Lớp cs môđun và chiều đều của môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH THIỀU THỊ QUỲNH LÊ LỚP CS- MÔĐUN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chƣơng I: Kiến thức sở 1.1 Môđun, vành noether 1.2 Môđun cốt yếu, môđun 1.3 Môđun hữu hạn sinh, CS – môđun 10 Chƣơng II : Chiều môđun CS- môđun 14 2.1 Xây dựng chiều môđun 14 2.2 Một số tính chất chiều hữu hạn 18 2.3 CS - môđun chiều hữu hạn 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N  M: N môđun M N  *M: N môđun cốt yếu môđun M N  M: N hạng tử trực tiếp môđun M A  B: Tổng trực tiếp môđun A môđun B  Tổng môđun Mi, i  I Mi: iI  Mi: Tổng trực tiếp môđun Mi, i  I iI n  Mi: Tổng trực tiếp môđun Mi, ≤ i ≤ n i 1 dimM: Số chiều mơđun M r(x): Linh hóa tử phải cuả x Soc(M): Đế môđun M Z: Vành số nguyên (là Z - môđun) Z(M): Môđun suy biến M □ : Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Khi lớp CS - môđun đời vào năm 1977 nay, lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Những năm gần số lượng báo CS - môđun lớn Đặc biệt N.V Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer người nghiên cứu đạt nhiều kết CS môđun họ viết thành sách bổ ích cho người nghiên cứu vành mơđun có tên gọi “Extending Modules” (xem 5 ) Chiều môđun hướng mở rộng chiều không gian vectơ Xuất phát từ ý tưởng dựa chủ yếu tài liệu 5 luận văn chúng tơi trình bày cách hệ thống chi tiết số vấn đề lớp CS môđun chiều môđun Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu tài liệu tham khảo Cụ thể: Chương 1: Kiến thức sở Trình bày định nghĩa môđun, noether, môđun cốt yếu, môđun đều, môđun hữu hạn sinh, CS - môđun, tính chất có liên quan đến luận văn Chương 2: Chiều môđun CS - môđun Chương chia làm hai phần: Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm chiều môđun Cụ thể phần đưa điều kiện môđun chứa môđun điều kiện để tổng trực tiếp môđun cốt yếu môđun Phần thứ hai : CS -mơđun số tính chất chiều hữu hạn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin trình bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Trong q trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo tổ Đại số trường Đại học Vinh Cũng dịp này, tác giả xin cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang thầy, cô giáo khoa Toán, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh bạn lớp cao học khoá 17 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Cuối cùng, khả nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý quý thầy giáo, cô giáo tất bạn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong toàn luận văn vành ln hiểu vành có đơn vị, khơng thiết giao hốn, mơđun mơđun phải unita (nếu khơng nói thêm) 1.1 Mơđun noether 1.1.1 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương vành R có đơn vị 1: i) Mọi dãy tăng ideal phải dừng ii) Mọi tập hợp khác rỗng ideal phải có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm iii) Mọi ideal phải R hữu hạn sinh iv) Đối với A ideal R A R/A có tính chất i) 1.1.2 Định nghĩa Vành R thoả mãn điều kiện Mệnh đề 