Hệ hàm lặp tổng quát và sự tồn tại tập bất biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN KHẮC ĐẠT HỆ HÀM LẶP TỔNG QUÁT VÀ SỰ TỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN KHẮC ĐẠT HỆ HÀM LẶP TỔNG QUÁT VÀ SỰ TỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS VŨ THỊ HỒNG THANH Vinh - 2016 MỤC LỤC Mục lục KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Mêtric Hausdorff 1.2 Hệ hàm lặp tồn tập bất biến 15 Sự tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp 18 2.1 Sự tồn tập bất biến hệ hàm lặp suy rộng 18 2.2 Sự tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp đếm suy rộng Kết luận 27 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Hình học Fractal lĩnh vực quan trọng toán học có nhiều ứng dụng Các tập Fractal đối tượng nghiên cứu hình học Fractal Tập Fractal đơn giản đề xuất nghiên cứa B Mandelbrot vào cuối năm 70 kỷ XX Thực chất, chúng điểm bất động qua tốn tử Hutchinson - Barnsley khơng gian tập compact, khác rỗng trang bị mêtric Hausdorff Các tập fractal đóng vai trị quan trọng nhiều ngành khoa học Do đó, ngày nhiều dạng khác tập fractal đề xuất nghiên cứu Một hướng xây dựng fractal nghiên cứu loại hệ hàm lặp sinh tập fractal Năm 2008 ([3]), A Mihail đề xuất hướng mở rộng cách xây dựng tập fractal hệ hàm lặp cách thay ánh xạ từ không gian X vào X từ X vào X gọi hệ hàm lặp suy rộng (Generalized Iterated Function System - GIFS) Họ nghiên cứu tồn tại, tính chất ứng dụng loại fractal sinh hệ hàm lặp Theo hướng nghiên cứu này, năm 2011 ([7]), N A Secelean tiếp tục mở rộng cách thay họ hữu hạn ánh xạ khái niệm hệ hàm lặp suy rộng họ đếm ánh xạ co suy rộng gọi hệ hàm lặp suy rộng đếm (Generalized Countable Iterated Function System - GCIFS) Sau đó, có nhiều nhà tốn học nghiên cứu việc xây dựng tập fractal theo hướng mở rộng Vì thế, để tập duyệt với nghiên cứu khoa học tìm hiểu vấn đề này, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn : Hệ hàm lặp tồn tập bất biến Mục đích luận văn thơng qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết tồn tập fractal qua hệ hàm lặp hệ hàm lặp đếm gồm ánh từ không gian X vào X với X không gian mêtric Với mục đích luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần dùng luận văn như: Mêtric khơng gian tích X m , không gian mêtric (X m , dm ), mêtric Hausdorff h H(X) tính chất nó, Mêtric Hausdorff mở rộng hm H(X)m , toán tử Hutchinson tồn tập fractal (tập bất biến) qua toán tử Chương Sự tồn tập bất biến hệ hàm lặp suy rộng Trong chương này, Mục 2.1, chúng tơi trình bày khái niệm hệ hàm lặp suy rộng (GIFS-Generalized Iterated Function System) gồm hữu hạn ánh xạ từ X × X vào X tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp Trong Mục 2.2, chúng chúng tơi trình bày khái niệm hệ hàm lặp tổng qt đếm (GCIFS- Generalized Countable Iterated Function