fi  F nên với i  x2  hay ta có (3x  2)  Fi1 Suy i 0 tồn x3  Fi 1 cho 3x   x3 hay x Do đó, x   x3   f (x )  f (Fi 1 )  f (Fi )  Fi 1 Fi  F Tương tự cho trường hợp x  f1 ( F ) i 0 Vậy, F Ê f1 ( F ) È f ( F ) (2) Từ (1) (2), ta có F = f1 ( F ) È f ( F ) , nghĩa F tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp {fi }i= Tương tự ta có ví dụ sau 2) Bụi cantor 10 Xuất phát từ hình vng đơn vị, chia thành 16 hình vng nhỏ có độ dài cạnh , giữ lại hình vng bỏ 12 hình vng khác (như nhình vẽ) Cứ tiếp tục bước thứ k ta có k hình vng cạnh 4k Q trình lặp lại vơ hạn lần, ta thu bụi Cantor Tương tự tập Cantor ta chứng minh bụi Cantor tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp  fi i 1 R xác định x y x y f1 ( x, y )  (  , ) , f ( x, y )  (  ,  ) , 4 4 4 x y x y f ( x, y )  (  ,  ) , f ( x, y)  ( ,  ) 4 4 3) Tập đệm Sierpinski Tập xây dựng cách xuất phát từ hình vng đơn vị, chia thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh 31 , giữ lại hình vng xung quanh bỏ hình vng Cứ tiếp tục bước thứ k ta có 8k hình vng cạnh 31k Q trình lặp lại vơ hạn lần, ta thu đệm Sierpinski Tương tự tập Cantor ta chứng minh đệm Sierpinski tập đồng dạng sinh hệ hàm lặp  fi i 1 R xác định 24 x y f3 ( x, y )  (  , ), 3 x y f ( x, y)  (  ,  ), 3 3 x y f5 ( x, y )  (  ,  ), 3 3 x y f ( x, y )  (  ,  ), 3 3 x y f ( x, y )  ( ,  ), 3 x y f8 ( x, y )  ( ,  ) 3 Ta có f1 , , f8 ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng ci  , i = 1,8 hệ hàm lặp  fi i1 thỏa mãn OSC với tập mở V = (0;1)x(0;1) Do đó, dimH F  s nghiệm phương trình log8 log8 8( ) s  hay s  Vậy, dim H F  log3 log3 Nhận xét Nếu hệ hàm lặp nói Định lý 1.8.2 khơng thỏa mãn điều kiện tập mở chúng tập tự đồng dạng dimH F  s1 Nhưng s1  s , với s nghiệm phương trình m c i 1 s i  25 CHƢƠNG HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Điều kiện tập mở hệ hàm lặp cho ta kết đẹp việc tính chiều việc đánh giá giá trị độ đo Hausdorff trường hợp đơn giản, thuận lợi việc nghiên cứu fractal Vì thế, với hệ hàm lặp cho trước liệu có thỏa mãn điều kiện tập mở hay không vấn đề đáng quan tâm có ý nghĩa Chương chúng tơi hệ thống trình bày lại kết đạt việc điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở Để tiện trình bày dễ theo dõi, phần đưa ký hiệu khái niệm sau Với F K tập (R n , d ) đặt D(F,K) = inf{ d(x,y): x  F, y  K } Kí hiệu Fc phần bù F, F bao đóng F U ( , x)  - lân cận x R n Đặt U ( , F )  U ( , x) : x  F Cho hệ hàm lặp {f1, f2 , , fm} gồm m ánh xạ đồng dạng với tỉ số đồng dạng ri , i  1,m Đặt rmax  max{r1,r2 , ,rm} , rmin  min{r1,r2 , ,rm}  nghiệm m phương trình  r  i 1 i Đặt S = {1,2,3,…,m}, với nN * , kí hiệu S n  ( x1 ,x2 , ,xn ) : xi  S  S*  S n  : n  1,2,  n1 Sn Khi đó, s  S * ta kí hiệu s  s1s2 sp với p N * ta gọi p độ dài s, kí hiệu s  p Cho s, t  S * , với s  (s1 , s2 , , sp ) t  (t1, t2 , , tq ) Ta ký hiệu s  t p  q tk  qk víi k  1,2,3, , p Ta nói s, t khơng so sánh s  t t  s 26 