Phân tích tương quan chính tắc và xấp xỉ mở rộng hiệp phương sai của chuối thời gian dừng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Giới hạn dãy điểm 1.2.3 Định nghĩa: 1.3 Khái niệm chuỗi thời gian trình ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định nghĩa 1.4 Q trình dừng phân tích hệ số tự tương quan 10 1.4.1 Khái niệm trình dừng 10 1.4.2 Hàm tự hiệp phương sai trình dừng 12 1.4.3 Hệ số tương quan tự tương quan mẫu 12 1.4.4 Hệ số tự tương quan riêng 14 Chương PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN CHÍNH TẮC VÀ XẤP XỈ MỞ RỘNG HIỆP PHƯƠNG SAI CỦA CHUỖI THỜI GIAN DỪNG 16 2.1 Bài toán nhận dạng dãy hiệp phương sai 16 2.2 Tính dương, tính khơng dưng khai triển xấp xỉ ma trận hiệp phương sai Hankel 19 2.2.1 Giả thiết bậc dãy hiệp phương sai 19 2.2.2 Định nghĩa bậc dương dãy hiệp phương sai 22 2.2.3 Giả định bậc dương p dãy hiệp phương sai 22 2.2.4 Sự khác biệt bậc đại số bậc dương 23 2.3 Lý thuyết thể ngẫu nhiên không gian Hilbert hàm mẫu28 2.3.1 Không gian Hillbert hàm mẫu 29 2.3.2 Về phương pháp nhận dạng không gian 33 2.3.3 Giả thuyết tính dương 35 2.4 Các tương quan tắc thể tính ngẫu nhiên cân 38 2.4.1 Mệnh đề 39 2.4.2 Mệnh đề 40 2.4.3 Mệnh đề 41 2.4.4 Định lý 44 2.4.5 Mệnh đề 47 2.5 Thể ngẫu nhiên từ liệu hiệp phương sai hữu hạn 48 2.5.1 Định lý 50 2.5.2 Các hình thức bất biến lọc Kalman 53 2.5.3 Mệnh đề 57 2.5.4 Định lý 59 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Gần có quan tâm trở lại thuật tốn nhận dạng khơng gian trạng thái cho chuỗi thời gian dựa qui trình hai bước mà theo ngun tắc, mơ tả ước lượng mơ hình hiệp phương sai từ liệu quan sát tạo thể hiệnngẫu nhiên Phương pháp đem lại lợi lớn cho việc chuyển đổi pha ước lượng tham số phi tuyến cần thiết việc xác định mơ hình Arma truyền thống vào thể hiệnriêng, liên quan đến sử dụng phương pháp kỹ thuật số có sẵn để giải hai toán ma trận ước lượng hiệp phương sai phương trình Riccati Trong này, dùng vào trình đa biến đồng thời thuật tốn làm việc với liệu chứa thành phần tất định hoàn toàn (van Overschee De Moor, 1993) Tuy nhiên, hạn chế nhấn mạnh báo phương pháp khơng làm việc với liệu tùy ý Đây loại thủ tục tán thành Faure (1969), xem Faurre Chataigner (1971) Faurre Marmorat (1969) Nghiên cứu gần đây, dựa phân tích mối tương quan tắc (Akaike năm 1975) (hoặc số phân tích giá trị kì dị khác), thuật tốn Ho-Kalman (Kalman cộng sự, 1969), Aoki(1990), Larimore (1990), van Overschee De Moor (1993) Các nghiên cứu thuật toán phân tích tương quan tắc thực trực tiếp liệu quan sát mà khơng cần tính toán ước lượng hiệp phương sai (van Overschee De Moor, 1993) Kinh nghiệm cho thấy thời gian tính tốn cần thiết để có ước lượng tham số mẫu cuối khả quan so với phương pháp truyền thống dự báo lỗi lặp mơ hình Arma truyền thống Những phương pháp giới thiệu số vấn đề tốn học khơng tầm thường liên quan đến tính dương Lý trọng tâm vấn đề tương đương với vấn đề mở rộng hữu tỷ hiệp phương sai nhiều người biết đến Do đó, việc xác định đối số thơng thường sở tìm thừa số ma trận Hankel không thực với liệu chung chung Lưu ý để tính tốn mơ hình khơng gian trạng thái tín hiệu ước lượng hiệp phương sai cần phải giải phương trình Riccati Mà để giải phương trình điều kiện cần phải bảo đảm tính dương Trọng tâm q trình mơ tả vấn đề xác định dãy hiệp phương sai Nhiệm vụ đề tài chúng tơi tìm hiểu phân tích tương quan tắc, mở rộng gần hiệp phương sai nhận dạng chuỗi thời gian dừng Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày khái niệm chuỗi thời gian trình ngẫu nhiên, cơng thức tính hàm tự hiệp phương sai; hàm tự tương quan; hàm tự tương quan mẫu; hàm tự tương quan riêng mẫu, toán tử lùi, toán tử tiến, biến ngẫu nhiên hàm phân phối, ma trận, khơng gian Hilbert Chương Phân tích tương quan tắc, xấp xỉ mở rộng hiệp phương sai chuỗi thời gian dừng Đây nội dung luận văn, gồm phần Phần 2.1 giới thiệu Tính dương, khơng âm khai triển xấp xỉ ma trận hiệp phương sai Hankel Phần 2.2 trình bày Lý thuyết thể tính ngẫu nhiên không gian Hilbert hàm mẫu Phần 2.3 tương quan tắc thể tính ngẫu nhiên cân Phần 2.4 trình bày thể tính ngẫu nhiên từ liệu hiệp phương sai hữu hạn Luận văn hoàn thành Đại học Vinh hướng dẫn khoa học Thầy giáo TS Nguyễn Trung Hòa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy Người dành cho tác giả nhiều thời gian quý báu, quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cho tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, Thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh, Thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Thầy giáo, Cơ giáo khoa Tốn, khoa Sau đại học tham gia giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình đồng nghiệp tất bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng thể tránh thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ Thầy giáo, Cô giáo bạn để đề tài hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Một ma trận A cỡ m  n trường K (K – trường thực  , phức  ) bảng chữ nhật gồm m  n phần tử K viết thành m dòng n cột sau: A   aij mn aij  K phần tử vị trí dịng i, cột j A Các ma trận thường ký hiệu A, B, C tập hợp tất ma trận cỡ m×n trường K ký hiệu Mm x n(K) a b Ví dụ Ma trận Hankel  c  d b c c d d e  f  g d e e f a f  g  h  i b c d e a b c d  f a b c  g f a b h g f a aij = akh với i + j = k + h Ví dụ Ma trận Toeplitz 1.1.2 Các phép toán ma trận Cho A   aij   M mn  K  Ta nói: B   bij   M nm  K  chuyển vị A (ký hiệu B = AT) nếu: aij  b ji , i, j Cho A  M mn  K  , a  K Ta gọi tích số a A (ký hiệu aA) ma trận C   cij   M mn  K  xác định bởi: cij  a.aij Nếu a = -1 ta ký hiệu (-1).A -A gọi ma trận đối A Cho A  M n  K  Khi đó, AT = A ta nói A ma trận đối xứng; AT = – A ta nói A ma trận phản xứng Nhận xét: Từ khái niệm ma trận chuyển vị, dễ thấy : T T  A   AT  BT  A  B A Nếu B ma trận phản xứng phần tử đường chéo B Cho A  M mn  K  ;  ,   K Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT) Cho A, B  M mn ( K ) Ta gọi tổng A B, ký hiệu A + B ma trận C   cij   M mn  K  xác định bởi: cij  