System) gồm đếm ánh xạ từ X vào X tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp Đặc biệt, chúng tơi trình bày chứng minh việc xấp xỉ tập bất biến hệ hàm lặp Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo nghiêm khắc cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Cô, người bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, quý Thầy giáo - Cô giáo tổ Giải tích Khoa SP Tốn học trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt anh, chị, bạn lớp Cao học khóa 22 chun ngành Tốn - Giải tích cộng tác, giúp đỡ, động viên tác giả trình học tập, nghiên cứu Mặc dù đẵ có nhiều cố gắng, luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q thầy cơ, bạn bè trao đổi, góp ý để luận văn hồn thiện Vinh, tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày kiến thức sở cần dùng luận văn như: Mêtric khơng gian tích X m , không gian mêtric (X m , dm ), mêtric Hausdorff h H(X) tính chất nó, Mêtric Hausdorff hm H(X)m , toán tử Hutchinson tồn tập fractal (tập bất biến) qua toán tử 1.1 Mêtric Hausdorff 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn i) d(x, y) với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi khoảng cách hay mêtric X (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Mệnh đề ([1] Cho (X, d) không gian mêtric Xét ánh xạ dm : X m × X m → R xác định dm (x, y) = max {d(xi , yi )} i m với x = (x1 , , xm ), y = (y1 , , ym ) ∈ X m dm mêtric X m Khi đó, (X m , dm ) khơng gian mêtric Chứng minh Ta chứng minh dm thỏa mãn ba điều kiện Định nghĩa 1.1.1 Thật vậy, với x = (x1 , , xm ), y = (y1 , , ym ), z = (z1 , , zm ) ∈ X m ta có i) dm (x, y) = max {d(xi , yi )} i m 0; dm (x, y) = max {d(xi , yi )} = Khi xi = yi với i ∈ {1, , m} Do đó, x = y i m ii) dm (x, y) = max {d(xi , yi )} = max {d(yi , xi )} = dm (y, x) i m i m iii) dm (x, y) = max {d(xi , yi )} i m max {d(xi , zi ) + d(zi , yi )} i m max {d(xi , zi )} + max {d(zi , yi )} i m i m = dm (x, z) + dm (z, y) 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn } gọi hội tụ tồn số thực x cho: với ε > 0, tồn p ∈ N , với n p | xn − x |< ε 1.1.4 Định nghĩa ([1]) i) Cho (X, d) không gian mêtric (xn ) dãy X Dãy (xn ) gọi dãy (hay gọi dãy Cauchy) với ε > tồn n0 ∈ N, cho với n n0 , p ∈ N d(xn , xn+p ) < ε ii) Không gian mêtric (X, d) đựơc gọi đầy đủ dãy X hội tụ điểm X 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Tập A ⊆ X gọi tập compact dãy (xn ) A có dãy (xnk )k hội tụ điểm x ∈ A Kí hiệu Conm (X, Y ) = {f : X m → Y | f liên tục} với m 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric A = ∅, A ⊆ X i) Với x ∈ X ta đặt d(x, A) = inf {d(x, y)} y∈A gọi khoảng cách từ phần tử x đến tập A ii) Với A, B ⊂ X ta đặt d(A, B) = sup{d(x, B)} = sup{ inf d(x, y)} x∈A x∈A y∈B gọi khoảng cách từ tập A đến tập B iii) Với r > ta đặt Ar = {x ∈ X : d(x, A) r} gọi