Bài toán biên thứ nhất không có điều kiện ban đầu đối với hệ schrödinger mạnh trong miền không trơn (TT)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NGUYN TH LIấN BI TON BIấN TH NHT KHễNG Cể IU KIN ă BAN U I VI H SCHRODINGER MNH TRONG MIN KHễNG TRN Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Nguyn Mnh Hựng Phn bin 1: GS TSKH inh Nho Ho, Vin Toỏn hc Phn bin 2: PGS TS Trn ỡnh K, Trng i hc S phm H Ni Phn bin 3: PGS TS Nguyn Thiu Huy, Trng i hc Bỏch khoa H Ni Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M u LCH S VN V L DO CHN TI Cỏc bi toỏn (giỏ tr) biờn i vi mt phng trỡnh hay mt h phng trỡnh o hm riờng thng cú ngun gc t cỏc ngnh khoa hc t nhiờn v k thut, c bit l cỏc mụ hỡnh gii tớch ca nhiu hin tng vt lớ Bi tớnh thc tin ú, nghiờn cu cỏc bi toỏn biờn, mt cỏch t nhiờn ngi ta quan tõm n s tn ti nht nghim v cỏc mụ hỡnh gii s ca chỳng Cỏc bi toỏn biờn ban u trn v khụng trn ó c nghiờn cu rt nhiu cỏc cụng trỡnh Khi ú, iu kin ban u thng úng vai trũ then cht s tn ti nht nghim Tuy nhiờn, cú nhiu tỡnh thc t dn n vic nghiờn cu bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u, vớ d ta mụ t cỏc quỏ trỡnh khụng dng t nhiờn, chng hn d kin ban u xa n mc nú khụng tỏc ng n thi im hin ti, v ú ta cú th coi thi im ban u l t = Bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u c nghiờn cu khỏ sm v thu hỳt c s quan tõm ca mt s lng nht nh cỏc nh toỏn hc Sau õy, chỳng tụi s gii thiu mt cỏch túm tt lch s v mt s phng phỏp s dng gii bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u (xem thờm bi bỏo ca N M Bokalo, A Lorenzi (2009)) Ngi u tiờn nghiờn cu bi toỏn dng ny l nh toỏn hc ngi Nga N A Tikhonov Nm 1935, bi bỏo ca mỡnh, tỏc gi ó xột phng trỡnh truyn nhit vi iu kin biờn Dirichlet nh sau ut (t, x) u(t, x) = f (t, x), (t, x) S ì , u(t, x) = h(t, x), (t, x) S ì , ú l mt Rn vi biờn trn tng khỳc v S = (, 0] hoc S = R vi f, h l cỏc hm cho trc Rừ rng rng, vi f = 0, h = v = (0, ) hoc = (0, +) thỡ cỏc hm uC (t, x) = Cet sin x, (t, x) S ì , C R l hng s tựy ý, u l nghim c in ca bi toỏn trờn Do ú m bo c tớnh nht nghim, ta cn ũi hi thờm mt s iu kin ca nghim Chỳ ý rng, õy iu kin ban u l khụng phự hp, vỡ thi im ban u l t = v chng minh rng = (0, ), cú c tớnh nht nghim ca bi toỏn, tỏc gi ch cn yờu cu nghim ca bi toỏn b chn S ì chng minh iu ny, Tikhonov s dng biu din tớch phõn ca nghim ca bi toỏn biờn ban u th nht thụng qua hm Green tng ng v ch rng cn b sung iu kin nghim b chn m bo tớnh nht nghim ca bi toỏn Tng t nh vy, nghim (duy nht) b chn ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho phng trỡnh truyn nhit vi iu kin biờn Dirichlet vi f = 0, tha biu din sau vi mi (x, t) [0, +) ì S : u(x, t) = t x x2 }h( )d, exp{ 4(t ) (t )3/2 vi gi thit rng hm h l liờn tc v b chn trờn S Tikhonov t tờn bi toỏn ny l bi toỏn Fourier hay bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho phng trỡnh truyn nhit Sau ny, ý tng ca A N Tikhonov c s dng cỏc cụng trỡnh cỏc tỏc gi T M Balabushenko v S D Ivasyshen (2002), S D Ivasyshen (1983) gii bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho h parabolic tng quỏt vi cỏc iu kin biờn khỏc vi iu kin biờn Dirichlet Cụng thc biu din tớch phõn ca nghim ca cỏc bi toỏn ny v cỏc nh lớ tn ti nht nghim c chng minh cỏc khụng gian Hăolder a phng, ú nghim b chn v khụng tng Cú mt cỏch tip cn khỏc gii bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho mt vi phng trỡnh tin húa n gin, ta xột phng trỡnh truyn nhit S = (, 0] Khi ú, s dng nguyờn lớ cc tr, ta cú th chng minh tớnh nht nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho phng trỡnh truyn nhit vi iu kin biờn Dirichlet nh trờn vi iu kin nghim u(x, t) b chn u trờn ì S v hi t u ti trờn t Cũn