aij  bij Hiệu hai ma trận A B A + (-B) ký hiệu A – B Cho A, B, C  Mm,n(K), ,   K Khi đó:  Tổng hai ma trận có tính giao hốn: A + B = B + A  Tổng ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C  Tồn ma trận 0mxn cho: A + = + A = A  Tồn ma trận đối A cho: A + (- A) = (- A) + A =  Phép nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng ma trận: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA+ βA  Chuyển vị tổng tổng chuyển vị:(A + B)T = AT + BT Cho hai ma trận A = (aịj)  Mn(K), B = (bịj)  Mn(K) Khi tích hai n ma trận A B AB = C = (cij)  Mn(K) với ci j  B, C  Mm,n(K), ,   K Khi đó:  A(BC) = (AB)C  A(B+C) = AB + AC  (B+C)A = BA + CA  k(BC) = (kB)C = B(kC) a b , i, j  1, n Cho A, ik kj k 1 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa Khơng gian tuyến tính thực E gọi khơng gian tiền Hilber có xác định tích vơ hướng, nghĩa với cặp  a, b   E  E , ta có tương ứng số thực, ký hiệu a, b cho: a, b  b, a a, b1  b2  a, b1  a, b2 a, b1, b2  E a,  b   b, a ; a, b  E,   R a, a  với a  E, a, a  a = Nhận xét: a1  a2 , b  a1 , b  a2 , b  a, b   a, b khơng gian thực Trong khơng gian tiền Hilbert định nghĩa hàm chuẩn sau: x  x, x Với hàm không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn 1.2.2 Giới hạn dãy điểm Ta nói dãy điểm xn = x1,x2,…,xn khơng gian tiên Hilbert E có giới hạn a, viết: limxn = a, dãy số xn  a có giới hạn Dãy có giới hạn gọi dãy hội tụ Dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Dễ thấy giới hạn dãy hội tụ 1.2.3 Định nghĩa: Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1.3 Khái niệm chuỗi thời gian trình ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên X t biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t  T (trong T   giải thích thời gian) Đó tượng mang tính thống kê phát triển theo thời gian, tuân theo quy luật lý thuyết xác suất 1.3.2 Định nghĩa Giả sử T tập hợp tất số nguyên thuộc khoảng  a, b   ,    a  b   ;  X t t  T  dãy đại lượng ngẫu nhiên xếp theo thứ tự T Chuỗi thời gian dãy  xt t  T  (hữu hạn vô hạn) giá trị dãy X t Nếu thời gian đoạn T   a ; b   chuỗi thời gian gọi liên tục Nếu thời gian tập hợp rời rạc T   chuỗi thời gian gọi rời rạc Khái niệm chuỗi thời gian có quan hệ trực tiếp đến khái niệm trình ngẫu nhiên chuỗi thời gian mà ta xét thể q trình ngẫu nhiên Có thể xem chuỗi thời gian dãy điểm không gian vô hạn chiều đại lượng ngẫu nhiên, xác định độ đo xác suất Chính đưa hàng loạt khái niệm trình ngẫu nhiên vào chuỗi thời gian cách cụ thể Để phân biệt ta sử dụng thuật ngữ trình X t để dãy đại lượng ngẫu nhiên mà thể chuỗi thời gian xt Và hiểu rằng, chuỗi thời gian dãy rời rạc thể trình, số hóa số nguyên liên tiếp khoảng thời gian cách Nếu tập hợp thời điểm quan sát t0 , t0  h, , t0  Nh chuỗi thời gian kí hiệu x0 , x1 , , xN N  độ dài chuỗi Nếu T   chuỗi thời gian dãy vơ hạn hai phía ., x2 , x1 , x0 , x1 , x2 , Nếu T   chuỗi thời gian dãy x0 , x1 , x2 , Vì biến ngẫu nhiên thực ánh xạ đo từ không gian xác suất   , F, ) vào không gian đo () nên