Ngời ta thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang h×nh qu¹t liÒn kÒ nhng theo 2 chiÒu ngîc nhau nÕu mét viên ở một hì[r]
(1)Phßng gi¸o dôc quËn T©y Hå đề thi học sinh giỏi lớp N¨m häc 2010-2011 Trêng THCS Chu V¨n An M«n thi : Ngµy thi: Thêi gian lµm bµi: To¸n 27/9/2010 120 phót C©u (6 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A=( x+ xy + x + − 1) xy+1 xy − : ( x+1 xy+ x − +1) xy+1 xy − a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu x=√ 14+6 √ , 5− √5+1 y= √ c) Cho x+ y=√ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u (6 ®iÓm) a) Cho x lµ sè tháa m·n √ x2 −2 x+ 25− √ x −2 x+ 9=2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B= √ x2 −2 x+ 25+ √ x −2 x+ b) Tìm số tự nhiên n để √ n2 +91 còng lµ sè tù nhiªn Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc A, đờng cao AH a) Gi¶ sö BH=3cm;AC=2cm TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC? b) Gi¶ sö BH=AC, trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC c¾t AH t¹i I Chøng minh CI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB C©u (2 ®iÓm) Chia mét h×nh trßn thµnh 10 h×nh qu¹t b»ng nhau, hình quạt đặt viên bi (hình vẽ) Ngời ta thực phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì có bi chuyển từ hình quạt đó viên bi sang h×nh qu¹t liÒn kÒ nhng theo chiÒu ngîc (nÕu mét viên hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hå th× viªn bi ë h×nh qu¹t chuyÓn theo chiÒu ngîc l¹i) Hỏi sau số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất các viên bi vào hình quạt đợc không? Vì ? kú thi häc sinh giái líp Phßng gi¸o dôc quËn T©y Hå Trêng THCS Chu V¨n An N¨m häc 2010-2011 Híng dÉn chÊm Thi m«n to¸n I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng II.Thang điểm và đáp án C©u §¸p ¸n a) Rút gọn đúng đến A=− xy b) Tìm điều kiện xác định : x -1; xy ≠± §iÓm 3,5 ® 0,5 ® (2) − √ (TM §KX§) TÝnh x=3+ √ y= Thay vào A đợc A=− C©u1 6® c) ¸p dông B§T Thay x+ y=√ x+ y ¿ ≥ xy ¿ 0,25 ® víi mäi x,y và biến đổi dẫn đến ChØ A=− xy=− 1® 0,5 ® A=− xy ≥− 0,25 ® Vµ KL : GTNN cña A lµ A =− x= y= √ 2 2 2 a) Ta cã B.2=( √ x −2 x+ 25+ √ x −2 x+ ).( √ x −2 x+ 25− √ x −2 x+ )=16 Suy B=16:2=8 C©u b) §Æt √ n2 +91=m⇒ m>n vµ (m− n)(m+ n)=1 91=7 13 ; m+n>m-n (6®) XÐt TH: m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45 m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 Thử lại đúng KL: n ∈ {3 ; 45 } a) §Æt CH=x §K: 0<x<2 AD hÖ thøc lîng: AC 2=CH CB ⇒ 22=x ( x +3) Giải PT: x 2+3 x −4=0 ta đợc x 1=− <0 loại ; 1® 0,5 ® A x 2=1(TM) D 1,5 ® M I BC=4cm; AH=√ cm ⇒S ABC=2 √ cm2 B C©u H x b) VÏ tia Ax//BC; tia BM c¾t tia Ax t¹i D, Δ MAD= ΔMCB AD=BC 1® C 6® áp dụng định lí Ta-let ta có: 2,5 ® 0,5 ® 2® (g.c.g) ⇒ AC2 IA AD BC CH AC2 CA = = = = = IH BH BH BH BH CH CH 1® 1,5 ® 0,5 ® Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác góc ACB C©u 2® Ta chøng minh kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh qu¹t -T« c¸c h×nh qu¹t b»ng mÇu ®en, tr¾ng xen kÏ (h×nh vÏ) -Tæng sè c¸c viªn bi c¸c h×nh qu¹t ®en b»ng tæng sè c¸c viªn bi h×nh qu¹t tr¾ng vµ b»ng -Theo cách biến đổi, thời điểm thì tống số viªn bi trong c¸c h×nh qu¹t ®en vµ h×nh qu¹t trắng là số lẻ -VËy kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh qu¹t( sè bi h×nh quạt đó là số chẵn) 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® (3) (4)