s tn ti nghim c chng minh bng cỏch xõy dng dóy nghim xp x ca bi toỏn cú iu kin ban u tng ng Ci tin phng phỏp ny cú th s dng gii quyt mt s bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho mt s lp phng trỡnh tin húa, c th l cho phng trỡnh ta tuyn tớnh v phng trỡnh cú tr Trong trng hp ny, cú th ũi hi thờm mt s iu kin v dỏng iu tim cn nghim t v tớnh b chn ca nghim Khi xột nghim suy rng ca bi toỏn khụng cú giỏ tr ban u, ngi ta cú nhng cỏch tip cn khỏc nhau, ph thuc vo vic l b chn hay khụng b chn Trong trng hp b chn, ta thng cn t thờm cỏc iu kin chc chn s tn ti nht nghim suy rng Chng hn, xột bi toỏn biờn Dirichlet cho phng trỡnh truyn nhit trờn, m bo s nht nghim thỡ ta cn t thờm iu kin e1 t |u(t, x)| t ; v m bo s tn ti nghim thỡ ta cn thờm iu kin e2t ||f ||2H () dt < , S ú > v l giỏ tr riờng u tiờn ca toỏn t vi iu kin biờn Dirichlet Ngoi ra, cỏc kt qu cho cỏc lp phng trỡnh khỏc trng hp b chn cú th tỡm thy cỏc ti liu N M Bokalo (1994), V M Dmytriv (2000), Yu B Dmytryshyn (2009), G P Domanska, M O Kolinko, S P Lavrenyuk (2006), Z Hu (2005), A A Pankov (1985), P Ya Pukach (1994), Khi nghiờn cu bi toỏn trng hp khụng b chn, kt qu v bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u cho mt s lp phng trỡnh tin húa cú th xem cụng trỡnh ca S P Lavrenyuk, N Protsakh (2007) Chỳng tụi cng trớch dn thờm rng, cỏc bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho cỏc phng trỡnh tin húa liờn quan n o hm cp hai theo bin thi gian, h Sobolev-Halpern tuyn tớnh, cỏc phng trỡnh kiu hyperbolic c nghiờn cu cỏc cụng trỡnh ca V M Kirilich, A D Myshkis (1992), S P Lavrenyuk, M O Kolinko (1998), S P Lavrenyuk, N Protsakh (2007), S P Lavrenyuk, M A Oliskevich (2014), D Safarov (1990), G O Vafodorova (2000, 2003), Túm li, chỳng ta cú th thy, cú rt nhiu cụng trỡnh nghiờn cu v bi toỏn khụng cú iu kin ban u Cỏc kt qu t c ch yu xoay quanh s tn ti nht nghim v cha bin khụng gian , dự b chn hay khụng b chn, u l vi biờn trn tng khỳc Nh vy, bờn cnh nhng kt qu ó t c nghiờn cu bi toỏn khụng cú iu kin ban u, cũn rt nhiu m, ú cỏc m chỳng tụi quan tõm ú l: Cỏc tớnh cht khỏc ca nghim suy rng, chng hn tớnh trn theo cỏc bin ca nghim bi toỏn khụng cú iu kin ban u Bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho cỏc lp phng trỡnh tin húa khỏc Xột bi toỏn cha cỏc im kỡ d Trờn thc t, rt nhiu cỏc bi toỏn ng dng quan trng c a v vic nghiờn cu cỏc bi toỏn biờn i vi phng trỡnh, h phng trỡnh o hm riờng cú biờn khụng trn Bi toỏn biờn elliptic tng quỏt cỏc cha hu hn cỏc im gúc hay im nún ó c nghiờn cu khỏ hon thin cỏc cụng trỡnh ca V A Kondratiev, O A Oleinik (1967); V A Kozlov, V G Mazya, J Rossmann (1997) v cỏc tỏc gi khỏc Trong ú, cỏc tỏc gi ó nhn c kt qu v s tn ti v nht nghim, tớnh trn ca nghim v biu din tim cn nghim lõn cn ca cỏc im kỡ d ca biờn Bờn cnh ú, bi toỏn biờn i vi cỏc phng trỡnh, h phng trỡnh khụng dng vi biờn khụng trn cng nhn c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc, chng hn nh cỏc cụng trỡnh ca G Eskin (1992), A Yu Kokotov v B A Plamenevskii (2005), Trong cỏc h khụng dng, h phng trỡnh Schrăodinger cú vai trũ quan trng nht nh vỡ cú nhng ng dng thc tin c hc lng t Cỏc bi toỏn biờn i vi h phng trỡnh loi ny c a v phõn tớch u tiờn bi J L Lions v E Magenes (1968) Trong cỏc cụng trỡnh ú, cỏc tỏc gi ó nghiờn cu cỏc bi toỏn biờn i vi phng trỡnh Schrăodinger m cỏc h s ca nú c lp vi bin thi gian v nhn c kt qu hỡnh tr hu hn ì [0, T ], T < + Nm 1998, N M Hung ó phỏt trin bi toỏn ny cho h phng trỡnh vi h s ph thuc thi gian Bng cỏch s dng phng phỏp ct thit din, chuyn bi toỏn ang xột v bi toỏn elliptic ph thuc tham s cha im nún, tỏc gi cng nhn c cỏc kt qu tng ng tr hu hn Bi toỏn biờn ban u th nht cho