r − bao A Kí hiệu: K(X) = {A ⊆ X : A compact, A = ∅} Dễ nhận thấy d(A, B) = d(B, A) Do đó, ta xây dựng mêtric K(X) sau 1.1.7 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Xét hàm h : K(X) × K(X) → R+ (A, B) → h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} Khi đó, ta có i) h mêtric (K(X), h) gọi không gian mêtric Hausdorff ii) Nếu (X, d) đầy đủ (K(X), h) khơng gian mêtric đầy đủ 10 Chứng minh i) Ta kiểm tra điều kiện mêtric h Từ cách xác định h(A, B) ta có h(A, B) với A, B ∈ K(X) h(A, B) = kéo theo d(A, B) = d(B, A) = hay A = B A, B ∈ K(X) Hiển nhiên ta có h(A, B) = h(B, A) với A, B ∈ K(X) Ta chứng minh h(A, B) h(A, C) + h(C, B) với A, B, C ∈ K(X) Ta có inf {d(a, c) + d(c, b)} với c ∈ C d(a, B) = inf d(a, b) b∈B b∈B =d(a, c) + d(c, B) với c ∈ C Do d(a, B) inf d(a, c) + sup d(c, B) = d(a, C) + d(C, B) c∈C c∈C Lấy suprimum hai vế bất đẳng thức theo a ∈ A ta có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) d(B, A) d(B, C) + d(C, A) với A, B, C ∈ K(X) Dẫn đến h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B))} max{d(A, C) + d(C, B), d(B, C) + d(C, A)} max{d(A, C), d(C, A)} + max{d(C, B), d(B, C)} = h(A, C) + h(B, C) Vậy, h mêtric K(X) ii) Giả sử {Ak } dãy Cauchy tùy ý K(X), ta cần tồn A ∈ K(X) cho h(Ak , A) → k → ∞ 21 2.1.5 Mệnh đề ([3]) Cho S = (X, f (k)k=1,n ) hệ hàm lặp suy rộng đặt cS = max {Lip(fk )} Khi đó, tốn tử Fractal kết hợp với S k=1,n FS : K(X) × K(X) −→ K(X) co Lipschitz với hệ số co cS Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.7 Bổ đề 2.1.4, ta có n h(FS (K, H), FS (K1 , H1 )) = h( k=1 n fk (K, H), fk (K1 , H1 )) k=1 max h(fk (H, K), fk (H1 , K1 )) k=1,n cS max(h(K, K1 ), h(H, H1 )) Định lý sau kết tương tự nguyên lý ánh xạ co Banach 2.1.6 Định lý ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ f ∈ Con2 (X) với hệ số co c ∈ [0, 1) Khi đó, tồn α ∈ X cho f (α, α) = α Hơn nữa, với x0 , x1 ∈ X dãy (xn )n xác định xn+1 = f (xn , xn−1 ), n ∈ N ∗ , hội tụ đến α, với tốc độ hội tụ (xn )n d(xn , α) 2c[n/2] 1−c max{d(x0 , x1 ), d(x1 , x2 )} Đặc biệt, d(x0 , α) 1−c max{d(x0 , x1 ), d(x1 , x2 )} Chứng minh Đặt zn = max{d(xn+1 , xn ), d(xn , xn−1 )} Ta có d(xn+1 , xn ) = d(f (xn , xn−1 ), f (xn−1 , xn−2 )) c max{d(xn−1 , xn−2 ), d(xn , xn−1 )} = czn−1 22 c ∈ [0, 1) nên ta có d(xn+2 , xn+1 ) = d(f (xn+1 , xn ), f (xn , xn−1 )) c max{d(xn+1 , xn ), d(xn , xn−1 )} c max{czn−1 , zn−1 } = czn−1 Do đó, ta có zn+1 czn−1 Tương tự vậy, ta có zn+1 c2 zn−3 , zn+1 c3 zn−5 , ,zn+1 c[n/2] z1 d(xn+p , xn ) d(xn+p , xn+p−1 ) + d(xn+p−1 , xn+p−2 ) + + d(xn+1 , xn ) c[(n+p−1)/2] z1 + c[(n+p−2)/2] z1 + + c[n/2] z1 Vậy, với p ∈ N∗ ta có n [n/2] c2 max{d(x0 , x1 ), d(x1 , x2 )} d(xn+p , xn ) 2c1−cz1 = 1−c Phần lại chứng minh tương tự chứng minh nguyên lý [ ] ánh xạ co Banach 2.1.7 Định lý ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ S = (X, (fk )k=1,n ) hệ hàm lặp suy rộng với cS = max Lip(fk ) < Khi k=1,n đó, tồn A(S) ∈ K(X) cho FS (A(S), A(S)) = A(S) Hơn nữa, với H0 , H1 ∈ K(X), dãy (Hn )n xác định Hn+1 = FS (Hn , Hn−1 ), n ∈ N∗ , hội tụ A(S) Tốc độ hội tụ 23 [n/2] h(Hn , A(S)) 2cS 1−cS max{h(H0 , H1 ), h(H1 , H2 )} 1−cS max{h(H0 , H1 ), h(H2 , H1 )} Đặc biệt, ta có h(H0 , A(S)) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.5 FS ánh xạ co với Lip(FS ) < Theo Mệnh đề 1.1.6 (K(X), h) khơng gian mêtric đầy đủ (X, d) đầy đủ Do đó, theo Định lý 2.1.6, tồn A(S) ∈ K(X) để FS (A(S), A(S)) = A(S) Hơn nữa,theo Định lý 2.1.6 với H0 , H1 ∈ K(X) với cách xác định {Hn }n ta có [n/2] h(Hn , A(S)) 2cS 1−cS max{h(H0 , H1 ), h(H1 , H2 )} 2.1.8 Nhận xét i) n A(S) = n fk (A(S), A(S)) = k=1 n fk ({x}, A(S)) k=1 x∈A(S) n fk (A(S), {x}) = = k=1 x∈A(S) fk ({x}, {y}) k=1 x,y∈A(S) ii) Tương tự mêtric Hausdorff ta chứng minh (K(X) × K(X), h2 ) không gian mêtric đầy đủ (X, d) không gian mêtric đầy đủ nên theo Mệnh đề 2.1.5 ta có Định lý 2.1.7 2.1.9 Mệnh đề Mỗi hệ hàm lặp đươc xem hệ hàm lặp suy rộng Hơn nữa, chúng tập bất biến Chứng minh Cho hệ hàm lặp S = (X, {fi }i=1,n ) fi : X → X co Banach, tức tồn ci ∈ [0, 1) để với x, y ∈ X, ta có 24 d(fi (x), fi (y)) ci d(x, y) Ta xây dựng ánh xạ fi : X × X → X (x, y) −→ fi (x, y) = fi (x) Khi đó, S = (X, {fi }i=1,n ) hệ hàm lặp suy rộng Thật vậy, ta có d(fi (x, y), fi (x1 , y1 )) = d(fi (x), fi (x1 )) ci d(x, x1 ) ci max{d(x, x1 ), d(y, y1 )} = ci d2 ((x, y), (x1 , y1 )) Vậy, fi ánh xạ co X × X Do đó,(X, {fi }i=1,n ) hệ hàm lặp suy rộng Hơn nữa, ta có A tập bất biến hệ hàm lặp S = (X, {fi }i=1,n ) n A= n fi (A, A) fi (A) = i=1 i=1 Vậy, A tập bất biến hệ hàm lặp suy rộng S = (X, {fi }i=1,n ) 2.1.10 Ví dụ ([3]) 1)Lấy (X, d) = ([0, 1], | |) f , g : X × X → X xác định f (x, y) = x y x + g(x, y) = + 3 3 Lấy hệ hàm lặp suy rộng S = (X, {f, g}), FS : K(X) × K(X) → K(X) xác định FS (K, H) = f (K, H) ∪ g(K, H) 25 Ta có tập bất biến S A(S) = [0, 1] Thật vậy, ta có f ([0, 1], [0, 1]) = [0, 2/3] g([0, 1], [0, 1]) = [2/3, 1) Do đó, ta có FS ([0, 1], [0, 1]) = f ([0, 1], [0, 1]) ∪ g([0, 1], [0, 1]) 2 = [0, ] ∪ [ , 1] 3 = [0, 1] Vậy, A(S) = [0, 1] 2) Lấy (X, d) = ([0, 1], ||) f, g : R × R → R xác định f (x, y) = x y x y + g(x, y) = + + 5 5 Lấy hệ hàm lặp suy rộng S = (R, {f, g}), FS : K(R) × K(R) → K(R) xác định FS (K, H) = f (K, H) ∪ g(K, H) Ta có tập bất động S A(S) = [0, 2/5] ∪ [3/5, 1] Thật vậy, f ([0, 1], [0, 1]) = [0, 2/5] ⊂ [0, 1] g([0, 1], [0, 1] = [3/5, 1) ⊂ [0, 1] Do đó, ta có FS ([0, 1], [0, 1]) = [0, 2/5] ∪ [3/5, 1] ⊂ [0, 1], nên A(S) ⊂ [0, 1] A(S) = Hn , (Hn )n xác định n Hn+1 = f (Hn , Hn ), n ∈ N, H0 = [0, 1] 26 Vì f (x, y) = f (y, x), g(x, y) = g(y, x) nên F (K, H) = F (H, K) Vì g(x, y) = f (x, y) + 35 nên g(K, H) = f (K, H) + 35 Lấy t : R → R xác định t(x) = −x + 21 Khi đó, (t◦t)(x) = x, f (t(x), t(y)) = t(g(x, y)), g(t(x), t(y)) = t(f (x, y)) t(A(S)) = A(S) Mặt khác, tập bất động hệ hàm lặp suy rộng S = (R, (f, g)) tập đối xứng qua 21 Khi đó, ta có H1 = FS ([0, 1], [0, 1]) = [0, 2/5] ∪ [3/5, 1] f (H1 , H1 ) = f ([0, 2/5] ∪ [3/5, 1], [0, 2/5] ∪ [3/5, 1]) = f ([0, 2/5], [0, 2/5]) ∪ f ([0, 2/5], [3/5, 1]1) ∪ f ([3/5, 1], [3/5, 1]) = [0, 4/25] ∪ [3/25, 7/25] ∪ [6/25, 2/5] = [0, 2/5] Do đó, ta có g(H1 , H1 ) = f (H1 , H1 ) + 3 = [ ; 1] 5 Dẫn đến H2 = F (H1 , H1 ) = f (H1 , H1 ) ∪ g(H1 , H1 ) = [0, 2/5] ∪ [3/5, 1] = H1 Cho nên A(S) = H1 = [0, 2/5] ∪ [3/5, 1] x Ta thấy A(S) tập bất biến hệ hàm lặp với f (x) = ; x g(x) = + 5 27 2.2 Sự tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp đếm suy rộng Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm hệ hàm lặp đếm mở rộng, viết tắt GCIFS(Generalized Countable Iterated Function Systems) trình bày chứng minh tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp 2.2.1 Bổ đề ([6]) Giả sử (An )n dãy K(X) ∞ i) Nếu An ⊂ An+1 với n A = An tập compact tương n=1 đối An = lim An , A= n→∞ n giới hạn lấy theo mêtric Hausdorff A hiểu bao đóng A X ii)Nếu An+1 ⊂ An với n ∞ lim An = n→∞ An n=1 2.2.2 Định lý ([6]) Giả sử (X, d), (Y, δ) (Z, ς) không gian mêtric hàm w: X × Y → Z Khi đó, ta có i) Nếu w co Lipschitz h(w(B1 , C1 ), w(B2 , C2 )) Lip(w)h2 ((B1 , C1 ), (B2 , C2 )) ii) Nếu w liên tục X × Y hàm Fw : K(X) × K(Y ) → K(Z) xác định Fw (B, C) = w(B, C) = {w(b, c) : b ∈ B, c ∈ C} liên tục K(X) × K(Y ) Từ Bổ đề 2.2.1 Định lý 2.2.2 ta có kết sau 28 2.2.3 Hệ ([6]) Cho dãy hàm Lipschitz wn : X × Y → Z với (Z, ς) không gian mêtric compact Ta xác định hàm F : K(X) × K(Y ) → K(Z) wn (B, C) F (B, C) = n Lip(F ) sup Lip(wn ) n Do đó, sup Lip(wn ) < ∞ F hàm Lipschitz n 2.2.4 Định nghĩa ([6]) i) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Một họ đếm ánh xạ co wn : X × X → X , n = 1, 2, với sup cn < n gọi hệ hàm lặp đếm suy rộng ii) Với N họ hữu hạn ánh xạ co (wn )N n=1 gọi hệ hàm lặp suy rộng riêng hệ hàm lặp đếm suy rộng (wn )n Từ kết ta có định lí sau 2.2.5 Định lý ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ (wn )n hệ hàm lặp đếm suy rộng X Khi đó, tồn A ∈ K(X) cho F (A, A) = wn (A, A) = A n Hơn nữa, B0 , B1 ∈ K(X) dãy (Bk )k cho Bk+1 = F (Bk , Bk−1 ) hội tụ A theo mêtric h K(X) 2.2.6 Định nghĩa ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ hệ hàm lặp đếm suy rộng S = (X, (wn )n ) Khi đó, tập A Định lý 2.2.5 gọi tập bất biến hệ hàm lặp đếm suy rộng 29 2.2.7 Mệnh đề ([6]) Cho hệ hàm lặp đếm suy rộng S = (X, (wn )n ) Khi đó, với n ∈ N, lấy wn : X → X x → wn (x) = wn (x, x) wn ánh xạ co với hệ số co c < Lip(wn ) có điểm bất động với wn Hệ đếm ánh xạ (wn )n gọi hệ hàm lặp đếm (kí hiệu CIFS) kết hợp với