Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 7: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.. a Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.[r]
(1)ÔN LUYỆN THI VÀO THPT Chủ đề 1: RÚT GỌN BIỂU Phần I: Các kiến thức cần nhớ Các đẳng thức: 1) (a+b)2 = a2+2a.b+b2 a b a ab b THỨC CHỨA CĂN a, b 0 2) (a – b)2=a2 – 2a.b+b2 a b a ab b a, b 0 3) a2– b2 = (a – b).(a +b) a b a b 3 a b a, b 0 4) (a+b) = a +3a b+3ab +b 5) (a– b)3=a3 – 3a2b+3ab2 – b3 6) a3+ b3=(a+b).(a2 – ab+b2) a a b b a b3 a b a ab b a, b 0 a ab b a, b 0 7) a3- b3=(a-b).(a2 + ab+b2) a a b b a3 b3 a b 8) (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 9) ( a b c ) a b c ab bc ca a, b, c 0 a2 a 10) Phần II: Phân dạng bài tập: Dạng1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện Bài1 Tính: a) 10 40 b) 45 12,5 e) 169 f) 0,5 Bài2 Rút gọn: A= 10 10 a) e) d) 125 49 81 E= 15 216 33 12 d) f) 192 12 48 27 30 162 16 3 6 27 75 3 75 g) 25 12 C= 8 b) 18 2 2 2 2 27 g) 162 B= 13 160 53 90 D= 125 80 605 Bài3 Tính: c) c) (3 5) 10 k) ( 2) (2) Bài4 Rút gọn: A 15 12 5 2 C 15 5 3 5 E (4 15)( 10 6) 15 32 18 5 14 25 49 16 D 2 B 6 F (5 2)(3 )(3 ) Dạng2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài1 Rút gọn biểu thức: x2 x 2.x x2 a) x (Với x ) b) (với x ) c) x x (với x<0) d) x 16 x x (với x>4) 2 b (b 1) e) 3(a 3) (với a 3 ) f) (với b<0) Bài2 Rút gọn biểu thức: ( x y y x )( x y ) x y A= (với x>0 và y>0) x 1 x 5 x x x (với x 0 và x 4 ) B= x a b a b a b (với a 0, b 0 và a b ) C= a b Bài3 Cho biểu thức: (2 x y )(2 x y ) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên Bài4 Cho biểu thức: a 1 a 2 A : a a a a1 a) Tìm điều kiện để A xác định b) Rút gọn A Bài Cho biểu thức: x 1 x3 x B x : x x x 1 x a) Tìm điều kiện để B xác định b) Rút gọn B Bài Cho biểu thức: x x x 1 C : x x x x x a) Tìm điều kiện để C xác định b) Rút gọn C (3) Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: A x2 4 x 4x với x 2 a a b b a b b a a b B : a b a b a b x2 x C 2x 1 ab b3 D a b với x (với a; b 0; a b ) ab a a b : a b a b với a; b 0; a b Dạng 3: Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Bài Cho biểu thức: A 2 x x x Tính giá trị A x=-5 Bài Cho biểu thức: 1 B 1 x 1 x Tính giá trị biểu thức x=4 Bài Cho biểu thức: C 1 a : 1 1 a a2 Tính giá trị biểu thức C a=1và a= Bài Cho biểu thức: 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính giá trị biểu thức x= 2 Bài Cho biểu thức: x1 x x 2 E : x x 1 x x Tính giá trị biểu thức x= 2 Bài Cho biểu thức A= 15a 8a 15 16 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A a= Dạng 4: Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Bài1 Cho biểu thức: A 4 x Tính giá trị x, biết A=-15 x 12 x (4) Bài Cho biểu thức: a a a a a B : b a a b a b a b ab a b thì B=1 Tìm a;b Biết Bài3 Cho biểu thức: (16 x ) x x x C : x x x 2 x4 x 4 Tìm x biết C=4 Bài Cho biểu thức: a 1 2a a a 1 2a a D 1 : a a a a a) Tìm a biết D=-1 b) Tìm a biết D=-4 Bài Cho biểu thức: a b a b3 A= a b a b ab a) Tìm điều kiện a,b để A xác định b) Rút gọn A c) Tìm điều kiện a,b để A=0 Dạng5:Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên a b U (a) Chú ý: b Bài1 Cho biểu thức: a 2 a a 1 A a 1 a a a Tìm giá trị m để A nhận giá trị nguyên Bài2 Cho biểu thức: a 1 a b a 3a B : a ab b a a b b a b 2a ab 2b a) Rút gọn B với a 0, b 0, a b b) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức B nhận giá trị nguyên Bài Cho biểu thức: a a 3a 9a C 1 a a a a Tìm giá trị nguyên a để biểu thức C đạt giá trị nguyên Bài Cho biểu thức: (5) A x x x x 12 9 x x x 3 a) Tìm điều kiện để A xác định b) Rút gọn A c) Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Dạng Tìm giá trị biến biết dấu biểu thức Bài1 Cho biểu thức: x A : x x x x x Tìm x để A <0 Bài2 Cho biểu thức: x x x 1 A : x x x x x với x 0, x 9 a) Rút gọn A b) Tìm x cho A <-1 Bài Cho biểu thức: a 1 a 2 A : a a a a1 a) Tìm điều kiện xác định A b) Rút gọn A c) Tìm a để A <0 Dạng7 Chứng minh bất đẳng thức Bài1 Cho biểu thức: a2 a a1 A : a a a a 1 a (với a 0, a 1 ) a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng: A 2 Dạng Tìm giá trị lớn và nhỏ Bài1 Cho biểu thức: x x 1 x A x x x a) Rút gọn A b) Chứng minh 0<x<1 thì A>0 c) Tính giá trị lớn A Bài tập tổng hợp: Bài1 Cho biểu thức: x x x x 2( x 1) x x 1 x x x x 1 A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A biết x=4 (6) c) Tính giá trị x biết A= d) Chứng minh A >0 e) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên f) Tìm giá trị x để A < Bài2 Cho biểu thức: x : 1 x x với -1<x<1 P= a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P=1 Bài3 Cho biểu thức: x x 1 x x x A= a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x= c) Tìm tất các giá trị x để A<1 Bài4 Rút gọn các biểu thức sau: a) 27 300 : x 1 x x x x b) Bài5 Cho biểu thức x2 x 1 x 1 x x x x x P= a) Rút gọn P b) Chứng minh P< với x 1 Bài6 Cho biểu thức: x x 1 x x 1 x : x x x x x x M= a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M nguyên Bài7 Cho biểu thức: x 1 x x x A= với x 4 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x=25 (7) c) Tìm giá trị x để A= Bài8 Cho biểu thức: n n 1 n n với n 1 N= a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm n nguyên để N nguyên Chủ đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Phần I Lý thuyết Định nghĩa Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm Điều kiện để hệ có nghiệm nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm ax+by=c a'x+b'y=c' (a,b,c,a’,b’,c’ khác 0) ẨN a b c a' b' c' + Hệ có vô số nghiệm nếu: a b c a' b' c' + Hệ vô nghiệm nếu: a b + Hệ có nghiệm nếu: a' b ' Các phương pháp giải hệ ax+by=c a'x+b'y=c' a) Phương pháp cộng đại số b) Phương pháp Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trướ áp dụng các phương pháp giải hệ Phần II Phân dạng bài tập Dạng1: Giải hệ phương trình không chứa tham số Bài1 Giải các hệ phương trình sau 2 x y 7 17 x y 2 12 x y 9 a) x y 4 b) 13x y 1 c) 120 x 30 y 34 3 x 4 y 2 x y 2 x y 5 x y 0 d) e) f) 3.x y 1 x 2 y 7 x y 1 x 3 y g) k) Bài2 Giải các hệ phương trình x y 1 5 x y 8 (8) 2 x y 2 x y 3 x y 8 1 1 13 x y a) b) x y c) x y d) Dạng2: Giải hệ phương trình biết giá trị tham số Bài1 Cho hệ phương trình 3mx (n 3) 6 (m 1) x 2ny 13 a) Giải hệ phương trình với m=2;n=1 b) Giải hệ phương trình với m=1;n=-3 Dạng3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số VD1: Cho hệ phương trình mx y 2 x y 1 Giải và biện luận hệ theo m 2 y 1 x 1 y 8 y Giải mx y 2 (2 m) x 3 (1) (2) 2 x y 1 2 x y 1 + Xét phương trình(1): (2+m)x=3 -Nếu m 0 m thì phương trình(1) có dạng 0.x=3 Do phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm - Nếu m 0 m thì phương trình (1) có nghiệm 4 m x y 2 x 1 m Thay vào phương trình(2) ta có: 2m 2m 4 m x y m và 2m Vậy với m thì hệ có nghiệm nhất: Dạng4: Tìm giá trị tham số biết dấu các nghiệm hệ phương trình VD1 Cho hệ phương trình x y 5 mx y 3 Tìm m để x<0,y <0 VD2 Cho hệ phương trình x my m m mx y m 4m Tìm m để x>0, y<0 Dạng5: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình D.5.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình Phương pháp: x x0 ax by c (1) a ' x b ' y c(2) ' Cho hệ phương trình y y0 có nghiệm Thay x=x0; y=y0 vào (1) giải Thay x=x0; y=y0 vào (2) giải (1) (2) (9) 3x y 7 VD1 Cho hệ phương trình: (5n 1) x ( n 2) y n 4n Tìm n để hệ có nghiệm (x;y)=(1;-2) Giải: Thay (x;y)=(1;-2) vào(1) ta có: 3.1-2.(-2)=7 thoả mãn Vậy (x;y)= (1;-2) là nghiệm pt(1) Thay (x;y)=(1;-2) vào(2) ta có: (5n 1) 2(n 2) n 4n n 0 7n n 4n n(n 11) 0 n 11 Vậy n=0 n=11 thì hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(1;-2) 5m(m 1) x my (1 2m) (1) (2) 4mx y m 3n VD2 Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm x=1; y=3 Giải 2.5m.