Đang tải... (xem toàn văn)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 5 x 3 ..[r]
(1)ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Định nghĩa đạo hàm điểm · Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b): f '(x ) lim f(x) f(x ) x x x x0 y = x x lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) ) Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa hình học: + f¢ (x0) là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) + Khi đó phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) Qui tắc tính đạo hàm *(C)' = v¢ * (xn)¢ = n.xn–1 * (x)¢ = *(uv)¢ = u¢v + v¢u nÎN n 1 u ¢ u¢v v¢u v2 * v (v ¹ 0) * M x ;f(x ) M x ;f(x ) ¢ x x *(ku)¢ = ku¢ là: * (u ± v)¢ = u¢ ± ¢ v¢ v (v * v ¹0) · Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: y¢x y¢u.u¢x LOẠI : ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA : PP: Giả sử cần tính đạo hàm hàm số y =f(x) điểm x 0.Ta thực bước : +Bước Cho số gia Δ x điểm x0 , tính số gia Δ y = f(x0+ Δ x) – f(x0) x +Bước Tìm tỷ số y Δy Δy Kết luận f/(x0)= lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau các điểm: +Bước3 Tính giới hạn lim 1) f(x) = 2x2 + 3x + t¹i x = 2) f(x) = 2x - t¹i x = Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau(Tại điểm x tựy ý thuộc tập xỏc định): 2x - 3 1) y = 5x – 2) y = 3x2 – 4x + 3) y = x - 4) y = x + 5) y = x3 + 3x – LOẠI : ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC : v Bảng các đạo hàm: Hàm số thường gặp (x ) = n.x / 1 x (x ¹0 ) x / x x (x >0) n / n-1 Hàm hợp (u ) = n.u u / u/ 1 u (u ¹0) u / u/ u u (u>0) n / / n -1 ( sinx)/ = cosx (cosx)/ = - sinx 1 tan x k (tanx)/ = cos x (x ¹ ;k Î Z) (1 cot x ) / (cotx) = sin x (x ¹k ; kÎ Z) ( sinu)/ = u/ cosu (cosu)/ = - u/ sinu u/ u / (1 tan u ) k (tanu)/ = cos u ( u¹ ;k Î Z) / u u / (1 cot 2u ) / sin u (cotu) = (u ¹ k ;k Î Z) (2) ¯ Một số công thức bổ sung: sin x ' sin x 1) ab / 3) cd ax b cx d cx d ; cos x ' sin x 2) / ax bx c dx e 4) ; ab ac ad x 2 x 0d 0e de dx e Bài :Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y 2x x 2 x b) 2 d) y (x 1)(x 4)(x 9) y 2x g) y x 2 x x x y x x2 y x x2 i) x 3x y x k) (x 1)2 a) y (x x 1) y (x 1) d) e) Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y 2x 5x y 4x x2 x2 x f) l) f) x3 x 2x2 x2 2x y 2x d) y (x 2) x c) y x x y y b) y (1 2x ) (x 2x 5)2 e) f) g) Bài 4:Tính đạo hàm các hàm số sau: sin x y cosx a) x 1 1 x 3 b) y x x y f) 2x y 3x h) y e) y (x 3x)(2 x) Bài : Tính đạo hàm các hàm số sau: 2x y x c) c) y (x 2)(1 x ) h) y (x 2)3 i) y 2x y sin x 2x b) y x.cos x c) y sin (2x 1) d) y cot 2x y tan 2x tan3 2x tan 2x g) h) y 2sin 4x 3cos 5x e) y sin x LOẠI 3: ĐẠO HÀM CẤP CAO PP: Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: Baøi 1: y(n) (y n )/ Cho hàm số f(x) 3(x 1)cos x a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''(), f '' ,f ''(1) 2 Baøi 2: Tính đạo hàm các hàm số đến cấp ra: a) y cos x, y''' e) y xsin x, y'' b) y 5x 2x 5x 4x 7, y'' f) y x tan x, y'' c) y x , y'' x4 g) y (x 1) ,y'' d) y 2x x , y'' y , y(5) i) x LOẠI 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ BÀI Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) Î (C) là: y y f '(x )(x x ) BÀI Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k BÀI Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến(d)song song với đường thẳng cho trườc BÀI Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến(d) vuông góc với đường thẳng cho trườc BÀI Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước (3) Bài : Cho hàm số (C): y f(x) x 2x Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp các trục tọa độ y f(x) x x2 x (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua M(2; 4) y f(x) 3x 1 x (C) Bài 2:Cho hàm số b) Viết phương trình ttiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - Bài 3:Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung y x 100 d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – = Bài 4:Cho hàm số (C): y x 3x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh các tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài 5:Cho hàm số (C): y x x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = Baøi 1: b) Song song với đường thẳng x + 2y = LOẠI 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM Giải phương trình f '(x) 0 với: a) f(x) 3cos x 4sin x 5x d) f(x) sin x f(x) sin3x cos 4x cos6x cos3x 3(cosx e) f(x) 1 sin( x) cos 3 x f) sin x) f(x) sin 3x Baøi 2: Giải PT : f '(x) g(x) với: a) g(x) sin 6x x f(x) 2x cos2 g(x) x x sin x Baøi 3: Giải bất phương trình f '(x) g'(x) với: c) f(x) sin x cos x b) f(x) cos x sin x 2x f(x) sin3 2x b) g(x) 4 cos2x 5sin 4x f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 x2 c) a) f(x) x x 2, g(x) 3x x b) Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x Î R: f '(x) với f(x) mx3 3x mx f '(x) với f(x) mx3 mx (m 1)x 15 a) b) Bài Chứng minh các hệ thức sau đúng với các hàm số ra: x y x4 2y¢2 (y 1)y'' y 2x x y y'' 0 y xsin x y x tan x 2 a) xy'' 2(y' sin x) xy 0 b) c) x y'' 2(x y )(1 y) 0 d) Bài Chứng minh các hàm số sau thỏa mãn hệ thức b) y x sin x ta có a ) y cos 3x ta có 18(2y-1) y // 0 xy // xy 2( y / sin x) c) y x sin x ta có xy // -y / xy-3x cosx 0 d ) y x cos x ta có xy-2(y / cos x) xy / / 0 (4) Bài CM phương trình sau luơn cĩ nghiệm với m Ỵ R: f '(x) 0 với f(x) x3 (m 1)x (m 3)x 3 a) b) f(x) x (m 2)x (m 6)x 5m Baøi Tìm m dể phương trình sau luôn có nghiệm phân biệt : a) f '(x) 0 với f(x) x3 (m 2)x (m 2)x 3 b) f '(x) 0 với f(x) mx (m 3)x (m 2)x m ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ Câu 1: Cho hàm số f x 2x x2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho điểm có hoành độ x0 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đ t y 5 x Câu 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 x x4 x2 ; b) y 1; c ) y sin x sin 3x; d ) y 3x x x 2x 3 Câu 3: Cho y x x mx a) Khi m = 0, giải bất phương trình y¢ b)Tìm m để y¢ 0, x Î a) y Câu 4: tan x y tan x , chứng minh y¢ cos x Cho hàm số ĐỀ b) y x2 2x ; x Câu 1: (2 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y x x 1; ¢ Câu 2: (2 điểm) Cho y x 3x mx Khi m = 0, giải bất phương trình y Câu 3: (2 điểm) Cho (C): y x 3x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)tại điểm có hoành độx = - Câu 4: (2 điểm) Cho ( C) : y= f x 2x x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C),biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 5 x f(x) x3 (m 1)x (4 2m)x Chứng Câu 5: (2 điểm) Cho hàm số: minh f '(x) phương trình : luôn luôn có nghiệm phân biệt với x Î R: ĐỀ 2x f x x2 Câu 1: Cho hàm số a.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho điểm có hoành độ x0 b.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 5 x (5) Câu 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 x x4 x2 a) y ; b) y 1; c) y sin x sin 3x; 2x 3 Câu 3: Cho y x 3x mx a.Khi m = 0, giải bất phương trình y¢ d ) y 3x x x b.Tìm m để y¢ 0, x Î tan x y tan x , chứng minh y¢ cos x Câu 4: Cho hàm số (6)