Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, biết rằng hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các th[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,5 điểm) Cho hàm số y= x −1 x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A là giao điểm (C) với trục hoành Câu (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f ( x ) x x trên đoạn [0; 4] Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình z − z +1=0 trên tập số phức b) Giải bất phương trình log ( x −3)+ log ( x − 1) ≤ 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I =∫ x ( x + ln x )dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (5 ; −2 ; 3) , B (1; ; 3) , C(1; − 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 1;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A=sin3 α +sin2 α , biết cos α +7 sin α =0 b) Trong kì thi THPT quốc gia, hội đồng thi X, trường THPT A có thí sinh dự thi Tính xác suất để có đúng thí sinh trường THPT A xếp vào cùng phòng thi, biết hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, phòng thi có nhiều thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA Góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA và CD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I( √ −2 ; ), BC = 2AB, góc BAD = 600 Điểm đối xứng với A qua B là E ( 2;9) Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành ABCD biết A có hoành độ âm Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x + √ x+ 2+5 ≤ √ ( √ x +2+ x ) √ x − x+3+ x Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức P=(a+b +c) −b 3b−c 3c−a + + ( 3aa+ab b + bc c +ca ) 2 HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2) THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Câu Câu (1,5 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) ¿ R {1 1) Hàm số có TXĐ: D = ¿ 2) Sự biến thiên hàm số: a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: x → 1+¿ y =+ ∞ * lim y=− ∞; lim nên đường thẳng x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →1 − 0,25 0,25 ¿ y= lim y =2 nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số * xlim →+∞ x →− ∞ b) Bảng biến thiên: −1 <0 , ∀ x ≠ Ta có: y '= ( x − )2 Bảng biến thiên: x - + y’ + 0,25 y - * Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ; ) và ( 1; +∞ ) 3) Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung (0 ; 1) và cắt trục hoành điểm ( 12 ; 0) + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y 0,25 O x b) (0,5 điểm) ( 12 )=− Tiếp tuyến (C) A có phương trình: y=− ( x − )+ ⇔ y=− x +2 Do Câu (0,5 điểm) A=(C)∩Ox nên A ( 12 ;0) , y' f '( x) 4 x3 x , f '( x) 0 x3 x 0 x 0, x 1, x=−1 (loại) Ta có: f(0) = 3, f(1) = 2, f(4) = 227 max f ( x) f (4) 227, f ( x) f (1) 2 [0;4] Vậy [0;4] 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Câu (1,0 điểm) a) (0,5 điểm) Phương trình có √3 i ¿2 Do đó phương trình có hai nghiệm Câu (1,0 điểm) 0,25 Δ=1− 4=− 3=¿ 3 z= + √ i , z= − √ i 2 2 b) (0,5 điểm) Điều kiện xác định: x> log ( x −3)+ log ( x − 1) ≤ ⇔ log [(x −3)(x − 1)]≤ ⇔( x −3)( x − 1) ≤ ⇔ x − x −5 ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤5 Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình là S=¿ 2 x4 15 x ( x + ln x )dx=∫ x dx+ ¿∫ x ln x dx= ¿ 1+ I 1= + I 4 1 0,25 0,25 0,25 0,5 I =∫ ¿ ¿ u=ln x dv=xdx ⇒ dx x x v= ¿ du= Đặt 0,25 Câu (1,0 điểm) Câu (1,0 điểm) x ln x x x2 ⇒ I 1= ¿1 −∫ dx=2 ln2 − ¿1=2 ln 2− 4 ¿{ ¿ 15 Vậy I = +2 ln 2− =2 ln2+3 4 ⃗ AB=(− ; ; 0), ⃗ AC=(− ; ; − 4) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ⃗n= [⃗ AB , ⃗ AC ]=(− 16 ; −16 ; 16) Do đó (P) có phương trình: −16 ( x −5)−16( y+ 2)+16( z −3)=0 ⇔ x + y − z=0 |2− 1− 3| = Mặt cầu (S) có bán kính R=d (I ;( P))= √ 1+1+ √ z − 3¿ = (S) có phương trình y +1 ¿2 +¿ x − ¿2+¿ ¿ a) 0,5 điểm cos α+7 sin α =0 ⇔ 2(1− 2sin α )+7 sin α=0 ⇔sin α =− ,sin α=2 (loại) 2 A=sin3 α +sin α =3 sin α − sin α + sin α (1− sin α ) 29 1 2 29 ¿3 − −4 − +4 − 1− − =− Vậy A=− 64 4 4 64 b) 0,5 điểm Số cách xếp