Với s  (s1, s2 , , sp )  S * , ta đặt fs  fs1 ofs2 o ofsp fs ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng rs  rs1 rs2 rsp Với A tập bất biến qua hệ hàm lặp {f1, f2 , , fm} ta đặt As  fs ( A) Kí hiệu N  { h  fi 1 f j | i, j  S*, i  j } h  N gọi ánh xạ lân cận (2.1) H  {h( A) | h  N } (2.2) Vc  {x R n | d(x , A) < d(x ,H)} gọi tập mở trung tâm hệ hàm lặp {f1, f2 , , fm} (2.3) J  { x  R n | h( x )  x víi h  N } (2.4) 2.1 Điều kiện tập mở độ đo Hausdorff Năm 1946, P.A.P Moran đưa khái niệm điều kiện tập mở hệ hàm lặp ơng tìm điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa độ đo Hausdorff thể qua định lý sau 2.1.1 Định lý ([1]) Nếu hệ hàm lặp  fi i1 m thỏa mãn OSC F tập bất biến qua hệ hàm lặp đó, ta có  H s ( F )   với dimH F = s Chứng minh Vì hệ hàm lặp  fi i1 m thỏa mãn OSC nên theo chứng minh Định lý 1.8.2, dimH F = s H s ( F)  F H s ( F)  q 1  Do đó, s  H s ( F )   2.1.2 Ví dụ a) Xét tập Cantor F tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn OSC Với s  dimH F  log2 , theo kết Mục 1.6.5 (1) ta có log3 H s ( F )  Chứng tỏ  H s ( F )   b) Xét bụi Cantor F tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp thỏa mãn OSC ta có  H ( F )  với s  dimH F  Chứng tỏ  H s ( F )   Những điều minh họa cho nội dung Định lý 2.1.1 27 Kết ngược lại Định lý 2.1.1 đến năm 1994 (tức sau 48 năm) A Schief chứng minh 2.1.3 Định nghĩa ([1]) Ta nói rằng, hệ hàm lặp {f1, f2 , , fm} thỏa mãn điều kiện tập mở mạnh (viết tắt SOSC – Strong Open Set Condition) tồn tập mở V khác rỗng cho điều kiện sau thỏa mãn m i) i 1 fi ( V)  V ; ii) fi (V) iii) V f j (V)   i  j ; F   , với F tập bất biến qua hệ hàm lặp 2.1.4 Định lý ([1]) Cho F  R n s = dimH F Khi đó, H s ( F )  hệ hàm lặp sinh F thỏa mãn SOSC Chứng minh Trước hết, số ri khác nhau, nên ta đưa kí hiệu sau Cho b (0;1) kí hiệu tập Ib  {i  (i1, i2 , , in ) : ri  b  ri1i2 in1} Khi đó, phần tử I b không so sánh F  iIb Fi Trước hết, lấy x > Giả sử tồn tập mở U1,U , U n cho Ui  F n i 1 Khi đó, s n U i 1 Thật vậy, đặt U   (1  x s )H s ( F ) với s  dimH F (*) i U i Lấy   D( F ,U c ) Ta chứng minh với i, n i 1 j không so sánh cho thỏa mãn rj  xri , d ( Fi , Fj )   ri Vì ngược lại, rõ ràng D( Fi ,[fi (U )]c )   ri Fj  fi (U ) Điều kéo theo H  ( F )ri (1  x )  H  ( F )(ri  rj )  H  ( Fi )  H  ( Fj )   H ( Fi n  n Fj )   f i (U i )   ri U i i 1  H  ( F )ri (1  x ), i 1   28 điều vô lý Bây lấy y    Khơng tính tổng quát, ta giả sử F đủ bé để Gk  với Gk  U( rk ,Fk ) , I (k)  {i  I Gk : Fi Gk  },   sup # I k (trong k # A kí hiệu lực lượng A) Ta chứng minh    cách áp dụng (*) Theo kết vừa chứng minh ta chọn k cho   # I (k ) Ta với j tùy ý I(jk) = {ji : i  I(k)} Ta cần {ji : i  I(k)}  I(jk) Điều rõ ràng lấy i  I(k) Fi Gk   , kéo theo   f j ( Fi Gk )  f j ( Fi ) f i (Gk )  Fji  Fji U ( rjk , Fjk ))  Fji f j (U ( rk , Fk )) Gjk Do đó, ji  I(k) Bây lấy l  j1 Vì Fl phủ {Fi : i  I Gk , l1  l} ta có D( Fik , Fl )   rik (**) Cuối đặt J  {i  (i1, i2 , , in ) : n  0, i j {1,2, , m}, j  1, n} Chọn U  jJ Gj*k với Gi*  U (  ri fi (U )  , Fi ) Ta có Fk  Gk*  U với i jJ Ta chứng minh với i  j fi (U ) fi (Gj*k )  jJ Gi*jk  U f j (U )   Thật vậy, ngược lại, tồn i, j cho Gi*ik Khi đó, y  Gi*ik d ( y, y2 )   rj jk G*j jk   riik  rj jk G*j jk tồn y1  Fiik y2  Fj jk mà d ( y, y1 )   riik , Do đó, d ( y1, y2 )   rj jk nên D( Fiik , Fj )   riik Điều mâu thuẫn với (**) Vậy, ta có điều phải chứng minh 29 2.1.5 Định lý ([1]) Các mệnh đề sau tương đương i) SOSC với tập mở U cho  (U )  ii) SOSC iii) OSC iv) H  ( K )  v) Mỗi   0,    vi) Tồn   cho    Việc chứng minh định lý đơn giản nhờ kết chứng minh Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.4 2.2 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp dựa vào tập mở trung tâm   2.2.1 Định lý ([3]) Nếu hệ hàm lặp f , , fm thỏa mãn OSC Vc tập mở thỏa mãn định nghĩa OSC hệ hàm lặp Nếu hệ hàm lặp không thỏa mãn OSC Vc   Chứng minh Ta Vc thỏa mãn điều kiện tập mở định nghĩa OSC khác rỗng Điều cho ta kết OSC khơng thỏa mãn Vc rỗng Trước hết, ta chứng minh fi (Vc )  Vc , i =1,…,m Thật vậy, lấy y  fi (Vc ) suy x  Vc cho y  fi ( x ) Từ fi ánh xạ đồng dạng tỷ số ci m A   fi ( A) i 1 ta có fi ( A)  A nên d( y, A)  d( y, fi ( A))  d( fi ( x ), fi ( A))  ci d( x, A) Mà x  Vc nên ci d( x, A)  ci d( x, H )  d( y, fi ( H )) (vì fi ánh xạ đồng dạng tỷ số ci ) Vậy d( y, A)  d( y, fi ( H )) (1) Mặt khác với i  S , X  H  i, j  S* cho X  fi 1 fj ( A)  fi f i 1 ( fi 1 f j ( A))  fi ( H ) , fi 1 fj ( A))  H 30 Suy H  fi ( H ) Do đó, d( y, fi ( H ))  d( y, H ) (2) Từ (1) (2) ta có d( y, A)  d( y, H ) Như vậy, fi (Vc )  Vc , với i =1,…,m Vì vậy, m i 1 fi ( Vc )  Vc Tiếp theo, ta chứng minh ý lại định nghĩa OSC Giả sử i  j x  Vc Theo chứng minh d ( fi ( x ), fi ( A))  d ( x, A)  d ( x, H )  d ( x, fi 1 f j ( A))  d ( fi 1 f j ( x ), fi 1 f j ( A)) ci  d ( fi ( x ), f j ( A)) Vậy d( fi ( x ), fi ( A))  d( fi ( x ), f j ( A)) ci Do đó, d( fi (Vc ), fi ( A))  d( fi ( Vc ), f j ( A)) Tương tự ta có d( f j (Vc ), f j ( A))  d( f j (Vc ), fi ( A)) Điều chứng tỏ fi (Vc )  f j (Vc )   2.2.2 Hệ ([3]) Hệ hàm lặp thỏa mãn OSC A  H , với A, H kí hiệu đầu chương Chứng minh Nếu OSC theo Schief [1] có tập mở V cho V A   Vì V khơng chứa điểm H nên theo chứng minh Mệnh đề [3] ta có V  H   Do đó, lấy x  V A x  V x  H Như vậy, tồn x  A mà x  H nên A  H Ngược lại, A  H ta chứng minh hệ hàm lặp sinh A thỏa mãn điều kiện OSC Thật vậy, giả sử OSC không Khi đó, theo Định lý 2.2.1 Vc   Dẫn đến tồn x R n để d(x, H) < d(x, A) Vì vậy, A  H , mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Định nghĩa ([3]) Ta nói x R n điểm cấm A khơng có tập mở V thỏa mãn OSC hệ hàm lặp sinh A chứa x 31 2.2.4 Bổ đề ([3]) Tất điểm J điểm cấm A, H  J , với A, H, J kí hiệu chung đầu chương Chứng minh Giả sử x  J x thuộc tập mở V Ta cần chứng minh x điểm cấm A tức ta chứng minh V tập mở