h phng trỡnh loi ny tr vụ hn Q = ì [0, ) c N M Hung v C T Anh (2004) nghiờn cu Bng phng phỏp xp x Galerkin, cỏc tỏc gi ó t c kt qu v s tn ti nht nghim suy rng v tớnh trn ca nghim theo bin thi gian Kt qu v tớnh trn theo bin khụng gian v biu din tim cn nghim cú th t c bng phng phỏp ct thit din ó nờu trờn Trong cụng thc biu din tim cn nghim, vi mt s gi thit v s phõn b cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn ph tng ng, nghim suy rng s c phõn tớch thnh tng hai phn chớnh mt lõn cn nh ca im nún Phn th nht c trng cho tớnh kỡ d ca bi toỏn, cũn phn th hai cú tớnh trn theo bin khụng gian theo tớnh trn ca v phi Tip theo ú, cỏc tỏc gi N M Hung v N T K Son (2008) ó nghiờn cu bi toỏn biờn ban u th hai i vi h Schrăodinger cú im nún Trong cỏc cụng trỡnh ú, cỏc tỏc gi cng nhn c cỏc kt qu tng t nh xột bi toỏn biờn ban u th nht Trong lun ỏn ny, chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn biờn th nht khụng cú giỏ tr ban u cho h phng trỡnh Schrăodinger cú im nún Khụng ch xõy dng khụng gian nghim phự hp m bo s tn ti nht nghim, chỳng tụi cũn thit lp cỏc kt qu v tớnh chớnh quy ca nghim v xõy dng cụng thc biu din tim cn ca nghim lõn cn ca im kỡ d Chỳ ý rng, nu ỏy cha hu hn im nún thỡ bng cỏch s dng phõn hoch n v, chỳng tụi cú th chuyn v xột bi toỏn trng hp ỏy cha mt im nún Vỡ vy, c lun ỏn ny, khụng mt tớnh tng quỏt, chỳng tụi ch nghiờn cu bi toỏn ỏy ca hỡnh tr ang xột ch cha mt im nún trựng vi gc ta MC CH, I TNG V PHM VI NGHIấN CU Mc ớch lun ỏn: Gúp phn hon thin vic nghiờn cu tớnh gii c nht, tớnh trn ca nghim cng nh dỏng iu tim cn nghim lõn cn im nún ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u cú cha im kỡ d i tng nghiờn cu: Bi toỏn biờn th nht khụng cú iu kin ban u i vi h phng trỡnh Schrăodinger cha im nún Phm vi nghiờn cu: Ni dung 1: S tn ti nht nghim ca bi toỏn Ni dung 2: Tớnh trn ca nghim ca bi toỏn Ni dung 3: Biu din tim cn nghim lõn cn ca im nún PHNG PHP NGHIấN CU nghiờn cu s tn ti nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u, chỳng tụi xõy dng dóy nghim xp x ca bi toỏn cú iu kin ban u t = h tng ng v chuyn qua gii hn thi im ban u dn ti nghiờn cu s tn ti nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u, chỳng tụi s dng phng phỏp xp x Galerkin chng minh s nht nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u, phng phỏp c chỳng tụi la chn l phng phỏp chn hm th ca Ladyzenskaya Mc dự khụng cú iu kin ban u nhng chỳng tụi t c kt qu v s nht nghim chỳng tụi ó s dng mt b tng t nh B Gronwall khong vụ hn v t thờm mt s gi thit phự hp v v phi v cỏc h s ca toỏn t L chng minh tớnh trn ca nghim, chỳng tụi nghiờn cu tớnh trn ca cỏc bi toỏn cú iu kin ban u tng ng, sau ú bng cỏch tin qua gii hn cho thi im ban u tin ti , ta c tớnh trn ca nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u thu c biu din tim cn nghim lõn cn ca im nún, chỳng tụi s dng phng phỏp ct thit din, chuyn bi toỏn khụng dng v bi toỏn elliptic cha tham s cú im nún v s dng cỏc kt qu v bi toỏn elliptic CU TRC V CC KT QU CA LUN N Lun ỏn, ngoi phn Li cam oan, Li cm n, Mt s kớ hiu thng dựng, Cỏc khụng gian hm, M u, Kt lun, Kin ngh mt s hng nghiờn cu tip theo, Danh mc cỏc cụng trỡnh v Ti liu tham kho, gm chng: Chng 1: Tớnh gii c nht ca bi toỏn Chng 2: Tớnh trn ca nghim Chng 3: Biu din tim cn nghim lõn cn ca im nún Cỏc kt qu ca lun ỏn l mi, cú ý ngha khoa hc, gúp phn hon thin lớ thuyt bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u v bi toỏn biờn khụng dng khụng trn Lc nghiờn cu ca lun ỏn cú th ỏp dng nghiờn cu cỏc bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u khụng dng tng t Ni dung chớnh ca lun ỏn ó c cụng b 03 bi bỏo khoa hc trờn cỏc quc t danh mc ISI v c lit kờ mc Danh