trình X t hàm cặp (t,) đo theo  với t T Ví dụ Các báo cáo tài mà ta thấy ngày báo chí, tivi hay Internet số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, số tăng cường hay số tiêu dùng…đều thể thực tế chuỗi thời gian Trong giới hạn luận văn ta xét cho trường hợp T tập số nguyên sử dụng thuật ngữ chuỗi thời gian để đồng thời liệu q trình có liệu thể 1.4 Q trình dừng phân tích hệ số tự tương quan 1.4.1 Khái niệm trình dừng Giả sử  X t  chuỗi thời gian  X t2   Khi a) Hàm số  X (t )   X t với t  T gọi hàm trung bình  X t  b) Hàm biến  X (t , s)  cov( X t , X s )    X t   X (t )  X s   X ( s)  với s, t  T gọi hàm tự hiệp phương sai  X t  Chuỗi thời gian  X t , t  gọi dừng thỏa mãn: +)  X t   , t   10 từ H cách xóa dịng khối đầu tiên,  ( H ) hàng khối Chứng minh Đầu tiên, (4.25a) (4.25b), ta thay x(0) x   Với phép biểu diễn lọc Kalman a '  x 1  x 1  UH   H  với a  n , 1   E  x 1 x   '  E  x 1 x   '  P  E x  1 x   '   Mà A, C , C cân ngẫu nhiên mà đó, định lý 4.4 (4.19), P    P  , x    1/ V ' L1 y x  1  1/2 U ' L1  y  , mà   y  suy từ y cách bỏ vector phụ tương ứng với thời gian t = Do đó, theo (4.25a) A   1/2 U ' L1E   y  y'  LT V  1/2 , Đồng với (4.26a) Tương tự vậy, từ (4.26b), C  E  y   y  LTV  1/2 , Suy (4.26b) Cuối cùng, thay x   x    (4.25c), đối số đối xứng suy (4.26c)  Lưu ý (4.26) có cách áp dụng thuật tốn Ho-Kalman cho tìm thừa số H∞ tương ứng với phân tích đơn trị (4.15) 2.5 Thể ngẫu nhiên từ liệu hiệp phương sai hữu hạn Trong phần sửa đổi lý thuyết thể mục với trường hợp đoạn hữu hạn  y   , y 1 , y   , , y  v  , 48 (5.1) chuỗi thời gian {y (t)} có sẵn Chúng ta xác định y (t) chuỗi bán vô hạn (3.3) liệu, hình thành, thơng qua giới hạn ergodic (1.11), dãy hiệp phương sai riêng  , 1 ,  , ,  v  , (5.2) Vấn đề thể tương ứng, túy theo lý thuyết nhằm chuẩn bị cho phép nhận dạng tình hình thực tế với chuỗi hữu hạn liệu quan sát (Phần 6), vấn đề thể phần riêng ngẫu nhiên đề cập Mục Ta giữ lại giả định quan trọng 2.1, nghĩa liệu (5.1) đầu số hệ thống tối thiểu "đúng" (3.7) chiều n ν lớn đủ để n bậc dương chuỗi riêng (5.2) Bây giờ, giả sử ν = 2τ - 1, phân vùng liệu vào hai ma trận  y ( )   y  1     y   ,       y  2  1   y (0)   y     y         y   1  (5.3) biểu diễn khứ tương lai tương ứng, xác định không gian tương   ứng (hữu hạn chiều) Y  Y  , mở rộng hàng Y  Y  tương ứng giải thích Mục Vì liệu kích thước τ quan trọng việc xem xét phần sau, biểu thị ma trận khối Hankel hữu hạn H Mục 2, liên quan đến liệu (5.3), Hτ, tức   H  E y  y  ' (5.4) Cho τ0 số nguyên nhỏ τ cho hạng Hτ = n Cũng biết τ0 giá trị tối đa số mũ quan sát thành lập  A, C , C  , đó, n giới hạn τ0 Như nêu phần đầu Mục 49 2, ta cần τ > τ0 để đảm bảo việc tìm thừa số H τ mang lại  A, C, C  Tiếp theo, ta xét lớp không gian phân tách nhỏ cho Y   Y  , tức là, không gian Xτ chứa thừa số tắc   Y Y      X toán tử Hankel khoảng hữu hạn   : E Y Y (5.5) Đó tiêu chuẩn (Lindquist Picci, 1985, 1991) cho thấy khơng gian dự đốn tương lai khứ    X    E Y Y  X    E Y Y , không