hệ hàm lặp đếm suy rộng S = (X, (wn )n ) Hơn nữa, A ∈ K(X) tập bất biến hệ hàm lặp đếm A ⊂ A 2.2.8 Bổ đề ([6]) Giả sử c0 ∈ K(X) Khi đó, dãy (Ck )k Ck = F (Ck−1 , Ck−1 )(k cho 1) hội tụ theo mêtric Hausdorff h K(X) tập bất biến A hệ hàm lặp đếm suy rộng S = (X, (wn )n ) với F xác định Hệ 2.2.3 Hơn nữa, h(A, Ck ) ck+1 1−c h(C0 , F (C0 , C0 )) Tương tự Mệnh đề 2.2.7 ta có kết sau 2.2.9 Mệnh đề ([6]) Mỗi hệ hàm lặp đếm xem hệ hàm lặp đếm suy rộng 2.2.10 Nhận xét ([6]) Theo Hệ 2.2.3 ta có F : K(X) × K(X) → K(X) wn (B, C) F (B, C) = n ánh xạ co với hệ số co c = sup cn với cn hệ số co wn , n = 1, 2, n 30 Đồng thời, ánh xạ FN : K(X) × K(X) → K(X) N FN (B, C) = wn (B, C) n=1 ánh xạ co với hệ số co cN = max{c1 , , cn } Sau trình bày tính chất tập bất biến A 2.2.11 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ S = (X, (wn )n ) hệ hàm lặp đếm suy rộng AN tập bất biến hệ hàm lặp riêng suy rộng SN = (X, (wn )n∈{1, ,N } ) A tập bất biến S , tức N AN = wn (AN , AN ) n=1 wn (A, A) A= n Khi đó, lim h(AN , A) = hay AN → A N → ∞ N →∞ N Chứng minh Với ε > cho trước Theo Bổ đề 2.2.8 dãy ( n=1 giảm nên tồn Nε để với N Nε ta có N h( n=1 với c = sup cn n wn (A, A)) < ε(1 − c) (∗) wn (A, A), n wn (A, A))N 31 Với N Nε , ta lại có h(AN , A) = h(SN (A, A), F (A, A)) N = h( wn (A, A)) wn (A, A), n n=1 N h( N wn (AN , AN ), n=1 N wn (A, A)) + h( n=1 wn (A, A), n=1 wn (A, A)) n sup h(wn (AN , An ), wn (A, A)) + ε(1 − c) n N c.h(AN , A) + ε(1 − c) Do đó, theo (*) Bổ đề 2.2.8 ta có h(AN , A) < ε Do đó, ta có điều cần phải chứng minh 2.2.12 Bổ đề ([6]) Giả sử B0 , B1 ∈ K(X) Với k đặt N = S (B N , B N ) B Bk+1 N k+1 = F (Bk , Bk−1 ) k−1 k Khi đó, BkN → Bk theo N với k = 0, 1, Chứng minh Trước hết, ta thấy với k ε > cho trước, theo Mệnh đề 2.2.11 tồn Nε Nε ta có để với N N h( n=1 wn (Bk , Bk−1 ), wn (Bk , Bk−1 )) < n ε Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo k Với k = hiển nhiên bổ đề theo Nhận xét 2.2.10 N , B ) = với m Giả sử lim h(Bm m N →∞ N h(Bm , Bm ) < k Khi tồn N ∗ > Nε để ε 2c 32 N h(Bm−1 , Bm−1 ) < với N ε 2c N ∗ Theo giả thiết, ta có N N h(Bk+1 , Bk+1 ) = h(F (BkN , Bk−1 ), F (Bk , Bk−1 )) N N wn (BkN , Bk−1 ), = h( n=1 N h( n N N wn (BkN , Bk−1 ), n=1 N + h( wn (Bk , Bk−1 )) wn (Bk , Bk−1 )) n=1 wn (Bk , Bk−1 )) wn (Bk , Bk−1 ), n n=1 N sup cn max{h(BkN , Bk ), h(Bk−1 , Bk−1 )} + n ε < ε N → B N → ∞ Do đó, bổ đề với k + 1, hay Vậy, ta có Bk+1 k với k Từ Bổ đề 2.2.1, Bổ đề 2.2.8 từ Định lý 2.2.5 ta có kết sau, mà dùng để xác định tập bất hệ hàm lặp đếm suy rộng 2.2.13 Định lý ([6]) Giả sử A tập bất biến hệ hàm lặp đếm suy rộng S = (X, (wn )n ), AN tập bất biến hệ hàm lặp đếm suy rộng riêng SN = (X, (wn )N n=1 ) B0 , B1 ∈ K(X) tùy ý Khi đó, ta có i) AN → A N → ∞ tức lim h(AN , A) = N →∞ ii) A = lim Bk với Bk = F (Bk−1 , Bk−2 ) với k k→∞ Tương