mc cụng trỡnh v c bỏo cỏo ti: Hi ngh khoa hc khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni cỏc nm 2013, 2016 Hi ngh khoa hc khoa Cụng ngh thụng tin, Hc vin Qun lớ Giỏo dc, 2013 Seminar ca B mụn Gii tớch, khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni 1.3 S tn ti nht nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u Trong mc ny, chỳng tụi phỏt biu v chng minh kt qu v s tn ti nht nghim ca bi toỏn (1.1)-(1.2) Kt qu chớnh t c l nh lớ sau m nh lớ 1.2 Gi s rng > = vi m l s cỏc b 2à0 a ch s cú cp khụng vt quỏ m Hn na, gi s rng tn ti hng s dng cho { } apq i) sup | | : (x, t) Q, |p|, |q| m = < ; t apq ii) | | = o(e2t ) t vi mi |p|, |q| m v vi t mi x ; iii) f, ft L2 (, Q) m,0 Khi ú, tn ti nht nghim suy rng u(x, t) H (, Q) ca bi toỏn (1.1)-(1.2) tha c lng tiờn nghim sau [ ] u2 C f 2L2 (,Q) + ft 2L2 (,Q) H m,0 (,Q) 11 Chng TNH CHNH QUY CA NGHIM Mc ớch ca chng ny l ch cỏc kt qu v tớnh trn theo bin thi gian v tớnh trn theo c hai bin thi gian - khụng gian ca nghim ca bi toỏn (1.1)-(1.2) Trc tiờn, ta s ch cỏc kt qu v tớnh trn ca bi toỏn cú iu kin ban u tng ng (1.3)-(1.5) Sau ú, da trờn vic cỏc hng s C cỏc c lng nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u t = h u khụng ph thuc vo h, ta cú th tin qua gii hn v thu c cỏc kt qu v tớnh trn ca bi toỏn (1.1)-(1.2) Lu ý rng õy, ta khụng th ỏp dng cỏc kt qu ó cú v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u i vi h phng trỡnh Schrăodinger mnh cú im nún Vỡ cỏc kt qu ó cú, hng s C cỏc ỏnh giỏ ca nghim thay i iu kin ban u thay i Cỏc kt qu chớnh ca chng ny l nh lớ 2.3 v nh lớ 2.4 Ni dung chớnh ca chng ny c vit da trờn bi bỏo s danh mc cụng trỡnh ca tỏc gi 2.1 Tớnh trn ca nghim theo bin thi gian ca bi toỏn cú iu kin ban u Bng phng phỏp quy np toỏn hc, ta cú th chng minh kt qu v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn (1.3)-(1.5) nh sau nh lớ 2.1 Gi s rng l N v tn ti > 0, à2 > cho { } apq | : (x, t) Q, |p|, |q| m = < ; i) sup | t k apq | | à2 vi k l + 1; tk ii) ftk L2 (, h ) vi k l + 1, ftk (x, h) = vi mi x v k l 12 m,0 Khi ú vi mi > (2l + 1)0 , nghim v H (, Q) ca bi toỏn (1.3)-(1.5) cú cỏc o hm theo bin t ti cp l tha vtk H m,0 (, h ), vi mi k = 0, , l v tha c lng vtk 2H m,0 (, ) h C k+1 ftj 2L2 (, ) , h (2.1) j=0 ú hng s C khụng ph thuc vo v, f, h 2.2 Tớnh trn theo hp cỏc bin ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u Gi s l h ta cc trờn S n1 Hn na, gi s phn chớnh ca toỏn t L(x, t, D) ti gc ta cú th vit dng sau L(0, t, D) = r2m L(, t, rDr , D ), Dr = i , r ú L l toỏn t tuyn tớnh vi cỏc h s trn Khi ú bi toỏn ph sau úng vai trũ quan trng vic nghiờn cu tớnh trn ca nghim L(, t, , D )v() = 0, G, (2.2) Dj v() = 0, G, j = 0, , m (2.3) nh lớ 2.2 Ly l l mt s nguyờn khụng õm Gi s rng v(x, t) l mt nghim yu khụng gian H m,0 (, h ) ca bi toỏn (1.3)-(1.5) ú > (2(2m + l) + 1)0 v ftk H0l,0 (, h ) vi k 2m + l + 1, ftk (x, h) = vi k 2m + l Hn na, gi thit rng di m n n Im 2m + l 2 khụng cha im ph ca bi toỏn (2.2)-(2.3) 13 Khi ú v H02m+l (, h ) v tha c lng sau v2H 2m+l (, ) h C 2m+l+1 ftk 2H l,0 (, ) , k=0 (2.4) h ú hng s C khụng ph thuc vo h 2.3 Tớnh trn nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u Bng cỏch s dng tớnh cht ca dóy nghim xp x v cỏc kt qu v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u tng ng, ta thu c cỏc kt qu v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn (1.1)-(1.2) nh sau nh lớ 2.3 Gi s l N v tn ti > 0, à2 > cho { } apq i) sup | | : (x, t) Q, |p|, |q| m = < , t k apq | | à2 , vi k l + 1; tk ii) ftk L2 (, Q), vi mi x , k l + m,0 Khi ú vi mi > (2l + 1)0 , nghim u H (, Q) ca bi toỏn (1.1)-(1.2) cú o hm theo bin t ti cp l v tha utk H m,0 (, Q), vi mi k = 0, , l cho