(m 1) m.4m ĐK để hệ có nghiệm là 2 Thay x=1;y=3 vào(1) ta có: 5m 5m m 1 4m 4m m 1 m 1 (I) m 0 4m m2 3m m(m 1) 0 m 1 (II) Thay x=1;y=3 vào(2) ta có: Từ(I) và (II) ta có với m=1 thì hệ có nghiệm x=1;y=3 D.5.2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình Phương pháp: x x0 ax by c (1) (2) y y0 a ' x b ' y c ' Cho hệ phương trình có nghiệm ax0 by0 c a ' x b ' y0 c ' Thay x=x0;y=y0 vào hệ pt ta có Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số 2mx (n 2) y 9 VD1.Cho hệ phương trình (m 3) x 2ny 5 Tìm m;n để hệ có nghiệm x=3;y=-1 Giải Thay x=3;y=-1 vào hệ phương trình ta có: 6m ( n 2)( 1) 9 3m 2n 3( m 3) n ( 1) 12 m n 14 Vậy với m=2;n=5 thì hệ có nghiệm x=3;y=-1 m 2 n 5 Dạng6: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x và y (10) Phương pháp: (1) ax by c a ' x b ' y c ' (2) Cho hệ pt (I) có nghiệm thoã mãn px+qy=d (3) + Do (x;y) là nghiệm hệ (I) và thoã mãn (3) Suy (x;y) là nghiệm (1),(2),(3) +Kết hợp phương trình đơn giản +Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại.Giải pt chứa ẩn là tham số (1) 3 x y VD1: Cho hệ phương trình 3mx (m 5) y (m 1)(m 1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoã mãn: 4x-2y=-6 Giải ĐK: 3.(m 5) 6m 0 m 5 (3) Do (x;y) là nghiệm hệ pt(I) và thoã mãn(3) nên (x;y) là nghiệm (1),(2),(3) 3x y x x y y Kết hợp(1) với (3) ta có: 2 Thay x=-2,y=-1 vào pt(2) ta được: 6m (m 5) m m 5m 0 m 1 m 4 (thoả mãn) Vậy với m=1 m=4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x-2y=-6 mx y 5 (1) VD2:Cho hệ phương trình 2mx y 6 (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m-1)x+(m+1)y=m (3) Giải ĐK để hệ có nghiệm nhất: m.3 2.m m 0 Từ (1) y 5 mx Thay vào (2) ta có: 2mx 3.(5 mx) 6 x m ( m 0 ) m vào y=5 –mx ta có: y=5 – = -4 Thay x m và y=-4 Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm 9 x (2m 1) ( m 1)( 4) m m ; y=-4 vào pt(3) ta được: m Thay m 1 m 9 18 4m m 5m 14m 0 (m 1)(m 9) 0 (thoả mãn) m x (11) m thì hệ (I) có nghiệm thoã mãn pt(3) Vậy với m=1 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên Chú ý: a m U (a ) m +) ( a, m ) a b m U ( a , b) m m +) và (m 2) x y 5 (1) (2) VD1:Cho hệ phương trình mx y 1 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải Từ (2) ta có: y = mx – Thay vào(1) ta được: (m+2).x +2.(mx – 1) = 3mx x 7 x(3m 2) 7 x m 3m 3) ( 4m y m y 3m 3m (3) Thay vào y = mx – x 3m U (7) 1; 7 3m Để +) 3m m Thay m = -3 vào (3), ta có y = (thoã mãn) (loại) +) 3m 1 m (loại) +) +) 3m m Thay m = -1 vào (3) ta có y = (thoã mãn) 3m 7 m Kết luận: m để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 m = -1 (m 3) x y 2 (1) (2) VD2: Cho hệ phương trình mx y 8 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải Từ (1) ta có y = – (m – 3).x y 2 mx x Thay vào (2) ta có: mx +2.(2 – mx +3x) = mx x 4 x(6 m) 4 x m ( m 6 ) 24 6m y m ( m 6 ) (3) Thay vào y 2 mx 3x ta có: x m U (4) 1; 2; 4 m Để (12) +) – m = m 5 thay vào (3) ta có y = -6 (thoã mãn) +) – m = -1 m 7 thay vào (3) ta có y = 18 (thoã mãn) +) – m = m 4 thay vào (3) ta có y = (thoã mãn) +) – m = -2 m 8 thay vào (3) ta có y = 17 (thoã mãn) +) – m = m 2 thay vào(3) ta có y = (thoã mãn) +) – m = -4 m 10 thay vào (3) ta có y = (thoã mãn) m 2; 4;5; 7;8;10 Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ mx y m (1) 2 x my m 2m (2) VD1: Cho hệ phương trình a) CMR hệ phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức x2 +3y + nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị đó Giải 2 a) Do m 0 với m nên m2 + 2>0 với m Hay m 0 với m Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta được: 2x + m(mx – m2) = m2 +2m +2 x m x m m 2m x m2 x m3 m 2m x(2 m ) (m 1)(m 2) x m (do m 0 ) Thay vào (3) y m(m 1) m m y m Thay x = m+1 và y = m vào 25 (m 1) 3m m 5m m .m x2 +3y +4 ta : 5 5 m 2 4 Do 5 5 x y m m 0 2 Vậy 3mx y 6m m (1) (2) 5 x my m 12m VD2: Cho hệ phương trình Tìm m để biểu thức A = 2y2 + x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó Giải Từ (1) ta có: y = 3mx – 6m2 +m +2 Thay vào (2) ta có: 5x + m(3mx – 6m2 +m +2) = m2 2 +12m x(5 3m ) 6m 10m 2m(5 3m ) x m ( 3m 0 với m) Thay x = 2m vào y = 3mx – 6m2 + m + ta y = m +2 2 Thay x =2m; y = m+2 vào A ta được: A 2(m 2) (2m) 2( m 4m 4) A 2(m 4m 8) 2(m 4m 4) 16 2(m 2) 16 16 Do 2(m 2) 0 với m Vậy MaxA = 16 m = Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ x; y không phụ thuộc vào tham số (1) (2) (13) 2mx y 5 VD1: Cho hệ phương trình x 3my 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Giải a) Để hệ có nghiệm ta xét hiệu: 2m 3m – 3.(-1) = 6m2 +3 >0 với m Vậy 6m 0 với m nên hệ luôn có nghiệm 3y m 2 x thay vào (2) ta có: x x 15 y y 0 b) Rút m từ (1) ta Đây chính là hệ thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m (m 1) x y m VD2: Cho hệ phương trình x (m 1) y 2 Tìm hệ thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m 5 x ay a 12a 3ax y 6a a VD3: Cho hệ phương trình Tìm hệ thức liên hệ x; y không phụ thuộc vào a BÀI TẬP TỔNG HỢP 2 x y 7 3mx ( m 3) y m 6m Bài1 Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) = (2;1) Bài2 Giải hệ phương trình: 21 m n 1 n m (m 1) x 2ny 2 Bài Cho hệ phương trình: 3mx (n 2) y 9 a) Giải hệ phương trình với m =1; n = -3 b) Tìm m ; n để hệ có nghiệm x = 3; y = -1 3 x y mx (3m 1) y m Bài Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 4x – 2y = -6 x my 3 Bài5 Cho hệ phương trình: 2 x 3my 5 Tìm m để hệ có nghiệm thoã mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + (m 2) x y 3 Bài Cho hệ phương trình: mx y 7 (14) a) Giải hệ phương trình với m = -1 b) Tìm m để x >0, y>0 mx my m Bài7 Cho hệ phương trình: mx y 2m Tìm m để nghiệm hệ thoã mãn: x >0, y >0 (m 1) x y 5 Bài8 Cho hệ phương trình: mx y 1 a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (m 3) x y 2 Bài Cho hệ phương trình: mx y 5 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên 3mx y 6m m x my m 12m Bài10 Cho hệ phương trình: Tìm m để biểu thức: A= 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC Phần I: Lý thuyết I Định nghĩa II Phân loại Phương trình khuyết b và c 2 Phương trình khuyết c: ax bx 0( a 0) HAI MỘT ẨN Phương pháp giải x 0 ax bx 0(a 0) x(ax b) 0 x b a Phương trình khuyết b: ax c 0( a, c 0) Phương pháp giải c ax c 0(a, c 0) x a c 0 +) Nếu a thì phương trình vô nghiệm c c c 0 x1 ; x2 a a +) Nếu a thì phương trình có nghiệm phân biệt: Phương trình bậc hai đầy đủ: ax bx c 0( a, b, c 0) Phương pháp giải b 4ac +) thì phương trình vô nghiệm (15) +) 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b 2a x1 b b ; x2 2a 2a +) thì phương trình có nghiệm phân biệt: Phần II Phân dạng bài tập Dạng 1: Giải phương trình biết giá trị tham số Bài Giải phương trình: x x 0 Bài Giải phương trình: x 12 x 0 Bài Giải phương trình: x 2( 1) x 0 Dạng 2: Tìm giá trị tham số biết số nghiệm phương trình - Đặt điều kiện ax bx c 0( a 0) - Tính ( ') - Để phương trình vô nghiệm thì 0( ' 0) - Để phương trình có nghiệm kép thì 0( ' 0) - Để phương trình có nghiệm phân biệt thì 0( ' 0) Tổng quát: Để chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt: Cách 2: Chứng minh a 0 Cách 1: Chứng minh a.c <0 2 Bài Cho phương trình: x (2m 3) x m 2m 0 a) Tìm m để phương trình vô nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: ( m 3) x 2(m 5) x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải Điều kiện: m 0 m Xét ' (m 5) (m 3)(m 1) 6m 22 Để phương trình có nghiệm phân biệt thì ' 6m 22 m 11 11 m 3 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: x 2( m 3) x 2m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép Giải 2 Xét ' (m 3) (2m 6) m 4m m1 ' 0 m 4m 0 m2 Để phương trình có nghiệm kép thì Vậy phương trình có nghiệm kép m = -1 m = -3 (16) Bài Cho phương trình: (2m 10) x (3m 15) x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép Giải (1) 2( m 5) x 3(m 5) x m 0 Điều kiện: 2(m 5) 0 m 5 (1) 2 Xét 3 (m 5) 4.2.( m 5)( m 1) ( m 5)( m 53) Để phương trình có nghiệm kép thì 0 ( m 5)( m 53) 0 m 53 (vì m 5 ) Vậy phương trìng có nghiệm kép m = 53 Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt 2 Bài Cho phương trình: x (3m 1) x m 0 CMR phương trình luôn có nghiệm phân biệt Giải Ta có: a.c = 5.