Chiều đều của môđun và tính chất cs môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THÚY NGÂN CHIỀU ĐỀU CỦA MƠĐUN VÀ TÍNH CHẤT CS-MÔĐUN CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ : 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An -2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THÚY NGÂN CHIỀU ĐỀU CỦA MƠĐUN VÀ TÍNH CHẤT CS-MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 84 60 104 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An -2018 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU MÔĐUN 1.1 Môđun 1.2 Chiều môđun CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CS- MƠĐUN 22 2.1 Điều kiện (Ci ) môđun 22 2.2 CS-môđun (1-C1)-môđun 24 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN KM : K môđun môđun M K * M : K môđun cốt yếu môđun M K  M : K hạng tử trực tiếp môđun M  Mi : Tổng trực tiếp môđun M i , i  I iI n  Mi : Tổng trực tiếp môđun M i ,1  i  n g dim M : Chiều môđun M Soc(M) : Đế môđun M M A : Môđun thương M A , với A môđun môđun M i 1 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lí thuyết mơđun đến phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lí thuyết vành Một hướng để nghiên cứu vành đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Tiếp cận hướng nghiên cứu đó, chúng tơi đề cập đến việc xét tính chất chiều mơđun, từ góp phần nghiên cứu số lớp mơđun trình bày đặc trưng vành thông qua chiều chúng Chúng nhận thấy lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh hai trụ cột nghiên cứu lí thuyết mơđun lí thuyết vành Năm 1960, Utumi nhận xét vành quy liên tục mở rộng vành quy tự nội xạ, ơng đưa khái niệm liên tục cho vành Mohamed Bouhy suy rộng khái niệm liên tục cho mơđun Tiếp đó, Chatter Hajarnavis đưa khái niệm CS-môđun (hay môđun extending) Trong năm 1980, Harada học trị ơng nghiên cứu lớp mơđun mở rộng CS-mơđun mơđun mà mơđun đóng hạng tử trực tiếp Và năm 1988, Kamal Muller gọi môđun thỏa mãn điều kiện (1-C1)-môđun Chúng ta thấy rằng, việc nghiên cứu lớp (1-C1)-môđun tạo điều kiện cho phát triển lí thuyết môđun nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lí thuyết vành Trong luận văn này, nghiên cứu chiều môđun tính chất thơng qua chiều hữu hạn ; nghiên cứu trình bày điều kiện để số mơđun thương có chiều hữu hạn Bên cạnh chúng tơi đề cập đến việc nghiên cứu tính chất CS- mơđun qua việc tìm hiểu mơđun thỏa mãn tính chất (C1), mơđun thỏa mãn tính chất (1-C1) Dựa vào tài liệu [3], [7], [11] chọn đề tài là: Chiều mơđun tính chất CS-mơđun Luận văn chia làm hai chương, đó: Chương 1: Mơđun chiều môđun Chương chia làm phần Phần thứ : Môđun Cụ thể phần chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất môđun cốt yếu, môđun Phần thứ hai: Chiều môđun Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm chiều tính chất phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích mơđun có chiều hữu hạn Chương 2: Tính chất CS-mơđun Chương chia làm hai phần, : Phần thứ : Điều kiện (Ci) môđun Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm điều kiện (Ci) mơđun số tính chất Phần thứ hai : CS-môđun (1-C1)-môđun Trong phần đề cập đến định nghĩa CS-mơđun, (1-C1)-mơđun , tính chất chúng trình bày điều kiện để (1-C1)-mơđun CS-môđun Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người dành cho tơi bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lịng nhân Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn đến thầy cô giáo tổ Đại số, khoa sau đại học ngành Toán giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện học tập trình học tập lớp Cao học 24 Đại số lí thuyết số Tơi xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ thời gian qua Cuối lực nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong bảo góp ý q thầy cô bạn Vinh ngày 25 tháng năm 2018 Tác giả Chương 1: MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU MƠĐUN Các vành ln giả thiết vành có đơn vị, mơđun vành ln hiểu mơđun phải Unita Những khái niệm, kí hiệu kết tham khảo tài liệu F Kasch [9], N V Dung, D V Huynh, P F Smith, and R Wisbawer [7], Ngô Sỹ Tùng, Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh [2] 1.1 MƠĐUN ĐỀU 1.1.1 Mơđun cốt yếu Định nghĩa 1.1.1.1 Môđun A môđun M gọi cốt yếu (hay lớn) M với mơđun khác khơng B M ta có A  B  (Một cách tương đương, A  B  B  ) Khi ta nói M mở rộng cốt yếu A kí hiệu A * M Ví dụ 1.1.1.2 1) Đối với mơđun M ta có M * M 2) Xem vành số ngun khơng mơđun Khi iđêan khác cốt yếu, hai iđêan khác khơng a b ta có  ab  a  b Mệnh đề 1.1.1.3 Cho M R- môđun Khi ta có: i) A * M 0  x  M , xR  A  ii) Cho A  B, B  M A * M A * B B * M * iii) Ai  Bi (i  1,2, , n), Ai , Bi  M n i 1 n Ai * M i 1 Ai * n i 1 Bi Đặc biệt Ai * M iv) Cho A  B, B  M Nếu B A * M A B * M v) Nếu f : M  N đồng cấu mơđun A * N f 1 ( A) * M vi) Cho M   M i , A   Ai Ai môđun M i , i  I , iI iI Ai * M i Khi tồn  M i A * M iI Chứng minh i) Giả sử A * M , với 0  x  M  xR  0, xR  M , hiển nhiên xR  A  (theo định nghĩa) Ngược lại, xR  A  0, x  M , x  Khi đó, giả sử  X  M mà X  A  Do X   x  X , x  ta có  ( A  X )  xR  X  Vơ lí Vậy X  A  hay A * M ii) Giả sử A * M Lấy  X  B  X  M  A  X  (do A * M ) nên A * B Lấy  X  M  A  X  mà A  B nên B  X  B * M Ngược lại: hiển nhiên iii) Lấy  X  n Bi  X  Bi mà Ai  Bi nên Ai  X  Do đó: X  i 1 n i 1 Ai  Ai  i 1 n * Hay n * Bi i 1 iv) Lấy  X  M Giả sử X  B  suy tồn X  B, ta có ( X  A) A  M A Do B A * M A nên (( X  A) A)  ( B A)  Suy tồn x  a  A  b  A  x  b  a ' (a '  A) Vô lí Vậy X  B   B * M v) Lấy  X  M - Nếu f ( X )   X  f 1 ( A)  ( X  f 1 ( A))  X  - Nếu f ( X )  Vì A * N  A  f ( X )  Do tồn a  0, a  A Và a  f ( X )  a  f ( x) x  X , x  Suy x  f 1 (a)  x  f 1 ( A)  X  f 1 ( A)  Vậy f 1 ( A) * M vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp ta xét với n=2 * * Ta có M  M  M , A1  M , A2  M , tồn A1  A2 * * Theo iii) ta có ( A1  A2 )  ( M  M ) hay  ( M  M )  M  M  , tồn tổng M  M Tiếp theo xét phép chiếu: p1 : M  M  M p2 : M  M  M * 1 * Do A1  M  p ( A)  ( M  M ) (theo v) * Nhưng p1 ( A)  A1  M  ( A1  M )  ( M  M ) (1) * 1 * * Do A2  M  p2 ( A2 )  ( M  M )  ( A1  M )  ( M  M ) (2) Lấy giao vế (1) (2) ta có ( A1  M )  ( A2  M )  ( M  M )  ( A1  A2 ) * ( M  M ) Bây chứng minh trường hợp I vô hạn Lấy x   M i ta biểu diễn x   xi với F hữu hạn thuộc I, theo trường hợp iF iI tồn  M i biểu diễn iF Tiếp theo lấy  X   M i  0  x  X ; mà x  M i ,  Ai *  M i (với F hữu hạn iI iF iF iF thuộc I) suy xR   Ai   X   Ai  Vậy  Ai *  M i iF iF iF iF Định nghĩa 1.1.1.4 Cho M R- môđun Môđun A  M gọi đóng M A khơng có mở rộng cốt yếu thực M , tức A * B  M  A  B Mơđun X gọi bao đóng U M U * X X đóng M Hệ 1.1.1.5 i) Nếu A mơđun đóng M hạng tử trực tiếp A đóng M ii) Nếu A mơđun đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M iii) Nếu A mơđun đóng X X đóng M A mơđun đóng M Mệnh đề 1.1.1.6 Giả sử N, L môđun môđun M cho N  L  , tồn phần bù K N M cho L  K Hơn nữa, N  K môđun cốt yếu M 1.1.2 Môđun Định nghĩa 1.1.2.1 Một R – môđun U gọi U  V  W  với tất môđun V , W khác U Hay nói cách khác, U U  môđun khác không cốt yếu U Ví dụ 1.1.2.2 1) Các mơđun khác không môđun môđun 2) Với vành số nguyên Nhóm ciclic p n ta có ví dụ - mơđun dạng p n với số nguyên tố p n  X M N ( x1  S1 , , xk 1  Sk 1 ) k 1 ( x1   xk 1   S j ) j 1 Suy M N chứa tổng trực tiếp có (k+1) phần tử nên dim( M N )  k  Mâu thuẫn, M N khơng có chiều hữu hạn 2.2.2 (1-C1)-môđun Định nghĩa 2.2.2.1 Môđun M gọi (1-C1)-mơđun (hay có tính chất CS cho mơđun đều) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Bổ đề 2.2.2.2 Giả sử M mơđun K, L môđun M cho L  K ,L đóng K K đóng M Khi L mơđun đóng M Bổ đề 2.2.2.3 Nếu M (1-C1)-môđun, hạng tử trực tiếp M (1-C1)-môđun Chứng minh: Giả sử N hạng tử trực tiếp M U mơđun đóng N Khi theo [11.Lemma 2.6], U đóng M Vì M (1-C1)-mơđun, nên U hạng tử trực tiếp M , nghĩa : M  U  X với môđun X M Khi U  N nên ta có N  U  ( K  N ) U hạng tử trực tiếp N Nên N (1-C1)-môđun Bổ đề 2.2.2.4 Cho M môđun không chứa tổng trực tiếp vô hạn mơđun khác khơng, tồn môđun khác không M Chứng minh 27 Giả sử M không chứa môđun Khi tồn mơđun N1 , N1* M cho N1  N1*  Trong N1* khơng có mơđun tồn mơđun N , N 2* N1* cho N  N 2*  Và rõ ràng : N1  N1  0, N1  N1*  Xét N 2* tương tự N1* Quá trình tiếp tục vơ hạn lần Ta có M tồn môđun  N1 , N , cho Ni   N j  M tồn tổng trực tiếp  N i i 1 j i môđun M , mâu thuẫn với giả thiết Vậy môđun M chứa môđun Hệ 2.2.2.5 Cho M (1-C1)-môđun có chiều hữu hạn Khi M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn môđun Chứng minh Do M có chiều hữu hạn nên theo bổ đề 2.2.2.4, M chứa môđun U1 Gọi X bao đóng U1 M (tức U1 * X X mơđun đóng M X ln tồn hợp tất mở rộng cốt yếu U1 M ) Vì U1 môđun nên X môđun Theo giả thiết M (1-C1)-môđun nên X hạng tử trực tiếp M , nghĩa M  X  M với môđun M M Khi M mơđun đóng M Vì M (1-C1)-môđun nên theo bổ đề 2.2.2.3, M (1-C1)-mơđun Lí luận M ta có M  X  M X mơđun đóng M Như M  X  X  M Quá trình tiếp tục ta M  X  X   X n  Do M có chiều hữu hạn nên q trình phải dừng sau hữu hạn bước, nghĩa tồn n để: M  X  X   X n X i môđun (1  i  n) Bổ đề 2.2.2.6 28 Giả sử M   M i tổng trực tiếp môđun M i (i  I ) , mơđun iI khác cuả M chứa môđun Chứng minh Giả sử A môđun khác M tồn tập J tối đại I với tính chất A  M ( J )  (ở ta hiểu kí hiệu M ( J ) M ( J )   M j ) Chúng ta xét jJ k  I J giả sử :  k : M k  M (J )  M k phép chiếu tự nhiên Gọi Ak  A  ( M k  M ( J )) Bởi tính tối đại J , Ak  Bởi Ak  M ( J )  , nên có Ak   k ( Ak )  M k Vì M k nên Ak Vậy A chứa môđun Ak  Hệ 2.2.2.7 Giả sử M   M i với tất M i Nếu M (1-C1-mơđun iI mơđun đóng khác M chứa môđun hạng tử trực tiếp M Chứng minh Giả sử A mơđun đóng khác M Khi theo bổ đề 2.2.2.6 A chứa môđun U Gọi V bao đóng U A Khi V mơđun đóng M Vì M (1-C1)-môđun nên V hạng tử trực tiếp M Bổ đề 2.2.2.8 Giả sử M (1-C1)-môđun X  U mơđun đóng M , X hạng tử trực tiếp M U mơđun Khi X  U hạng tử trực tiếp M Chứng minh 29 Do X hạng tử trực tiếp M nên M  X  M với mơđun M M Giả sử:  : M  M phép chiếu tự nhiên Gọi V bao đóng (U ) M Vì U  X   |U đơn cấu, nên (U )  U Do (U ) mơđun đều, V mơđun đóng M1 Rõ ràng  1 (V )   1 ((V ))  X  U (bởi ( X )  ) Bây ta chứng minh:  1 (V )  X  V Thật với x   1 (V ) ( x) V mà x  x ' m1 với x '  X ; m1  M Do đó: ( x)  m1 V , từ suy x  x ' m1  X  V Như ta có: X  U   1 (V )  X  V (1) Ta chứng minh: X  U * X  V Gọi Z  ( X  U )  V Lấy x  u  X  U , u  Do (1), x  u  X  V hay x  u  x ' v , v  x  x ' u , v  u  Điều chứng tỏ Z  Do V mơđun nên Z * V Từ suy : ( X  Z ) * ( X  V ) Nhưng ( X  Z )  ( X  U ) nên ( X  U ) * ( X  V ) Do X  U đóng nên X U  X V Từ M  X  M V hạng tử trực tiếp M nên suy X  V hạng tử trực tiếp M Mệnh đề 2.2.2.9 30 Giả sử M (1-C1)-mơđun A mơđun đóng có chiều hữu hạn M Khi A hạng tử trực tiếp M Chứng minh Như ta biết, mơđun đóng mơđun đóng mơđun đóng Do U đóng A, U đóng M Bởi giả thiết, U hạng tử trực tiếp M nên U hạng tử trực tiếp A Điều chứng tỏ A (1-C1)-mơđun hệ 2.2.2.5 ta có phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn A  A1  A2   An Ai (1  i  n) Bây ta quy nạp theo n sử dụng bổ đề Bổ đề 2.2.2.8 ta nhận A hạng tử trực tiếp M Hệ 2.2.2.10 Nếu M (1-C1)-mơđun mơđun đóng M có dạng A1  A2   An , Ai môđun M , hạng tử trực tiếp M Chứng minh Là hệ trực tiếp mệnh đề 2.2.2.9 Ở ta xét số tính chất (1-C1)-mơđunvà rõ ràng CS-môđun (1-C1)-môđun Tuy nhiên lớp (1-C1)-môđun rộng thực lớp CS-mơđun Ví dụ cho ta thấy điều đó: Ví dụ 2.2.2.11 Tồn -môđun (1-C1)-môđun CS-môđun, vành số nguyên Chứng minh Thật vậy, gọi F nhóm aben tự vơ hạn sinh, nghĩa F 31 -môđun F  U i , U i  iI với i  I I tập vơ hạn Vì F nhóm aben chiều vơ hạn nên F khơng phải CS-môđun (xem [10,tr3] [11,tr19]) Bây ta chứng minh F (1-C1)-môđun Giả sử U môđun đóng khác khơng F Bởi nhóm nhóm aben tự nhóm aben tự nên U nhóm aben tự Từ U tổng trực tiếp số lượng với tất đẳng cấu với mơđun nên U khơng phân tích được, U  , từ U Nhưng U -mơđun xiclic Khi tồn số tự nhiên n cho: U  U1   U n Trong {1,2, , n}  I Bởi U1   U1 nhóm aben tự hạng hữu hạn nên U1   U1 CS-mơđun (xem [10]) Vì U mơđun đóng U1   U n U hạng tử trực tiếp U1   U n U hạng tử trực tiếp F Vậy F (1-C1)-mơđun Ví dụ 2.2.2.11 tổng trực tiếp mơđun với tính chất (1-C1)-mơđun khơng phải CS-mơđun Bây chúng tơi trình bày số điều kiện để môđun (1-C1)-môđun điều kiện để tổng trực tiếp môđun với tính chất (1-C1) CS-mơđun 2.2.3 Điều kiện để (1-C1)-mơđun