Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Sóc Trăng năm 2018 - 2019

a) Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể bằng 2019. Sau nhiều lượt đổ nước vào bể, nhưng An không nhớ mình đã xách mỗi loại thùng trên bao nhiêu lần.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SĨC TRĂNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019

MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu Cho biểu thức  

2

1

1

P x x

x x

   

 

a) Rút gọn P b) Tìm xđể P2  2 1 x4 x2 Câu

a) Chứng minh tổng chữ số số phương khơng thể 2019

b) Nhà bạn An có bể chứa nước hình trụ có chiều cao h1mvà đường

kính mặt đáy(khơng kể bề dày thành bể) d 40 dm



 Ban đầu bể

khơng có nước, An sử dụng thùng để xách nước đổ vào bể, thùng lại lít, thùng loại lít Sau nhiều lượt đổ nước vào bể, An không nhớ xách loại thùng lần Em tính giúp xem An xách loại lần ? Biết thùng luon đong đầy trước đổ vào bể chứa

Câu

a) Tìm mđể phương trình 2x2 m1x180có hai nghiệm thực phân biệt

1;

x x cho biểu thức Qx12 4x22 25đạt GTNN

b) Giải hệ phương trình

2

4

2

xy x y

x y x y x y

   



   

Câu Cho tam giác ABC.Trên tia đối tia CBlấy điểm Dsao cho

0

15

CAD Đường thẳng vng góc với BCtại C cắt ADtại E Tia phân giác góc B cắt ADở K Chứng minh AKED

Câu Cho tam giác ABCvng cân Acó AHlà đường cao Trên đoạn HClấy điểm M M( khác H C) Gọi ,I J chân đường vng góc kẻ từ M đến

các cạnh ACvà AB N, điểm đối xứng M qua IJ

a) Chứng minh ABCNnội tiếp đường tròn  T

b) Kéo dài AM cắt đường tròn  T P(P khác A) Chứng minh

1 1

PM  PB PC

c) Gọi Dlà trung điểm AH,kẻ HKvng góc với CDtại K Chứng minh

ĐÁP ÁN Câu     2 2

) 1

1 1 1 1

2 1

2

1 1

2

1

a P x x

x x x x x

x x

x x x

x x                             b)Ta có:

2 4

2 1 1

P    x x    x  x x     x x x

 2 4 2 2   2

1 1 2

5 ( )

x x x x x x x x x

x tm

            

 

Câu

a) Ta biết tổng chữ số số tự nhiên có số dư với số tự nhiên chia cho Mà số phương chia cho có số dư 0;1;4 Nhưng 2019 chia cho dư Do tổng chữu số số phương khơng thể 2019

b) Ta tích bể  

2

3

1 40

.10 100

V Sh  dm



 

    

  =100 lít

Gọi ,x ytheo thứ tự số lượt đổ thùng loại lít lít vào bể ĐK: ,x y * Theo tốn 4x7y1007y 4 y

Mặt khác 7y100 4 x96  4 y 12

4 18 11 12 y x y x y x               Câu

a) Vì 2.18  36 0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với m

Theo Vi-et

1 2 m x x x x          

   2    2

2 1

2x 5x 181 2x 5x 181 20 x x 181 180 181 361

         

Do GTNNcủa Qlà 361 Đạt khi:

1

2

1 2

1

1

1

3 10 10

2 5 5 2

9

9 3 10 3 10

5

1 10 10

2 10

1 10 10

2 10

x x

x x x x

x x x x

x x

m

x x m

m

x x m

                                                  

b) Hệ phương trình  

 

2

4

1 0

0

1

x y y x

y

y x x x

    

 

  

   

 Áp dụng BĐT Cosi:

Từ  

2 2 2 2 2 y y

x y y x y x y

y y

       

  

4 2

1

y x x   x

3

4 3 4 2

3

1 3 .1

x x

y x y x

x x x x

       

Do x y,ta có  

  

3

2

5 3 2

1

2

1

3 1 1 0

y y

y y y y x

y x

y y y y y y y

                          

Câu

Ta có ACBCDAADCADC600 150, suy CDEvng cân

Đường thẳng qua Evng góc với CE cắt đường thẳng qua D vng góc với CD F Suy tứ giác CDFElà hình vng, suy ADlà trung trực CF

KC KF KCF

    cân

Mặt khác BKlà trung trực ACnên KAKC KACcân

Do    0  0

180 60 15 45 60

KCF ACD ACK DCF     

KCF

  KCCFED Do AK ED

K

F E

A

Câu

a) Ta có tứ giác AIMJ hình chữ nhật AIMJ nội tiếp đường trịn đường kính AMvà IJ

Vì Nđối xứng với M qua IJnên JNI JMI 900hay N thuộc đườn trịn đường kính AM IJ  ANM 900 Mặt khác I thuộc trung trực MN nên

MIC

 vuông cân I nên thuộc trung trực MC, suy Ilà tâm đường tròn

ngoại tiếp MNC

1

45

MNC MIC

   Do 0 0

45 90 45 180

ABC ANC   

Hay ABCNnội tiếp đường tròn  T

K D

P

N

I J

H

C B

A

b) Ta có: MPC MBA PM PC PM MB (1)

MB BA PC BA

     

(2)

PM PB PM MC

MBP MAC

MC CA PB CA

      Cộng (1), (2) vế theo vế:

1 1

1

PM PM MB MC MB MC AC

PC  PB  BA  CA  BA  BA  BA   PC  PB  PM

c) Áp dụng hệ thức lượng ta có: DH2 DK DC DA2 DK DC

0

45

DA DK

DKA DAC AKD DAC

DC DA

       

0 0

45 45 90 180

ABH AKH

      ABHKlà tứ giác nội tiếp

0

90

AKB AHB HKC