utk 2H m,0 (,Q) C k+1 ftj 2L2 (,Q) , (2.5) j=0 ú hng s C khụng ph thuc vo u, f nh lớ 2.4 Ly l l mt s nguyờn khụng õm v s thc tha > (2(2m + l) + 1)0 Gi s rng u(x, t) l nghim suy rng khụng gian H m,0 (, Q) ca bi toỏn (1.1)-(1.2) v ftk H0l,0 (, Q), vi k 2m + l + Hn na, gi s rng di n n m Im 2m + l 2 14 khụng cha im ph ca bi toỏn (1.1)-(1.2) Khi ú u H02m+l (, Q) v tha c lng sau u2H 2m+l (,Q) C 2m+l+1 k=0 ftk 2H l,0 (,Q) (2.6) 15 Chng BIU DIN TIM CN NGHIM TRONG LN CN IM NểN Mc ớch chớnh ca chng ny l nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim suy rng lõn cn ca im nún Kt qu chớnh ca chng l nh lý 3.1 Phng phỏp chớnh nghiờn cu l s dng cỏc kt qu v ph ca cỏc toỏn t tuyn tớnh v cỏc kt qu v biu din tim cn nghim ca bi toỏn elliptic lõn cn ca im nún cựng vi phng phỏp chng minh quy np toỏn hc Ni dung chớnh ca chng ny c vit theo bi bỏo s danh mc cỏc cụng trỡnh ca tỏc gi 3.1 Cỏc kin thc b tr Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by li cỏc kin thc liờn quan v xõy dng bú toỏn t U(, t) = (L(, t, , D ), D0 , , Dm1 ), C, t R, ca bi toỏn elliptic ph thuc tham s sau L(, t, , D )u = f, G, (3.1) Dj u = gj , trờn G, j = 0, , m (3.2) thu c biu din tim cn nghim, sau ny ta cũn ũi hi thờm cỏc iu kin v cỏc giỏ tr riờng v vect riờng ca bú toỏn t U(, t) nh sau Ly l1 , l2 l cỏc s nguyờn khụng õm v , l cỏc s thc cho l1 < l2 Ta núi rng gi thit (H) cho cỏc s l1 , l2 , , c tha nu cỏc iu kin sau c tha i Cỏc ng thng Im = i + li n/2, (i = 1, 2) khụng cha cỏc giỏ tr riờng ca bú toỏn t U(, t), v di + 16 l1 n/2 < Im < + l2 n/2 ch cha cỏc hm giỏ tr riờng (t), = 1, , N, vi bi hỡnh hc tng ng l à,k , = 1, , N, k = 1, , , khụng ph thuc vo t R Hn na cỏc hm giỏ tr riờng l cỏc hm gii tớch R (à) ii Ta cú th chn c mt h trc chun cỏc vect k,s (, t) vi k = 1, , , s = 1, , à,k , ca xớch Jordan ca U(, t) tng ng vi giỏ tr riờng (t), = 1, , N (à) cho cỏc vect k,s (, t), k = 1, , , s = 1, , à,k l cỏc hm trn R vi mi G 3.2 Biu din tim cn ca bi toỏn elliptic ph thuc tham s Mc ny trỡnh by mt s kt qu v biu din tim cn nghim ca bi toỏn elliptic ph thuc tham s u tiờn, nún K ta xột bi toỏn biờn elliptic ph thuc vo tham s t nh sau (1)m L(t, D)u = f K , (3.3) Dj u = gj trờn K , j = 0, , m (3.4) B sau mụ t biu din tim cn ca nghim ca bi toỏn elliptic ph thuc mt tham s: ,0 B 3.1 Ly u Vl11,d (, K ) l mt nghim ca bi toỏn sau (1)m L(t, D)u = f K , (3.5) j u = gj trờn K , j = 0, , m 1, j (3.6) l 2m+j+1/2,0 2m,0 ú f Vl22,d (, K ), gj V22,d (, K ) vi j = 1, , m v l1 , l2 , d l cỏc s nguyờn khụng õm tha l2 l1 2m, , l cỏc s thc tha l1 < l2 Hn na, gi s rng gi thit (H) ỳng cho l1 , l2 , , vi N = 17 n n < Im < + l2 ch cú 2 mt giỏ tr riờng (t) gii tớch trờn R vi bi hỡnh hc v cỏc bi riờng k , k = 1, , , khụng ph thuc vo t R) Khi ú, nghim u cú dng (tc l di + l1 u(x, t) = ri0 (t)+s Ps (ln r) + w(x, t), (3.7) s=0 ,0 ú w(ã, ã) Vl22,d (, K ), Ps (ã) l cỏc a thc cú bc khụng vt quỏ + 1, vi cỏc h s l cỏc hm khụng gian n C ,d (, G ), l s nguyờn nht ln hn + l2 Im0 (t) vi mi t R, v l bi riờng ln nht ca (t) 3.3 Biu din tim cn nghim ca bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u i vi h Schrăodinger lõn cn im nún Kt qu chớnh ca chng ny cú th phỏt biu nh sau: nh lớ 3.1 Gi s d, l l cỏc s nguyờn khụng õm, , l cỏc s thc tha < v m Gi thit rng u H m,0 (, Q) l mt nghim suy rng ca bi toỏn (1.1)-(1.2) vi > (2(d + l) + 1)0 ; ftk H0l,0 (, Q), vi k d + 2l + v gi thit (H) cho cỏc s l1 = 2m, l2 = 2m + l, = , = c tha Hn na gi s rng tn ti T > cỏc iu kin sau c tha món: i Im1 (t) < ã ã ã < ImN (t), t [T, T ]; n n < Im1 (t) < +2m +à1 < Im2 (t) < ã ã ã < 2 n n + 2m + àN < ImN (t) < + 2m + l , t 2 [, T ) (T, ]; ii +2m iii Imj (t) = Imk (t) + z, z Z, j = k {1, , N }, t