(-m2 – 1) = - 5(m2 +1) < với m Vậy phương trình luôn có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: x 2( m 3) x 2m 0 CMR phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Giải 2 Ta có: ' (m 3) (2m 4) m 4m (m 2) với m Vậy phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m 2 Bài Cho phương trình: ( m m 3) x 2( m 3) x 0 CMR phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Giải 11 a m2 m (m )2 0 Ta có: Hệ số với m 69 ' (m 3) 5( m2 m 3) m2 6m 5m 5m 15 6m2 m 24 6(m ) 2 với m Vậy phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax bx c 0 Tổng quát: +) Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = x c b - Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm - Nếu b = và c 0 thì phương trình vô nghiệm - Nếu b = và c = thì phương trình có vô số nghiệm +) Với a 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số: b 4ac (hay ' b '2 ac ) - Nếu 0( ' 0) thì phương trình vô nghiệm (17) x1 x2 - Nếu 0( ' 0) thì phương trình có nghiệm kép - Nếu 0( ' 0) thì phương trình có nghiệm phân biệt x1 b 2a b b ' ' b b ' ' x2 2a a 2a a và Bài Giải và biện luận phương trình: (m 2) x 2( m 1) x m 0 Giải Bài Giải và biện luận phương trình: ( m 3) x 2mx m 0 Giải Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng quát: Giả sử x0 là nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn là các tham số Giải hệ tìm tham số m Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không? 2 Bài Cho hai phương trình: x x m 0 và x mx 0 a) Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung b) Xác định m để hai phương trình trên tương đương BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Giải các phương trình sau: 2 a) x x 0 b) (5 2) x 10 x 0 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó x 12 x m 0 2 ( m 1) x mx 0 Bài Xác định m để phương trình sau vô nghiệm Bài Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau vô nghiệm b x (b c a ) x c 0 Bài Xác định m để phương trình sau có đúng nghiệm (m 2) x 2( m 1) x m 0 2 Bài Cho phương trình: (5m 1) x (31m 13) x 0 CMR phương trình có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: x 2(m 4) x 6m 0 CMR phương trình có nghiệm phân biệt Bài Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung x mx 0 và x x m 0 Chủ đề 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Toán chuyển động (18) - Ba đại lượng S, v, t S S S v.t; t ; v v t - Quan hệ: - Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnước ; Vngược = Vthực + Vnước Bài Hai người trên hai đường vuông góc với và xuất phát cùng lúc từ cùng điểm, sau họ cách 15km Tìm vận tốc và quãng đường biết hai người đó cùng xuất phát từ điểm và ngược chiều thì họ cách 7km Bài Một người dự định từ A đến B khoảng thời gian định Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian hết quãng đường AB giảm 1giờ Nếu người đó giảm vận tốc 10km/h thì thời gian hết quãng đường AB tăng 2giờ so với dự định Hỏi người đó với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu? Giải Gọi vận tốc mà người đó dự định là x (km/h) (x >0) Gọi thời gian mà người đó dự định là y (h) (y >0) Quãng đường AB là xy Khi tăng vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x +10 (km/h) Và thời gian giảm 1giờ nên thời gian hết quãng đường là: y – (h) Khi giảm vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là : x – 10 (km/h) Và thời gian tăng thêm 2giờ nên thời gian hết quãng đường là y + (h) Do quãng đường AB không đổi nên ta có hệ phương trình: ( x 10)( y 1) xy x 10 y 10 x 30(tm) ( x 10)( y 2) xy 2 x 10 y 20 y 4(tm) Vậy vận tốc người đó dự định là 30km/h, thời gian dự định là 4giờ Bài3 Hai bến sông A và B cách 240km Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa điểm C nằm chính hai bến A và B, cùng lúc đó ca nô ngược dòng từ B đến C Ca nô từ A đến C trước ca nô từ B đến C 1giờ Tìm vận tốc dòng nước, biết vận tốc thực hai ca nô và 27km/h Dạng 2: Lập số ab 10a b Điều kiện: a 9;0 b 9 , a, b abc 100a 10b c Điều kiện: a 9;0 b, c 9 , a, b, c Bài Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết chữ số vào hai chữ số ta số có chữ số lớn số đã cho là 280 Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta số lớn số đó 18 đơn vị Giải Gọi số cần tìm là: ab 10a b Điều kiện: a 9;0 b 9 , a, b Do thêm chữ số vào hai chữ số ta số lớn số đã cho 280 đơn vị nên ta có: a1b ab 280 100a 10 b 10a b 280 a 3 (1) Do đổi chỗ hai chữ số ta số lớn số đã cho 18 đơn vị nên ta có: ba ab 18 10b a 10a b 18 b a 2 (2) Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = Vậy số cần tìm là 35 (19) Bài2 Tìm số tự nhiên có chữ số biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số nó ta thương là và dư Giải Gọi số cần tìm là: ab 10a b Điều kiện a 9;0 b 9 , a, b Vì chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục là nên ta có: b – a = (1) Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số nó ta thươnglà và dư nên ta có: ab 3( a b) 10a b 3a 3b a 2b 7 (2) b a 4 a 3 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 7 a 2b 7 b 7 Vậy số cần tìm là 37 Dạng 3: Toán làm chung làm riêng +) Qui ước: Cả công việc là đơn vị +) Tìm đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực bao nhiêu phần công việc Phần công việc 1/thời gian Bài Hai người thợ cùng làm công việc 8giờ thì xong Nếu người thứ làm 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp thì hoàn thành công việc Hỏi người làm mình bao lâu thì xong việc? Giải C1: Gọi thời gian người thứ làm mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0) Gọi thời gian người thứ hai làm mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0) Trong người thứ làm được: x (công việc) Trong người thứ hai làm được: y (công việc) 1 1 y (1) Trong hai người làm (công việc) nên ta có: x Trong người thứ làm được: x (công việc) Trong người thứ hai làm được: y (công việc) 1 x y Theo bài ta có phương trình: (2) 1 1 x y 1 1 b a x y y x Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Đặt ; ,ta được: (20) a 24 x 24 y 12 b 12 Vậy thời gian người thứ làm mình hoàn thành công việc là 24 người thứ hai làm mình hoàn thành công việc là 12 C2: Gọi số phần công việc người thứ làm là: x (x >0) Và số phần công việc người thứ hai làm là y (y >0) Do hai người làm chung thì xong việc nên ta có: x y x y 1 (1) Do người thứ làm và người thứ hai làm tiếp thì xong công a b 6a 9b 1 việc nên ta có phương trình: x y 1 (2) x 8 x y 1 24 6 x y 1 y 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy thời gian người thứ hoàn thành công việc là 24 người thứ hai hoàn thành công việc là 12 Bài Trong bể nước có vòi chảy và vòi chảy vào Nếu mở cùng hai vòi thì sau đầy bể Hỏi vòi chảy vào chảy bao lâu thì đầy bể Biết thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít vòi chảy hết bể nước đầy là và vận tốc chảy các vòi không đổi Dạng Toán diện tích Bài Một hình chữ nhật ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích tăng thêm 88m2 Nếu ta giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 18m2 Tìm kích thước hình chữ nhật Giải Gọi chiều dài ban đầu hình chữ nhật là x (m) (x >0) Và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là y (m) (y >0) Diện tích ban đầu hình chữ nhật là x.y (m2) Do tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m2 nên ta có pt: ( x 4)( y 4) xy 88 x y 18 (1) Do giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 18m2 nên ta có pt: ( x 2)( y 3) xy 18 x y 24 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 18 x 10 3x y 24 y 8 Vậy chiều dài ban đầu HCN là 10m, chiều rộng ban đầu HCN là 8m (21) Bài Hai tổ sản xuất tháng làm 900 sản phẩm Sang tháng thay đổi nhân nên số sản phẩm tổ I 90% số sản phẩm tháng tổ I, số sản phẩm tổ II 120% số sản phẩm tháng tổ II Vì tổng số sản phẩm tháng hai tổ là 960 sản phẩm Hỏi