ngẫu nhiên thí sinh vào 10 phòng thi là |Ω|=105=100000 Gọi B là biến cố đã cho Có C35 cách chọn thí sinh số thí sinh trường A và có 10 cách chọn phòng thi cho thí sinh đó Ứng với cách chọn trên ta có 9.9 cách chọn phòng thi cho thí sinh còn lại ( ) ( ) ( )[ ( )] 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Câu (1,0 điểm) C53 10.9.9 8100 Do đó số cách xếp thí sinh thỏa mãn điều kiện đề bài là B |ΩB| 8100 81 Xác suất cần tìm là: P( B)= = = |Ω| 100000 1000 Theo bài thì ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD nên AC ⊥ CD Do SH ⊥(ABCD) nên SH ⊥ CD , từ đó ta có CD ⊥(SAC) Do đó góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SCH SCH 60 S K A D O H x Câu (1,0 điểm) B AC=√ AD −CD 2=a √ 2 a √3 ⇒HC= AC= 3 SH=HC tan 60 =2 a Gọi O là trung điểm AD, a √3 đó S ABCD=3 S AOB= Thể tích khối chóp S.ABCD là V S ABCD = SH S ABCD 3 a √ a3 √ (đvtt) ¿ a = 0,25 0,25 C Kẻ đường thẳng Ax song song với CD, gọi (P) là mặt phẳng chứa SA và Ax, đó AC // ( P) Suy d (CD ; SA )=d ( CD ,( P))=d (C ,(P))=3 d (H ,( P)) (Do CA = 3HA) Ta có AC ⊥ CD nên HA ⊥ Ax mà SH ⊥ Ax suy Ax ⊥(SAH) Từ H kẻ HK SA ( K ∈SA ¿ , đó Ax ⊥ HK ⇒ HK ⊥( P) nên HK=d ( H ,( P)) 1 13 a 13 a = + = ⇒ HK= √ AH= AC= √ ; 2 13 3 HK AH SH a a √ 13 Vậy d (SA , CD)= (đvđd) 13 Đặt AB=m ⇒AD=2 m E 2 2 Ta có BD AB AD AB AD cos 60 3m BD m C Do đó AB 2+ BD2=AD2 nên tam giác ABD B vuông B, nghĩa là IB ⊥ AE I m m2 IE2=IB2+ BE2= √ +m 2= A D √ ¿2 + 42=28 Mặt khác nên ta có IE2=¿ m √3 m2 =2 √ =28 ⇔m=4 ⇒ IB= Gọi ⃗n=(a ; b) là vectơ pháp tuyến AB ( a2 +b 2> ¿ đó AB có phương trình a(x +2)+b( y − 9)=0 ⇔ax + by+ 2a − b=0 ( ) 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) √ a − b ¿2 =12(a2 +b 2) |2 √ a − b| Ta lại có d ( I , AB)=IB ⇒ =2 √3 ⇔ ¿ √ a2+ b2 ⇔b (b − √ a)=0 ⇔ b=0 , b=4 √3 a +) Với b = 0, chọn a = 1, đó AB có phương trình x+2=0 , suy IB có phương trình y − 5=0 Do B=AB∩ IB nên B (−2 ; 5) , mà B là trung điểm AE nên A (− 2; 1) (thỏa mãn điều kiện x A <0 ) Do I là trung điểm AC và BD nên ta suy C (4 2;9), D (4 2;5) +) Với b=4 √ a , chọn a = ⇒b=4 √3 , đó AB có phương trình x+ √ y +2− 36 √3=0 , suy IB có phương trình √3( x −2 √ 3+2)−( y −5)=0 ⇔ √ x − y +8 √ −19=0 16 √ 3− 14 59 ; Do B=AB∩ IB nên B , mà B là trung điểm AE nên 7 32 √ 3− 14 55 A ; (không thỏa mãn điều kiện x A <0 ) 7 Vậy A (− 2; 1), B(− 2; 5) , C (4 2;9), D (4 2;5) ( ( Câu (1,0 điểm) ) 0,25 0,25 ) Gọi bất phương trình đã cho là (1) Điều kiện xác định: x ≥ −2 (1)⇔ √2 ( √ x+2+ x ) √ x2 − x +3 − ( √ x+ 2+ x ) ≥ x −2 x+5 ⇔ ( √ x +2+ x ) ( √2 x − x +6 −1 ) ≥ x −2 x+5 ⇔ ( √ x +2+ x ) ( x − x +6 −1 ) ≥(2 x − x +5)( √ x − x +6+1 ) ⇔ √ x+ 2+ x ≥ √2 x − x +6+1 (Do x −2 x+5> 0, ∀ x ∈ R ) x −1 ¿2 +2( x +2) (2) 2¿ ⇔ √ x+ 2+ x −1 ≥ √¿ Đặt a=√ x +2 , b=x −1(a ≥0) , (2) trở thành a+b ≥ √ a2 +2 b2 ⇔ a+b ≥ 2 a+b ¿ ≥ 2a + 2b ¿ ⇔ ¿ ¿ a+ b ≥ ¿ ¿ a− b ¿2 ≤0 ¿ √ x+2=x −1 ⇔ x −1 ≥ x − 1¿ ¿ ⇔ Do đó ta có ¿ ¿ ¿ x ≥1 ¿ x +2=¿ 3+ √13 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x= 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử a+b +c=k> , đặt a=kx ,b=ky , c=kz ⇒ x , y , z> và x+ y+ z=1 k (3 x − y ) k (3 y − z ) k (3 z − x ) x − y y − z z − x + + = + + Khi đó P=k 2 k ( x + xy) k ( y 2+ yz) k ( z 2+ zx) x 2+ xy y 2+ yz z 2+ zx x −(x + y ) y −( y + z) z −( z + x ) 4 ¿ + + = − + − + − x ( x+ y) y ( y+ z ) z (z + x) x+ y x y+z y z+x z 4 x −1 y −1 z − ¿ − + − + − = + + − z x − x y − y z x − x y − y z − z2 [ ] Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên b+ c> a⇒ y+ z> x ⇒1 − x > x 1 ⇒ x < , tức là x ∈ ; Tương tự ta có y , z ∈ ; 2 5t−1 ≤ 18t −3 (*) đúng với t ∈ ; Ta chứng minh 2 t−t 3t −1¿ ¿ t −1 (2 t −1)¿ − 18 t+3 ≤ Thật vậy: (∗)⇔ (**) t −t 18 t − 21t + t −1 ⇔ ≤0⇔¿ t−t 1 (**) hiển nhiên đúng với t ∈ ; Do đó (*) đúng với t ∈ ; 2 Áp dụng (*) ta P≤ 18 x − 3+18 y − 3+ 18 z −3=18( x + y + z)−9=9 Dấu “=” xảy x= y=z = ⇔a=b=c Vậy P đạt giá trị lớn a=b=c HẾT ( ) 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,25 0,25 0,25 (7)