gian phân tách tối thiểu 2.5.1 Định lý Cho X không gian phân tách Markovian tối thiểu cho chuỗi thời gian dừng {y(t)} Khi đó, τ > τ0 X  : U X (5.6) không gian phân tách tối thiểu cho Y Y   X    E Y X    X    E Y X  , Ngược lại, với sở x   (5.7)  X   có phép biểu diễn nhất1  x    E Y x   , 50 (5.8) Trong đó, x(τ) sở X  , với sở x    X   có phép biểu diễn   x    E Y x   , (5.9) với x   sở Xτ Vì X thay đổi tập hợp  tất không gian phân tách tối thiểu Markovian x    x    tương ứng tạo thành chọn lọc không đổi sở Chứng minh Vì X khơng gian phân tách với khứ vô hạn H  và tương lai vơ hạn H  , với tính chất dừng, Xτ chia tách H  : U  H   H : U  H  Nhưng Y  H Y  H , Xτ chia tách Y Y (Xem, ví dụ như, Lindquistand Picci (1985, 1991).) Bây giờ, sử dụng cơng thức hình chiếu thích cuối trang16, ta có với với b ' y  Y  A1 A Y  E b ' y  b '     A A2 A3 A3  A4  A 1 A   A   A0  A 1   A1'       A2 1   A' A1 A2 A0  A1  A' 1 A'   1 A   A 1   y       A0  '  b '   (T )1 y  b '   Ωτ  τ ma trận thích hợp hữu hạn chiều quan sát thể xây dựng (2.6) hạng đầy đủ Nếu τ>τ0,, có thừa số tối thiểu ' ' H    để  :  (T  ) 1 y có thành phần n, ' E{ '}   (T' ) 1   Do đó, thành phần  thuộc  X    n  dim X  vậy, X   , dim  51  X   tối thiểu, Xτ phải tối thiểu  X   mở rộng thành phần  Tiếp theo, từ hệ thống ngược (3.14) ta thấy y   x( )  điều kiện trực giao với Xτ , đó, với cơng thức hình chiếu, '  E Y a ' x( )  a ' E{x ( ) x( ) '} (T ) 1 y  a '  Do đó, E Y X   {a ' a   n }   X   , thiết lập phép đông (5.7) phép   thứ hai suy từ đối số đối xứng Công thức biểu diễn (5.8) suy từ từ tính cực tiểu Xτ khơng gian phân tách với Y Y , nghĩa tốn tử xây dựng được,  t : E YX : X    X  nội xạ (Lindquist Picci, 1985, 1991) Nói cách khác, với k  1, 2, , n , có biến ngẫu nhiên xk ( )  X  mà hình chiếu vào Y x k ( ) Để chứng minh x(0) hình thành lựa chọn sở X thay đổi , lấy X khơng gian dự đốn q khứ dừng X+ đặt x ( ) sở U X  để x ( )  E Y x ( ) Bây   giờ, cho X   tùy ý.Khi đó, Xτ không gian tách Y U X   U H  (Lindquist Picci, 1991, Mệnh đề 2.1 (vi)), ta có   x ( )  E Y x ( )  E Y E X x ( ), X đó, với tính phép biểu diễn (5.8), x(0)  E x (0) cho X   , đặc tính biết đến lựa chọn sở; xem Mục Lindquist Picci (1991) Một đối số đối xứng môi trường khứ mang mệnh đề tương ứng cho (5.9)  52 Những thể ngẫu nhiên tương ứng với dự báo khoảng không gian hữu hạn  X   X   không dừng Tuy nhiên, với lợi phép biểu diễn (5.8) (5.9), ta biểu diễn thể theo cách mà ta biểu diễn tham số ba không đổi ( A, C , C ) tương ứng với lựa chọn sở, cho môi trường tương lai khứ Trong thực tế, sở x (τ )  x (τ ) chọn để x(τ ) x (τ) phép biểu diễn (5.8) (5.9)   sở đối ngẫu X  , nghĩa là, E x   x    I , Khi đó, chọn lựa ( A, C , C ) dùng cho  X  X  Sự lựa chọn sở  X   gọi thống Thể tạo thống sở lọc Kalman tương lai khứ (tạm thời) Trong thực tế, vector x (τ ) dự đoán  bước x(τ) dựa Y  2.5.2 Các hình thức bất biến lọc Kalman Với hệ thống dừng ngẫu nhiên cho (3.7), lọc Kalman thường xác định thơng qua phương trình ma trận