tháng mổi tổ sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Giải Gọi số sản phẩm tổ I sản xuất tháng là x (sản phẩm) ( x 0, x ) số sản phẩm tổ II sản xuất tháng là y (sản phẩm) ( y 0, y ) Do hai tổ sản xuất tháng 900 sản phẩm nên ta có: x y 900 (1) Trong tháng tổ I sản xuất được: 0,90.x (sản phẩm) Trong tháng tổ II sản xuất được: 1, 20.y (sản phẩm) Do tổng số sản phẩm tháng hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có: 0,90.x 1, 20 y 960 x 12 y 9600 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 900 x 400(tm) 9 x 12 9600 y 500(tm) Vậy tháng tổ I sản xuất 400 sản phẩm, tổ II sản xuất 500 sản phẩm Dạng 5: Toán mang yếu tố Vật lí Bài Hai điện trở mắc song song với biết điện trở thứ lớn điện trở thứ hai 6Ω và điện trở tương đương đoạn mạch là 4Ω Tính độ lớn hai điện trở Giải Gọi độ lớn điện trở là R1 = x (Ω, x >6) Độ lớn điện trở thứ là R2 = x – (Ω) Ta có điện trở tương đương đoạn mạch Rtđ = 4Ω 1 1 1 x( x 6) 4( x 6) x Rtd R1 R2 x x x x x 24 x 0 x 14 x 24 0 ' 7 24 25 ' 25 5 x1 7 12(tm); x2 7 2 (loại) Vậy độ lớn điện trở thứ là 12Ω, độ lớn điện trở thứ là 6Ω Dạng 6: Toán suất kế hoạch +) Gồm đại lượng: Tsp; Ns, t t Tsp Tsp Ns Ns , t +) Quan hệ: Tsp = Ns.t; Bài Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 1200sp thời gian định Nhưng thực tế sau làm xong 12 với suất dự định thì tổ công nhân cải tiến kỹ thuật tăng suất lên 5sp Vì họ đã hoàn thành số sản phẩm (22) đó trước thời hạn là Hỏi tổ công nhân dự định làm bao nhiêu sản phẩm? Dạng 7: Toán có quan hệ hình học Bài1 Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với theo tỉ lệ 4:3 Tính độ dài các cạnh tam giác, biết cạnh góc vuông tam giác có độ dài là 14cm Bài2 Cho biết tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền là 50cm Tìm độ dài hai cạnh góc vuông? Dạng 8: Toán phần trăm Bài1 Trong kho giấy có 1500 giấy loại I và loại II Sau đó người ta bổ sung vào kho thêm 255 giấy hai loại, đó giấy loại I 15% lượng giấy loại I kho, giấy loại II 20% lượng giấy loại II kho Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại II kho là bao nhiêu? Dạng 9: Toán quan hệ hai số Bài1 Tìm hai số tự nhiên biết hai số đó chia cho cùng thương và số dư là và và tổng bình phương chúng là 221 Bài Trong chiến dịch Điện Biên Phủ tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m giao thông hào Nhưng đến nhận nhiệm vụ chiến sĩ tiểu đội đã bị hy sinh Vì bình quân chiến sỹ phải đào thêm 1m giao thông hào hoàn thành công việc Hỏi tiểu đội công binh có bao nhiêu người? Bài tập tổng hợp Bài1 Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh Anh Quang góp vốn 15triệu đồng, anh Hùng góp 13triệu đồng Sau thời gian lãi triệu đồng Lãi chia tỉ lệ với vốn đã góp Hãy tính tiền lãi mà anh hưởng? HD: Gọi số lãi anh Quang là x (triệu đồng, x >0) Gọi số lãi anh Hùng là y (triệu đồng, y >0) x y 7 x 3, 75 x y y 3, 25 15 13 Lập hệ: Bài Trong phòng học có số ghế dài Nếu xếp ghế học sinh thì học sinh không có chỗ Nếu xếp ghế học sinh thì thừa ghế Hỏi lớp học có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? * HD:Gọi số ghế là x ( x ) Gọi số học sinh là y ( y ) 3x y x 10 4( x 1) y y 36 Lập hệ: Bài3 * (23) Để sửa ngôi nhà cần số thợ làm việc thời gian quy định Nếu giảm người thì thời gian kéo dài ngày Nếu tăng thêm người thì xong sớm ngày Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm bao nhiêu ngày, biết khả lao động thợ nhau? * HD:Gọi số thợ cần thiết là x (người, x ) Gọi thời gian cần thiết là y(ngày, y ) ( x 3)( y 6) xy x 8 ( x 2)( y 2) xy y 10 Lập hệ: Bài4 Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống và 40 lúa giống cũ Thu hoạch tất 460 thóc Hỏi suất loại lúa trên là bao nhiêu biết 3ha lúa giống thu hoạch ít 4ha lúa giống cũ 1tấn HD: Gọi suất trên 1ha giống lúa là x (tấn, x >0) Gọi suất trên 1ha lúa giống cũ là y (tấn, y >0) 60 x 40 y 460 x 5 y x y 4 Lập hệ: Bài Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách 600 km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng Hà Nội Sau đó 10 phút máy bay phản lực từ Hà Nội Đà Nẵng với vận tốc lớn vận tốc máy bay cánh quạt là 300km/h, nó đến Đà Nẵng trước máy bay đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc máy bay? HD: Gọi vận tốc máy bay cánh quạt là x (km/h, x >0) Khi đó vận tốc máy bay phản lực là x + 300 (km/h) 600 1 600 x 600 6 x 300 Lập phương trình: x Bài Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5 km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng trên hồ yên lặng biết vận tốc nước chảy là 3km/h HD: Gọi vận tốc xuồng máy hồ yên lặng là x (km/h, x >3) Khi đó vận tốc xuồng máy xuôi dòng là : x+3 (km/h) Vận tốc xuồng máy ngược dòng là: x – (km/h) 30 28 119 x 17 Lập phương trình: x x x * Chủ đề 5: HÀM SỐ Phần I: Lí thuyết I) Các kiến thức hàm số 1) Khái niệm hàm số(khái niệm chung) Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho ứng với giá trị x ta luôn xác định giá trị tương ứng y thì y gọi là hàm số x và x gọi là biến số Ví dụ: y = 2x; y = -3x+5; y = x2; …… Chú ý: (24) Khi đại lượng x thay đổi mà y luôn nhận giá trị không đổi thì y gọi là hàm Ví dụ: Các hàm hằng: y = 2; y = -4; y = 7; … 2) Một số hàm số quen thuộc: a) Hàm số cho bảng b) Hàm số cho công thức - Hàm là hàm có công thức: y = m (trong đó x là biến, m ) - Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức: y = ax + b Trong đó x là biến, a, b , a 0 , a là hệ số góc, b là tung độ gốc Chú ý: Nếu b = thì hàm số bậc có dạng y = ax ( a 0 ) - Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức: y = ax2 +bx +c Trong đó x là biến, a, b, c , a 0 Chú ý: Nếu c = thì hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx ( a 0 ) Nếu b = 0, c = thì hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 ( a 0 ) 3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến Cho hàm số y = f(x) xác định với x a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) tăng lên thì hàm số y = f(x) gọi là hàm số đồng biến b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) giảm thì hàm số y = f(x) gọi là hàm số nghịch biến 4) Dấu hiệu nhận biết hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến a) Đối với hàm số bậc y = ax+b ( a 0 ) - Nếu a>0 thì hàm số y = ax +b luôn đồng biến trên - Nếu a <0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên b) Đối với hàm số bậc hai ẩn y = ax2 ( a 0 ) có thể nhận biết đồng biến và nghịch biến theo dấu hiệu sau: - Nếu a > thì hàm số đồng biến x >0, nghịch biến x <0 - Nếu a <0 thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > 5) Khái niệm đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ Chú ý: Dạng đồ thị hàm số a) Hàm hằng: Đồ thị hàm y = m (trong đó x Đồ thị hàm x = m (trong đó y là biến, m ) là đường thẳng luôn là biến, m ) là đường thẳng luôn song song với trục Ox song song với trục Oy y y=m m O x (25) b) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn qua gốc toạ độ (I) x>0,y>0 y (II) x<0,y>0 (II) x<0,y>0 y=ax(a>0) y=ax(a<0) x O (III) x<0,y<0 (I) x>0,y>0 y x O (III) x<0,y<0 (IV) x>0,y<0 (IV) x>0,y<0 c) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a, b 0 ) là đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) cắt trục tung (0;b) và cắt trục hoành (II) x<0,y>0 (I) x>0,y>0 y ( b ; 0) a (II) x<0,y>0 y y=ax+b(a>0) O y=ax+b(a<0) (IV) x>0,y<0 x O x (III) x<0,y<0 (I) x>0,y>0 (III) x<0,y<0 (IV) x>0,y<0 d) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là đường cong Parabol có đỉnh O(0;0) - Đồ thị phía trên trục hoành a >0 - Đồ thị phía trục hoành a <0 a <0 y a >0 y y = ax2 O x x O y = ax2 II) Vị trí tương đối hai đường thẳng(đồ thị hàm số bậc nhất) Hai đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) và y = a’x +b’ ( a ' 0 ) +) Trùng a = a’, b = b’ +) Song song với a = a’, b b ' +) Cắt a a ' +) Vuông góc với a.a’ = -1 (26) III) Góc tạo đường thẳng y = ax + b( a 0 ) Giả sử đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) cắt trục Ox điểm A Góc tạo đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) với trục Ox là góc tạo tia Ax và tia AT (với T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương) - Nếu a >0 thì góc α tạo đường thẳng y = ax +b với trục Ox tính theo công thức sau: tg a (cần chứng minh dùng) - Nếu a <0 thì góc α tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox tính theo công tg a thức sau: 180 với y y=ax+b(a>0) T y y=ax+b(a<0) A T O x A O x Phần II: Các dạng toán Dạng 1: Nhận biết hàm số Bài1 Trong các hàm số sau, các hàm số bậc và các hệ số hàm số, hàm số nào là hàm số bậc hai dạng y = ax2 ( a 0 ) a) y = – 0,6x b) y = (x - ) c) y + = x - d) y = x g) y = x e) y = - 7,5.x f) y = – 3x2 h) y = 0.x +5 k) y = -3x2 Bài Với giá trị nào m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc a) y = (m +5).x – (x là biến số ) s m 3.t (t là biến số ) b) Dạng 2: Tính giá trị hàm số Bài1 Cho hàm số y = f(x) = 5x – Tính f(-3), f( ) Bài Cho hàm số y = f(x) = x Hãy tính: f(-2), f(4), f( ), f( ) Bài Cho hàm số y = f(x) = x2 + x – Tính giá trị hàm số x = 1, x = -3, x = 27 Bài Cho hàm số y = f(x) = ax2 +bx +c (với a,b,c là các số) Cho biết f(3) = 2009 Tính f(-3)? Bài Cho hàm số y = f(x) = ax +b có tính chất f(3)≤ f(1) ≤ f(2) và f(4) = Chứng minh a = và f(0) = (27) Dạng 3: Hàm số đồng biến, nghịch biến Bài Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên 2 y x y x y n 3.x (n 3) y x 3 c) b) a) d) Bài Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên đoạn 2;5 x a) y 2 x b) Bài Cho hàm số bậc y = (m+5)x +5 a) Tìm giá trị m để hàm số y đồng biến b) Tìm giá trị m để hàm số y nghịch biến Bài Cho hàm số 2010 y f ( x) x 2008 2009 2010 2009 2010 Không sử dụng máy tính, so sánh f(8) và f(9) Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số Bài1 Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ y = 2x +3 ; y = - 2x +3 ; y = 3x Bài Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ y = x + 2; y = 2x2 Dạng 5: Điểm thuộc đồ thị hàm số D5.1 Chứng minh điểm thuộc đồ thị Phương pháp: Điểm thuộc đường thẳng A x A ; y A (d ) : y a.x b(a 0) y A a.x A b y B xB ; yB (d ) : y a.x b(a 0) yB a.xB b Điểm thuộc Parabol Cho (P): y a.x ( a 0) A x0 ; y0 ( P) y0 a.x02 .; B x1; y1 ( P) y1 a.x12 Bài1 Cho (d): y x Tìm xem các điểm sau, điểm nào thuộc (d): A(-1;1); B(-2; ); C( ; 3); D( 2 ; ) Bài Cho (P) y = -3x Tìm các điểm sau, điểm nào thuộc (P) D( ; ) A(-1;-3); B( ; -6); C( ; 9); D5.2 Tìm toạ độ điểm biết điểm đó thuộc đồ thị hàm số Bài1 Cho (d) y = 2x – a) Tìm tọa độ điểm A biết A thuộc (d) và A có tung độ là -11 b) Tìm toạ độ điểm B biết B thuộc (d) và B có hoành độ là Bài Cho (P) y x (28) a) Tìm toạ độ điểm A biết A ( P) và A có hoành độ là b) Tìm toạ độ điểm B biết B ( P ) và B có tung độ -2 D5.3 Tìm giá trị tham số biết điểm thuộc đồ thị hàm số Bài1 Cho (d): y = (m + )x + m + Tìm m để (d) qua điểm A ( ; ) Bài2 Cho (d): y = (3m + 2)x + m2 + 5m + Tìm m để (d) qua điểm B(2;8) Bài3 Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6)x2 Tìm m để điểm A (2;8) thuộc (P) y x Tìm m để điểm B(m; m2 – 5m – 5) (P) Bài4 Cho (P): Bài5 Cho (P) y = f(x) = (m2 – 4m + 9).x2 a) So sánh f(-5) và f(-2) b) Tìm m để B(2; 20) (P) D.5.4: Xác định điểm cố định hàm số Phương pháp: Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b( a 0 ; a, b có chứa tham số) B1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) B2: Thay x = x0 ; y = y0 vào hàm số y0 = ax0 +b (phương trình có chứa tham số) B3: Đặt điều kiện để phương trình có vô số nghiệm (Phương trình có mx + n = có vô số nghiệm m = và n = 0) Bài1 Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y = (m-3)x + 2m – luôn qua với m Bài2 Chứng minh đường thẳng sau luôn qua điểm cố định với m a) y = (m-2)x +3 b) y = mx + (m + 2) c) y = (m – 1)x +(2m – 1) Dạng 6: Giao điểm hai đồ thị D.6.1: Tìm giao điểm hai đường thẳng Tổng quát: Giao điểm hai đường thẳng: (d1): y = a1.x + b1 và (d2): y = a2x + b2 y a1.x b1 y a2 x b2 Là nghiệm hệ phương trình: Bài1 Tìm giao điểm (d1): y = 3x +5 và (d2): y = - 6x – Bài2 Tìm giao điểm (d3): 3x + 2y = và (d4): 5x + 4y = - 10 D.6.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đường thẳng Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n Giải phương trình tìm x Thay giá trị vừa tìm vào hàm số y = ax2 y = mx + n tìm y + Giá trị x tìm là hoành độ giao điểm + Giá trị y tìm là tung độ giao điểm Bài1 Tìm toạ độ giao điểm (P): y = -2x2 và (d): y = 2x – y x2 và (d): y = 4x – 12 Bài2 Tìm toạ độ giao điểm (P): Bài3 Tìm toạ độ giao điểm (P): y = 11x2 và (d): y = 4x – D.6.3 Tìm số giao điểm đường thẳng và Parabol Tổng quát: (29) Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + Phương trình (*) vô nghiệm ( ) (d ) và (P) không có điểm chung + Phương trình (*) có nghiệm kép( 0 ) (d ) tiếp xúc với (P) + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biết ( a.c>0) (d ) cắt (P) hai điểm phân biệt Bài1 y x2 Cho (P): và (d): y = (m+5)x – m + Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt Bài2 Cho (P): y = x2 Chứng minh đường thẳng qua A(1;7) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt y x2 Bài3 Cho (P): và (d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n 0 ) Chứng minh d luôn cắt (P) hai điểm phân biệt D.6.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đường thẳng VD: Cho (d1): y = 2x + ; (d2): y = (2m +3)x + m2 + 4m Tìm m để (d1) cắt (d2) A có hoành độ là D.6.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đường thẳng VD: Cho (d1): y = (m + 2n)x + 5m + 3n +1 và (d2): y = (3m + 2n)x + 2m + n + Tìm m để (d1) cắt (d2) A(1;5) D.6.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol và đường thẳng Tổng quát: Cho (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 ( a ' 0 )(a, a’, b có chứa tham số) Xét phương trình hoành độ giao điểm a’x2 = ax + b (*) +) (d) và (P) không có điểm chung phương trình (*) vô nghiệm( ) +) (d) tiếp xúc với (P) phương trình (*) có nghiệm kép( 0 ) +) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình(*) có nghiệm phân biệt.( a.c <0) Bài1 Cho (P): y = x2 và (d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc với b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung c) Tìm m để (d) và (P) cắt hai điểm phân biệt y x2 Bài2 Cho (P): (d): y = 2(m – 2)x +12m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm đó? D.6.7: Tìm giá trị tahm số biết toạ độ giao điểm Parabol và đường thẳng Tổng quát: Cho (d): y = ax + b và (P): a’x2 ( a ' 0 ) (a’,a, b có chứa tham số) Tìm giá trị tham số để (d) và (P) cắt A(xA; yA) Thay toạ độ A vào hàm số (d); (P) để tìm giá trị tham số (30) y x2 Bài1 Cho (P): và (d): y = (2m + n)x +m – 2n – Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ giao điểm là -2, -1 Bài2 Cho (P): y = (m2 – 5m +3)x2 Tìm m để (d1): y = 5x – cắt (d2): y = - 2x + điểm trên (P) Bài3 Cho (P): y = (m – 2n +3)x2 Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x + điểm có hoành độ là và cắt (d2): y = 3x – điểm có hoành độ là Bài4 Cho (P): y = x2 và (d): y = (5m2 – 21m + 16)x + m2 – 6m +11 Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm đối xứng qua trục tung Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm D.7.1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) đó x A xB và y A yB Tổng quát: Lập phương trình qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) đó x A xB và y A yB Giải: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần lập qua A và B có dạng y = ax + b ( a 0 ) Do A (d ) thay x = xA; y = yA vào y = ax + b ta có: yA = a.xA + b (1) Do B (d ) thay x = xB; y = yB vào y = ax + b ta có: yB = a.xB + b (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: y A a.x A b a ( y A yB ) : ( x A xB ) y a x b B B b ( x A yB xB y A ) : ( x A xB ) VD: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; -1) và B(-2; 11) D.7.2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) đó y A yB Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) đó y A yB Giải Do A(m; y A ) (d ) : x m ; B (m; yB ) ( d ) : x m Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là (d): x = m VD: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(-3; 5) và B(-3; 13) D.7.3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) đó x A xB Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) đó x A xB Giải Do A( x A ; n) (d ) : y n ; B( xB ; n) (d ) : y n Vậy phương trình đường thẳng cần lập là: y = n VD1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(-20;1) và B(4;1) VD2: Cho (d): y = (m + 2n)x + m – n + (31) Tìm các giá trị tham số m, n để đường thẳng (d) qua hai điểm A(-2;-8) và B(3;17) Dạng 8: Ba điểm thẳng hàng D.8.