thỏa mãn OSC hệ hàm lặp sinh A Thật vậy, x  J nên tồn h N y V để h(y) = y hay fi 1 f j ( y)  y với i, j  S*, i  j Do đó, f j ( y)  fi ( y)  fi (V) suy fi (V) f j (V)   với i  j Vậy ta có điều phải chứng minh Bây ta chứng minh H  J Lấy b  H suy tồn i, j  S* để b  fi 1 f j ( A) (vì H  {h( A) | h  N }) Do đó, fi (b)  f j ( A) Ta giả sử | i || j | Lấy c điểm bất động h tức c = h(c) a  h1 (b) Khi đó, ta có c  J c  b  h(c)  h(a)  ch c  a ( ch tỷ số co h = fi 1 f j ) Ta cố định i mở rộng j để thu dãy hn cho b  hn ( A) Khi đó, ch tiến tới tồn cn  J để cn  b   với  bé tùy ý Suy cn  b Do đó, b  J Vậy H  J 2.2.5 Định lý ([3]) Một hệ hàm lặp R không thỏa mãn OSC J  R Chứng minh Từ định nghĩa OSC, để chứng minh định lý ta cần hệ hàm lặp R không thỏa mãn OSC J  R Thật vậy, giả sử fi ( x )  ri x  di ,  i  m với ri , di  R , Khơng tính tổng qt, ta giả sử d1=0 Do đó,  A Đặt D  {h(0) | h  N } Ta có D  J Thật vậy, h(0)  h( A)  H  J (theo Bổ đề 2.2.4) Do đó, ta cần chứng minh D  R 32 Ta giả sử r1  Nếu không, ta xét hệ hàm lặp xác định fij với i, j  S Khi đó, f11  r12 x không làm tăng j lên Với h  fi 1 f j  N fi 1 ( x )  a1 x  b1 f j ( x )  a2 x  b2 h( x )  a1a2 x  a1b2  b1 Lấy   , ta tồn h*  N cho  1  h* (0)  h(0)  (  ) r1 Lấy g (x)  ax  b thuộc N g 1 ( x )  x b   a ' x  b ' Vì hệ hàm lặp a a khơng thỏa mãn điều kiện OSC, nên chọn g gần với ánh xạ đơn vị id cách tùy ý Khơng tính tổng qt, ta giả sử a1b  , không ta thay g g-1 Ta chọn g gần với ánh xạ đơn vị id cho (a  1)a1b2   , a1b   vµ (a ' 1)a1b2  Lấy g1 ( x )  ( f11 )k g.( f1 )k , g1  N  , a1b '   (1) g1 ( x )  ax  r1 k b Chọn số nguyên k cho   r1 k a1b   r1 (chẳng hạn chọn k  [ logr1 a1b  ]  ) (2) Đặt h* ( x )  fi 1.g1 f j ( x ) Khi đó, h* ( x )  aa1a x  aa1b2  r1 k a1b  b1 Suy  1  h* (0)  h(0)  (a  1)a1b2  r1 k a1b  (  ) ( (1) (2)) r1 Tương tự, lấy g2 ( x )  ( f11 )k g 1.( f1 )k , với k chọn cho   r1 k a1b '   r1 (có thể chọn k  [ logr1 a1b b ]  , b '   ) (3) a a Khi đó, ta có h* ( x )  fi 1.g2 f j ( x )  N hay h* ( x )  a'a1a x  a'a1b2 r1 k a1b ' b1 ta có 33  1  h(0)  h* (0)  (1  a ')a1b2  r1 k a1b '  (  ) (do (1) (3)) r1 Như vậy, với   x  D ln có hai điểm y1 , y2  D cho  1  y1  x  (  ) , r1  1  x  y2  (  ) r1 Do D  R Vậy ta có điều phải chứng minh 2.3 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp theo quan điểm nhóm tơpơ phép đồng dạng 2.3.1 Định lý ([2]) Giả sử  f1, , fm hệ hàm lặp gồm ánh xạ đồng dạng R n Khi đó, OSC hệ hàm lặp cho tồn x  R n   cho với s, t  S * mà s t khơng so sánh được, fs 1 ft ( x )  x   Chứng minh Giả sử OSC ta chứng minh tồn x  R n   cho với s, t  S * , mà s t khơng so sánh fs 1 ft ( x )  x   Thật vậy, điều kiện OSC với tập mở V ta có fs (V)  ft (V)   với s, t  S * , với s t không so sánh Lấy x điểm thuộc V, V mở nên tồn   cho U ( x )  V Do đó, fs (U ( x ))  ft (U ( x ))   Ta có fs 1 ft ( x )  x  fs 1 ft ( x )  fs 1 fs ( x )  đồng dạng với tỷ số đồng dạng (1) ft ( x )  fs ( x ) (vì fs 1 ánh xạ cs ) Ta chứng minh ft ( x )  fs ( x )  cs cs 34 Thật vậy, lấy y  fs (U ( x )) ln tồn z  U ( x ) y  fs (z) Khi đó, d( y, fs ( x ))  y  fs ( x )  fs ( z)  fs ( x )  cs z  x  cs  (vì x, z  U ( x ) ) nên y U cs ( fs ( x )) Vậy fs (U ( x ))  U cs ( fs ( x )) (2) Từ (1) (2) ta có ft ( x )  fs (U ( x ))  U cs ( fs ( x )) nên ft ( x )  fs ( x )  cs Ngược lại, fs 1 ft ( x )  x   với s, t  S * , mà s t so sánh được, ta cần chứng minh hệ hàm lặp  f1, , fm thỏa mãn OSC, tức m  V  fi ( V );  i 1 cần tập mở V khác rỗng cho   fi ( V ) f j ( V )   i  j Thật vậy, fs 1 ft ( x )  x   dẫn đến ft ( x )  fs ( x )  cs (do cs  ) Vậy, fs (U ( x))  ft (U ( x))   với   V  sS * với s, t không so sánh Đặt fs (U ( x )) ta có V mở fi ( V)  V Giả sử fi (V)  f j (V)  , víi i  j Khi đó, fi fs (V)  f j ft (V)   víi is vµ jt khơng so sánh được, điều mâu thuẫn với fs (U ( x ))  ft (U ( x ))   với s, t không so sánh Như vậy, hệ hàm lặp OSC với tập mở V  * fs (U ( x ))   sS   f1, , fm thỏa mãn 2.4 Mỗi liên hệ điều kiện tập mở điều kiện tách yếu Trong nhiều trường hợp, ta cần nghiên cứu tập bất biến sinh hệ hàm lặp khơng thỏa mãn điều kiện OSC có tính chất gần với điều kiện Bây ta đề cập đến điều kiện gọi điều kiện tách yếu (viết tắt WSC – Weak Separation Condition) Trong trường hợp ta xét tới tập mà người ta thường gọi “overlap”, tức không tách 35 thành hợp tập rời Khái niệm giới thiệu Lau Ngai năm 1999 Chẳng hạn, xét F tập bất biến qua hai ánh xạ đồng dạng f1   x , f   x  với x R Khi đó, với    1 F thỏa mãn OSC Nhưng với    chưa rõ 2 có thỏa mãn OSC hay khơng Để nghiên cứu vấn đề này, thay xét tập mở ta xét điểm Giả sử Si : R n  R n với  j  m ánh xạ đồng dạng cho Si ( x)  Ax  b j (*) với b j  Ad j R n , A   R với    R ma trận trực giao Với m1 j  ( j1, j2 , , jm ) , i j {1, ,m} , đặt S ( x)  A x   Aib ji m i 1 2.4.1 Định nghĩa ([6]) Hệ hàm lặp {S1,S2 , ,Sm} gồm ánh xạ đồng dạng xác định (*) gọi thỏa mãn điều kiện tách yếu (WSC – Weak Separation Condition ) tồn x0 R n số   cho với j , j'  m S j ( x0 )  S j' ( x0 ) S j ( x0 )  S j' ( x0 )   m 2.4.2 Mệnh đề ([6]) Nếu hệ hàm lặp S1 ,S2 , ,Sm  thỏa mãn điều kiện OSC thỏa mãn WSC Mệnh đề dễ suy từ định nghĩa OSC WSC Bây nghiên cứu trường hợp có chiều ngược lại Mệnh đề 2.4.2 Để trình bày Định lý 2.4.3 Định lý 2.4.4 ta đưa kí hiệu sau Đặt I  {i  (i1, i2 , , in ), : n  0, i1, i2 , , in {1,2,3, , N}, N N } Cho hệ hàm lặp  fi i 1 với f i ánh xạ đồng dạng, kí hiệu F   f i : i  I  N Ta đặt F 1F   f 1g : f , g  I  36 Fb   f  F : rf  [brmin , b] với b  , rmin  min{r1 ,r2 , ,rN } F  b 0 f 1 g : f , g  Fb  Fa ,U ,M  {g  FaU : g (M ) U  },  a ,M  sup# Fa ,U ,M với a  U , M  R n U R n 2.4.3 Định lý ([6]) Nếu K  R n không bị chứa siêu phẳng điều kiện sau tương đương i) Tồn x  K vaø   cho với hF h(x) = x h( x)  x   ii) Tồn x  R n vaø   cho với hF h(x) = x h( x)  x   iii) Tồn x0 , , xs R n   cho với hF với j 0,1, , s h( x j )  x j h( x j )  x j   iv)  a ,M   với a  tập M bị chặn R n v)  a ,M   với a  tập M khác rỗng R n 2.4.4 Định lý ([6]) Giả sử K  R n không bị chứa siêu phẳng Khi đó, OSC WSC f i  f j với i  j 2.4.5 Ví dụ Lấy fi  x  yi , i  1,2,3, x R với y1  0, y2  1, y3  Khi f1 f3 ( x)  f f1 ( x)  x  Như vậy, tồn k=2 để i  j f i  f j với i = (1,3), j = (2,1) Ta dễ chứng minh hệ hàm lặp  f1, f2 , f3 thỏa mãn WSC không thỏa mãn OSC Điều minh họa cho kết Định lý 2.4.4 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống bốn kết đạt điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở (trình bày Chương 2) Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu chưa chứng minh hay chứng minh vắn tắt Định lý 1.8.2 (cơng thức tính chiều tập fractal sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở) Bổ đề 1.8.1, Bổ đề 2.2.4, Hệ 2.2.2, Định lý 2.1.4, 2.2.1, 2.2.5, 2.3.1 Tìm số ví dụ minh họa cho Định nghĩa, Định lý Ví dụ 1.3.4, 1.4.2, 1.6.5, 1.8.3 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Schief (1994), Separation properties for self-similar sets, Proc Amer Math Soc 112, 111-115 [2] C Bandt and S.Graff (1992), Self-similar sets A characterization of selfsimilar fractals with positive Hausdorff dimension, Proc Amer Math Soc 114, 995- 1001 [3] Christoph Bandt, Nguyen Viet Hung and H Rao (2005), On the open set condition for self similar fractals, Proc Amer Math Soc 134, 1369-1374 [4] K S Lau and S M Ngai, Multifractal measures and a weak separation condition, Adv Math (to appear) [5] M Morán and J.M Rey (1998), Singularity of self-similar measures with respect to Hausdorff measures, Trans Amer Math Soc 350, 2297-2310 [6] Martin P W Zerner (1996), Weak separation properties for self-semilar sets, Proc Amer Math Soc 11, 3529-3539 [7] M Hata (1985), On the structrre of self-similar sets, Japan J Appl Math 381- 414 [8] J E Hutchinson (1981), Fractals and self-similarity, Indiana Univ Math J 30, 713-747 [9] K Falconer (1990), Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Son, Chichester [10] P.A.P Moran (1946), Additiver functions of intervals and Hausdorff measures, Proc.Cambridge Philos Soc 42, 15-23 [11] S.M Ngai and Y Wang (2001), Hausdorff dimension of everlapping selfsimilar sets, J London Math Soc 63, 655-672 ... fractal F sinh hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 18 Chƣơng Hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở 24 2.1 Điều kiện tập mở độ đo Hausdorff 25 2.2 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp dựa vào tập mở trung tâm... 2.1.4 2.2 Điều kiện tập mở hệ hàm lặp dựa vào tập mở trung tâm   2.2.1 Định lý ([3]) Nếu hệ hàm lặp f , , fm thỏa mãn OSC Vc tập mở thỏa mãn định nghĩa OSC hệ hàm lặp Nếu hệ hàm lặp không thỏa... hàm lặp ơng tìm điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa độ đo Hausdorff thể qua định lý sau 2.1.1 Định lý ([1]) Nếu hệ hàm lặp  fi i1 m thỏa mãn OSC F tập bất biến qua hệ hàm lặp