CS-môđun Trước hết nghiên cứu bổ đề sau: Bổ đề 2.2.3.1 Giả sử M môđun không suy biến X  A môđun M Khi bao đóng A M chứa bao đóng X M Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử A mơđun đóng M Gọi X ' bao đóng X M 32 Giả sử x ' a phần tử X ' A mà x ' a  Bởi X * X ' theo [8.Lemma 1.1] tồn iđêan phải cốt yếu L RR cho x ' L  X Khi đó: (a  x ') L  (a  x ') R (a  x ') L  aL  x ' L  A  X Do M không suy biến nên ( x ' a ) L  Suy ra: (a  x ') R  X  A  ( x ' a ) L  Suy : ( A  X ) * ( A  X ') Nhưng ( A  X )  A A đóng nên ( A  X ')  A X '  A Hệ 2.2.3.2 Giả sử M   M i tổng trực tiếp môđun M i , M i mơđun iI khơng suy biến ( i  I ) Nếu với môđun đóng A M tồn k  I cho A  M k  thi M (1-C1)-môđun Chứng minh Ta ý rẳng tổng trực tiếp môđun không suy biến môđun khơng suy biến M mơđun khơng suy biến Giả sử A mơđun đóng M Do tồn k  K cho : A  M k  Ak  Khi A bao đóng Ak M Mặt khác, M k hạng tử trực tiếp M nên M k mơđun đóng M , tức M k bao đóng M Ta có Ak  M k , theo bổ đề 2.2.3.1, ta có A  M k Nhưng M k môđun nên mơđun A cốt yếu M k Vì A đóng nên A  M k Tức A hạng tử trực tiếp M hay M (1-C1)-môđun 33 Mệnh đề 2.2.3.3 Môđun M (1-C1)-môđun với chiều hữu hạn nếu: i) M tổng trực tiếp hữu hạn môđun đều; ii) Mọi hạng tử trực tiếp M có chiều (1-C1)-môđun Chứng minh Môđun M (1-C1)-mơđun có chiều hữu hạn, theo hệ 2.2.2.5, M tổng trực tiếp môđun Và theo bổ đề 2.2.2.3, hạng tử trực tiếp M (1-C1)-môđun Ngược lại, giả sử môđun M thỏa mãn (i) (ii), tức: M  U1   U n n số ngun dương U i mơđun đóng (1  i  n) Với mơđun đóng V M mà V  M Khi tồn i {1, 2, , n} cho V  U i  (xem[5,Lemma1.9]) Khơng tính tổng quát ta giả sử i  , đặt U '  U   U n Tồn mơđun đóng K M cho V  U1 cốt yếu K ( K mơđun tối đại với tính chất V  U1 * K dễ thấy K khơng có mở rộng cốt yếu thực , tức K mơđun đóng) Bởi luật Modula ta có K  U1  ( K  U ') Rõ ràng K  U ' đóng K đóng M Như vây K  U ' đóng U ' Bằng phương pháp quy nạp theo chiều đều, ta có K  U ' hạng tử trực tiếp U ' Khi ta có (( K  U ')  U1 ) hạng tử trực tiếp U ' U1 , tức K hạng tử trực tiếp M Do V  U1 * K V ,U1 mơđun nên K có chiều Theo giả thiết K (1-C1)-mơđun, mơđun đóng V hạng tử trực tiếp K hạng tử trực tiếp M 34 Vậy M (1-C1)-môđun Mệnh đề 2.2.3.4 Cho M môđun cho M   M i tổng trực tiếp môđun iI M i Giả sử hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M Khi M CS-mơđun M (1-C1)-môđun Đặc biệt M có chiều hữu hạn M CS-mơđun M (1-C1)-môđun Chứng minh Nếu M CS-mơđun hiển nhiên M (1-C1)-mơđun Ngược lại , giả sử M   M i tổng trực tiếp môđun M i hạng tử iI trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M Giả sử A mơđun đóng M Xác định tập P phần tử tổng trực tiếp môđun sau: P  {  A  : A   A,A   A  hạng tử trực tiếp địa phương M}   Từ hệ 2.2.2.7, A chứa môđun hạng tử trực tiếp M , P khác rỗng Theo bổ đề Zorn tồn phần tử tối đại P, giả sử  Ak kK Đặt A '   Ak , theo giả thiết A ' hạng tử trực tiếp M , tức M  A ' M kK với mơđun M M Từ có: A  A ' B , B  A  M Theo bổ đề 2.2.2.2 B môđun đóng M Nếu B  , theo hệ 2.2.2.7, B chứa môđun B hạng tử trực tiếp M Dễ thấy A ' B hạng tử trực tiếp