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Tổng quát: B1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm B2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đường thẳng VD: Chứng minh ba điểm sau thẳng hàng: A(2;1); B(-1;7); C( ; 4) D.8.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng Tổng quát: B1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản B2: Thay toạ độ điểm còn lại vào phương trình đường thẳng vừa lập Giải phương trình và tìm tham số VD: Tìm các giá trị m để ba điểm sau thẳng hàng: A(-2;-4); B(m; m2 + 3m – 8); C(3;11) Dạng 9: Ba đường thẳng đồng quy D.9.1: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Tổng quát: B1: Tìm giao điểm hai đường thẳng B2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại VD: Cho đường thẳng: (d1): y = -2x – 7; (d2): y = 3x + 3; (d3): y = mx + 2m – Chứng minh ba đường thẳng đồng quy D.9.2: Tìm giá trị tham số để ba đường thẳng đồng quy Tổng quát: B1: Tìm giao điểm hai đường thẳng đơn giản B2: Thay toạ độ giao điểm vào phương trình đường thẳng còn lại Giải phương trình và tìm tham số VD: Cho ba đường thẳng: (d1): y = (m +5)x + m2 – 6m – 14; (d2): y = 2x – 5; (d3): y = -3x +10 Tìm m để ba đường thẳng đó đồng quy Dạng 10: Vị trí tương đối hai đồ thị hàm số bậc Chú ý: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2 +) (d1) cắt (d2) a1 a2 +) (d1) // (d2) a1 a2 , b1 b2 +) (d1) ≡ (d2) a1 a2 , b1 b2 a a 1 +) (d1) (d2) D.10.1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm trên trục tung Tổng quát: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2 a1 a2 (1) b b (2) Để (d1) cắt (d2) điểm trên trục tung thì (32) Giải (1) và (2) Tìm giá trị thoả mãn (1) VD: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m – 2)x + m2 +5m +6; (d2): y = -2x +6 Tìm m để (d1) cắt (d2) điểm trên trục tung D.10.2: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm trên trục hoành Tổng quát: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2 a1 a2 (1) b1 b2 a a (2) Để (d1) cắt (d2) điểm trên trục hoành thì Giải (1) và (2) Tìm giá trị thoả mãn (1) Lưu ý: Chỉ nên áp dụng hai phương trình chứa tham số VD: Cho hai đường thẳng: (d1): y = (2m + 6)x + m2 – 4m – 16; (d2): y = 2x – Tìm m để (d1) cắt (d2) điểm trên trục hoành BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài1 Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + (d1) a) Tìm m, n để (d1) qua hai điểm A(2;6) và B(-1; -6) b) Tìm m,n để (d1) qua điểm C(-2;5) và song song với (d2): y = x – c) Tìm m,n để (d1) trùng với (d3): y = -5x + d) Tìm m,n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n điểm D(1;9) e) Tìm m,n để (d1) cắt (P): y = x2 hai điểm có hoành độ là và f) Tìm m,n để (d1) cắt trục tung điểm có tung độ là và cắt trục hoành điểm có hoành độ là -2 Bài2 Cho hàm số (d1): y = x + và (d): y = -3x +3 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ b) Tính góc tạo (d1) và (d2) với trục Ox c) Gọi giao điểm (d1) và (d2) là A, giao điểm (d1), (d2) với trục hoành là B và C Tính chu vi và diện tích ABC Chú ý: Gọi α là góc tạo đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox +) a >0 thì tgα = a +) a <0 thì tg(1800 – α) = -a Bài3 Cho hàm số y = (m – 2)x + m2 + m +3 (d1) a) Tìm m để hàm số đồng biến b) Tìm m để (d1) và đường thẳng (d2): y = 3x – 13 và (d3): y = -2x – đồng quy c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 điểm trên trục tung d) Tìm m để (d1) qua A(3;4) và song song với (d5): y = -m2x – e) Chứng minh (d1) cắt (P): y = x2 hai điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm (d1) và (P) Tìm m để x12 + x22 = 15 f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông cân g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = -3x + điểm trên trục tung Chú ý: 1) Hai đường thẳng cắt trên trục tung thì a a ', b b ' 2) Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục tam giác vuông cân khi: Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Oy điểm M(0; b) (33) b Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox điểm N( a ; 0) b b a Để MON vuông cân thì OM = ON Kết luận: Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục tam giác vuông cân a = và b 0 ( a = -1 và b 0 ) Bài4 Cho hàm số: y = x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -2 và Lập phương trình đường thẳng AB c) Chứng minh đường thẳng (d1) qua điểm M(-1;3) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt C và D d) Gọi xC và xD là hoành độ C và D Tìm phương trình (d1) để xC2 +xD2 nhận giá trị nhỏ e) Lập phương trình đường thẳng cắt (P) điểm có hoành độ là và song song đường thẳng y = 3x + Bài5 Cho hàm số y = (m – 2)x + (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định với giá trị m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng1 c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d nhận giá trị lớn d) Tìm m để đường thẳng d tạo với hai trục tam giác có diện tích bằng2 Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng lấy giá trị tuyệt đối Bài6 Cho (P): y = 4x2 và (d): y = (4x + 3)x – m2 + 7m + a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo Bài7 Cho (P): y = ax2 và (d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m +4 a) Tìm a biết (P) qua điểm A(-1;1) Vẽ (P) với giá trị a vừa tìm b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc Tìm toạ độ giao điểm B(khác A) (P) và (d) c) Chứng tỏ AOB vuông A Tính độ dài đoạn AB và diện tích AOB Chú ý: AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì 2) Có hai cách để chứng minh AOB vuông A C1: Dùng định lí Pitago đảo: AB2 + OA2 = OB2 C2: Dùng quan hệ vệ số góc: (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’.x +b’ (d1 ) ( d ) a.a ' Chủ đề 6: TƯƠNG GIAO CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Phần I: Lý thuyết: Hàm số y = ax2 ( a 0 ) Tính chất: Điều kiện xác định hàm số với x (34) Chiều biến thiên: +) Nếu a > thì hàm số đồng biến x >0, nghịch biến x <0 +) Nếu a <0 thì hàm số đồng biến x <0, nghịch biến x >0 Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là đường cong Parabol có: +) Đỉnh O(0; 0) +) Trục đối xứng là trục Oy Parabol nằm trên Ox a > Parabol nằm bên Ox a <0 Ví dụ: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - 2x2 Phần II: Phân dạng bài tập Dạng1: Tính giá trị hàm số 2 x VD: Cho hàm số y = f(x) = Tính f(-2); f(3); f( ); f( ) Dạng2: Điểm thuộc Parabol D.2.1: Chứng minh điểm thuộc Parabol Tổng quát: A( x0 ; y0 ) ( P) y0 a.x02 B( x1; y1 ) ( P) y1 a.x12 Cho (P): y = ax2 ( a 0 ); ; VD1: Cho (P): y = -3x Tìm các điểm sau, điểm nào thuộc (P) ; A(-1; -3); B( ; - 6); C( ; 9); D( ) D.2.2: Tìm toạ độ điểm biết điểm thuộc Parabol x VD1: Cho (P): y = a) Tìm toạ độ điểm A biết A ( P) và A có hoành độ là b) Tìm toạ độ điểm B biết B ( P) và B có tung độ là -2 VD2: Lập phương trình đường thẳng cắt (P): y = 3x2 hai điểm có hoành độ là và D.2.3: Tìm giá trị tham số biết điểm thuộc Parabol Tổng quát: A( x0 ; y0 ) ( P) : y a.x (a 0) Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y = ax2 y0 = a.x02 Giải phương trình chứa ẩn là tham số VD1: Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6).x2 Tìm m để A(2;8) ( P) x 2 Tìm m để B(m; m 5m 5) ( P) VD2: Cho (P): y = VD3: Cho (P): y = f(x) = (m2 – 4m +9).x2 a) So sánh f(-5) và f(-2) b) Tìm m để B(2; 20) ( P) Giải 2 a) Tacó: m2 – 4m +9 = ….