Đề thi tuyển sinh môn toán chuyên lê hồng phong nam định đề 1(toán chung tự nhiên) năm học 2016 2017(có đáp án)

HƯỚNG DẪN Câu 2x − y − xy + x − y = ( 1) Giải hệ phương trình:   2x + y − + − 2x = ( ) Từ (1) ⇔ ( x − y ) ( 2x + y + 1) = ⇔ x = y y = -2x – *) Nếu x = y thay vào (2) ta có: 3x − = 2x − Giải phương trình ta x = suy y = *) Nếu y = - 2x – hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2;2) Câu a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABK Ta có tứ giác AEHF hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông) Suy I trung điểm AH suy IK đường trung bình tam giác ADH suy IK//AD, mà AD vuông góc với AB suy IK vuông góc với AB Lại có AH vuông góc với BK nên I trực tâm tam giác ABK b) Tứ giác ABMK nội tiếp Vì IK đường trung bình tam giác ADH nên IK // AD IK = ½ AD IK // BC, IK = MC nên tứ giác BMKI hình bình hành suy BI//KM Lại có I trực tâm tam giác ABK nên BI vuông góc với AK KM vuông góc với AK suy tứ giác ABMK nội tiếp c) AH = BE.BD.DF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABD, đường cao AH ta có: (1) AH = DH.BH BE BH BE.BD = ⇒ BH = Ta có tam giác BEH đồng dạng với tam giác BAD suy AB BD AB DH.BE.BD Kết hợp (1) ta AH = (2) AB Chứng minh tam giác DFH đồng dạng với tam giác AHB suy ra: DF DH DF.AB = ⇒ AH = (3) AH AB DH DH.BE.BD DF.AB = BE.BD.DF AB DH ac ab bc Câu Đặt xy = a, yz = b, zx = c, ta có a + b + c = 1, x = ; y = ;z = b c a 4ac 4ac + 2ab + b + 2bc ( 2a + b ) ( 2c + b ) − b + 2( a + b + c) = = Nên 4x − yz + = b b b b c = = suy : , tương tự: ; 4x − yz + ( 2a + b ) ( 2c + b ) 4y − zx + ( 2b + c ) ( 2a + c ) a = 4z − xy + ( 2c + a ) ( 2b + a ) b c a + + Do P = ( 2a + b ) ( 2c + b ) ( 2b + c ) ( 2a + c ) ( 2c + a ) ( 2b + a ) Từ (2) (3) suy AH = Mặt khác ta có 4xy ≤ ( x + y ) nên ( 2a + b ) ( 2c + b ) ≤ ( 2a + 2b + 2c ) suy b 4b c 4c ≥ ≥ , tương tự ( 2a + b ) ( 2c + b ) ( 2a + 2b + 2c ) ( 2b + c ) ( 2a + c ) ( 2a + 2b + 2c ) ; 2 4a 4( a + b + c) ≥ =1 suy P = ( 2c + a ) ( 2b + a ) ( 2a + 2b + 2c ) ( 2a + 2b + 2c ) a + b + c 1 Dấu = xảy a = b = c = x = y = z = 3 a ≥