Riccati Q (t  1)  AQ (t ) A ' [AQ (t )C ' BD '][CQ (t )C ' DD ']1[ AQ (t )C ' BD '] ' BB ' (C.1) Trong Q(0)  P : E{x(0) x(0')} Ở Q (t )  E{[ x(t )  x (t )][ x(t )  x (t )]'}, (C.2) gia lượng Kalman cho K (t )  [ AQ(t )C ' BD '][CQ (t )C ' DD ']1 (C.3) Tất nhiên, phương trình phụ thuộc vào P, B D, biến đổi không gian phân tách X biến đổi , (A,C, C ) bất biến lựa chọn sở thực 53 Tuy nhiên, thấy, gia lượng K phụ thuộc vào ba (A,C, C ) người ta nên thay (C.1) (C.3) với phương trình phụ thuộc vào (A,C, C ) bất biến x Rõ ràng, theo Định lý 5.1, P−(t), xác định (5.12), có tính chất Hơn nữa, Q (t )  P  P (t ), Mặt khác theo (3.9), phương trình Lyapunov P  APA ' BB ', P, B D (C.1) (C.3) bị loại bỏ để mang lại (5.13) (5.11) Một đối số đối xứng mang lại phương trình ngược thời gian Thật dễ dàng để thấy Q(t) → Q∞ đơn điu, P−(t) → P−, P  P rút thời gian x    , x  t  1  Ax  t   K  t   y  t   C x  t   ;   lọc Kalman (5.10) mà K(t) xác định   K  t   C ' AP  t  C '    CP  t  C '  1 (5.11) lọc ước lượng hiệp phương sai P  t   E x  t  x  t  '   (5.12) nghiệm ma trận phương trình Riccati  P  t  1  AP  t  A ' C ' AP  t  C '    CP  t  C '  1 C ' AP  t  C ' '        P        (5.13) Theo cách đối xứng, hệ thống khứ (3.14) tương ứng (3.7), thành phần   x    E Y x   54 (5.14) tạo thành sở  X   tạo lọc Kalman khứ    x  t  1  A ' x  t   K  t   y  t  1  C x  t   ;    x  2  1  0, (5.15) Với   K  t   C ' A ' P   t  C '   CP  t  C '  1 , (5.16) Trong   P  t   E x t  x t  '   (5.17) thu được cách giải ma trận phương trình Riccati  P   t  1  A ' P   t  A  C ' A ' P   t  C '   C P   t  C '    P   2  1    1  C ' A ' P  t  C ' ' (5.18) Bây giờ, biết v  t    A0  CP  t  C ' 1/  y  t   C x  t     (5.19)  v  t   A0  C P   t  C '  1/  y  t  1  C x  t     (5.20) tiếng ồn trắng chuẩn hóa, gọi trình đổi (tạm thời) tương lai khứ tương ứng Do đó, ta viết lọc Kalman (5,10) thành  x  t  1  Ax  t   B  t  v  t    y  t   C x  t   D  t  v  t  1/2 D  t  :  A0  CP  t  C '  (5.21) B  t  : K  t  D  t  Tương tự vậy, Kalman khứ (5,10) viết 55  x  t  1  A ' x  t   B   t  v  t  1    y  t  1  C x  t   D   t  v  t  1  Trong D   t  : A0  C P   t  C ' 1/2  (5.22) B   t  : K  t  D   t  So sánh với (3.7) (3.14), ta thấy (5.21) (5.22) thể ngẫu nhiên, không giống (3.7) (3.14) biến đổi theo thời gian mô tả đầu y vào khoảng [0,2τ -1] Trong thực tế,  P  P  t   E  x  t   x  t    x  t   x  t   '  0,       tương tự, P  P   t   0, ta có 1 P  t   P  P  t  : P   t  , (5.23) thấy khơng gian dự báo  X    X   không gian phân chia cực trị, giống X  X  (3.20) Có thể thấy rằng, khoảng hữu hạn phương trình (4,25) cho 1 A  E x   1 x   ' P   (5.24a) 1 C  E y   x   ' P   , (5.24b)     1  C  E y   1 x   ' P     E y   1 x   '     (5.24c) Tương tự với trạng thái dừng mục 4, hệ số tương quan tắc            n    (5.25) hữu hạn Y khứ hữu hạn Y tương lai hữu hạn Y xác định đơn trị toán tử H  cho (5.5) Để xác định điều này, ta cần phép biểu diễn ma trận H  số sở trực giao Sử dụng cặp 56 (5.19) - (5.20) q trình đổi