De thidap an Thi hoc sinh gioi toan tinh Binh dinh 2016

Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề chính thức.. Hạ AH vuông góc với BC.[r]

Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề chính thức THCS Tây Sơn KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Ngày thi: 18/3/2016 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1: (5,0 điểm) 1 1 1 1            2 3 4 2015 2016 b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x2 +1=y2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình x2 +ax+b+1=0 với a,b là tham số  x1  x  Tìm giá trị a,b để pt trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn điều kiện:  3  x1  x  Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4a 9b 16c P   bca a cb a bc Bài 4: (9,0 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn K ( K  A) Hạ AH vuông góc với BC a) Đặt AH =x Tính diện tích S tam giác AHK theo R và x Tìm x cho S đạt giá trị lớn a) Tính tổng: T   AH  HK Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy góc nhọn xOy hai điểm M, N luôn thỏa hệ thức   Chứng tỏ d luôn qua điểm cố định OM ON HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (5,0 điểm) b) Tính góc B tam giác ABC, biết a) Tính tổng: Với a.b.c  và a+b+c=0 ta dễ dàng chứng minh: T  1   1 1 1      Do đó: a b c a b c 1 1 1 1            2 3 4 2015 2016 1 1 1 1 1 1  2   2   2     2 2  3   4   5  2015  2016 2 1 1 1 1 1 1             3 4 5 2015 2016 1   1   1   1              1     1     3   4      2015 2016  1 1 1 1 1 1007  1.2014           2014    2014 3 4 2015 2016 2016 1008 2 b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x +1=y (1) Cách 1: (1)  y2 –x2y-2x2 -1=0 (*), xem đây là pt bậc hai ẩn y, ta có:   ( x )2  4(2 x  1)  x  x   ( x  4)  12 ĐK cần để pt có nghiệm y nguyên là   k (k  N )   k  ( x  4)2  12  k  ( x  4)2  k  12   x   k   x   k   12 : Vì k  N nên x2+4-k < x2+4+k ; x2+4-k và x2+4+k có cùng tính chẵn, lẻ; đồng thời x2+4-k và x2+4+k cùng dấu mà x2+4+k >0 nên x2+4-k và x2+4+k cùng dương Phan Hòa Đại Trang Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh THCS Tây Sơn  2 x   x  x  x   k  Suy ra:     (TMDK ) x   k  k   2k  k   2  b    y   1   2a 2.1 Với x=0, ta được:   k  =>pt(*) có hai nghiệm  :  y  b        2a 2.1 Vậy pt đã cho có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1) Cách 2: Thay y=-2, ta 1= không thỏa mãn , nên x=2 không phải là nghiệm pt - Vậy x  -2 : Ta có (y+2)x +1=y   y   x   y 2 2 y2 1 x   y2 y2 y2  Z  y   3; 1;1;3  y  5; 3; 1;1 y2 Lần lượt thay y -5;-3;-1; ta đươc: hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1) Ta có: x  Z  Bài 2: (3,0 điểm) Ta có: Pt(1) có hai ngiệm phân biệt x1;x2     a  4b   Khi đó:  x1  x 2  4x1x    x1  x 2  4x1x   x1  x   x1  x         3 2  x1  x   x x   x  x x  x  x x       x1  x     2  x1  x   x1x        b  3   a   4(b  1)  3b  9 b  3 a  4b  13 a       (TMDK)   b  3 a  b  a  a  b   a   (b  1)    a  1 Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác yz  a  x  b  c  a     y  z  9(z  x) 16  x  y   zx Đặt:  y  a  c  b   b  : Ta được: P      2 x y z  z  a  c  b    xy  c   =>Theo BĐT Cô- Si cho hai số ko âm, ta có: P   y  z  9(z  x) 16  x  y    4y 4z 9z 9x 16x 16y             2 x y z x y y z z   2 x  4y 9x   4z 16x   9z 16y             x y   x z   y z  : 4y 9x 4z 16x 9z 16y      12  26 x y x z y z  4y 9x x  y   2y  3x 7 7  4z 16x    z  2x  z  2x  y  a  b  c Vậy:Pmax=26  a  b  c Dấu “=” xảy    z 6 x 3z  4y  9z 16y  y  z  Bài 4: (9,0 điểm) *Chú ý: Bài này có trường hợp , AB<AC; AB=AC; AB>AC, -Nếu AB=AC: Thì điểm A,H, K thẳng hàng => Ko tồn tam giác ABC, Và KH=HK => Cả câu a,b ko thể có AB= AC Vậy AB  AC -Vì vai trò bình đẳng AB, AC nên ta giả sử AB <AC, còn trường hợp AB< AC thì tương tự a) Xét trường hợp AB<AC: Phan Hòa Đại Trang Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh THCS Tây Sơn Đặt AH =x Tính diện tích S tam giác AHK theo R và x Tìm x cho S đạt giá trị lớn Dễ dàng chứng minh: OI  BC và AK là phân giác góc HAO Gọi I là giao điểm AK với BC Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có: IH AH IH AH A    IO OA OH OA  AH AH x x R  x Rx 2  IH  OH  OA  OH   x OA  AH Rx Rx Rx 1  S AHK  S AHI  S IHK   AH HI  OK HI   HI  AH  OK  2 x B I O C H Rx  x  R  x   x R  x 2 Rx Theo BĐT Cô-Si, ta có: S AHK x2  R2  x2 R2 2  x R  x   4 K Dấu “=” xãy R2 0 x R x  x R x  x R  AOH  45  sdAB  45  S max   sdAB  450 2 2 Xét trường hợp AC<AB: Tương tự: S max  Vậy : S max  R2  sdAC  450 R2  sdAB  450 sdAC  450 b) Tính góc B tam giác ABC, biết: AH  HK :Ta có: Xét trường hợp AB<AC: AH  HK AH R2 R 2 2 2    5AH  3HK  R  OH  R  OH  OH   OH  H     HK là trung điểm OB   OAB cân A   OAB  ABC  600 AH  Xét trường hợp AC<AB: Tương tự HK R2 R  OH   OH   H là trung điểm OC   OAC cân A   OAC  ACB  600  ABC  300 -Trên tia Ox lấy điểm I cho OI = 1, vẽ đường thẳng qua I , song song với Oy cắt NM K, ta có: y IK IM OM  OI OI OI IK    1   1 ON OM OM OM OM ON N (vì OI=1) IK 1 IK K      1 OM 2OI ON OI OM ON IK Lại có: =1=> IK=2   Suy O I OM ON M Ta có I nằm trên tia Ox và OI=1 => I cố định => Tia IK //Ox, nằm góc xOy cố định => Tia IK cố định, mà K nằm trên tia IK và IK=2 => K ccố định d luôn qua điểm cố định K Phan Hòa Đại Trang x