1.1.1 gọi vành noether phải 1.1.3 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương R – môđun M: i) Mọi dãy tăng môđun M dừng ii) Mọi tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm iii) Mọi môđun M hữu hạn sinh iv) Đối với mơđun A M A M/A có tính chất i) 1.1.4 Định nghĩa Mọi R - môđun phải M thoả mãn điều kiện Mệnh đề 1.1.2 gọi R - mơđun noether phải 1.1.5 Ví dụ i) Z - môđun Z noether ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều môđun noether, không gian vectơ vô hạn chiều không môđun noether 1.1.6 Hệ Nếu môđun M tổng hữu hạn môđun noether M noether Chứng minh Giả sử M = i n A i 1 i , ta biến thành qui nạp theo n Với n = mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề với n - Khi mơđun N = i  n 1  Ai noether i 1 Ta có M/An = (N + An)/An  N/(N An) Nếu N noether N/ (N  An) noether M/An Khi M □ noether 1.1.7 Hệ Nếu vành R noether phải M R-mơđun hữu hạn sinh M noether Chứng minh Với a  M xét ánh xạ a : R M R  ar Rõ ràng a đồng cấu trúc R - mơđun Theo định lí đồng cấu mơđun ta có: R/ker a  aR Do R noether nên R/ker a noether aR noether Bây giả sử  a1, a2, , an  hệ sinh M, M = in  a1R Theo i 1 Hệ 1.1.6 ta suy M noether □ 1.2 Môđun cốt yếu, môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M R môđun N môđun M * Môđun N gọi cốt yếu M kí hiệu N* M, với môđun K  M, K  N K  * Nếu N * M M gọi mở rộng cốt yếu N * Nếu * M M = (quy ước) 1.2.2 Định nghĩa Cho R vành, R – môđun U gọi (hay uniform) U  0và A  B  môđun khác không A,B U Hay nói cách khác U U  môđun khác không cốt yếu U 1.2.3 Ví dụ * Z - mơđun Z mơđun vì: Lấy A = mZ  Z, m ≠0 B = kZ Z, k ≠ Khi đó: ≠ m.k  mZ  kZ Z - mơđun Q mơđun vì: Lấy ≠ A,B  ZQ =>  Ta có: am = bm am = an a m *  A,  B (a, b, m, n  Z ) b n a  A b m  B n Khi đó:  am  A  B * Mọi môđun khác không môđun 1.2.4 Mệnh đề Cho M R mơđun Khi ta có: i) A * M x  M, x ≠ 0, xR  A ≠ ii) Cho A  B, B  M A * M A *B B * M iii) Nếu Ai * Bi (i 1,2, ,n), Ai, Bi  M in  Ai  i 1 Ai * M in  in  Bi Đặc biệt i 1 Ai * M i 1 iv) Cho A  B, B  M Nếu B/ A  * M/ A B  * M * v) Nếu f: M   N đồng cấu mơđun A  N f -1 (A)  * M vi)Cho M =  Mi , A =  Ai Mi môđun M, i  I, Ai * Mi Khi tồn  Mi Ai*  Mi iI iI iI iI Chứng minh i) Giả sử A * M, với ≠ x  M  xR ≠ 0, xR ≠ M, hiển nhiên xRA ≠ (theo định nghĩa) Ngược lại, xR  A ≠ 0, 0 ≠ x  M Khi giả sử ≠ X  M Mà X  A = Do X ≠  x  X, X ≠ ta có: = (X A)  xR  A ≠ 0.Vô lý Vậy X  A ≠ hay A *M □ ii) Giả sử A *M Lấy ≠ X  B  X  M  X  A ≠ (do A *M) suy A *B Lấy ≠ X  M=> X  A ≠ => X  B (vì A  B) => B * M Ngược lại, giả sử A * M Lấy ≠ X  M B *M  X  B ≠ Mà (X  B)  B A * B (X  B)  A ≠  A * M iii) Lấy ≠ X  in  i 1 Bi  X Bi mà A1  * Bi  X  Ai ≠ □ 10 Do X  in  Ai ≠ Hay i 1 in Ai *  i 1 in  □ Bi i 1 iv) Lấy ≠ X  M Giả sử X  B = suy tồn X  B Ta có (X  A)/A  M/A Do B/A * M/A nên ((X  A)/A)  (B/A) ≠ Suy tồn x +a + A = b + A  b+ a’  X  B (a’  A) Vô lý Vậy X  B ≠0  B  * M v) Lấy ≠ X  M - Nếu f(X) =  X  f1 (A)  (X  f1(A)) = X ≠ - Nếu f(X) ≠ Vì A  * N  A  f(X) ≠ Do tồn a ≠ 0, a  A, a  f(X)  a = f(x) x  X, x ≠ Suy x = f1(a)  x  f1(A)  X  f1(A) ≠ Vậy f1(A)  * M □ vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp ta xét với n = Ta có M = M1+ M2, A1  * M1, A2  * M2, tồn A1  A2 Theo iii) ta có (A1  A2)  *(M1  M2) hay  *(M1  M2)  M1  M2 = Do tồn tổng M1  M2 Tiếp theo ta xét phép chiếu : 1: M1  M2  M1 2: M1  M2  M2 Do A1  * M1  1-1(A1)  * (M1  M2) ( theo V) Nhưng  1-1(A1) = A1  M2  (A1  M2)  * (M1  M2) (1) 16 2.1.2 Chiều 2.1.2.1 Định nghĩa Một môđun M vành R gọi có chiều hữu hạn khơng tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác khơng M, M gọi có chiều vô hạn trường hợp ngược lại 2.1.2.2 Mệnh đề Nếu M môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không, M chứa mơđun Chứng minh - Nếu môđun đều: Chứng minh xong - Nếu M không mơđun Khi tồn ≠ U1, U  M mà U1  U = suy (U1  U)  M - Nếu U1 môđun đều: chứng minh xong - Nếu U1 không mơđun đều, tồn V1, V2  U1, V1, V2 ≠ Mà V1  V2 = suy (V1  V2)  U1 suy tồn (V1  V2  U)  M Quá trình tiếp tục, M khơng chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không, nên trình phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy tồn môđun Uk □ 2.1.2.3 Hệ Cho R- môđun M: i) Nếu M môđun noether khác khơng M chứa mơđun ii) Cho R vành trái noether R - môđun trái khác không chứa môđun Chứng minh i) Giả sử M môđun noether mà chứa tổng vô hạn môđun khác không   A1  M Khi ta có dãy tăng thực i 1 môđun M: A1  (A1  A2)  …  n  Ai  … i 1 17 Mâu thuẫn với giả thiết M noether Do M khơng chứa tổng trực tiếp vơ hạn môđun khác không Theo Mệnh đề 2.1.2.2, M chứa môđun ii) Nếu M R - môđun trái, R vành noether trái nên R - mơđun hữu hạn sinh noether Vì với x ≠ 0, x  M, ta có Rx mơđun noether Do theo i) Rx chứa môđun Vậy M chứa môđun □ 2.1.2.4 Mệnh đề Cho mơđun M khác khơng có tính chất mơđun chứa mơđun Thế tồn môđun A tổng trực tiếp môđun A môđun cốt yếu M Chứng minh Gọi T = {  UiUi đều, Ui  M, i  I} iI Xác định quan hệ thứ tự  iI Ui   Vj  I  J Vi = Ui, i  I iJ Theo giả thiết M chứa mơđun U  có  U với |I| =  S ≠ Ø I Ta có n  Ui = U  U  … U  … suy iI   Uk  T cận k 1 Theo Bổ đề Zorn, T tồn phần tử tối đại A =  Ui ta có iI A  * M A khơng môđun cốt yếu M suy tồn B  M, B ≠Ø mà A  B =0 Theo giả thiết A chứa môđun V, suy A  V=0 suy tồn A’ = A  V mà A  A’, A ≠ A’, A ≠ A’, mâu thuẫn với tính tối đại A Vậy A  * M 2.1.2.5 Hệ i) Nếu mơ đun M noether tồn mơđun A = □  Ui iI  * M, Ui đều,i  I 18 ii) Nếu vành R noether R - mơđun M ta có A =  Ui  * M, Ui iI đều, i I Chứng minh i) Nếu mơđun M noether với mơđun N  M ta có N noether Theo Hệ 2.1.2.3 suy N chứa môđun Theo Mệnh đề 2.1.2.4 tồn môđun A =  Ui  * M iI ii) Nếu N vành noethoer, theo Hệ 2.1.2.3 suy R- môđun chứa môđun (do môđun M R – môđun) Theo Mệnh đề 2.1.2.4 tồn môđun A =  Ui  * M □ iI 2.1.2.6 Bổ đề Giả sử M môđun chứa mơđun cốt yếu dạng Ui, Ui mơđun i  I Khi môđun N M cốt yếu M N  Ui ≠ 0, i  I Chứng minh Giả sử N * M suy N  X ≠ với X  M, X ≠ suy N  Ui ≠ 0, i  I Ngược lại, giả sử N  M, N  Ui ≠ 0, i  I Đặt Ni = N  Ui, theo giả thiết Ni ≠ 0, i  I Vì Ui mơđun