tạm thời với mục đích này, ta có ma  Sự phân tách giá trị trận chuẩn hóa (2.14), mà biểu thị H  kì dị suy   U  V ' , H    (5.26) Trường hợp U  U '  I  V V' Σ ma trận đường chéo hệ số tương quan tắc Như phần 4, thấy  z    1/ V '  L  1 y        1  z    1/ U'  L  y  (5.27) sở  X    X   tương ứng để   ' E  z   z   '    E z z (5.28) Ở đây, L L khoảng hữu hạn L  L  tương ứng, tất nhiên ma trận chúng (L  L  ) Lưu ý H  , xác định (5.4), suy từ    L  ' H  L H  (5.29) Ta thấy rằng, tương tự với Định lý 4,4, z(τ ) z (τ) sở thống nhất,   ba tương ứng A, C , C thể cân ngẫu nhiên khoảng hữu hạn, tức là, P      P    (5.30) Sự điều chỉnh khoảng thời gian hữu hạn sau Định đề 4.5 phiên phân tích đơn trị tắc thuật tốn Ho-Kalman áp dụng cho ma trận khối hữu hạn Hankel H  , việc chứng minh tương tự 2.5.3 Mệnh đề 57  Khoảng hữu hạn ba A , C , C   cân ngẫu nhiên, thu từ (5.24)  cách chọn sở x    z   x    z   , đưa 1 T A  1/ U'  L    H   L  V 1/ , T C  1  H    L  V 1/ ,  T   L  C  1 H ' (5.31a) (5.31b) U 1/2 , (5.31c) mà toán tử     1    xác định mục2 mệnh đề 4.5   thực biến đổi với τ, nhưng, với τ, tương tự ba cân ngẫu nhiên  A, C , C  Mục 4, tức là, có mộ ma trận Lưu ý ba A , C , C  không suy biến Q   A , C , C    Q AQ     1   , CQ1 , CQ' (5.32) Điều thật dễ dàng để kiểm tra, lựa chọn sở tương ứng (5.32), không gian dự đốn dừng X  X  có hiệp phương sai trạng thái P  Q  Q' P   QT  Q1 , (5.33) tương tự với việc chứng minh Định lý 4.4.Thực tế hiệp phương sai trạng thái đường chéo biểu thực  tế ba A , C , C   không cân ngẫu nhiên Mục Cũng biết P  (t) P  (t) có xu hướng đơn điệu P  P  , tương ứng, t → ∞, ta có cách đặt sau đây: 1    P   :   P  P  58  P     1 : 1 Vì số n giá trị khác khơng từ (5.25) nói chung q lớn để mang lại mơ hình hợp lý, ta phải xét chuyện xảy số đơn trị nhỏ tập hợp khơng Các quy trình rút gọn sử dụng van Overschee De Moor (1993) tương đương với rút gọn hệ thống phụ chủ yếu trình bày Mục 2, điều quan trọng phân tách giá trị thực  , biểu diễn ma trận tự nhiên ma trận khối Hankel chuẩn hóa H  toán tử H  Trong mục 7, rút gọn bảo tồn tính dương trường hợp dừng (Định lý 7.3) Để thực kết cho trường hợp hữu hạn τ, ta cần phải giả định mật độ phổ Φ chuỗi thời gian {y(t)} kháng từ Giả định 3.2 đúng, nghĩa hàm Z dương Định lý sau hệ tất yếu Định lý 7.3, chứng minh Phụ lục D, cho thấy hệ thống phụ rút gọn chủ yếu bảo tồn tính dương đưa τ lựa chọn đủ lớn 2.5.4 Định lý Giả sử mật độ phổ Φ chuỗi thời gian { y (t )} kháng từ Khi đó, có số nguyên    cho, với    , rút gọn hệ thống phụ chủ yếu ( A )  11 , (C )1 , (C  )1   A ,C ,C     thể tối thiểu hàm dương (2.13) Chứng minh định lý 5.3 Cho Z, xác định (1.6), dương, (A,C, C ) lựa chọn dạng cân ngẫu nhiên Khi đó, Định lý 7.3, Z1 xác định (7.15), rút gọn hệ thống phụ chủ yếu (A11,C1, C 1), dương Chúng tơi muốn chứng minh tính chất chuyển sang hàm ma trận hữu tỷ Z ( z )  (C )1 ( zI  ( A )11 ) 1 (C  )1 )  1 với τ đủ lớn 59 A0 Với mục đích này, cho Q τ xác định (5.32).Vì hệ số tương quan tắc (5.25) có xu