R 18 Khi ú ta cú biu din sau: u(x, t) = j N l+ j=1 rij (t)+s Ps,j (ln r) + w(x, t), (3.8) s=0 ú w(ã, ã) V2m+l,0 ,d+l (, Q), Ps,j (ã) l cỏc a thc cú bc khụng vt quỏ l(j + 2) + j + j 1, vi cỏc hm h s thuc khụng gian C ,d+l (, G ), j l s nguyờn nh nht khụng vt n quỏ + 2m Imj (t) vi mi t R, j = 1, , N v j l bi riờng ln nht ca giỏ tr riờng j (t) vi j = 1, , N 3.4 Cỏc vớ d ỏp dng Trong phn ny, chỳng tụi xột bi toỏn biờn Dirichlet cho phng trỡnh Schrăodinger cp hai hai bin tng quỏt gúc T ú, chỳng tụi ch mt vớ d c th m ú cỏc giỏ tr riờng ca bú toỏn t U ph thuc tng minh vo bin thi gian t V cui cựng, nh mt trng hp c bit, chỳng tụi quay tr li xột phng trỡnh Schrăodinger c hc lng t 3.4.1 Vớ d vớ d ny, chỳng tụi xột bi toỏn biờn mu cho toỏn t cp hai gúc Xột gúc K = {x = (x1 , x2 ) R2 : r > 0, < < }, õy (r, ) l ta cc mt phng ca im x = (x1 , x2 ) v < < t S = {x R2 : r > 0, = 0} v t j = S j ì R, j = 0, Vi mi S = {x R2 : r > 0, = }, S a ch s = (1 , ), t + = || v x = || /x11 x22 Trong mc ny, chỳng tụi xột bi toỏn sau iLu ut = f K , (3.9) vi iu kin biờn Dirichlet j = 0, j = 0, 1, u |S (3.10) 19 ú L = L(x, t, x ) = j,k=1 ajk xj xk l toỏn t elliptic thun nht cp hai t liờn hp hỡnh thc K vi ajk (t) = akj (t) l cỏc hm xỏc nh R Hn na, gi s rng bt ng thc sau c tha ajk (t)j k ||2 , (3.11) j,k=1 vi mi = (1 , ) C2 , t R, ú l mt hng s dng Phn chớnh ca toỏn t L ti gc ta O cú dng L(t, x ) = ajk xj xk j,k=1 T iu kin (3.11) ta suy rng tn ti hng s cho ajj (t) vi mi t R Do ú, ta cú th gi s a22 (t) v ú ta biu din toỏn t L dng L = (x2 a(t)x1 )(x2 a(t)x1 ), (3.12) ú a(t) = (t) + i(t), (t), (t) l cỏc hm thc trờn R, (t) vi mi t v l mt hng s dng Bi toỏn ph (3.1)-(3.2) trng hp ny tr thnh L(, t, , D )u = f, K, (3.13) u |=0 = 0, (3.14) u |=0 = 0, (3.15) ú ( ) L(, t, , D ) = ( sin + a(t) cos )i + (cos + a(t) sin ) ( ) ( sin + a(t) cos )i + (cos + a(t) sin ) (3.16) 20 V bú toỏn t tng ng vi bi toỏn (3.13)-(3.15) trng hp ny c xỏc nh bi U(, t) = (L(, t, , D ), 1, 1) Mnh 3.1 Gi s u(x, t) l nghim ca bi toỏn (3.9)-(3.10) vi toỏn t vi phõn L cú phn chớnh ti gc ta biu din dng (3.12), ú hm a(t) gii tớch Gi s ftk H0l,0 (, Q) vi k d, cỏc ng thng Im = 0, Im = khụng cha cỏc hm giỏ tr riờng ca bú toỏn t U v di < Im < cú cỏc hm giỏ tr riờng n (t), , N (t) ca bi toỏn (3.13)-(3.15) vi mi t Khi ú ta cú biu din sau: u(x, t) = j N rij (t)+s Ps,j (ln r) + w(x, t), (3.17) j=1 s=0 2,0 ú w(ã, ã) V0,d (, Q), Ps,j l cỏc a thc cú bc khụng vt quỏ j , vi cỏc hm h s thuc khụng gian C ,d (, G ), j l s nguyờn nh nht khụng vt quỏ Imj (t) vi mi t R, j = 1, , N 3.4.2 Vớ d Trong mc ny, s dng kt qu tớnh toỏn mc 3.4.1., chỳng tụi a mt trng hp c bit cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn ph ph thuc thc s vo bin thi gian t tan + arctan (t) Ly ( , 2) t (t) v (t) = tan vi > nh cho (t) > v (t) c chn cho |a (t)| = o(e2t ) t Khi ú ỏp dng nh lớ 3.1, ta cú mnh sau: Mnh 3.2 Ly ftk L2 (, R) vi k d + v u l mt nghim suy rng ca bi toỏn (3.9)-(3.10) Khi ú, ta cú biu 21 din u(x, t) = cr/0 + arctan (t) + u1 (x, t), 2,0 ú u1 V0,d (, Q) v c C ,d (, G ) 3.4.3 Vớ d Trong mc ny, chỳng tụi xột mụ hỡnh toỏn hc cho phng trỡnh Schră odinger nh sau: iu ut = f Q, (3.18) vi iu kin biờn Dirichlet u | = (3.19) Mnh 3.3 Gi s ftk L2 (, R) vi k v u l mt nghim ca bi toỏn (3.18)-(3.19) vi n = Ta cú nu < thỡ u H02 (, Q) nu > thỡ u(x, t) = c(x, t)r/0 sin + u1 (x, t), ú c V/ (, Q) v u1 H02 (, Q) Mnh 3.4 Ly ftk L2 (, R) vi k v u l mt nghim suy rng ca bi toỏn (3.18)-(3.19) vi n = Khi ú |u(x, t)| CrIm1 , C l hng s Mnh 3.5 Ly ftk L2 (, R) vi k v u l mt nghim suy rng ca bi toỏn (3.18)-(3.19) vi n > Khi ú u H02 (, Q) 22 KT LUN V KIN NGH Cỏc kt qu t c Lun ỏn nghiờn cu v bi toỏn biờn th nht