suy Ni * Ui, i  I Do có  Ui, iI mà Ni  Ui, i  I nên tồn tổng trực tiếp  Ni  Ni   Ui (theo * iI iI iI Mệnh đề 1.2.4) Theo giả thiết  Ui  * iI  Ni  iI * M ( *) M ta có  Ni   Ui  * iI iI * M, từ suy 19 Mặt khác Ni  N, i  I, Ni  N  M Vì N  * M (bởi N không môđun cốt yếu M suy tồn K ≠ 0, K  M mà N  K = suy K   Ni = Mâu thuẫn với (*)) □ iI 2.1.2.7 Định lý Cho môđun M, tồn môđun Ui đều,i = 1,2,3,…,n n  Ui  * M thì: i 1 i) Mọi tổng trực tiếp cuả mơđun khác khơng cuả M có nhiều n hạng tử ii) Nếu tồn môđun Vi đều, i = 1,2,,…k V1 … Vk  * M n = k Chứng minh i) Giả sử tồn A1 … An+1, M Ta chứng minh An+1 = Do A1  (A2 … An+1) = dẫn đến A2 … An+1 không môđun cốt yếu M Theo Bổ đề 2.1.2.6 tồn Ui, ≤ i ≤ n để Ui  (A2 … An+1) = Không tính tổng qt, giả sử i =1 ta có U1  (A2 … An+1) = suy tồn U1  A2 …An+1 Tiếp tục ta có (U1  A3 … An+1)  U2 = suy U1  A3 … An+1 không môđun cốt yếu M Do tồn U2 để (U1  A2 …. An+1)  U2 =0 Suy tồn U1  U2  A3 … Un  An+1 Do U1  U2  U3 … Un cốt yếu M suy An+1 = □ ii) Theo i) ta có k ≤ n n ≤ k suy n = k (do vai trò hai tổng trực tiếp n  Ui i 1 n  Vi nhau) i 1 □ 20 Từ Định lý 2.1.2.7 ta rút số tự nhiên n mà U1  U2  U3 … Un cốt yếu M, Ui với i = 1,2,3, n số bất biến Vậy ta có định nghĩa sau: 2.1.2.8 Định nghĩa Ta gọi dim M = n tồn tổng trực tiếp hữu hạn U1  U2  U3  … Un  * M, với môđun Ui đều, i = 1,2,3,…n n gọi chiều môđun M Khi M = ta quy ước dim M = 2.2 Một số tính chất chiều hữu hạn 2.2.1 Mệnh đề i) Nếu dim M <  dim A <  với A môđun M ii) Nếu A,B môđun M tồn A  B với dim(A  B) <  dim (A  B) = dim A + dim B Chứng minh i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không.Do A  M nên suy M chưa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Vậy M có chiều vơ hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M <  Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không hay dimA < , với A môđun cuả M □ ii) Do A, B  (A  B), theo giả thiết dim (A  B) < , nên theo i) dim A < , dim B <  Đặt dim A = n, dim B = m Do A tồn n  Ui i 1  * A, B tồn n  Vj  * B, với Ui, Vj đều, i = 1,2, ,n, j = i 1 1,2,…,m Do tồn A  B  Ui  Vj = với i,j, ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m 21 n n i 1 i 1  U = (  Ui)  (  Vj) Khi ta có U  * A  B (theo Mệnh đề 1.2.4) Vậy dim (A  B) = n + m = dim A + dim B □ 2.2.2 Bổ đề Nếu A môđun cốt yếu M dim A = dim M n Chứng minh Giả sử dim M = n   Ui  * M, với Ui môđun i 1 với i = 1,2, ,n Do A  * M theo Bổ đề 2.1.2.7 ta có A  Ui ≠ 0, i = 1,2, ,n Đặt Ai = A  Ui, Ui nên Ai i = 1,2, ,n có n  Ui nên i 1 tồn n  i 1 n Ai  Ai  * A i 1 Vậy dim A = n, từ dim A = dim M □ 2.2.3 Bổ đề Nếu mơđun M/A có chiều hữu hạn, A có chiều hữu hạn M có chiều hữu hạn dim M ≤ dimA + dim M/A Chứng minh Gọi S = {X  MX  A = 0} với quan hệ thứ tự bao hàm Ta có  S  S ≠ Ø Theo Bổ đề Zorn tồn phần tử tối đại L cho LA =  (L  A)  * M (vì L  A khơng mơđun cốt yếu M tồn B  M, B ≠ 0, mà (L  A)  B = => (L  B)  A = Mâu thuẫn với tính tối đại L) Ta có L ((L  A)/A)  M/A, M/A có chiều điều hữu hạn nên (L  A)/A có chiều dài hữu hạn  