Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ngãi năm 2018 - 2019

Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp  AKD đi qua điểm[r]

QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC

LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN

Thời gian làm : 150 phút Bài

a) Cho a b c, , ba số nguyên thỏa mãn a  b c3 2018 c Chứng minh

3 3

Aa  b c chia hết cho

b) Tìm số nguyên dương ,x ythỏa mãn 4x  1 3y

c) Cho B1.2.3 2.3.4 3.4.5    n n 1n2với n *.Chứng minh B số phương

Bài

a) Giải phương trình : 3x2 4x 11 2x5 3x7 b) Giải hệ phương trình:

2

3 2

5

x x y y

x y x y xy

     



   

 Bài

a) Rút gọn biểu thức

 

2

2

1

x x

C x

x x

   



 với x0

b) Cho số thực a b c, , thỏa mãn a  b c 1.Tìm GTLN Dabac

c) Với , ,x y zlà độ dài ba cạnh tam giác

Chứng minh y z xz x yx y zxyz

Bài Cho tam giác ABCnhọn AB AC,đường phân giác AD D BC.Các điểm E

Flần lượt chuyển động caanhj AB AC, cho BECF.Trên cạnh BClấy điểm Pvà Q cho EPvà FQ song song với AD

a) So sánh BPvà CQ

b) Chứng minh trọng tâm Gcủa tam giác AEFthuộc đường thẳng cố định Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB2 R Gọi C trung điểm AO, vẽ tia

Cxvng góc với ABcắt nửa đường tròn (O) I Lấy Klà điểm đoạn CI(K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia Cxtại D Vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O M cắt tia Cxtại N

a) Chứng minh KMNcân

b) Tính diện tích ABDtheo R K trung điểm CI

c) Khi Kdi động CL.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AKDđi qua điểm

ĐÁP ÁN Bài

a) Ta có: a  b c3 2018c   a b c c1 c c 1 2016cchia hết cho Mặt khác a3b3c3a b c  a1 a a 1 b1 b b  1 c 1 c c1chia hết cho Do Aa3  b3 c3chia hết cho

b) Xét x  1 y

Xét x2thì 8.x Nếu ychẵn , đặt y2k k  * 1 3y  1 9k 2 mod8 , vô lý Nếu ylẻ, đặt y2k1k * 1 3y  1 3k 4 mod8 ,  vô lý

Vậy x y 1thỏa mãn tốn c) Ta có :

          

4B1.2.3.42.3.4 1 3.4.5 2  n n1 n2  n 3 n1 

    4 3 2 4 3 2  2 2

1 11 6 11

n n n n n n n n n n n n n n

               

Mặt khác:

 2

4 2

6 11 6

n  n  n  nn  n  n  n  n

 2 2  2 2

3

n n B n n

     

Do Bkhơng thể số phương Bài

a) ĐKXĐ:

x  Phương trình tương đương

     

  

2

3 3 4 7 7

3 7 7

1 7

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

             

             

       

Xét  

2

3

3

1

x x

x x x

x

    

     

Xét

 

3

3

3 7 4

2

3

x x

x x x

x                  Vậy 3;3

2

S    

 

 

b) Hệ phương trình   

  2

1

6

x y x y x y x y

   

  

  



Đặt x y a

x y b

  

  

 ta có:

  a b ab       

Nếu b  0 x y,vô nghiệm b0ta có: ab2 a 62

b

   Thế vào a1b5được

2 3 4 2 2

11 2 3 3 x x y b a

x y y

b b

x x y

b a

x y y

                                                          

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm Bài

a) Ta có

   

2

2

2

2 2

1 1

1

x x x x x

C x x

x x x

x x               1

1 1

x x

x x x

x x x x

 

         

   

 

b) Ta có:    

2

2 1

1

2 4

Da bc a a     a a a   

GTLN D

4, đạt

1

a  b c

c) Vì , ,x y zlà độ dài ba cạnh tam giác nên y z x z;  x y x;   y z Áp dụng BĐT Cơ si ta có:

  

  

  

y z x z x y z z x y x y z x x y z y z x y

    

    

    

Nhân vế theo vế BĐT ta có đpcm Bài

a) Vì AD phân giác nên BD BA BD CD

CD CA BA  CA

Lại có PF / /AD/ /QE BP BD CD CQ

BE BA CA CF

    , Mà BECFBPCQ

b) Gọi M N, trung điểm BC EF, MN đường trung bình hình thang PEFQMN / /PE/ /AD, Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định Gọi

Olà trọng tâm tam giác ABC Ta có: / /

3

AG AO

OG MN

AN  AM   mà O cố định nên G di động đường thẳng qua O

song song với MN cố định

O G

M N

Q E

F D

A

a) Ta có: KMN MBA, tứ giác BMKCcó BMK BCK 900nên nội tiếp

MKN MBA MKN KMN KMN

      cân N

b) Ta có: KAC BDC ACK; BCD ACK DCB AC KC

DC CE

      

2

4

:

2 2

R R

AC CB R R

DC R

KC



 

    

 

E

D

M I

B

C O

A

Do đó: 3.2

2

ABD

DC AB R R

S   R

c) Gọi E điểm đối xứng với B qua C Ta có CDECDBCAKnên tứ giác AKDE

nội tiếp Do đường trịn ngoại tiếp AKDcũng đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AKDE Ta có A C B, , cố định nên AE cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp AKDđi