Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ các đường cao BE và AD. Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ AK , với cạnh BC lần lượt là E và F. a) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp AE[r]
(1)THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC
LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút Câu Cho biểu thức 1 : 1
1 1
xy x xy x
x x
P
xy xy xy xy
Với ,x y0,xy1 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị Pkhi 3
4 6
x yx2 6 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,cho đường thẳng
d : m1x y 3m4và d' :xm1ym.Tìm m để (d) cắt d' điểm M cho MOx300
Câu a) Giải phương trình 3x 1 6 x 3x2 14x 8 b) Giải hệ phương trình:
3 2
2
2 2
4
x x x y x y
x xy x x y
Câu Chứng minh a b c, , độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a2 3b2 3c24abc13
Câu Cho tam giác ABCnhọn Vẽ đường cao BEvà AD.Gọi H trực tâm G trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh HG/ /BCthì tan tanB C3
b) Chứng minh t anA.tan tanB C tanAtanBtanC
Câu Cho ABCvuông A, đường cao AH Gọi I, J, K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABH ACH, , Gọi giao điểm đường thẳng AJ AK, với cạnh BC Evà F
a) Chứng minh Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp AEF
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IJKvà đường trịn ngoại tiếp ABC
có bán kính
Câu Tìm tất số nguyên dương x y z; ; sao cho 2019 2019 x y
y z
số hữu tỉ
2 2
(2)ĐÁP ÁN Câu
a) Ta có:
1 1
1
1 1 2 2 1 1
:
2
1 1
x xy xy x xy xy
P
xy xy
xy xy x xy x xy x x
x y xy xy
xy xy xy x
b) Ta có:
3 3 3
2
8 6
8
4
x x
x x xy P
Câu Từ m1x y 3m 4 y 1 m x 3m4thế vào phương trình đường thắng d' ta có:
2
1 2 (*)
x m x m m m m m x m m
Để (d) (d’) cắt M phương trình (*) có nghiệm nhất, suy 0,
m m
Khi x 3m y 1 m3m 2 3m m
m m m
Do M 3m 2;m
m m
Kẻ MHvng góc với Ox.Do MOx300nên tan tan 300
MH m
MOx
OH m
2
2
1 2
3 3 3
3
m m
m m
m m
thỏa mãn
Câu
a)ĐKXĐ: x
Phương trình
3x x 3x 14x
(3)
3 15
5
3 6
x x
x x x x
x x x x
Do x
nên 3
3x 1 4 6 x 1 x Do x5là nghiệm phương trình
b) ĐKXĐ: 3x y 0.Từ phương trình thứ ta có x2 2x y 20
Vì x2 2 0nên x y 2 xthế vào phương trình (2) ta được:
2
2
2
2 12 2 11
x x x x x x x x x
x x x x x
Đặt 4x 5 2t 3,ta có hệ phương trình:
2
2
2
2
2 3
2
t x t x
t x x t t x t x
t x x t Xét
2 2 3
4
4 ( )
2 3
x
x x
t x x x TMDK
x y Xét
2 1 2
2
2 ( )
1 1 2
x
x x
t x x x TMDK
x y
Vậy hệ phương trình cho x y; 2 3; ; 1 2;1 2
Câu
Vì a b c, , ba cạnh tam giác nên a b c c c 2c0 Đặt
2 2
2 2 2
3 3 3 3 3
P a b c abc ab ab c abc c c ab c
Lại có:
2
2
3
3
2
2 2
c c
a b c
ab ab c
(4)
2 2 2
2 2 2
2
3 2
6
3 2 27
3 3
2 2
2 2 26 2 1 1
13 13
2
c c c
c c c c
P c c c
c c c c c c c c
Dấu " " xảy a b c Câu
a) Gọi M trung điểm BC
Ta có: tan tanB C tanABD.tanACB AD AD BD CD
Xét BDHvà ADCcó: BDH ADC 90 ;0 HBDHAEnên BDH ADC
BD CD AD DH
tan tanB C AD DH
Vì HG/ /BCnên AD AM tan tanB C
DH GM
N
G
M H
D
E A
(5)b) Ta có tan tan tan tan ABC
B C
DH B C S
Tương tự ta có
tan tanC A SABC ;
và
tan tan
AHB ABC
S A B S
Do đó: 1 1
tan tan tan tan tan tan
AHB BHC CHA
ABC
S S S
A B B C C A S
Suy tanAtanBtanCtan tan tanA B C Câu
a) Ta có AECEAH CAEEAB900mà EAH EABAECCAE ACEcân Tương tự ta có BI trung trực AF suy Ilà tâm đường tròn ngoai tiếp AEF
b) Kẻ IM BCtại M MEMF.Gọi rlà bán kính đường trịn nội tiếp ABC
IM r Ta có ABFcân B, ACEcân C nên EF AB ACBC
Ta dễ dàng chứng minh AB ACBC2rsuy EF 2 r Vì CI trung trực AE nên KEC KACmà KAH KAC KAH; KFE900 KECKFE900
Hay KEFvuông K
2 EF
MK r MJ MI MK r
Câu
M F
E
K J
I
H A
(6)Đặt 2019 2019
x y a
b y z
với a b, *và a b, 1 Ta có: b x y 2019 a yz 2019
2019
0
bx ay x y a
bx ay az by zx y
az by y z b
Do 2 2 2 2 2 2 2
2
x y z xz zx y xz y x y z x z y Vì , ,x y znguyên dương nên x y z 1.Vậy x2 y2 z2là số nguyên tố thi
2 2
1
x y z x y z
x y z
x z y
Khi
2019 2019 x y
y z
2 2