địa phương M A ' B phần tử P, mâu thuẫn với tính tối đại A ' Điều chứng tỏ B  Khi A  A ' hạng tử trực tiếp M Vậy M CS-môđun 35 Đặc biệt, M có chiều hữu hạn M (1-C1)-mơđun theo hệ 2.2.2.5 ta có: M  U1   U n U i môđun (1  i  n) mơđun có chiều hữu hạn hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp nên trở lại chứng minh ta có M CS-mơđun Định nghĩa 2.2.3.5 Một môđun M gọi U - liên tục M (1-C1)-môđun A , B môđun M cho A đẳng cấu với B A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy rằng: mơđun M có chiều hữu hạn M liên tục M U-liên tục Định lí 2.2.3.6 Giả sử R vành M R -môđun phải cho M   M i tổng trực tiếp iI môđun M i phân tích M bù hạng tử trực tiếp Giả thiết M i không nhúng đẳng cấu thực vào M j , i  j  I Khi phát biểu sau tương đương: (i) M CS-môđun; (ii) M (1-C1)-môđun; (iii) M ( J ) M ( K ) -nội xạ, tập J , K I cho J  K   Chứng minh: (i )  (ii ) hiển nhiên (ii )  (iii ) Để chứng minh M ( J ) M ( K ) -nội xạ, ta cần chứng minh M ( J ) M k nội xạ với k  K (xem [11,proposition 1.5]) Giả sử U mơđun M k  : U  M ( J ) đồng cấu Ta gọi: 36 X  {x   ( x ) : x  U } Dễ thấy X  M ( J )  Do X nhúng đẳng cấu vào M k X mơđun Theo bổ đề 2.2.2.3 M j  M k (1-C1)-môđun Từ tồn mơđun X ' cho X * X ' X ' hạng tử trực tiếp M ( J )  M k Vì M ( J )  M k phân tích bù hạng tử trực tiếp có khả xảy ra: 1) M ( J )  M k  X ' M ( J ') 2) M ( J )  M k  X ' M ( J1 )  M k Trong J ', J1 tập J Nếu khả 1) xảy ta có: M ( J )  M k  X ' M ( J ')  X ' M ( J )  M ( J )  M k Và X ' M ( J ')  X ' M ( J ) hay M ( J )  X ' M ( J ) Từ ta phải có J  J ' Gọi  phép chiếu từ X ' M ( J ) đến M ( J ) gọi  '   |M k Khi với x  M k , x   ( x)  ( x   ( x))  ( x)  M ( J ) x   ( x)  X ' Từ ta có:  '( x)   '[ ( x)  ( x   ( x))]   ( x) Nghĩa  ' mở rộng  Nếu khả 2) xảy Khi gọi :  k : X ' M ( J1 )  M k  M k Là phép chiếu tự nhiên Giả sử A  ( X ' M ( J1 ))  M ( J ) Nếu A  giả sử A  M ( J )  với j  J Khi [7 Proposition 3.6] A môđun cốt yếu M ( J ) Từ ( X ' A) * ( X ' M ( J )) Mặt khác (U  M ( J ) * ( M k  M ( J )) (U  M ( J ) * ( X ' M ( J )) ( X ' M ( J ) * ( M k  M ( J )) Từ suy X ' A cốt yếu M k  M ( J ) Nhưng M k  ( X ' A)  suy M k  ( X ' M ( J1 )  37 Mâu thuẫn chứng tỏ tồn số j  J cho M j  A  Khi dễ dàng thấy M j  Ker k  dẫn đến M j   k ( M j ) môđun M k Bởi giả thiết M j nhúng đẳng cấu thực vào M k  k ( M j )  M k Từ có X ' M ( J1 )  M k  X ' M ( J1 )  M j  X ' M ( J ) Trong J  J1  {j} Điều chứng tỏ M ( J )  M k  X ' M ( J ) Và sử dụng chứng minh trường hợp 1) ta chứng tỏ  có mở thuộc HomR ( M k , M ( J )) Bây ta giả sử A  Khi dễ thấy M ( J1 )  có: M ( J )  M k  X ' M k Điều chứng tỏ tập J có phần tử, chẳng hạn j M ( J )  M k  M j  M k  X ' M k Ta xét phép chiếu  k : X ' M k  M k X ' M j  M j   k ( M j ) môđun M k , có  k (M j )  M k Và từ M ( J )  M k  X ' M j lại đưa trường hợp 1) Vậy (ii )  (iii ) hoàn toàn chứng minh (iii )  (i ) : Giả sử A mơđun đóng M Gọi J tập tối đại I cho A  M ( J )  Dễ kiểm tra ( A  M ( J )) * M Giả sử K  I  J  K ,  J phép chiếu từ M lên M(K) M(J) tương ứng Bởi A  Ker K  0,  K | A đơn cấu nên tồn ( K | A ) 1 Giả sử 38    J ( K | A ) 1 :  K ( A)  M ( J ) Khi dễ dàng kiểm tra A  {x   ( x) : x   K ( A)} Bởi giả thiết M ( J ) M ( K ) -nội xạ , tồn tại:  : M (K )  M (J ) mở rộng  Ta gọi A '  {y   ( y ) : y  M ( K )} Từ tính cốt yếu A  M ( J ) M ta kiểm tra  K ( A) cốt yếu M ( K ) từ A cốt yếu A ' Bởi A đóng ta phải có A  A '  K ( A)  M ( K ) Từ suy M  A  M (J ) Nghĩa A hạng tử trực tiếp M M CS- mơđun Định lí chứng minh 39 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [3], [7], [11] luận văn đề cập giải vấn đề sau đây: Nghiên cứu chiều mơđun tính chất Luận văn trình bày chi tiết tính chất số chiều môđun môđun (Mệnh đề1.2.2.3), điều kiện để mơđun có chiều hữu hạn qua mơđun thương (Mệnh đề 1.2.2.6) điều kiện để ảnh đồng cấu mơđun có chiều hữu hạn (Mệnh đề1.2.3.3) Nghiên cứu trình bày điều kiện để số mơđun thương có chiều hữu hạn (Mệnh đề 1.2.2.6 Mệnh đề 1.2.3.4) khơng có chiều hữu hạn (Mệnh đề 2.2.1.5) Nghiên cứu trình bày điều kiện để (1-C1)-mơđun CS-mơđun (Mệnh đề 2.2.3.4 Định lí 2.2.3.6) Khi thực đề tài giải vấn đề thấy số vấn đề đặt tiếp tục nghiên cứu thời gian tới đặc trưng QF-vành co-H-vành, H-vành dựa vào lớp CS-môđun 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang (2001) Cơ sở lý thuyết môđun vành NXB Giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng, Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh (2010) Tổng trực tiếp mơđun mơđun liên tục, Tạp chí khoa học Trường Đại học Vinh, Tập 39 số 2A [3] Ngô Sỹ Tùng (1995) Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS-môđun, luận án phó tiến sỹ Tốn-Lý, Trường Đại học sư phạm Vinh Tiếng Anh: [4] V P Camillo and M F Yousif (1991) CS-modules with ACC or DCC on essential submodules Comm Algebra 19 (2) 655-662 [5] A W Chatters and C R Hajarnavis (1980) Rings with chain conditions Pitman, London [6] J Clark and D V Huynh (1994) When is a self-injective semiperfect ring quasiFrobenius? J Algebra 164 531-542 [7] N V Dung, D V Huynh., P F Smith.,and R Wisbawer (1994) Extending Module Picman – London [8] F Kasch (1982) Modules and Rings Academic Press, London – New York [10] A Hamanci and P F Smith (1992) Finite direct sums of CS-module Prepin [11] S H Mohamed and B J Muller (1990) Continuous and Discrete Modules London Math Soc Lecture note series 147, Cambridge University Press 41 ... KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: MƠĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU MƠĐUN 1.1 Mơđun 1.2 Chiều mơđun CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CS- MƠĐUN 22 2.1 Điều kiện (Ci ) môđun 22 2.2 CS -môđun (1-C1) -môđun 24 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU... nghiên cứu tính chất CS- mơđun qua việc tìm hiểu mơđun thỏa mãn tính chất (C1), mơđun thỏa mãn tính chất (1-C1) Dựa vào tài liệu [3], [7], [11] chúng tơi chọn đề tài là: Chiều mơđun tính chất CS-mơđun... với tính chất (1-C1)-mơđun khơng phải CS -môđun Bây trình bày số điều kiện để mơđun (1-C1) -môđun điều kiện để tổng trực tiếp môđun với tính chất (1-C1) CS-mơđun 2.2.3 Điều kiện để (1-C1) -môđun CS-môđun