có chiều dài hữu hạn 22 Giả sử dim M/A= n, dim A = m, dim L = (1 n) Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có dim M = dim (LA) = dim L + dim A = + m  n + m = dim M/A + dim A Vậy dim M  M/A + dim A 2.2.4 Chú ý Nếu M có chiều hữu hạn, A có chiều hữu hạn chưa hẳn M/A có chiều hữu hạn, chẳng hạn: dim Qz= 1, dim ZZ = dim Q/Z = +  2.2.5 Bổ đề Nếu L * M (L  A) * A, A M Chứng minh Giả sử L  A không môđun cốt yếu A, suy tồn X ≠ 0, X  A mà X  (L  A) =  L  (X  A) = Do X  A  X  A = X Từ ta có X  L =  L không môđun cốt yếu M Mâu thuẫn với giả thiết Vậy (L  A) * A,  A  m □ 2.2.6 Bổ đề Cho M mơđun cho  K * M M/K có chiều hữu hạn Khi A * B B/A có chiều hữu hạn  A  B M Chứng minh Bởi Bổ đề Zorn tồn T tối đại M mà TA = Khi (TA) * M Theo giả thiết ta có M/(TA) có chiều hữu hạn (*) Do A * B T  A = => T  B =  T  B ta có B/A  (T  B)/ (T A)  M/(TA) Theo Mệnh đề 2.2.1 kết hợp với (*) suy B/A có chiều hữu hạn 2.2.7 Mệnh đề Cho M mơđun cho với K * M M/K có chiều hữu hạn Khi M/Soc (M) có chiều hữu hạn 23 Chứng minh Bởi Bổ đề Zorn tồn H tối đại M mà H  Soc (M) = suy (H  Soc(M)) * M Vì theo giả thiết M/(H  Soc(M)) có chiều hữu hạn Bởi (M/Soc (M))/ (H  Soc (M))/Soc (M) có chiều hữu hạn Do để chứng minh M/Soc (M) có chiều hữu hạn, theo Bổ đề 2.2.3 ta cần chứng minh (H  Soc(M))/Soc (M) có chiều hữu hạn Nhưng (H  Soc(M))/Soc(M)  H Vì ta phải chứng minh H có  Xi tổng trực chiều hữu hạn Giả sử ngược lại, tồn X = iI tiếp vơ hạn H Do H  Soc (M) = X =  X1  Xi  Soc (M) = 0, iI i I Giả sử với môđun K * M mà K  Xi = Xi suy Xi  Soc(M) (bởi Soc(M) giao tất mơđun cốt yếu M) Vơ lý Xi  Soc(M) = Vậy tồn K * mà K  Xi ≠ Xi Đặt Yi = K  Xi , ta có Xi ≠ Yi, i  I Theo Bổ đề 2.2.5 ta có Yi * X1, i I Do tồn X =  Xi suy tồn iI Y =  Yi, Xi ≠Yi nên Xi/Yi ≠ Khi ta có tổng trực tiếp vô hạn iI môđun khác không là: (X1/Y1)  (X2/Y2) …=  (Xi/Yi)  X/Y.(*) iI Mặt khác Yi * Xi suy  Yi iI *  Xi nghĩa Y * X Áp dụng Bổ iI đề 2.2.6 ta có X/Y có chiều hữu hạn Điều mâu thuẫn với đẳng cấu (*) Vì chứng tỏ H có chiều hữu hạn □ 24 2.3 CS – môđun chiều hữu hạn 2.3.1 Bổ đề Giả sử M CS - mơđun có chiều hữu hạn Khi M phân tích đựợc thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun Chứng minh Vì M chiều hữu hạn nên tồn môđun U1 môđun cuả M Gọi X1 bao đóng U1 M Giả sử X1 không môđun suy tồn A, B  X1, A, B ≠ 0, A  B = Do U1  * X1, U1  A ≠ 0, U1  B ≠ Do A  B =  (U1  A)  (U1  B) =  U1 không môđun Mâu thuẫn Vậy X1 môđun Bởi M CS - môđun X1 bao đóng U1  X1   M, nghĩa là: M = X1  M1 Do M CS - mơđun có chiều hữu hạn nên M1 CS- mơđun có chiều hữu hạn Lí luận M1 , ta có M = X1  M2, X2 mơđun đóng M1 M2 CS- mơđun có chiều hữu hạn Khi ta có: M = X1  X2  M2 Lại tiếp tục áp dụng lí luận ta được: M = X1  X2 … Xn  Mn (trong Xi, i = 1,2,…,n mơđun đóng M) Do M chiều hữu hạn nên q trình phải dừng sau hữu hạn bước Nghĩa tồn n để Mn = : M = X1  X2…Xn (trong Xi, i = 1,2,…, n mơđun đóng M) □ 2.3.2 Hệ Giả sử M có chiều hữu hạn Khi M tích phân thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Chứng minh Nếu