tự hệ hàm lặp ta có kết sau 2.2.14 Bổ đề ([6]) Giả sử B0 , B1 ∈ K(X) mà B0 ⊂ B1 ⊂ FN (B0 , B1 ) với N N Xét dãy (BkN )k,N với B0N = B0 , B1N = B1 Bk+1 = N ) với k, N FS (BkN , Bk−1 33 k+1 Khi đó, ta có Bkk ⊂ Bk+1 A = lim Bkk = k→∞ Hơn nữa, dãy (AN )N tăng A = k Bkk AN N Chứng minh Với N N 1, quy nạp dễ chứng minh BkN ⊂ Bk+1 với k Ta có AN = lim BkN = k→∞ BkN k Rõ ràng ta có BkN ⊂ BkN +1 với k, N Suy AN ⊂ AN +1 Vậy A = lim BkN = k→∞ BkN k 1N Do (Bkk )k dãy tăng A = lim Bkk = k→∞ Bkk k 34 kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày dm - mêtric khơng gian tích X m , mêtric Hausdorff h, mêtric Hausdorff h2 tính chất, hệ hàm lặp trình bày chứng minh chi tiết tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp suy rộng, hệ hàm lặp đếm suy rộng ví dụ minh họa Đồng thời trình bày chứng minh chi tiết xấp xỉ tập bất biến qua hệ hàm lặp đếm suy rộng Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chưa trình bày hay chứng minh vắn tắt, chẳng hạn Mệnh đề 1.1.2, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.1.9, Bổ đề 2.1.4, 2.1.9 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Banrsley (1998), Fractals everywhere, Academic Press, New York [2] P Jaros, L Maslanka, F Strobin (2010), Algorithms generating images of attractors of generalized iterated funtion systems, Mathematics Subject Classification Primary: 28A80 ; Secondary:37C25, 37C70 [3] A Mihail (2008), Recurrent iterated function systems, Rev Roumaine Math Pures Appl., 53 , 1, 43-53 [4] A Mihail, R Miculescu (2008), Applications of Fixed Point Theorems in the Theory of Generalized IFS, Fixed Point Theory Appl, Volume 2008, Article ID 312876, 11 pages, doi:10.1155/312876 [5] A Mihail (2008), The shift space of a recurrent iterated function systems, Rev Roum Math Pures Appl, 4, 339–355 [6] A Mihail, R Miculescu (2010), Generalized IFSs on Noncompact Spaces, Fixed Point Theory Appl, Volume 2010, Article ID 584215, 15 pages doi:10.1155/584215 [7] N A Secelean (2011), Generalized Countable Iterated Function Systems, Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nis, Serbia, 1, 21-36 [8] N A Secelean (2014), Generalized iterated function systems on the space l∞ (X), J Math Anal Appl, 410, 847–858 ... 1.2 Hệ hàm lặp tồn tập bất biến 15 Sự tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp 18 2.1 Sự tồn tập bất biến hệ hàm lặp suy rộng 18 2.2 Sự tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp đếm suy... h2 tính chất, hệ hàm lặp trình bày chứng minh chi tiết tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp suy rộng, hệ hàm lặp đếm suy rộng... X tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp Đồng thời, chúng tơi trình bày xấp xỉ tập bất biến 2.1 Sự tồn tập bất biến hệ hàm lặp suy rộng 2.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ hàm