khụng cú iu kin ban u i vi h phng trỡnh Schrăodinger tng quỏt khụng trn Cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn l: 1) Xõy dng c nh ngha nghim suy rng phự hp, t ú chng minh c s tn ti nht nghim khụng m,0 gian Sobolev H (, Q) v thit lp c c lng tiờn nghim Chỳ ý rng, mc dự khụng cú iu kin ban u, nhng bng cỏch xõy dng khụng gian nghim, khụng gian hm th v iu kin phự hp ca ngoi lc f, chỳng tụi nhn c kt qu v s nht nghim 2) Chng minh c tớnh chớnh quy theo bin thi gian t m,0 khụng gian H (, Q) ca nghim suy rng ch ph thuc vo tớnh trn theo bin thi gian ca v phi v cỏc h s m khụng ph thuc vo tớnh trn ca biờn ca ang xột Bờn cnh ú, gi s cỏc h s ca toỏn t L l kh vi vụ hn Q thỡ chỳng tụi cng chng minh c tớnh chớnh quy theo bin khụng gian v tớnh chớnh quy theo c hai bin Kt qu thu c cho thy, tớnh chớnh quy theo bin khụng gian ch ph thuc vo tớnh trn ca v phi ca h ang xột thỡ tớnh chớnh quy theo c hai bin ph thuc c vo ph ca bi toỏn ph tng ng, tc l ph thuc vo trn ca biờn ca Phng phỏp c chỳng tụi s dng ú l ỏnh giỏ trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u t = h, sau ú tin qua gii hn h t c tớnh trn ca nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u Mc dự ó cú cỏc kt qu v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u 23 t = nhng chỳng tụi khụng th ỏp dng cỏc kt qu ó cú bi vỡ cỏc kt qu ú, thi im ban u t = h thay i thỡ cỏc hng s C cỏc c lng tiờn nghim cng thay i theo Do ú chỳng tụi phi xõy dng li cỏc ỏnh giỏ m bo C c lp vi h cú th qua gii hn cỏc c lng ú h 3) Thit lp c biu din tim cn nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho h phng trỡnh Schrăodinger lõn cn im kỡ d ca biờn Biu din ny cng tng t nh biu din tim cn nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u cho h Schrăodinger m ta ó bit trc ú, mc dự chỳng tụi ch yờu cu iu kin yu hn ca ph ca bú toỏn t U (iu kin (H)) Cỏc k thut v phng phỏp c s dng lun ỏn cú th ỏp dng nghiờn cu bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u i vi cỏc h khụng dng tng t Kin ngh mt s nghiờn cu tip theo Tip theo cỏc kt qu ca lun ỏn tỏc gi thy cú mt s cn c tip tc nghiờn cu l: - Nghiờn cu cỏc bi toỏn khụng cú giỏ tr ban u cho mt s lp phng trỡnh, h phng trỡnh vi phõn tin húa khỏc, chng hn phng h phng trỡnh parabolic, hyperbolic - Nghiờn cu tớnh chớnh quy v biu din tim cn ca nghim suy rng ca bi toỏn cỏc khụng trn khỏc nh cú cnh, cú gúc nh din, - Nghiờn cu bi toỏn cỏc khụng gian Sobolev vi chun Lp ú p = 24 DANH MC CễNG TRèNH 1) N M Hung, N T Lien (2013), "On the solvability of the boundary value problem without initial condition for Schrăodinger systems in infinite cylinders", Boundary Value Problems, Vol 2013, Article ID 2013:156, pp 1-9 2) N M Hung, N T Lien (2014), "On the regularity of solutions of the boundary value problem without initial condition for Schrăodinger systems in domain with conical points", Boundary Value Problems, Vol 2014, Article ID 2014:181, pp 1-12 3) N M Hung, N T Lien (2016), "On the asymptotic formulas of solutions to the boundary value problem without initial condition for Schră odinger systems in domain with conical points", Nonlinear Anal., Vol 130, pp 18-30 [...]