= (m – 2)2 +5 Do (m 2) 0 m 4m 0m Vậy hàm số y = (m2 – 4m + 9)x2 nghịch biến với x <0 (35) 2 b) Ta có: B(2;20) ( P) 4( m m 9) 20 m m 5 m m 0 (m 2) 0 m 2 Dạng 3: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đường thẳng Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n Giải phương trình tìm x Thay giá trị vừa tìm vào hàm số y = ax2 y = mx + n tìm y + Giá trị x tìm là hoành độ giao điểm + Giá trị y tìm là tung độ giao điểm VD1: Tìm toạ độ giao điểm (P): y = -2x2 và (d): y = 2x – y x VD2: Tìm toạ độ giao điểm (P): và (d): y = 4x – 12 VD3: Tìm toạ độ giao điểm (P): y = 11x2 và (d): y = 4x – Dạng 4: Tìm số giao điểm đường thẳng và Parabol Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + Phương trình(*) vô nghiệm( ( 0) ( d ) và (P) không có điểm chung + Phương trình (*) có nghiệm kép ( 0) (d ) tiếp xúc với (P) + Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ( a.c <0) (d ) cắt (P) hai điểm phân biệt y x2 và (d): y = (m – 5)x – m + VD1: Cho (P): Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt VD2: Cho (P): y = x2 Chứng minh đường thẳng qua A(1;7) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt y x2 VD3: Cho (P): và (d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n 0 ) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm toạ độ giao điểm Parabol và đường thẳng Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + (d) và (P) không có điểm chung phương trình (*) vô nghiệm ( 0) + (d) tiếp xúc với (P) phương trình (*) có nghiệm kép ( 0) + (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( a.c <0) VD1: Cho (P): y = x2 và (d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung c) Tìm m để (d) và (P) cắt hai điểm phân biệt (36) y x VD2: Cho (P): và (d): y = (2m + n)x + m – 2n – Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ giao điểm là – 2, -1 y x và (d): y = 2(m – 1)x + 12m VD3: Cho (P): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt VD4: Cho (P): y = (m2 – 5m +3)x2 Tìm m để (d1): y = 5x – cắt (d2): y = - 2x +5 điểm trên (P) y x VD5: Cho (P): Lập phương trình đường thẳng cắt (P) điểm có hoành độ là và song song với đường thẳng (d): y = 3x – 10 VD6: Cho (P): y = (m – 2n +3)x2 Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x +2 điểm có hoành độ là và cắt (d2): y = 3x – điểm có hoành độ là VD7: Cho (P): y = x2 và (d): y = (5m2 – 21m +16)x + m2 – 6m +11 Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm đối xứng qua trục tung VD8: Cho (P): y = 4x2 và (d): y = (4m +3)x – m2 +7m +4 a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo VD9: Cho (P): y = ax2 và (d): y = (4m +3)x – m2 + 7m + a) Tìm a biết (P) qua điểm A(-1; 1) Vẽ (P) với giá trị a vừa tìm b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc Tìm toạ độ giao điểm B (khác A) (P) và (d) c) Chứng tỏ AOB vuông A Tính độ dài đoạn AB và diện tích AOB Chú ý: AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì 2) Có hai cách để chứng minh AOB vuông A C1: Dùng định lí Pitago đảo: AB2 + OA2 = OB2 C2: Dùng quan hệ hệ số góc: (d ) (d ) a.a ' (d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’: BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài1 Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + (d1) a) Tìm m,n để (d1) qua điểm A(2; 6) và B(-1; -6) b) Tìm m,n để (d1) qua điểm C(-2; 5) và song song với (d2): y = x – c) Tìm m,n để (d1) trùng với (d3): y = - 5x +5 d) Tìm m,n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n điểm D(1; 9) e) Tìm m,n để (d1) cắt (P): y = x2 hai điểm có hoành độ là và f) Tìm m,n để (d1) cắt trục tung hai điểm có tung độ là và cắt trục hoành điểm có hoành độ là -2 Bài2 Cho hàm số (d1): y = x + và (d): y = -3x +3 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ b) Tính góc tạo (d1) và (d2) với trục Ox (37) c) Gọi giao điểm (d1) và (d2) là A, giao điểm (d1), (d2) với trục hoành là B và C Tính chu vi và diện tích ABC Chú ý: Gọi α là góc tạo đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox +) a >0 thì tgα = a +) a <0 thì tg( 180 ) = - a Bài3 Cho hàm số: y = ( m – 2)x + m2 + 3m + (d1) a) Tìm m để hàm số đồng biến b) Tìm m để (d1) và hai đường thẳng (d2): y = 3x – 13 và (d3): y = -2x – đồng quy c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 điểm trên trục tung d) Tìm m để (d1) qua A(3; 4) và song song với (d5): y = -m2x – e) Chứng minh (d1) cắt (P): y = x2 hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 là hoành độ x x 15 giao điểm (d1) và (P) Tìm m để f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông cân g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = -3x + điểm trên trục tung Chú ý: 1) Hai đường thẳng cắt trên trục tung thì a a ', b b ' 2) Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục tam giác vuông cân khi: Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Oy điểm M(0; b) b Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox điểm N( a ; 0) b b a Để MON vuông cân thì OM = ON Kết luận: Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục tam giác vuông cân a = và b 0 ( a = -1 và b 0 ) y x2 Bài4 Cho hàm số (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là: -2 và Lập phương trình đường thẳng AB c) Chứng minh đường thẳng (d1) qua điểm M(-1; 3) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt C và D 2 d) Gọi xC, xD là hoành độ C và D Tìm phương trình (d1) để xC xD nhận giá trị nhỏ e) Lập phương trình đường thẳng cắt (P) điểm có hoành độ là và song song với đường thẳng y = 3x + Bài Cho hàm số y = (m – 2)x + (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định với giá trị m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) nhận giá trị lớn e) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với trục tam giác có diện tích Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng lấy giá trị tuyệt đối (38) Chủ đề 7: HỆ THỨC Phần I: Lý thuyết Điều kiện áp dụng hệ thức Vi-ét VI-ÉT a 0 0 Hệ thức Viét Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có 0 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: b x1 x2 a x x c a Ứng dụng: +) Ứng dụng1: +) Ứng dụng2: (Hệ thức đảo) Nếu hai số u và v thoả mãn: u v S ( S 4.P ) u v P Thì u và v là nghiệm phương trình: x Sx P 0 Phần II: Phân dạng bài tập: Dạng1: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Bài1 Cho phương trình: x2 – 6x + 10 = Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm phương trình Bài2 Cho phương trình: x2 – 6x + = Không giải phương trình hãy tính: D x1 x2 E x1 x1 x2 x2 C x1 x2 A x12 x22 B x13 x23 Bài3 Cho phương trình: x2 – 4x – = Không giải phương trình hãy tính: A x12 ( x1 x2 ) x22 ( x2 x1 ) x x B x2 x1 Bài4 Cho phương trình: x2 – 2(m – 5)x – 2m – = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt G x1 x2 x2 x1 b) Tính Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b c x1 x2 x1.x2 a và a Tính Biểu thị các biểu thức theo x1 + x2 và x1 x2 Thay giá trị của x1+x2 và x1.x2 vào để tính giá trị biểu thức (39) Dạng2: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ hai nghiệm D.2.1: Hệ thức liên hệ hai nghiệm có dạng bậc nhất: mx1+ nx2 = p Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b x x (1) a (2) x x c a Tính mà m.x1 + n.x2 = p (3) b x1 x2 a m.x n.x2 p Từ (1) và (3) ta có hệ: Giải hệ tìm x1, x2 Thay giá trị x1, x2 vào (2) tìm tham số Bài1 Cho phương trình: x2 – 2(n – 4)x + n2 – 4n + 35 = a) Tìm n để phương trình có hai nghiệm x1; x2 b) Tìm n để 3x1 – 2x2 = 6n + 16 Bài2 Cho phương trình: x2 – 2(a – 3)x – 4a +3 = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với