hướng hệ số tương quan tắc (4.12) τ →∞,Στ → Σ Hơn nữa, giải thích Định lý 5.3 trước, nghiệm Riccati P−(t)có xu hướng Q τ ΣQτ t → ∞ điều kiện ban đầu phải P−(τ )=Στ Do đó, với với  > 0, có τ đủ lớn cho        Q Q /   để   Q Q /   <  Do Qτ có xu hướng đến giới hạn Q∞ với tính chất Σ = Q∞ΣQ/∞ Sử dụng chứng minh ngược, thứ hai hệ thức (5.33) cho thấy Q∞ thỏa mãn Σ = Q T ΣQ 1 Do đó, với đối số tương tự chứng minh định lý 4.4, Q∞ ma trận ký số, đường chéo đặc biệt Do đó, 1 1 ' (( A )11 , (C )1 , (C )1 )  ((Q )11 A(Q )11 , C (Q )11 , C (Q )11 )   Trong (Q∞)11 rút gọn tương ứng ma trận ký số , , tính liên tục, Zτ1 →Z1 Do đó, Z1 dương, nên Zτ1 dương với τ đủ lớn 60  KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau đây:  Phân tích số giả thiết mối liên hệ tính dương,tính khơng dương ma trận hiệp phương sai mở rộng  Trình số kết liên quan đến lý thuyết hể ngẫu nhiên không gian Hilbert hàm mẫu  Trình bày kết liên quan đến phân tích tương quan tắc thể ngẫu nhiên cân  Trình bày kết liên quan đến thể ngẫu nhiên liệu hiệp phương sai hữu hạn Hướng phát triển thời gian tới: Trong thời gian tới dự kiến nghiên cứu để ứng dụng ước lượng hiệp phương sai mẫu vào dự báo 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Hồ Quỳnh, Chuỗi thời gian phân tích nhận dạng, Nxb Khoa học kỹ thuật, 2003 [3] Nguyễn Duy Tiến (chủ biên), Đặng Hùng Thắng, Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần II Quá trình dừng ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục, 2003 [5] Adamjan, D Z., Arov and M G Krein (1971) Analytic properties of Schmidt pairs for a Hankel operator and the generalized Schur-Takagi problem Math USSR Sbornik, 15, 31–73 [6] Akaike, H (1975) Markovian representation of stochastic processes by canonical variables SIAM J Control, 13, 162–173 [7] Aoki, M (1990) State Space Modeling of Time Series (second ed.), Springer-erlag [8] Byrnes, C I and A Lindquist (1996), On the partial stochasic realization problem, submitted for publication [9] Lindquist, A and G Picci (1994b) On “subspace methods” identification and stochastic model reduction Proceedings 10th IFAC Symposium on System Identification, Copenhagen, June 1994, Volume 2, 397–403 [10] van Overschee, P., and B De Moor (1994a) Two subspace algorithms for the identification of Automatica, 30, 75–93 combined 62 deterministic-stochastic systems ... Chương PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN CHÍNH TẮC VÀ XẤP XỈ MỞ RỘNG HIỆP PHƯƠNG SAI CỦA CHUỖI THỜI GIAN DỪNG 2.1 Bài toán nhận dạng dãy hiệp phương sai Trọng tâm thủ tục mô tả toán nhận dạng dãy hiệp phương sai. .. khơng gian Hilbert Chương Phân tích tương quan tắc, xấp xỉ mở rộng hiệp phương sai chuỗi thời gian dừng Đây nội dung luận văn, gồm phần Phần 2.1 giới thiệu Tính dương, khơng âm khai triển xấp xỉ. .. trình mô tả vấn đề xác định dãy hiệp phương sai Nhiệm vụ đề tài chúng tơi tìm hiểu phân tích tương quan tắc, mở rộng gần hiệp phương sai nhận dạng chuỗi thời gian dừng Nội dung luận văn bao gồm