M khơng phân tích được: chứng minh xong 25 Nếu phân tích M = M1  M2 Nếu M1, M2 khơng phân tích được: Chứng minh xong Nếu M2 phân tích M = M1  M2’  M2’’ Tiếp tục trình trên, M có chiều hữu hạn nên trình phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích □ 2.3.3 Mệnh đề Giả sử M CS- môđun M môđun hữu hạn sinh Giả thiết M chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không N =  Ni Khi M/N khơng có chiều hữu hạn iI Chứng minh Giả sử dim(M/N) = k Khi ta chia tập I thành k+1 tập rời I = A1  A2 …  Ak+1 cho Aj vô hạn với j = 1,2,…, k+1 Gọi Sj =  k 1 Ni suy N = iAj  Sj Gọi Ej bao đóng cuả Sj suy Sj  * Ej i 1 Ej đóng Do M CS - mơđun suy Ej   M Do M hữu hạn sinh nên Ej hữu hạn sinh Mà Sj  Ej suy  Ni  Ej hữu hạn sinh nên iAj  Ni = Ej theo Bổ đề 2.2.8 Aj hữu hạn Mâu thuẫn với cách chia tập iAj I Vậy  Ni ≠ Ej hay Sj ≠ Ej, suy Sj/Ej ≠ với j = 1,2,,…,k+1 Khi iAj ta có k+1hạng tử khác khơng X =(E1/S1)  (E2/S2)  … (Ek+1/Sk+1) Và rõ ràng X nhúng vào M/N = M/ k 1  Sj với phép nhúng: i 1 X  M/N ( x1 + S1,…,xk+1 + Sk+1)  ( x1 + …+ xk+1 + k 1  Sj) i 1 Suy M/N chứa tổng trực tiếp có ( k+1) phần tử nên : 26 dim(M/N ) ≥ k+1 Mâu thuẫn Vậy M/N khơng có chiều hữu hạn □ 2.3.4 Bổ đề M môđun xiclic mà môđun thương xiclic M CS - mơđun M có chiều hữu hạn 2.3.5 Định lí Nếu vành R thỏa mãn tính chất (P’): R - môđun phải xiclic CS - môđun tổng trực tiếp môđun noether môđun xạ ảnh Khi R - mơđun phải xiclic có chiều hữu hạn Đặc biệt RR có chiều hữu hạn Chứng minh Giả sử L R - môđun phải xiclic bất kỳ, gọi E môđun cốt yếu L, ta có L/E môđun phải xiclic Ta chứng minh L/E CS - môđun Giả sử L/E chứa môđun xạ ảnh P Khi P = L’/E E  L’  L Vì E * L suy E  * L’ Do L’/E xạ ảnh nên dãy khớp:  E  L’  L’/E  chẻ ra, nên L’  E  ( L’/E)  E   L’, E  * L’ E = L’ (bởi giả sử L’ = E  E’, E  * L’ E’ ≠  E  E’ ≠ Vô lý Vậy E’ =  E = L’) Từ P = L’/E = 0, suy L/E tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun noether Theo tính chất (P’) L/E CS - mơđun, E  *L Áp dụng Bổ đề 2.3.4 với M = L/E môđun xiclic với ý mơđun thương L/E có dạng N/T với E  * T  * L Vì T  * N nên chứng minh N/T CS - mơđun L/E có chiều hữu hạn Theo Mệnh đề 2.2.7 ta có L/Soc(L) có chiều hữu hạn (1) Theo Bổ đề 2.2.3 để chứng minh L có chiều hữu hạn ta chứng minh Soc(L) có chiều hữu hạn Giả sử Soc(L) khơng có chiều hữu 27 hạn Bởi Soc(L) tổng trực tiếp mơđun đơn nên tồn môđun W V tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn cho Soc(L) = W  V Ta xét môđun thương L/W * Nếu L/W CS - Môđun xiclic, ta có V  Soc(L)/W, nên L/W thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.3.3 suy ( L/W)/(Soc(L)/W) khơng có chiều hữu hạn Mặt khác L/Soc(L)/W)  (L/W)/(Soc(L)/W) suy L/Soc(L) khơng có chiều hữu hạn Mâu thuẫn với (1) * Điều chứng tỏ L/W khơng CS - mơđun, theo tính chất (P’) ta có L/W = P  N, P xạ ảnh N noether Khi tồn U mà W  U để N = U/W noether ( L/W)/(U/W)  P, (L/W)/(U/W)  L/U  (L/W)/(U/W)  L/U L/U P xạ ảnh Do có dãy khớp  U  L  L/U  chẻ nên L  U ( L/U)  U   L L = U  P’ Trong P’  L/U  P (2) Vì W  U  Soc(U) tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn Mặt khác Bổ đề 2.2.6, U  L/P’ xiclic P’  L/U xiclic nên U ≠ Soc(U) (vì U = Soc(U), U xiclic  U tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn Mâu thuẫn với W  U) Hơn với phép nhúng: (U/Soc(U)) (P/Soc(P’))  (U P’)/ (Soc(U) Soc(P’)) (x + Soc(U), y + Soc(P’) )  x + y + ( Soc(U)  Soc(P’)) Nên ta có (U/Soc(U))  (P’.Soc(P’))  (U  P’/Soc(U))  Soc (P’) Ta thấy U/ Soc(U) ≠ (bởi U ≠ Soc(U)), P’/Soc(P’) ≠ Soc(P’) = P’, đó: * Hoặc Soc(P’) vơ hạn  mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.8, P’ xiclic 28 * Hoặc Soc(P’) hữu hạn  P’ noether  L/U noether  P noether (do (2)) suy L/W = P  N noether Vơ lý V  Soc(L)/W, mà V tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn  L/W chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn  L/W không noether Vậy Soc(P’) ≠ P  P’/Soc(P’) ≠ Áp dụng lập luận cho Soc(U) Soc(L) ta thấy L/ Soc(L) chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không : L/Soc(L)  (U/Soc(U))  (P/Soc(P’))  (U1/ Soc(U1))  (P/Soc(P1))  … Điều mâu thuẫn với L/Soc(L) có chiều hữu hạn  Soc(L) có chiều hữu hạn L có chiều hữu hạn Định lý chứng minh □ 29 KẾT LUẬN Nội dung luận văn là: 1.Trình bày khái niệm môđun cốt yếu, môđun số tính chất chúng Trình bày chi tiết tính bất biến số hạng tử tổng trực tiếp hữu hạn môđun mà cốt yếu M để từ trình bày định nghĩa chiều mơđun Trình bày số tính chất chiều Trình bày chi tiết số kết CS - môđun với chiều hữu hạn 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Tiến Dũng (2006), Tổng trực tiếp (1 - C1) - môđun, Luận văn Thạc sĩ khoa học Tốn học, Trường Đại học Vinh [2] Ngơ Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS mơđun, Luận án phó tiến sĩ khoa học Toán - Lý, Trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [4] F.Anderson - K.Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer, New York [5] N.V.Dung, D.V Huynh, Smith P.F and Wisbauer R (1994), Extending modules, Pitman, London [6] M Harada (1982), On modules with estending property, Osaka J.Math [7] Harmanci A, and Smith P.F (1993), Finite direct sums of CS - modules, Houston Math [8] M Harada and K.Oshiro (1981), On extending property on direct sums of uniform modules, Osaka J.Math [9] M Kamal and B Muller (1988),The structure of extending modules over Noertherian rings, Osaka, J.Math ... Mỗi môđun hữu hạn sinh M khác không chứa môđun 15 CHƢƠNG II CS – MÔĐUN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN 2.1 Xây dựng chiều môđun 2.1.1 Định nghĩa môđun Giả sử R vành, R - môđun phải U gọi U ≠ A  B ≠ môđun. .. Môđun, vành noether 1.2 Môđun cốt yếu, môđun 1.3 Môđun hữu hạn sinh, CS – môđun 10 Chƣơng II : Chiều môđun CS- môđun 14 2.1 Xây dựng chiều mơđun 14 2.2 Một số tính chất chiều hữu hạn 18 2.3 CS. .. cốt yếu, môđun đều, mơđun hữu hạn sinh, CS - mơđun, tính chất có liên quan đến luận văn Chương 2: Chiều môđun CS - môđun Chương chia làm hai phần: Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm chiều môđun Cụ