... |p|=|q|=m trong ú p = 1p1 npn , q = 1q1 nqn 9 Trong c lun ỏn ny, chỳng tụi bi toỏn sau trong hỡnh tr Q (1)m1 iL(x, t, D)u ut = f (x, t) trong Q, (1.1) j u | = 0, j (1.2) j = 0, , m 1, trong ú l phỏp vect ngoi n v vi mt xung quanh 1.2 S tn ti duy nht nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u Trc tiờn, vi mi h R trong hỡnh tr h ta nghiờn cu bi toỏn cú iu kin ban u sau (1)m1 iL(x, t, D)v vt = f (x, t) trong. .. kin ban u tng ng (1.3)-(1.5) Sau ú, da trờn vic cỏc hng s C trong cỏc c lng nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u t = h u khụng ph thuc vo h, ta cú th tin qua gii hn v thu c cỏc kt qu v tớnh trn ca bi toỏn (1.1)-(1.2) Lu ý rng õy, ta khụng th ỏp dng cỏc kt qu ó cú v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u i vi h phng trỡnh Schrăodinger mnh trong min cú im nún Vỡ trong cỏc kt qu ó cú, hng s C trong. .. tụi s dng ú l ỏnh giỏ trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u t = h, sau ú tin qua gii hn khi h t c tớnh trn ca nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u Mc dự ó cú cỏc kt qu v tớnh trn ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u 23 t = 0 nhng chỳng tụi khụng th ỏp dng cỏc kt qu ó cú bi vỡ trong cỏc kt qu ú, khi thi im ban u t = h thay i thỡ cỏc hng s C trong cỏc c lng tiờn nghim cng thay i theo Do ú chỳng tụi... || /x11 x22 Trong mc ny, chỳng tụi xột bi toỏn sau iLu ut = f trong K , (3.9) vi iu kin biờn Dirichlet j = 0, j = 0, 1, u |S (3.10) 19 2 ú L = L(x, t, x ) = j,k=1 ajk xj xk l toỏn t elliptic thun nht cp hai t liờn hp hỡnh thc trong K vi ajk (t) = akj (t) l cỏc hm xỏc nh trong R Hn na, gi s rng bt ng thc sau c tha món 2 ajk (t)j k 1 ||2 , (3.11) j,k=1 vi mi = (1 , 2 ) C2 , t R, trong ú 1 l mt... ), (3.12) trong ú a(t) = (t) + i(t), (t), (t) l cỏc hm thc trờn R, (t) 3 vi mi t v 3 l mt hng s dng Bi toỏn ph (3.1)-(3.2) trong trng hp ny tr thnh L(, t, , D )u = f, trong K, (3.13) u |=0 = 0, (3.14) u |=0 = 0, (3.15) trong ú ( ) L(, t, , D ) = ( sin + a(t) cos )i + (cos + a(t) sin ) ( ) ( sin + a(t) cos )i + (cos + a(t) sin ) (3.16) 20 V bú toỏn t tng ng vi bi toỏn (3.13)-(3.15) trong trng... u cú dng (tc l trong di 1 + l1 u(x, t) = 1 ri0 (t)+s Ps (ln r) + w(x, t), (3.7) s=0 ,0 trong ú w(ã, ã) Vl22,d (, K ), Ps (ã) l cỏc a thc cú bc khụng vt quỏ + 1, vi cỏc h s l cỏc hm trong khụng gian n C ,d (, G ), l s nguyờn bộ nht ln hn 2 + l2 2 Im0 (t) vi mi t R, v l bi riờng ln nht ca 0 (t) 3.3 Biu din tim cn nghim ca bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u i vi h Schrăodinger trong lõn cn im... nghim ca bi toỏn khụng cú iu kin ban u cho h phng trỡnh Schrăodinger trong lõn cn im kỡ d ca biờn Biu din ny cng tng t nh biu din tim cn nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u cho h Schrăodinger m ta ó bit trc ú, mc dự chỳng tụi ch yờu cu iu kin yu hn ca ph ca bú toỏn t U (iu kin (H)) Cỏc k thut v phng phỏp c s dng trong lun ỏn cú th ỏp dng nghiờn cu bi toỏn biờn khụng cú iu kin ban u i vi cỏc h khụng dng tng... min tựy ý Ni dung chớnh ca chng ny c vit da trờn phn u cỏc bi bỏo s 1, 2, 3 trong danh mc cụng trỡnh ca tỏc gi 1.1 Phỏt biu bi toỏn Xột toỏn t vi phõn cp 2m sau õy L(x, t, D) = m ( ) (1)|p| Dp apq (x, t)Dq , |p|,|q|=0 trong ú apq l cỏc ma trn c s ì s vi cỏc phn t l cỏc hm o c, b chn trong Q v tha món apq = aqp vi |p| = |q| = m (trong ú aqp l ma trn liờn hp phc chuyn v ca ma trn apq ) Hn na, gi s tn ti... bin tng quỏt trong min gúc T ú, chỳng tụi ch ra mt vớ d c th m ú cỏc giỏ tr riờng ca bú toỏn t U ph thuc tng minh vo bin thi gian t V cui cựng, nh mt trng hp c bit, chỳng tụi quay tr li xột phng trỡnh Schrăodinger trong c hc lng t 3.4.1 Vớ d 1 vớ d ny, chỳng tụi xột bi toỏn biờn mu cho toỏn t cp hai trong min gúc Xột min gúc K = {x = (x1 , x2 ) R2 : r > 0, 0 < < 0 }, õy (r, ) l ta cc trong mt phng... ftj 2L2 (, ) , h (2.1) j=0 trong ú hng s C khụng ph thuc vo v, f, h 2.2 Tớnh trn theo tp hp cỏc bin ca nghim ca bi toỏn cú iu kin ban u Gi s l h ta cc trờn S n1 Hn na, gi s phn chớnh ca toỏn t L(x, t, D) ti gc ta 0 cú th vit dng sau L(0, t, D) = r2m L(, t, rDr , D ), Dr = i , r trong ú L l toỏn t tuyn tớnh vi cỏc h s trn Khi ú bi toỏn ph sau úng vai trũ quan trng trong vic nghiờn cu tớnh trn