a b) Tìm a để 4x1 – 3x2 = a + 18 D.2.2: Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phải bậc f(x1; x2) = p Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b c x1 x2 x1.x2 a và a Tính Biểu diễn f(x1; x2) có chứa x1+x2 và x1.x2 b c x1 x2 x1.x2 a và a vào f(x1; x2) = p để tìm m Chọn giá trị thích hợp Thay Bài1 Cho phương trình: x – 2(m +3)x + m2 +2m + 13 = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x 3 b) Tìm m để x2 x1 Bài2 Cho phương trình: x2 – 2(b – 1)x – 4b – = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với b b) Tìm m để |x1| + | x2 | = D.2.3: Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm đối Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b x1 x2 a Tính Để phương trình có hai nghiệm đối thì x1 x2 0 b 0(a 0) Tìm giá trị tham số Chọn giá tri thích hợp Bài1 Cho phương trình: x2 – (5m2 – 21m + 16)x – m2 +6m – 11 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối (40) D.2.4: Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm c x1.x2 a Tính x x 1 a c Để phương trình có hai nghiệm đối thì Tìm giá trị tham số Chọn tham số thích hợp VD: Cho phương trình: 4x2 – (4m +3)x +m2 – 7m – = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Dạng3: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình D.3.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình Tổng quát: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x = x1 Cách giải: a.x b.x1 c 0 Giải phương trình có ẩn là tham số Thay x = x1 vào phương trình: VD: Cho phương trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m + = Tìm m để phương trình có nghiệm là -2 D.3.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phương trình Tổng quát Cho phương trình ax2 +bx +c = (1) (a ≠ 0) có 2nghiệm x1 và x2 C1: Thay x = x1; x = x2 vào phương trình (1) ta có hệ phương trình: a.x1 bx1 c 0 a.x2 bx2 c 0 Giải hệ phương trình có ẩn là tham số C2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b x1 x2 a x x c a Theo định lí Viét, ta có: Thay x1, x2 vào hệ giải ta giá trị tham số VD: Cho phương trình: x2 – (3m + 2n + 4)x + 4n + 10n + 38 = Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = Dạng4: Tìm giá trị tham số biết dấu các nghiệm phương trình D.4.1: Tìm giá trị tham số biết phương trình có hai nghiệm trái dấu Tổng quát: Phương trình a.x bx c 0 có hai nghiệm trái dấu: a 0 a.c VD: Cho phương trình: x2 – (7m + 3)x – 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu D 4.2: Tìm giá trị tham số biết phương trình có hai nghiệm cùng dấu (41) Tổng quát: Phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm cùng dấu: a 0 0 a.c VD: Cho phương trình: x2 – 2(m – 3)x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu D.4.3: Tìm giá trị tham số biết phương trình có nghiệm dương Tổng quát: Phương trình ax2 + bx + c = o có nghiệm dương: a 0 0 ab a.c VD: Cho phương trình: x2 – 2(m +3)x + 2m – = Tìm m để phương trình có nghiệm dương D.4.4: Tìm giá trị tham số biết phương trình có nghiệm âm Tổng quát: Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm âm: a 0 0 ab a.c VD: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 +6m +10 = Tìm m để phương trình có nghiệm âm Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm D.5.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc hai y = ax2 + bx + c C1: Biến đổi y = k.A2(x) + m (m là số) k k A2 ( x ) 0 k A2 ( x ) m m y m Giá trị lớn y m đạt A(x) = k k A2 ( x) 0 k A2 ( x ) m m y m Giá trị nhỏ y m đạt A(x) = 2 C2: y a.x bx c a.x bx c y 0 + Tính ’ + Đặt điều kiện 0( ' 0) Giải bất phương trình chứa ẩn y b b' y m Giá trị nhỏ y m đạt khi: 0( ' 0) x 2a a y m Giá trị lớn y m đạt khi: 0( ' 0) x b b' 2a a VD1: Cho A = x2 – 2x + Tìm giá trị lớn A VD2: Cho y = -3x2 + 7x – Tìm giá trị lớn y D.5.2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) (42) Cách giải Kiểm tra có nghiệm phương trình b c x1 x2 x1.x2 a và a Tính Biến đổi A(x1; x2) dạng có chứa x1+ x2 và x1.x2 Thay x1+x2 và x1.x2 đưa A tam thức bậc hai ẩn là tham số Tìm giá trị lớn và nhỏ A Chọn giá trị thích hợp VD1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x – 2m – = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt b) Cho A = x2.(x2 – 3) + x1.(x1 – 3) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ VD2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 3)x – 2m – 12 = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt b) Cho A = x2.(x2 – 3) + x1.(x1 – 3).Tìm m để A đạt giá trị nhỏ Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số b c x1 x2 x1.x2 a và a C1: Tính hệ thức Vi-ét: Khử tham số hệ thức Viét C2: Giải phương trình tìm x1, x2 Tìm hệ thức( khử tham số) VD1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 5)x + 4m + = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m VD2: Cho phương trình: x2 – 2(m +1)x + m2 + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Dạng 7: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Cách giải: b c x1 x2 x1.x2 a và a Tính hệ thức Viét: Tính giá trị biểu thức theo x1+x2 và x1.x2 VD: Cho phương trình: x2 – 2(m – 6)x – 2m – = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt P x12 x22 26 x1.x2 x12 x22 Chứng minh P không phụ thuộc vào m b) Cho Dạng 8: Lập phương trình biết hai nghiệm phương trình x x P C1: Tính tổng và tích hai nghiệm: x1 x2 S và Nếu S 4.P thì x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x2 – S.x + P = C2: x1, x2 là hai nghiệm phương trình: (x – x1)(x – x2) = VD1: Lập phương trình biết phương trình có nghiệm: x1 3 2; x2 3 2 3 VD2: Lập phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 14; x1 x2 Dạng 9: Lập phương trình biết mối liên hệ nghiệm phương trình cần lập với nghiệm phương trình cho trước (43) Cách giải: Kiểm tra ĐK có nghiệm phương trình b c x1.x2 a và a Tính tổng và tích hai nghiệm phương trình đã cho Tính tổng và tích hai nghiệm phương trình cần lập x3 và x4 thông qua mối liên hệ với x1 và x2 Lập phương trình VD1: Cho phương trình: 2x2 – 3x – = (1) Lập phương trình có nghiệm là nghịch đảo nghiệm phương trình (1) VD2: Cho phương trình: x2 – 12x + = (*) Giả sử phương trình (*) có nghiệm x1, x2 Lập phương trình có nghiệm x3, x4 thoả x x x ; x x x mãn: 1 2 Dạng 10: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phương trình thoả mãn bất đẳng thức đã cho VD1: Cho phương trình: x2 – 2x + m – = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để |x1| + | x2| > VD2: Cho phương trình: x2 – (m + 4)x + 3m + = (*) a) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại x1 x2 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài1 Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + m2 – 4m + 13 = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 b) Tìm m để 3x1 – 2x2 = 6m + 16 Bài Cho phương trình: x2 – 2(m +1)x +m2 + 3m +2 = a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 b) Cho A x1 x2 x1.x2 Tìm m để A = 34 Bài3 Cho phương trình: x2 – (m – 4)x – m – = a) Chứng minh phương trình luôn có 2nghiệm phân biệt với m x x B x2 x1 Tìm m để B = b) Cho Bài4 Cho phương trình: 3x2 – 11mx – 4m2 – = Chứng minh phương trình luôn có 2nghiệm trái dấu Bài5 Cho phương trình: x2 – (5m – 3)x + 4m – = Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Bài6 Cho phương trình: x2 – 2(m+3)x +2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Bài7 Cho phương trình: x2 – 2(1 – m)x + 2m – = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài8 Cho phương trình: x2 – 6x – = (1) Lập phương trình có nghiệm là nghịch đảo nghiệm phương trình (1) Bài9 Cho A = x2 + 2x + Tìm giá trị nhỏ A Bài10 Cho B = -3x2 + 4x +1 Tìm giá trị lớn B (44) Bài11 Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + 2m – 20 = (*) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm đối c) Tìm m để phương trình có nghiệm là hai số nghịch đảo d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm (45)